ระบบสมการ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2020) ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้น: วิธีการแก้ปัญหา การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้เวกเตอร์ของระบบสารละลายพื้นฐาน
การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ถือเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ
- เลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
- ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
- แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป
คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ
ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และการแนะนำสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด
ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีของแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน
หลังจากนี้เราจะเข้าสู่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป ซึ่งจำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก หรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง
เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ขอให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและแสดงให้เห็นว่าคำตอบทั่วไปของ SLAE เขียนโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาอย่างไร เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน
โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น
การนำทางหน้า
คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด
เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ
ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)
SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.
ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน 
- เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ
หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ 
การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน
หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.
ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.
ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ; หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.
ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ 
จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.
การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น
หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา. ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และในกรณีของระบบเอกพันธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์
เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์
วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 
โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ
อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ 
- ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้มาจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ: 
ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น 
. นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์
ตัวอย่าง.
วิธีการของแครมเมอร์ 
.
สารละลาย.
เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ 
. มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ): 
เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์
มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน 
(เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : : 
การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร 
:
คำตอบ:
ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม
การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)
ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์
เนื่องจาก เมทริกซ์ A กลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์
ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์
สารละลาย.
ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์: 
เพราะ
ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผันสามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ 
.
มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ): 
ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน 
ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ): 
คำตอบ:
หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1
ปัญหาหลักในการค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์
สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว 
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์
สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการแยกตามลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จัก อันดับแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากวินาที จากนั้น x 2 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม และต่อๆ ไป จนถึงเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง. หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปเป็นสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.
ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก
เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ 
ที่ไหนและ 
.
เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง
ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น 
ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ 
ที่ไหนและ 
. ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม
ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป 
ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ 
จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .
ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์
สารละลาย.
ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ: 
ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย: 
เป็นการจบจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์ และเราจะเริ่มจังหวะย้อนกลับ
จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3: 
จากสมการที่สองเราได้
จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์
คำตอบ:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1
การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป
โดยทั่วไป จำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:
SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเอกพจน์ด้วย
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี
ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย นั่นคือ , อันดับ(A)=อันดับ(T)
ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่าง.
ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ 
โซลูชั่น
สารละลาย.
. เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง 
แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ: 
เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง
ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย 
เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม 
แตกต่างจากศูนย์
ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน
คำตอบ:
ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี
แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้
ในการทำสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์
เรียกว่าค่ารองของลำดับสูงสุดของเมทริกซ์ A ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.
จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีตัวรองที่เป็นฐานได้หลายตัว และจะมีตัวรองเป็นฐานเดียวเสมอ
ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ 
.
ตัวรองอันดับที่สามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง
ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์ 
ผู้เยาว์ 
ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์
ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์
หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้นองค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง
ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา
ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)
เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี
ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์
ตัวอย่าง.
.
สารละลาย.
อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ 
มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง 
แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย 
ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์ 
และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2
เราใช้พื้นฐานรอง . มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง: 
สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์: 
นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer: 
คำตอบ:
x 1 = 1, x 2 = 2
หากจำนวนสมการ r ใน SLAE ผลลัพธ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ดังนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะปล่อยเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของ สมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม
เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.
ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.
ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss
ลองมาตัวอย่าง.
ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 
.
สารละลาย.
ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน 
โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นตัวรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้: 
นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์: 
ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน
เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน
เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง: 
เราทิ้งคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการระบบ และโอนส่วนที่เหลือที่มีเครื่องหมายตรงข้ามไปทางด้านขวา: 
ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ 
, ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ 
ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์: 
เพราะฉะนั้น, .
ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ
คำตอบ:
ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน
สรุป.
ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้
หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก
ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก
หากลำดับของพื้นฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์
วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป
วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ได้ โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้
จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า
ดูคำอธิบายโดยละเอียดและตัวอย่างที่วิเคราะห์ในบทความวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป
การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ
ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์
ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน
ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ
หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) เป็นคอลัมน์ เมทริกซ์ของมิติ n คูณ 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) นั้น เป็น, .
คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ออโรสเลา) หมายถึงอะไร
ความหมายนั้นง่าย: สูตรระบุวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ SLAE ดั้งเดิมหรืออีกนัยหนึ่งคือรับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) โดยใช้สูตรที่เราจะ รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม
ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น
ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน
เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบและโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ลองให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีเป็น 1,0,0,...,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักโดยการแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นในทางใดทางหนึ่ง เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ
สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ 0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน 
.
