สมการในผลต่างรวม สมการในผลต่างรวม สมการในผลต่างรวมของลำดับแรก

คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ

การสร้างฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวขึ้นใหม่จากผลต่างรวม

9.1. คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ 72

9.2. คำอธิบายของโซลูชัน 72

นี่เป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่สอง

นิพจน์สำหรับผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะได้รับ:

ค้นหาฟังก์ชัน

1. เนื่องจากไม่ใช่ทุกนิพจน์ของแบบฟอร์มที่จะทำให้เกิดอนุพันธ์โดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันบางอย่าง ยู(x,ย) จึงจำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคำชี้แจงปัญหา กล่าวคือ ตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวมซึ่งมีรูปแบบสำหรับฟังก์ชัน 2 ตัวแปร เงื่อนไขนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันของข้อความ (2) และ (3) ในทฤษฎีบทของส่วนก่อนหน้า หากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ แสดงว่าปัญหามีทางแก้ไข นั่นคือฟังก์ชัน ยู(x,ย) สามารถกู้คืนได้; หากไม่ตรงตามเงื่อนไข แสดงว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข นั่นคือ ฟังก์ชันไม่สามารถกู้คืนได้

2. คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันจากส่วนต่างรวมของมันได้ เช่น ใช้อินทิกรัลเชิงโค้งชนิดที่สอง คำนวณจากตามแนวเส้นที่เชื่อมจุดคงที่ ( x 0 ,ย 0) และจุดตัวแปร ( x;y) (ข้าว. 18):

ดังนั้นจึงได้ว่าอินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดที่สองของผลต่างรวม ดียู(x,ย) เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน ยู(x,ย) ที่จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเส้นบูรณาการ

เมื่อรู้ผลลัพธ์นี้แล้ว เราก็ต้องทดแทน ดียูเข้าไปในนิพจน์อินทิกรัลเส้นโค้งและคำนวณอินทิกรัลตามเส้นประ ( เอซีบี) โดยคำนึงถึงความเป็นอิสระจากรูปร่างของเส้นบูรณาการ:

บน ( เอ.ซี.): บน ( NE) :

(1)

ดังนั้นจึงได้รับสูตรโดยคืนค่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวจากส่วนต่างทั้งหมด

3. เป็นไปได้ที่จะคืนค่าฟังก์ชันจากส่วนต่างรวมจนถึงค่าคงที่เท่านั้น เนื่องจาก ง(ยู+ ค่าคงที่) = ดียู. ดังนั้น จากการแก้ปัญหา เราจึงได้ชุดของฟังก์ชันที่แตกต่างจากกันด้วยเทอมคงที่

ตัวอย่าง (สร้างฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวขึ้นใหม่จากผลต่างรวม)

1. ค้นหา ยู(x,ย), ถ้า ดียู = (x 2 – ย 2)ดีเอ็กซ์ – 2ไซดี้.

เราตรวจสอบเงื่อนไขสำหรับผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เป็นไปตามเงื่อนไขดิฟเฟอเรนเชียลที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชัน ยู(x,ย) สามารถกู้คืนได้

ตรวจสอบ: – ถูกต้อง

คำตอบ: ยู(x,ย) = x 3 /3 – เอ็กซ์ซี 2 + ค.

2. ค้นหาฟังก์ชันเช่นนั้น

เราตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความแตกต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว: , , , หากได้รับนิพจน์

ในปัญหาที่กำลังได้รับการแก้ไข

ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับส่วนต่างที่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงสามารถคืนค่าฟังก์ชันได้ (ปัญหาถูกกำหนดอย่างถูกต้อง)

เราจะคืนค่าฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลเชิงโค้งของชนิดที่สองโดยคำนวณตามเส้นบางเส้นที่เชื่อมต่อจุดคงที่และจุดตัวแปรเนื่องจาก

(ความเท่าเทียมกันนี้ได้มาในลักษณะเดียวกับในกรณีสองมิติ)

