การคำนวณเมทริกซ์โดยวิธีแครมเมอร์ วิธีแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น การดำเนินการกับเมทริกซ์

พิจารณาระบบ 3 สมการที่มี 3 ไม่ทราบ

การใช้ปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3 การแก้โจทย์ของระบบดังกล่าวสามารถเขียนได้ในรูปแบบเดียวกับระบบที่มีสองสมการ กล่าวคือ

(2.4)

ถ้า 0 ที่นี่

มันอยู่ที่นั่น กฎของแครเมอร์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า.

ตัวอย่างที่ 2.3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของแครเมอร์:

สารละลาย . การค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ

ตั้งแต่ 0 เพื่อหาคำตอบให้กับระบบ เราสามารถใช้กฎของแครเมอร์ได้ แต่ก่อนอื่น เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดอีกสามตัวก่อน:

การตรวจสอบ:

จึงพบวิธีแก้ปัญหาได้ถูกต้อง 

กฎของแครมเมอร์ที่ได้รับสำหรับระบบเชิงเส้นลำดับที่ 2 และ 3 แนะนำว่ากฎเดียวกันนี้สามารถกำหนดขึ้นสำหรับระบบเชิงเส้นในลำดับใดก็ได้ เกิดขึ้นจริงๆ

ทฤษฎีบทของแครเมอร์ ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์หลักของระบบ (0) มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น และวิธีแก้ปัญหานี้คำนวณโดยใช้สูตร

(2.5)

ที่ไหน  – ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลัก,  ฉัน – ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์, ได้มาจากตัวหลักแทนที่ฉันคอลัมน์ที่ 3 ของสมาชิกฟรี.

โปรดทราบว่าหาก =0 กฎของแครมเมอร์ก็จะใช้ไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อกำหนดทฤษฎีบทของแครเมอร์แล้ว คำถามย่อมเกิดขึ้นจากการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สูงกว่า

2.4. ปัจจัยกำหนดลำดับที่ n

รายย่อยเพิ่มเติม ม ฉันองค์ประกอบ ก ฉันคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากการลบออก ฉันบรรทัดที่ และ เจคอลัมน์ที่ ส่วนเสริมพีชคณิต ก ฉันองค์ประกอบ ก ฉันเรียกว่าธาตุรองที่มีเครื่องหมาย (–1) ฉัน + เจ, เช่น. ก ฉัน = (–1) ฉัน + เจ ม ฉัน .

ตัวอย่างเช่น ลองหาส่วนเสริมรองและพีชคณิตขององค์ประกอบต่างๆ ก 23 และ ก 31 รอบคัดเลือก

เราได้รับ



การใช้แนวคิดเรื่องการเสริมพีชคณิตเราสามารถกำหนดได้ ทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์n- เรียงลำดับตามแถวหรือคอลัมน์.

ทฤษฎีบท 2.1 ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์กเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดของแถว (หรือคอลัมน์) ที่กำหนดโดยการเสริมพีชคณิต:

(2.6)

ทฤษฎีบทนี้รองรับหนึ่งในวิธีการหลักในการคำนวณปัจจัยกำหนดที่เรียกว่า วิธีการลดคำสั่งซื้อ. อันเป็นผลจากการขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ nลำดับของแถวหรือคอลัมน์ใดๆ เราจะได้ตัวกำหนด n ตัว ( n–1)ลำดับที่ หากต้องการให้มีปัจจัยกำหนดน้อยลง แนะนำให้เลือกแถวหรือคอลัมน์ที่มีเลขศูนย์มากที่สุด ในทางปฏิบัติ สูตรการขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์มักจะเขียนเป็น:

เหล่านั้น. การบวกพีชคณิตเขียนไว้อย่างชัดเจนในแง่ของผู้เยาว์

ตัวอย่าง 2.4.คำนวณปัจจัยกำหนดโดยจัดเรียงพวกมันลงในแถวหรือคอลัมน์ก่อน โดยทั่วไป ในกรณีดังกล่าว ให้เลือกคอลัมน์หรือแถวที่มีเลขศูนย์มากที่สุด แถวหรือคอลัมน์ที่เลือกจะมีลูกศรระบุ