สารละลาย.
อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า: 
พบลำดับรองรองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์: 
ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น: 
สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้: 
เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:
ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ 
.
- ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น- นี่คือชุดตัวเลข ( x 1 , x 2 , …, xn) เมื่อแทนที่ในแต่ละสมการของระบบ จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
ที่ไหน และ ij , i = 1, …, ม.; เจ = 1, …, น— ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ
ข ฉัน , ฉัน = 1, …, ม- สมาชิกฟรี
x เจ , เจ = 1, …, n- ไม่ทราบ
ระบบข้างต้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ก.เอ็กซ์ = ข,
ที่ไหน ( ก|บี) คือเมทริกซ์หลักของระบบ
ก— เมทริกซ์ระบบแบบขยาย
เอ็กซ์— คอลัมน์ไม่ทราบ;
บี— คอลัมน์สมาชิกฟรี
ถ้าเป็นเมทริกซ์ บีไม่ใช่เมทริกซ์ว่าง ∅ ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้จึงเรียกว่าแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
ถ้าเป็นเมทริกซ์ บี= ∅ ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้จึงเรียกว่าเอกพันธ์ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) เสมอ: x 1 = x 2 = …, xn = 0.
ระบบร่วมของสมการเชิงเส้นเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบ
ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกันเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่แก้ไม่ได้
ระบบสมการเชิงเส้นบางระบบเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะ
ระบบสมการเชิงเส้นไม่แน่นอนเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด - ระบบสมการเชิงเส้น n สมการที่ไม่มีค่าไม่ทราบ
หากจำนวนไม่ทราบเท่ากับจำนวนสมการ เมทริกซ์จะเป็นกำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบสมการเชิงเส้นและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Δ
วิธีแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบ nสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ
กฎของแครเมอร์
ถ้าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบสมการเชิงเส้นไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีความสอดคล้องและถูกกำหนดไว้ และวิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้นที่คำนวณโดยใช้สูตรแครมเมอร์:
โดยที่ Δ i เป็นตัวกำหนดที่ได้รับจากปัจจัยหลักของระบบ Δ โดยการแทนที่ ฉันคอลัมน์ที่ 3 สู่คอลัมน์สมาชิกอิสระ . - ระบบสมการเชิงเส้น m ที่ไม่ทราบค่า
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี.
เพื่อให้ระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนดมีความสอดคล้องกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบ รัง(Α) = รัง(Α|B).
ถ้า รัง(Α) ≠ รัง(Α|B)เห็นได้ชัดว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ถ้า รัง(Α) = รัง(Α|B)ดังนั้นจึงเป็นไปได้สองกรณี:
1) อันดับ(Α) = n(จำนวนที่ไม่ทราบ) - วิธีแก้ปัญหานี้มีเอกลักษณ์เฉพาะและสามารถหาได้โดยใช้สูตรของ Cramer
2) อันดับ (Α)< n - มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน - วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
มาสร้างเมทริกซ์แบบขยาย ( ก|บี) ของระบบที่กำหนดจากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และด้านขวามือ
วิธีเกาส์เซียนหรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบประกอบด้วยการลดเมทริกซ์ขยาย ( ก|บี) โดยใช้การแปลงเบื้องต้นบนแถวเป็นรูปแบบแนวทแยง (เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมด้านบน) เมื่อกลับคืนสู่ระบบสมการ สิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดจะถูกกำหนด
การแปลงเบื้องต้นเหนือสตริงมีดังต่อไปนี้:
1) สลับสองบรรทัด;
2) การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0;
3) เพิ่มสตริงอื่นลงในสตริงคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้
4) โยนเส้นศูนย์ออกไป
เมทริกซ์แบบขยายที่ลดลงเป็นรูปแบบแนวทแยงสอดคล้องกับระบบเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับระบบที่กำหนดซึ่งการแก้ปัญหาไม่ทำให้เกิดปัญหา . - ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์
ระบบเอกพันธ์มีรูปแบบ:
มันสอดคล้องกับสมการเมทริกซ์ เอเอ็กซ์ = 0.
1) ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก r(A) = r(A|B)ย่อมมีวิธีแก้ไขเป็นศูนย์เสมอ (0, 0, …, 0)
2) เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีสารละลายที่ไม่เป็นศูนย์ จำเป็นและเพียงพอ ร = ร(เอ)< n ซึ่งเทียบเท่ากับ Δ = 0
3) ถ้า ร< n เห็นได้ชัดว่า Δ = 0 จากนั้นสิ่งไม่ทราบค่าอิสระก็เกิดขึ้น ค 1 , ค 2 , …, ซี เอ็น-อาร์ระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซับซ้อนและมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด
4) วิธีแก้ปัญหาทั่วไป เอ็กซ์ที่ ร< n สามารถเขียนได้ในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้
X = ค 1 X 1 + ค 2 X 2 + … + ค n-r X n-r,
วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่ไหน X 1, X 2, …, X ไม่มีสร้างระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน
5) ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสามารถหาได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน:
,
หากเราตั้งค่าพารามิเตอร์ตามลำดับเท่ากับ (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)
การขยายโซลูชั่นทั่วไปในแง่ของระบบพื้นฐานของโซลูชั่นเป็นบันทึกของคำตอบทั่วไปในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของคำตอบที่อยู่ในระบบพื้นฐาน
ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ Δ ≠ 0 จึงมีความจำเป็นและเพียงพอ
ดังนั้น หากดีเทอร์มิแนนต์ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
ถ้า Δ ≠ 0 แล้วระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด
ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีสารละลายที่ไม่ใช่ศูนย์ จำเป็นและเพียงพอ ร(เอ)< n .
การพิสูจน์:
1) รไม่สามารถเป็นได้มากกว่านี้ n(อันดับของเมทริกซ์ไม่เกินจำนวนคอลัมน์หรือแถว)
2) ร< n , เพราะ ถ้า ร = เอ็นจากนั้นจึงเป็นปัจจัยหลักของระบบ Δ ≠ 0 และตามสูตรของแครมเมอร์ มีวิธีแก้เล็กๆ น้อยๆ ที่ไม่เหมือนใคร x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d xn \u003d 0ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข วิธี, ร(เอ)< n .
ผลที่ตามมา. เพื่อให้ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน nสมการเชิงเส้นด้วย nสิ่งที่ไม่ทราบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ Δ = 0
ระบบสมการเชิงเส้น การบรรยายครั้งที่ 6
ระบบสมการเชิงเส้น
แนวคิดพื้นฐาน.
ดูระบบ
เรียกว่า ระบบ - สมการเชิงเส้นกับไม่ทราบ.
ตัวเลข , , ถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ.
ตัวเลขถูกเรียก สมาชิกของระบบฟรี, – ตัวแปรระบบ. เมทริกซ์
เรียกว่า เมทริกซ์หลักของระบบและเมทริกซ์
– ระบบเมทริกซ์ขยาย. เมทริกซ์ - คอลัมน์
และตามลำดับ เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระและความไม่รู้ของระบบ. จากนั้นในรูปแบบเมทริกซ์ ระบบสมการสามารถเขียนได้เป็น โซลูชั่นระบบเรียกว่าค่าของตัวแปรเมื่อมีการทดแทนสมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง คำตอบใดๆ ของระบบสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์-คอลัมน์ได้ แล้วความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์เป็นจริง
เรียกว่าระบบสมการ ข้อต่อหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ไขและ ไม่ใช่ข้อต่อหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหมายถึงการค้นหาว่าระบบสมการนั้นสอดคล้องกันหรือไม่ และหากเป็นเช่นนั้น ก็คือการหาคำตอบทั่วไปของระบบ
ระบบนี้มีชื่อว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหา
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–โคเปลลี
คำตอบสำหรับคำถามของการมีอยู่ของคำตอบของระบบเชิงเส้นและเอกลักษณ์ของมันทำให้เราได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ซึ่งสามารถกำหนดในรูปแบบของข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า
(1)
ทฤษฎีบท 2. ระบบสมการเชิงเส้น (1) จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย (.
ทฤษฎีบท 3. ถ้าอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ระบบก็จะมีคำตอบเฉพาะ
ทฤษฎีบท 4. ถ้าอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบร่วมน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ ระบบก็จะมีคำตอบจำนวนอนันต์
กฎสำหรับการแก้ระบบ
3. ค้นหานิพจน์ของตัวแปรหลักในรูปของตัวแปรอิสระและรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ
4. ด้วยการกำหนดค่าที่กำหนดเองให้กับตัวแปรอิสระจะได้รับค่าทั้งหมดของตัวแปรหลัก
วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
วิธีเมทริกซ์ผกผัน
และ กล่าวคือ ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์กัน
ที่ไหน 
,
,
.