ในทางกลับกัน อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่สองจากผลต่างรวมไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นอินทิกรัล ดังนั้นจึงเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณตามเส้นประที่ประกอบด้วยส่วนที่ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้ ในฐานะจุดคงที่ คุณสามารถใช้จุดที่มีพิกัดตัวเลขเฉพาะเจาะจงได้ โดยตรวจดูเฉพาะว่า ณ จุดนี้และตลอดเส้นของการอินทิเกรตทั้งหมด สภาพของการมีอยู่ของอินทิกรัลเส้นโค้งเป็นที่พอใจ (นั่นคือ ดังนั้น ฟังก์ชัน และมีความต่อเนื่อง) เมื่อคำนึงถึงข้อสังเกตนี้ ในปัญหานี้เราสามารถใช้จุด M 0 เป็นจุดคงที่ได้ จากนั้นในแต่ละลิงค์ของเส้นขาดเราจะมี

10.2. การคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่หนึ่ง 79

10.3. การใช้งานบางส่วนของอินทิกรัลพื้นผิวประเภทแรก 81

แสดงวิธีการจดจำสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม มีวิธีการแก้ไขมาให้ ให้ตัวอย่างการแก้สมการส่วนต่างรวมในสองวิธี

เนื้อหา

การแนะนำ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในผลต่างรวมคือสมการของรูปแบบ:
(1) ,
โดยที่ด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U (x, ย)จากตัวแปร x, y:
.
โดยที่.

หากพบฟังก์ชัน U ดังกล่าว (x, ย)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
ดียู (x, y) = 0.
อินทิกรัลทั่วไปของมันคือ:
ยู (x, y) = ค,
โดยที่ C เป็นค่าคงที่

หากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งถูกเขียนในรูปของอนุพันธ์:
,
จากนั้นก็ทำให้เป็นรูปเป็นร่างได้ง่าย (1) . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการด้วย dx แล้ว . เป็นผลให้เราได้สมการที่แสดงออกมาในรูปของส่วนต่าง:
(1) .

คุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

เพื่อให้สมการ (1) เป็นสมการในผลต่างรวม ซึ่งมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์ดังนี้
(2) .

การพิสูจน์

นอกจากนี้เรายังถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกกำหนดและมีอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันในช่วงของค่าบางค่าของตัวแปร x และ y จุด x 0 , ย 0อยู่ในพื้นที่นี้ด้วย

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข (2).
ให้ด้านซ้ายของสมการ (1) คือค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน U บางตัว (x, ย):
.
แล้ว
;
.
เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างดังนั้น
;
.
เป็นไปตามนั้น. สภาพความจำเป็น (2) พิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ความเพียงพอของเงื่อนไข (2).
ปล่อยให้เป็นไปตามเงื่อนไข (2) :
(2) .
ให้เราแสดงว่าเป็นไปได้ที่จะค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว U (x, ย)ความแตกต่างของมันคือ:
.
ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันดังกล่าว U (x, ย)ซึ่งเป็นไปตามสมการ:
(3) ;
(4) .
ลองหาฟังก์ชันดังกล่าวกัน มารวมสมการกัน (3) โดย x จาก x 0 ถึง x โดยสมมติว่า y เป็นค่าคงที่:
;
;
(5) .
เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y โดยถือว่า x เป็นค่าคงที่และใช้ (2) :

.
สมการ (4) จะถูกดำเนินการหาก
.
อินทิเกรตส่วน y จาก y 0 ถึงคุณ:
;
;
.
เข้ามาแทน. (5) :
(6) .
ดังนั้นเราจึงพบฟังก์ชันที่มีค่าดิฟเฟอเรนเชียลแล้ว
.
ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในสูตร (6) , ยู (x 0 , ย 0)เป็นค่าคงที่ - ค่าของฟังก์ชัน U (x, ย)ที่จุด x 0 , ย 0. สามารถกำหนดค่าใดๆ ก็ได้

วิธีการรับรู้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์:
(1) .
หากต้องการทราบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างรวมหรือไม่ คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไข (2) :
(2) .
หากเป็นเช่นนั้น แสดงว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างรวม ถ้าไม่เช่นนั้น นี่ก็ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์รวม

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่าสมการอยู่ในส่วนต่างทั้งหมดหรือไม่:
.

