Система рівнянь. Детальна теорія з прикладами (2020). Приклади систем лінійних рівнянь: метод вирішення Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних алгебраїчних за допомогою векторів фундаментальної системи рішень

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете

підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
вивчити теорію обраного методу,
вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.

Короткий опис статті.

Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.

Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.

Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.

Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.

Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.

Навігація на сторінці.

Визначення, поняття, позначення.

Розглянемо системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n ) виду

Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні чи комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).

Таку форму запису СЛАУ називають координатною.

У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також перетворюється на тотожність .

Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.

Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.

Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.

Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.

Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .

Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:

За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

приклад.

Методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):

Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.

Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):

Знаходимо невідомі змінні за формулами :

Відповідь:

Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).

Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.

Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.

Рішення.

Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:

Так як

то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .

Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):

Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):

Відповідь:

або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:

Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.

З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 :

З другого рівняння отримуємо.

З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.

Відповідь:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

У загальному випадку кількість рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:

Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.

Теорема Кронекер - Капеллі.

Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .

Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.

приклад.

З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.

Рішення.

. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:

Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.

У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку

відмінний від нуля.

Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.

Відповідь:

Система рішень немає.

Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.

А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?

Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.

Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.

З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.

Наприклад розглянемо матрицю .

Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.

Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля

Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.

Теорема про ранг матриці.

Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.

Що нам дає теорема про ранг матриці?

Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).

У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.

Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

приклад.

Рішення.

Ранг основної матриці системи дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю

а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .

Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:

Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:

Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:

Відповідь:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числа невідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.

Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.

Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.

Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

Розберемо з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .

Рішення.

Знайдемо ранг основної матриці системи методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор:

Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:

Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.

Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.

Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:

Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:

Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду

Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:

Отже, .

У відповіді не забуваємо зазначити вільні невідомі змінні.

Відповідь:

Де – довільні числа.

Підведемо підсумок.

Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.

Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.

Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гаусса.

Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.

З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.

Дивіться його докладний опис та розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .

Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.

У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.

Розберемося спочатку з однорідними системами.

Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.

Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (n-r) , тобто, .

Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?

Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С1, С2, …, С(n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.

Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .

Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.

Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.

Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.

Розберемо з прикладів.

приклад.

Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .

Рішення.

Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує:

Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:

Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:

Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:

Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:

Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.

Системи mлінійних рівнянь з nневідомими.
Розв'язання системи лінійних рівнянь- це така безліч чисел ( x 1 , x 2 , …, x n), при підстановці яких у кожне із рівнянь системи виходить правильна рівність.
де a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- Коефіцієнти системи;
b i , i = 1, …, m- вільні члени;
x j, j = 1, …, n- Невідомі.
Наведена вище система може бути записана в матричному вигляді: A · X = B,

де ( A|B) - основна матриця системи;
A- Розширена матриця системи;
X- Стовпець невідомих;
B- Стовпець вільних членів.
Якщо матриця Bне є нуль-матрицею ∅, то дана система лінійних рівнянь називається неоднорідною.
Якщо матриця B= ∅, то дана система лінійних рівнянь називається однорідною. Однорідна система завжди має нульове (тривіальне) рішення: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Спільна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має рішення.
Несумісна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що не має рішення.
Певна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має єдине рішення.
Невизначена система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має безліч рішень.
Системи n лінійних рівнянь із n невідомими
Якщо число невідомих дорівнює кількості рівнянь, то матриця – квадратна. Визначник матриці називається головним визначником системи лінійних рівнянь та позначається символом Δ.
Метод Крамерадля вирішення систем nлінійних рівнянь з nневідомими.
Правило Крамер.
Якщо головний визначник системи лінійних рівнянь не дорівнює нулю, то система спільна та визначена, причому єдине рішення обчислюється за формулами Крамера:
де Δ i - визначники, одержувані з головного визначника системи Δ заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів .
Системи m лінійних рівнянь із n невідомими
Теорема Кронекера-Капеллі.