2.5. คุณสมบัติพื้นฐานของดีเทอร์มิแนนต์

การขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปเหนือแถวหรือคอลัมน์ใดๆ เราจะได้ n ดีเทอร์มิแนนต์ ( n–1)ลำดับที่ จากนั้นตัวกำหนดแต่ละตัวเหล่านี้ ( n–1)ลำดับที่ 1 สามารถแยกย่อยออกเป็นผลรวมของปัจจัยกำหนดได้ ( n–2)ลำดับที่ เมื่อดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราสามารถเข้าถึงปัจจัยกำหนดลำดับที่ 1 ได้ เช่น ไปยังองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่มีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้น ในการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่ 2 คุณจะต้องคำนวณผลรวมของสองเทอม สำหรับปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3 - ผลรวมของ 6 เทอม สำหรับปัจจัยกำหนดลำดับที่ 4 - 24 เทอม จำนวนเทอมจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อลำดับของดีเทอร์มิแนนต์เพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่าการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สูงมากจะกลายเป็นงานที่ค่อนข้างใช้แรงงานเข้มข้น ซึ่งเกินความสามารถของแม้แต่คอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีอื่น โดยใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

คุณสมบัติ 1 . ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการสลับแถวและคอลัมน์ในนั้น เช่น เมื่อย้ายเมทริกซ์:

คุณสมบัตินี้บ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันของแถวและคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อความใดๆ เกี่ยวกับคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ก็เป็นจริงสำหรับแถวของมันเช่นกัน และในทางกลับกัน

คุณสมบัติ 2 . ปัจจัยการเปลี่ยนแปลงจะเข้าสู่ระบบเมื่อมีการสับเปลี่ยนสองแถว (คอลัมน์)

ผลที่ตามมา . หากดีเทอร์มิแนนต์มีสองแถวที่เหมือนกัน (คอลัมน์) ก็จะเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติ 3 . ตัวประกอบร่วมขององค์ประกอบทั้งหมดในแถว (คอลัมน์) ใดๆ สามารถนำออกจากเครื่องหมายดีเทอร์มิแนนต์ได้.

ตัวอย่างเช่น,

ผลที่ตามมา . หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์เองก็จะเท่ากับศูนย์.

คุณสมบัติ 4 . ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบของแถวหนึ่ง (คอลัมน์) เข้ากับองค์ประกอบของอีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขใดๆ.

ตัวอย่างเช่น,

คุณสมบัติ 5 . ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์ เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์:

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สิ่งนี้จะช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบค่าในแต่ละสมการ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้วิธีของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ แต่ถ้ามันเท่ากับศูนย์ก็จะใช้ไม่ได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะได้

คำนิยาม. ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบและเขียนแทนด้วย (เดลต้า)

ปัจจัยกำหนด

ได้จากการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งแปลกปลอมที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

ทฤษฎีบทของแครเมอร์. หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว และความไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครเมอร์เรามี:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแก้ของแครเมอร์

สามกรณีเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ชัดเจนจาก ทฤษฎีบทของแครเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และเงื่อนไขอิสระนั้นเป็นสัดส่วน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nเรียกว่าตัวแปร ไม่ใช่ข้อต่อถ้าเธอไม่มีทางออกเดียวและ ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี เรียกว่าระบบสมการที่มีคำตอบเดียวเท่านั้น แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง – ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ให้ระบบได้รับ

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของแครเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ปัจจัยกำหนดระบบ เราได้รับปัจจัยที่เหลือโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยเงื่อนไขอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ดังนั้นระบบจึงมีความชัดเจน เพื่อหาคำตอบ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวของระบบ

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครเมอร์

หากในระบบสมการเชิงเส้นไม่มีตัวแปรในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับศูนย์ในดีเทอร์มิแนนต์! นี่คือตัวอย่างถัดไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดูระบบสมการและดีเทอร์มิแนนต์ของระบบอย่างละเอียด แล้วตอบซ้ำสำหรับคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์อย่างน้อยหนึ่งรายการจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบจึงมีค่าแน่นอน เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบ

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีของ Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว หากปัจจัยกำหนดของระบบเท่ากับศูนย์ และปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจะไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อชี้แจงให้กระจ่างยิ่งขึ้น เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ

ปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้น ยังมีปัญหาที่นอกเหนือจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรแล้ว ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ด้วย ตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแทนของตัวเลข ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติ สมการและระบบสมการดังกล่าวประสบปัญหาในการค้นหาคุณสมบัติทั่วไปของปรากฏการณ์หรือวัตถุใดๆ นั่นคือคุณได้คิดค้นวัสดุหรืออุปกรณ์ใหม่ๆ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมันซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือปริมาณของชิ้นงานทดสอบ คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยแทนที่จะมีค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร ตัวอักษร คุณไม่จำเป็นต้องมองหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงถึงจำนวนจริงเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