ที่นี่
, .
เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y โดยคำนึงถึงค่าคงที่ x:


.
เรามาแยกแยะกันดีกว่า


.
เพราะว่า:
,
จากนั้นสมการที่กำหนดจะอยู่ในส่วนต่างทั้งหมด

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

วิธีการแยกส่วนต่างตามลำดับ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการในผลต่างรวมคือวิธีการแยกส่วนต่างตามลำดับ ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรหาอนุพันธ์ที่เขียนในรูปแบบอนุพันธ์:
ดู่ ± dv = d (คุณ ± โวลต์);
v du + คุณ dv = d (ยูวี);
;
.
ในสูตรเหล่านี้ u และ v เป็นนิพจน์ที่กำหนดเองที่ประกอบด้วยตัวแปรใดๆ รวมกัน

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างทั้งหมด มาแปลงมันกันเถอะ:
(P1) .
เราแก้สมการโดยแยกส่วนต่างตามลำดับ
;
;
;
;

.
เข้ามาแทน. (P1):
;
.

วิธีการบูรณาการอย่างต่อเนื่อง

ในวิธีนี้เรากำลังมองหาฟังก์ชัน U (x, ย)เป็นไปตามสมการ:
(3) ;
(4) .

มารวมสมการกัน (3) ใน x โดยคำนึงถึงค่าคงที่ y:
.
นี่ φ (ญ)- ฟังก์ชันตามอำเภอใจของ y ที่ต้องพิจารณา มันคือความต่อเนื่องของการบูรณาการ แทนลงในสมการ (4) :
.
จากที่นี่:
.
เมื่อรวมเข้าด้วยกันเราจะพบ φ (ญ)และด้วยเหตุนี้ U (x, ย).

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการในส่วนต่างรวม:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างทั้งหมด ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
, .
กำลังมองหาฟังก์ชั่น U (x, ย)ส่วนต่างซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ:
.
แล้ว:
(3) ;
(4) .
มารวมสมการกัน (3) ใน x โดยคำนึงถึงค่าคงที่ y:
(P2)
.
สร้างความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y:

.
มาแทนที่กัน (4) :
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
มาแทนที่กัน (P2):

.
อินทิกรัลทั่วไปของสมการ:
ยู (x, y) = ค่าคงที่.
เรารวมค่าคงที่สองค่าเข้าด้วยกัน

วิธีการบูรณาการตามเส้นโค้ง

ฟังก์ชัน U กำหนดโดยความสัมพันธ์:
duU = หน้า (x, y) dx + q(x, y) dy,
สามารถพบได้โดยการรวมสมการนี้ไปตามเส้นโค้งที่เชื่อมจุดต่างๆ (x 0 , ย 0)และ (x, ย):
(7) .
เพราะว่า
(8) ,
ดังนั้นอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับพิกัดของค่าเริ่มต้นเท่านั้น (x 0 , ย 0)และสุดท้าย (x, ย)จุดและไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของส่วนโค้ง จาก (7) และ (8) เราพบ:
(9) .
ที่นี่ x 0 และคุณ 0 - ถาวร. ดังนั้น U (x 0 , ย 0)- สม่ำเสมอเช่นกัน

ตัวอย่างคำจำกัดความของ U ได้รับจากการพิสูจน์:
(6) .
ที่นี่การรวมจะดำเนินการก่อนตามส่วนที่ขนานกับแกน y จากจุด (x 0 , ย 0 )ตรงประเด็น (x 0 , ย). จากนั้นทำการอินทิเกรตตามส่วนที่ขนานกับแกน x จากจุด (x 0 , ย)ตรงประเด็น (x, ย) .

โดยทั่วไปแล้ว คุณจะต้องแสดงสมการของจุดเชื่อมต่อเส้นโค้ง (x 0 , ย 0 )และ (x, ย)ในรูปแบบพารามิเตอร์:
x 1 = ส(t 1); ย 1 = ร(เสื้อ 1);
x 0 = ส(ที 0); ย 0 = ร(เสื้อ 0);
x = ส (เสื้อ); ย = อาร์ (เสื้อ);
และอินทิเกรตส่วน t 1 จากที 0 ถึงที