Для того щоб дана система лінійних рівнянь була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, rang(Α) = rang(Α|B).
Якщо rang(Α) ≠ rang(Α|B), то система свідомо немає рішень.
Якщо rang(Α) = rang(Α|B), то можливі два випадки:
1) rang(Α) = n(числу невідомих) - рішення єдине і може бути отримане за формулами Крамера;
2) rang(Α)< n − рішень нескінченно багато.
Метод Гаусадля вирішення систем лінійних рівнянь

Складемо розширену матрицю ( A|B) даної системи з коефіцієнтів при невідомих та правих частин.
Метод Гауса або метод виключення невідомих полягає у приведенні розширеної матриці ( A|B) за допомогою елементарних перетворень над її рядками до діагонального вигляду (до верхнього трикутного вигляду). Повертаючись до системи рівнянь, визначають усі невідомі.
До елементарних перетворень над рядками відносяться такі:
1) зміна місцями двох рядків;
2) множення рядка на число, відмінне від 0;
3) додавання до рядка іншого рядка, помноженого на довільне число;
4) викидання нульового рядка.
Розширеної матриці, наведеної до діагонального вигляду, відповідає лінійна система, еквівалентна даній, вирішення якої не викликає труднощів. .
Система однорідних лінійних рівнянь.
Однорідна система має вигляд:

їй відповідає матричне рівняння A · X = 0.
1) Однорідна система завжди спільна, оскільки r(A) = r(A|B), завжди існує нульове рішення (0, 0, …, 0).
2) Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r = r(A)< n , Що рівносильно Δ = 0.
3) Якщо r< n , то наперед Δ = 0, тоді виникають вільні невідомі c 1 , c 2 , …, c n-rсистема має нетривіальні рішення, причому їх нескінченно багато.
4) Загальне рішення Xпри r< n може бути записано у матричному вигляді наступним чином:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r,
де рішення X 1 , X 2 , …, X n-rутворюють фундаментальну систему рішень.
5) Фундаментальна система рішень може бути отримана із загального рішення однорідної системи:

,
якщо послідовно вважати значення параметрів рівними (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Розкладання загального рішення щодо фундаментальної системи рішень- Це запис загального рішення у вигляді лінійної комбінації рішень, що належать до фундаментальної системи.
Теорема. Для того щоб система лінійних однорідних рівнянь мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ ≠ 0.
Отже, якщо визначник ≠ 0, то система має єдине рішення.
Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.
Теорема. Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r(A)< n .
Доведення:
1) rне може бути більше n(Ранг матриці не перевищує числа стовпців або рядків);
2) r< n , т.к. якщо r = n, то головний визначник системи Δ ≠ 0 і, за формулами Крамера, існує єдине тривіальне рішення x 1 = x 2 = … = x n = 0що суперечить умові. Значить, r(A)< n .
Слідство. Для того, щоб однорідна система nлінійних рівнянь з nневідомими мала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ = 0.

Системи лінійних рівнянь. Лекція 6

Системи лінійних рівнянь.

Основні поняття.

Система виду

називається системою - лінійних рівнянь із невідомими.

Числа , , називаються коефіцієнтами системи.

Числа називаються вільними членами системи, – змінними системами. Матриця

називається основною матрицею системи, а матриця

– розширеною матрицею системи. Матриці - стовпці

І відповідно матрицями вільних членів та невідомих системи. Тоді в матричній формі систему рівнянь можна записати у вигляді. Рішенням системиназивається значень змінних , при підстановці яких, всі рівняння системи перетворюються на вірні числові рівності. Будь - яке рішення системи можна подати у вигляді матриці - стовпця . Тоді справедлива матрична рівність.

Система рівнянь називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення та несуміснийякщо немає жодного рішення.

Вирішити систему лінійних рівнянь це означає з'ясувати спільна вона і у разі спільності визначити її загальне рішення.

Система називається одноріднийякщо її вільні члени рівні нулю. Однорідна система завжди спільна, тому що має рішення

Теорема Кронекера – Копеллі.

Відповідь на питання існування рішень лінійних систем та їх єдиності дозволяє отримати наступний результат, який можна сформулювати у вигляді наступних тверджень щодо системи лінійних рівнянь із невідомими

(1)

Теорема 2. Система лінійних рівнянь (1) спільна тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної (.

Теорема 3. Якщо ранг основної матриці спільної системи лінійних рівнянь дорівнює числу невідомих, система має єдине рішення.

Теорема 4. Якщо ранг основної матриці спільної системи менше числа невідомих, то система має безліч рішень.

Правила розв'язання систем.

3. Знаходять вираз основних змінних через вільні і одержують загальне рішення системи.

4. Надаючи вільним змінним довільні значення набувають всі значення основних змінних.