การหาปัจจัยกำหนดสิ่งที่ไม่รู้

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญย่อหน้านี้ คุณจะต้องสามารถเปิดเผยปัจจัยกำหนด "สองต่อสอง" และ "สามต่อสาม" ได้ หากเข้ารอบไม่ดีโปรดศึกษาบทเรียน จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

อันดับแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมากทางด้านขวามีเศษส่วนทศนิยมพร้อมลูกน้ำ ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer ก็เข้ามาช่วยเหลือ

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”. มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์

การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาไปตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง

มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)

2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของอาจารย์ที่อยู่บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธีเกาส์)

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

ในระหว่างการแก้ปัญหา เป็นการดีกว่าที่จะอธิบายการคำนวณของผู้เยาว์โดยละเอียด แม้ว่าจะมีประสบการณ์บางอย่างที่คุณอาจคุ้นเคยกับการคำนวณโดยมีข้อผิดพลาดด้วยวาจา

ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

พิจารณาระบบสมการ

วิธีเกาส์

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer ก็เข้ามาช่วยเหลือ

;

คำตอบ: ,

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

วิธีการ เครเมอร์และ เกาส์- หนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาที่ได้รับความนิยมมากที่สุด สลอ. นอกจากนี้ในบางกรณีขอแนะนำให้ใช้วิธีการเฉพาะ เซสชั่นใกล้จะถึงแล้ว และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะทำซ้ำหรือเชี่ยวชาญตั้งแต่ต้น วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีของ Cramer ท้ายที่สุดแล้ว การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธี Cramer ถือเป็นทักษะที่มีประโยชน์มาก

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นคือระบบสมการในรูปแบบ:

ชุดค่า x ซึ่งสมการของระบบกลายเป็นอัตลักษณ์เรียกว่าคำตอบของระบบ ก และ ข เป็นสัมประสิทธิ์จริง ระบบง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวสามารถแก้ได้ในหัวของคุณ หรือโดยการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่อาจมีตัวแปร (xes) มากกว่าสองตัวใน SLAE และการปรับแต่งโรงเรียนง่ายๆ ที่นี่ยังไม่เพียงพอ จะทำอย่างไร? ตัวอย่างเช่น แก้ SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer!

ดังนั้นให้ระบบประกอบด้วย n สมการด้วย n ไม่ทราบ

ระบบดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์

ที่นี่ ก – เมทริกซ์หลักของระบบ เอ็กซ์ และ บี ตามลำดับ เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักและเงื่อนไขอิสระ

การแก้ไข SLAE โดยใช้วิธีของ Cramer

ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ (เมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์) ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตามวิธีของแครมเมอร์ สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่ เดลต้า คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลัก และ เดลต้า x nth – ดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักโดยการแทนที่คอลัมน์ที่ n ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ

นี่คือสาระสำคัญทั้งหมดของวิธี Cramer การแทนที่ค่าที่พบโดยใช้สูตรข้างต้น x เข้าสู่ระบบที่ต้องการ เรามั่นใจในความถูกต้อง (หรือกลับกัน) ของโซลูชันของเรา เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญได้อย่างรวดเร็ว เราจะให้ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา SLAE แบบละเอียดโดยใช้วิธีของ Cramer ด้านล่างนี้:

ถึงแม้จะไม่สำเร็จในครั้งแรกก็อย่าท้อถอย! ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะเริ่มแคร็ก SLAU เหมือนถั่ว ยิ่งไปกว่านั้น ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเจาะโน้ตบุ๊กอีกต่อไป เพื่อแก้ไขการคำนวณที่ยุ่งยากและเขียนแกนหลัก คุณสามารถแก้ SLAE ได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีของ Cramer ทางออนไลน์ เพียงแค่แทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในแบบฟอร์มที่เสร็จแล้ว คุณสามารถลองใช้เครื่องคำนวณโซลูชันออนไลน์โดยใช้วิธีของ Cramer บนเว็บไซต์นี้ เป็นต้น

และหากระบบกลายเป็นหัวแข็งและไม่ยอมแพ้ คุณสามารถขอความช่วยเหลือจากผู้เขียนของเราได้ตลอดเวลา เช่น ซื้อเรื่องย่อ หากมีสิ่งแปลกปลอมในระบบอย่างน้อย 100 รายการ เราจะแก้ไขให้ถูกต้องและตรงเวลาอย่างแน่นอน!