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการรวมระบบคือผ่านจุดเชื่อมต่อเซ็กเมนต์ (x 0 , ย 0 )และ (x, ย). ในกรณีนี้:
x 1 = x 0 + (x - x 0) เสื้อ 1; ย 1 = y 0 + (y - y 0) เสื้อ 1;
ที 0 = 0 ; เสื้อ = 1 ;
ดีเอ็กซ์ 1 = (x - x 0) dt 1; ดี้ 1 = (y - y 0) dt 1.
หลังจากการทดแทน เราจะได้อินทิกรัลส่วน t ของ 0 ก่อน 1 .
อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้การคำนวณค่อนข้างยุ่งยาก

อ้างอิง:
วี.วี. Stepanov หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ "LKI" ปี 2558

ฟังก์ชั่นบางอย่าง หากเราคืนค่าฟังก์ชันจากผลต่างรวม เราจะหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ ด้านล่างเราจะพูดถึง วิธีการคืนค่าฟังก์ชันจากผลต่างรวม.

ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ยู(x, y) = 0หากตรงตามเงื่อนไข

เพราะ ฟังก์ชั่นที่แตกต่างเต็มรูปแบบ ยู(x, y) = 0นี้ ซึ่งหมายความว่าเมื่อตรงตามเงื่อนไขจะระบุว่า

แล้ว, .

จากสมการแรกของระบบที่เราได้รับ . เราค้นหาฟังก์ชันโดยใช้สมการที่สองของระบบ:

ด้วยวิธีนี้เราจะพบฟังก์ชันที่ต้องการ ยู(x, y) = 0.

ตัวอย่าง.

มาหาคำตอบทั่วไปของ DE กันดีกว่า .

สารละลาย.

ในตัวอย่างของเรา ตรงตามเงื่อนไขเนื่องจาก:

จากนั้น ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เริ่มต้นคือผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ยู(x, y) = 0. เราจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันนี้

เพราะ คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน ยู(x, y) = 0, วิธี:

.

เราบูรณาการโดย xสมการที่ 1 ของระบบและหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ ยผลลัพธ์:

.

จากสมการที่ 2 ของระบบที่เราได้รับ . วิธี:

ที่ไหน กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปของสมการที่กำหนดจะเป็น .

มีอันที่สอง วิธีการคำนวณฟังก์ชันจากผลต่างรวม. ประกอบด้วยการหาอินทิกรัลเส้นของจุดคงที่ (x 0 , ย 0)ไปยังจุดที่มีพิกัดแปรผัน (x, ย): . ในกรณีนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัล สะดวกในการใช้เส้นประที่มีการเชื่อมโยงขนานกับแกนพิกัดเป็นเส้นทางบูรณาการ

ตัวอย่าง.

มาหาคำตอบทั่วไปของ DE กันดีกว่า .

สารละลาย.

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข:

ดังนั้นด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์จึงเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ยู(x, y) = 0. ลองหาฟังก์ชันนี้โดยการคำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งของจุด (1; 1) ก่อน (x, ย). ในฐานะที่เป็นเส้นทางแห่งการรวมกลุ่ม เราใช้เส้นขาด: ส่วนแรกของเส้นขาดถูกส่งผ่านเป็นเส้นตรง ย = 1จากจุด (1, 1) ก่อน (x,1)ส่วนที่สองของเส้นทางจะนำส่วนของเส้นตรงจากจุดนั้น (x,1)ก่อน (x, ย):

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของรีโมทคอนโทรลจะมีลักษณะดังนี้: .

ตัวอย่าง.

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ DE

สารละลาย.

เพราะ ซึ่งหมายความว่าไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์จะไม่ใช่อนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน และคุณต้องใช้วิธีแก้วิธีที่สอง (สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกออกได้)

มันอาจเกิดขึ้นที่ด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์

คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง:

ดังนั้นสมการ (7) จึงอยู่ในรูปแบบ

หากฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการ (7) ดังนั้น และ ดังนั้น

โดยที่ ค่าคงที่ และในทางกลับกัน หากฟังก์ชันบางฟังก์ชันเปลี่ยนสมการจำกัด (8) ให้กลายเป็นเอกลักษณ์ ดังนั้น เมื่อแยกความแตกต่างของเอกลักษณ์ผลลัพธ์แล้ว เราจะได้ และด้วยเหตุนี้ โดยที่ โดยที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจ จะเป็นอินทิกรัลทั่วไปของค่าดั้งเดิม สมการ