Методи розв'язання систем лінійних рівнянь.

Метод зворотної матриці.

причому, тобто система має єдине рішення. Запишемо систему у матричному вигляді

де , , .

Помножимо обидві частини матричного рівняння зліва на матрицю

Оскільки , то отримуємо , звідки отримуємо рівність для знаходження невідомих

Приклад 27.Методом зворотної матриці розв'язати систему лінійних рівнянь

Рішення. Позначимо через основну матрицю системи

Нехай тоді рішення знайдемо за формулою .

Обчислимо.

Оскільки , те й система має єдине рішення. Знайдемо всі додатки алгебри

, ,

Таким чином

Зробимо перевірку

Зворотна матриця знайдена правильно. Звідси за формулою, знайдемо матрицю змінних.

Порівнюючи значення матриць, отримаємо відповідь: .

Метод Крамер.

Нехай дана система лінійних рівнянь із невідомими

причому, тобто система має єдине рішення. Запишемо рішення системи у матричному вигляді або

Позначимо

. . . . . . . . . . . . . . ,

Таким чином, отримуємо формули для знаходження значень невідомих, які називаються формулами Крамера.

Приклад 28.Вирішити методом Крамера таку систему лінійних рівнянь .

Рішення. Знайдемо визначник основної матриці системи

Оскільки , то система має єдине рішення.

Знайдемо решту визначників для формул Крамера

За формулами Крамера знаходимо значення змінних

Метод Гауса.

Метод полягає у послідовному виключенні змінних.

Нехай дана система лінійних рівнянь із невідомими.

Процес рішення за методом Гауса складається із двох етапів:

На першому етапі розширена матриця системи наводиться за допомогою елементарних перетворень до східчастого вигляду

де , якій відповідає система

Після цього змінні вважаються вільними і в кожному рівнянні переносяться у праву частину.

З другого краю етапі з останнього рівняння виражається змінна , отримане значення підставляється у рівняння. З цього рівняння

виражається змінна. Цей процес продовжується до першого рівняння. В результаті виходить вираз головних змінних через вільні змінні. .

Приклад 29.Вирішити методом Гауса наступну систему

Рішення. Випишемо розширену матрицю системи та наведемо її до ступінчастого вигляду

Так як більше числа невідомих, то система спільна і має безліч рішень. Запишемо систему для ступінчастої матриці

Визначник розширеної матриці цієї системи, складений із трьох перших стовпців не дорівнює нулю, тому його вважаємо базисним. Змінні

Будуть базисними, а змінна – вільною. Перенесемо її у всіх рівняннях у ліву частину

З останнього рівняння виражаємо

Підставивши це значення у передостаннє друге рівняння, отримаємо

звідки . Підставивши значення змінних і на перше рівняння, знайдемо . Відповідь запишемо у наступному вигляді

З nневідомими це система виду:

де a ijі b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- Деякі відомі числа, а x 1, ..., x n- Невідомі числа. У позначенні коефіцієнтів a ijіндекс iвизначає номер рівняння, а другий j- Номер невідомого, у якого розташований цей коефіцієнт.

Однорідна система -коли всі вільні члени системи дорівнюють нулю ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), зворотна ситуація неоднорідна система.

Квадратна система -коли число mрівнянь дорівнює числу nневідомих.

Рішення системи- Сукупність nчисел c 1 , c 2 , …, c n ,таких, що підстановка всіх c iзамість x iв систему перетворює всі її рівняння на тотожності.

Спільна система -коли у системи є хоча б одне рішення, і несумісна система, коли система не має рішень.

У спільної системи такого виду (як наведено вище, нехай вона буде (1)) може бути одне або більше рішень.

Рішення c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)і c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)спільної системи типу (1) будуть різними, коли не виконується навіть одна з рівностей:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2).

Спільна система типу (1) буде певної, коли вона має лише одне рішення; коли система має хоча б 2 різних рішень, вона стає недовизначеною. Коли рівнянь більше, ніж невідомих, система є перевизначеною.

Коефіцієнти при невідомих записуються як матриця:

Вона називається матрицею системи.

Числа, які стоять у правих частинах рівнянь, b 1 ..., b mє вільними членами.

Сукупність nчисел c 1 ..., c nє рішенням цієї системи, коли всі рівняння системи звертаються до рівності після підставки в них чисел c 1 ..., c nзамість відповідних невідомих x 1, ..., x n.