หากระบุค่าเริ่มต้นค่าคงที่จะถูกกำหนดจาก (8) และ

คืออินทิกรัลย่อยที่ต้องการ หาก ณ จุด สมการ (9) จะถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันโดยนัยของ

เพื่อให้ด้านซ้ายของสมการ (7) เป็นอนุพันธ์โดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน จำเป็นและเพียงพอที่

หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่ออยเลอร์ระบุ สมการ (7) ก็สามารถอินทิเกรตได้อย่างง่ายดาย จริงหรือ, . อีกด้านหนึ่ง.. เพราะฉะนั้น,

เมื่อคำนวณอินทิกรัล ปริมาณจะถือเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของ ในการกำหนดฟังก์ชัน เราจะแยกฟังก์ชันที่พบด้วยความเคารพ และ เนื่องจาก เราได้รับ

จากสมการนี้ เราหาได้ และโดยการอินทิเกรต หา

ดังที่ทราบจากหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การกำหนดฟังก์ชันด้วยผลต่างรวมนั้นง่ายกว่า โดยการใช้อินทิกรัลเส้นโค้งระหว่างจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่งกับจุดที่มีพิกัดแปรผันตามเส้นทางใดๆ

บ่อยครั้งที่เป็นเส้นทางการรวม มันสะดวกที่จะใช้เส้นขาดที่ประกอบด้วยสองลิงค์ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้

ตัวอย่าง. .

ทางด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัว เนื่องจาก

ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปจึงมีรูปแบบ

สามารถใช้วิธีอื่นในการกำหนดฟังก์ชันได้:

ตัวอย่างเช่น เราเลือกต้นทางของพิกัดเป็นจุดเริ่มต้น และเส้นขาดเป็นเส้นทางการรวม แล้ว

และอินทิกรัลทั่วไปมีรูปแบบ

ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมๆ กับผลที่แล้ว ทำให้มีตัวส่วนร่วม

ในบางกรณี เมื่อด้านซ้ายของสมการ (7) ไม่ใช่อนุพันธ์ที่สมบูรณ์ ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะเลือกฟังก์ชัน หลังจากที่คูณแล้วด้านซ้ายของสมการ (7) จะกลายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ปัจจัยการบูรณาการ. โปรดทราบว่าการคูณด้วยปัจจัยการอินทิเกรตอาจทำให้เกิดผลลัพธ์บางส่วนที่ไม่จำเป็นซึ่งทำให้ปัจจัยนี้เป็นศูนย์

ตัวอย่าง. .

แน่นอนว่าหลังจากคูณด้วยตัวประกอบแล้ว ทางด้านซ้ายจะกลายเป็นผลต่างรวม อันที่จริงหลังจากคูณด้วยเราจะได้

หรือบูรณาการ . คูณด้วย 2 และศักยภาพ เราได้

แน่นอนว่าปัจจัยการอินทิเกรตไม่ได้ถูกเลือกอย่างง่ายดายเสมอไป ในกรณีทั่วไป ในการค้นหาตัวประกอบการอินทิเกรต จำเป็นต้องเลือกคำตอบบางส่วนของสมการอย่างน้อยหนึ่งข้อในรูปแบบอนุพันธ์ย่อยหรือในรูปแบบขยายที่ไม่เป็นศูนย์เหมือนกัน

ซึ่งเมื่อหารแล้วโอนพจน์บางคำไปเป็นความเสมอภาคอีกส่วนหนึ่งแล้วจึงย่อให้เหลือรูป

ในกรณีทั่วไป การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนี้ไม่ได้หมายความว่าจะง่ายกว่าการอินทิเกรตสมการดั้งเดิม แต่ในบางกรณี การเลือกวิธีแก้สมการ (11) ก็ไม่ใช่เรื่องยาก

นอกจากนี้ เมื่อพิจารณาว่าปัจจัยการอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น (เช่น เป็นฟังก์ชันของ only หรือ only หรือฟังก์ชันของ only หรือ only เป็นต้น) เราจึงสามารถอินทิเกรตสมการ (11) และ ระบุเงื่อนไขภายใต้ปัจจัยการอินทิเกรตของประเภทที่พิจารณา สิ่งนี้จะระบุคลาสของสมการที่สามารถหาตัวประกอบการอินทิเกรตได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ลองหาเงื่อนไขที่สมการมีปัจจัยการปริพันธ์ที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น กล่าวคือ . ในกรณีนี้ สมการ (11) ลดความซับซ้อนและใช้รูปแบบ ซึ่งเมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ เราได้รับ

ถ้า เป็นฟังก์ชันเท่านั้น แสดงว่าปัจจัยการอินทิเกรตขึ้นอยู่กับเท่านั้น มีอยู่และเท่ากับ (12) มิฉะนั้น จะไม่มีปัจจัยอินทิเกรตของแบบฟอร์ม

เงื่อนไขของการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตขึ้นอยู่กับเท่านั้นที่เป็นไปตามเงื่อนไข เช่น สำหรับสมการเชิงเส้น หรือ จริงและดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตของแบบฟอร์ม ฯลฯ สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกันโดยสิ้นเชิง

ตัวอย่าง.สมการมีตัวประกอบการอินทิเกรตอยู่ในรูปแบบหรือไม่?

มาแสดงกัน. สมการ (11) ที่ ใช้แบบฟอร์ม ที่ไหน หรือ

สำหรับการมีอยู่ของตัวประกอบการอินทิเกรตประเภทที่กำหนด จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นฟังก์ชันเท่านั้น ภายใต้สมมติฐานของความต่อเนื่อง ดังนั้นในกรณีนี้ ตัวประกอบการอินทิเกรตจึงมีอยู่และเท่ากับ (13) เมื่อเราได้รับ. คูณสมการดั้งเดิมด้วย เราจะลดให้อยู่ในรูปแบบ

เราได้รับอินทิเกรต และหลังจากศักยภาพ เราจะมี หรือในพิกัดเชิงขั้ว - ตระกูลเกลียวลอการิทึม

ตัวอย่าง. ค้นหารูปร่างของกระจกที่สะท้อนในแนวขนานกับทิศทางที่กำหนด รังสีทั้งหมดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดที่กำหนด

ลองวางจุดกำเนิดของพิกัดที่จุดที่กำหนดและกำหนดทิศทางของแกนแอบซิสซาให้ขนานกับทิศทางที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา ให้ลำแสงตกกระทบกระจกตรงจุด ให้เราพิจารณาส่วนของกระจกโดยระนาบที่ผ่านแกนแอบซิสซาและจุด . ให้เราวาดเส้นสัมผัสส่วนของพื้นผิวกระจกที่พิจารณา ณ จุดนั้น เนื่องจากมุมตกกระทบของรังสีเท่ากับมุมสะท้อน สามเหลี่ยมจึงเป็นหน้าจั่ว เพราะฉะนั้น,

สมการเอกพันธ์ที่ได้นั้นสามารถบูรณาการได้อย่างง่ายดายโดยการเปลี่ยนตัวแปร แต่จะง่ายกว่านั้นคือเขียนใหม่ในรูปของสมการที่ปราศจากเหตุผลในตัวส่วน สมการนี้มีตัวประกอบการอินทิเกรตที่ชัดเจน , , , (ตระกูลพาราโบลา)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายยิ่งขึ้นในพิกัด และ โดยที่ และสมการสำหรับส่วนของพื้นผิวที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ

มีความเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของตัวประกอบอินทิเกรต หรือสิ่งที่เหมือนกันคือการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (11) ในบางโดเมน ถ้าฟังก์ชันและมีอนุพันธ์ต่อเนื่องและอย่างน้อยหนึ่งในนั้น ฟังก์ชั่นไม่หายไป ดังนั้น วิธีอินทิเกรตแฟคเตอร์จึงถือได้ว่าเป็นวิธีการทั่วไปในการอินทิเกรตสมการในรูปแบบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความยากในการหาตัวประกอบอินทิเกรต วิธีนี้จึงมักใช้ในกรณีที่เห็นปัจจัยอินทิเกรตชัดเจน