При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть виникнути 3 варіанти:

1. Система має лише одне рішення.

2. Система має нескінченну кількість рішень. Наприклад, . Рішенням цієї системи будуть усі пари чисел, що відрізняються знаком.

3. Система не має рішень. Наприклад, , якби рішення існувало, то x 1 + x 2дорівнювало б одночасно 0 і 1.

Методи розв'язання систем лінійних рівнянь.

Прямі методидають алгоритм, за яким знаходиться точне рішення СЛАУ(Систем лінійних рівнянь алгебри). І якби точність була абсолютною, вони знайшли б його. Реальна електрообчислювальна машина, звичайно, працює з похибкою, тому рішення буде приблизним.

Багато практичних завдань зводяться до вирішення систем рівнянь алгебри 1-го ступеня або, як їх зазвичай називають, систем лінійних рівнянь. Ми навчимося вирішувати будь-які такі системи, не вимагаючи навіть, щоб кількість рівнянь збігалася з невідомими.

У загальному вигляді система лінійних рівнянь записується так:

Тут числа a ij– коефіцієнти системи, b i – вільні члени, x i– символи невідомих . Дуже зручно ввести матричні позначення: – основна матриця системи, - матриця-стовпець вільних членів, - матриця-стовпець невідомих. Тоді систему можна записати так: AX=Bабо, докладніше:

Якщо в лівій частині цієї рівності виконати множення матриць за звичайними правилами і прирівняти елементи отриманого стовпця до елементів У, то ми прийдемо до початкового запису системи.

Приклад 14. Запишемо ту саму систему лінійних рівнянь двома різними способами:

Система лінійних рівнянь прийнято називати спільної , якщо у неї є хоча б одне рішення, і несумісний, якщо рішень немає.

У прикладі система спільна, стовпчик є її рішенням:

Це рішення можна записати і без матриць: x=2, y=1 . Систему рівнянь називатимемо невизначеною , якщо вона має більше одного рішення, і певної, якщо рішення єдине.

Приклад 15. Система є невизначеною. Наприклад, є її рішеннями. Читач може знайти багато інших рішень цієї системи.

Навчимося вирішувати системи лінійних рівнянь спочатку в окремому випадку. Систему рівнянь АХ=Убудемо називати крамеровській , якщо її основна матриця А- Квадратна і невироджена. Іншими словами, в крамеровській системі число невідомих збігається з числом рівнянь і .

Теорема 6. (Правило Крамера).Крамерівська система лінійних рівнянь має єдине рішення, що задається формулами:

де - визначник основної матриці, - визначник, отриманий з Dзаміною i-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Зауваження.Крамерівські системи можна вирішувати і по-іншому за допомогою зворотної матриці. Запишемо таку систему у матричному вигляді: AX=У. Оскільки , то існує зворотна матриця А –1 . Помножуємо матричну рівність на А –1 зліва: А –1 АХ=А –1 У. Так як А –1 АХ=ЇХ=Х, то рішення системи знайдено: Х= А –1 У.Такий спосіб рішення будемо називати матричним . Ще раз наголосимо, що він годиться тільки для крамерівських систем – в інших випадках зворотна матриця не існує. Розібрані приклади застосування матричного методу та методу Крамера читач знайде нижче.

Вивчимо, нарешті, загальний випадок – систему mлінійних рівнянь з nневідомими. Для її вирішення застосовується метод Гауса , який ми розглянемо докладно. Для довільної системи рівнянь АХ=Увипишемо розширену матрицю. Так прийнято називати матриця, яка вийде, якщо до основної матриці Аправоруч дописати стовпець вільних членів У:

Як і при обчисленні рангу, за допомогою елементарних перетворень рядків та перестановок стовпців будемо наводити нашу матрицю до трапецеподібної форми. При цьому, звичайно, відповідна матриця система рівнянь зміниться, але буде рівносильна вихідної (тобто буде мати самі рішення). Справді, перестановка чи складання рівнянь не змінять рішень. Перестановка стовпців – також: рівняння x 1+3x 2+7x 3=4 і x 1+7x 3+3x 2=4, звісно, рівносильні. Потрібно лише записувати, якою невідомою відповідає цей стовпець. Стовпець вільних членів не переставляємо його зазвичай у матриці відокремлюють від інших пунктиром. Нульові рядки, що виникають у матриці, можна не писати.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.Випишемо розширену матрицю і наведемо її до трапецеподібної форми. Знак ~ тепер означатиме як збіг рангів, а й рівносильність відповідних систем рівнянь.

~ . Пояснимо виконані дії.

Дія 1. До 2-го рядка додали 1-й, помноживши її на (–2). До 3-го і 4-го рядків додали 1-й, помноживши її на (–3). Мета цих операцій – отримати нулі у першому стовпчику, нижчому від головної діагоналі.

Дія 2Так як на діагональному місці (2,2) опинився 0 , Довелося переставити 2-й і 3-й стовпчики. Щоб запам'ятати цю перестановку, зверху написали позначення невідомих.

Дія 3.До 3-го рядка додали 2-й, помноживши її на (–2). До 4-го рядка додали 2-й. Мета – отримати нулі у другому стовпчику, нижчому від головної діагоналі.

Дія 4.Нульові рядки можна забрати.

Отже, матриця наведена до трапецеподібної форми. Її ранг r=2 . Невідомі х 1 , х 3- Базисні; х 2 , х 4- Вільні. Надамо вільним невідомим довільні значення:

х 2= a, х 4= b.

Тут a, bбувають будь-якими числами. Тепер із останнього рівняння нової системи

x 3+x 4= –3

знаходимо х 3: х 3= –3 –b.Піднімаючись вгору, з першого рівняння

х 1+3х 3+2х 2+4х 4= 5

знаходимо х 1: х 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.

Записуємо загальне рішення:

x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=b.

Можна записувати загальне рішення у вигляді матриці-стовпця:

При конкретних значеннях aі b, можна отримувати приватні рішення. Наприклад, при a=0, b=1 отримаємо: – одне із рішень системи.

Зауваження.В алгоритмі методу Гауса ми бачили (випадок 1), що несумісність системи рівнянь пов'язана з розбіжністю рангів основної та розширеної матриць. Наведемо без доказу таку важливу теорему.

Теорема 7 (Кронекера – Капеллі). Система лінійних рівнянь спільна тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці системи.

Системи лінійних рівнянь - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Системи лінійних рівнянь" 2017, 2018.

- СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Щоб його рядки (чи стовпці) були лінійно залежні. Нехай дана система, що містить mлінійних рівнянь з невідомими: 5.1. Введемо такі позначення. 5.2. - матриця системи - її розширена матриця. - Стовпець вільних членів. - Стовпець невідомих. Якщо... .

- П.1. Зведення системи лінійних рівнянь до задачі

нелінійної оптимізації (ЗНО) та навпаки. Постановка завдання ЗНО: Знайти (8.1) мінімум чи максимум у певній області D. Як ми пам'ятаємо з мат. аналізу, слід прирівняти окремі похідні до нуля. Таким чином ЗНО (8.1) звели до СНУ (8.2) (8.2) n нелінійних рівнянь. ....

- неоднорідні системи лінійних рівнянь

Лекція 15 Розглянемо неоднорідну систему (16) Якщо відповідні коефіцієнти однорідної системи (7) дорівнюють відповідним коефіцієнтам неоднорідної системи (16), то однорідна система (7) називається відповідною неоднорідною системою (16). Теорема. Якщо... [читати докладніше] .

7.1 Однорідні системи лінійних рівнянь. Нехай дано однорідну систему лінійних рівнянь (*) Припустимо, що набір чисел - якесь рішення цієї системи. Тоді набір чисел також є рішенням. Це перевіряється безпосередньою підстановкою у рівняння системи.

- Структура множини рішень системи лінійних рівнянь

Таблиця 3 Етапи моторного розвитку дитини Етап Вік Показники моторного розвитку момент народження до 4 міс Формування контролю за положенням голови та можливості її вільної орієнтації у просторі 4-6 місяців освоєння початкової... .

- Системи лінійних рівнянь (СЛП). Розв'язання системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення СЛП. Елементарні перетворення матриці.

Визначення 1. Система лінійних рівнянь виду (1) , де поле називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими над полем, - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени системи (1). Визначення 2.Упорядкована n-ка (), де називається рішенням системи лінійних... .