ลองคูณทั้งสองด้านของสมการเมทริกซ์ทางซ้ายด้วยเมทริกซ์กัน
เนื่องจาก เราได้รับ ซึ่งเราได้รับความเท่าเทียมกันในการค้นหาสิ่งแปลกปลอม
ตัวอย่างที่ 27แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน 
สารละลาย. ให้เราแสดงด้วยเมทริกซ์หลักของระบบ
.
ให้เราหาคำตอบโดยใช้สูตร
มาคำนวณกัน
เนื่องจาก ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ลองหาการเสริมพีชคณิตทั้งหมดกัน
,
,
,
,
,
,
,
,
ดังนั้น
.
มาตรวจสอบกัน
.
พบเมทริกซ์ผกผันอย่างถูกต้อง จากตรงนี้ เมื่อใช้สูตร เราจะหาเมทริกซ์ของตัวแปรได้
.
เมื่อเปรียบเทียบค่าของเมทริกซ์เราจะได้คำตอบ: .
วิธีการของแครมเมอร์
ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าได้รับมา
และ กล่าวคือ ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ให้เราเขียนคำตอบของระบบในรูปแบบเมทริกซ์หรือ
มาแสดงกันเถอะ
. . . . . . . . . . . . . . ,
ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับค้นหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งเรียกว่า สูตรแครมเมอร์.
ตัวอย่างที่ 28แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีแครเมอร์ 
.
สารละลาย. ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบกัน
.
เนื่องจาก ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว
มาหาปัจจัยที่เหลือสำหรับสูตรของแครเมอร์กัน
,
,
.
การใช้สูตรของ Cramer เราค้นหาค่าของตัวแปร
วิธีเกาส์
วิธีการประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรตามลำดับ
ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าได้รับมา
กระบวนการแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน:
ในขั้นแรก เมทริกซ์ที่ขยายของระบบจะลดลง โดยใช้การแปลงเบื้องต้น ให้เป็นรูปแบบขั้นตอน
,
ที่ไหน ซึ่งระบบสอดคล้องกัน
หลังจากนั้นก็จะมีตัวแปรต่างๆ 
ถือว่าเป็นอิสระและถูกถ่ายโอนไปทางด้านขวาในแต่ละสมการ
ในขั้นตอนที่สอง ตัวแปรจะถูกแสดงจากสมการสุดท้าย และค่าผลลัพธ์จะถูกแทนที่ลงในสมการ จากสมการนี้
ตัวแปรถูกแสดงออก กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนถึงสมการแรก ผลลัพธ์คือการแสดงออกของตัวแปรหลักผ่านตัวแปรอิสระ 
.
ตัวอย่างที่ 29จงแก้ระบบต่อไปนี้โดยใช้วิธีเกาส์
สารละลาย. ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบแล้วทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน
.
เพราะ 
มากกว่าจำนวนสิ่งที่ไม่รู้ แสดงว่าระบบมีความสอดคล้องและมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ ลองเขียนระบบสำหรับเมทริกซ์ขั้นกัน
ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขยายของระบบนี้ ซึ่งประกอบด้วยสามคอลัมน์แรก ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงถือว่ามันเป็นค่าพื้นฐาน ตัวแปร
มันจะเป็นพื้นฐานและตัวแปรจะเป็นอิสระ ลองย้ายมันไปด้านซ้ายในสมการทั้งหมด
จากสมการสุดท้ายที่เราแสดง
เราได้แทนค่านี้ลงในสมการที่สองสุดท้าย
ที่ไหน 
. เราพบการแทนที่ค่าของตัวแปรและเข้าไปในสมการแรก 
. ลองเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้
กับ nไม่ทราบเป็นระบบของรูปแบบ:
ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (i=1,…,m; b=1,…,n)- ตัวเลขที่รู้จักบางส่วน และ x 1 ,…,xn- หมายเลขที่ไม่รู้จัก ในการกำหนดสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนี ฉันกำหนดจำนวนของสมการและประการที่สอง เจ- จำนวนไม่ทราบซึ่งมีสัมประสิทธิ์นี้อยู่
ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน -เมื่อเงื่อนไขอิสระทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ( ข 1 = ข 2 = … = ข ม = 0) สถานการณ์ตรงกันข้ามคือ ระบบที่แตกต่างกัน.
ระบบสี่เหลี่ยม -เมื่อหมายเลข มสมการเท่ากับจำนวน nไม่ทราบ
โซลูชั่นระบบ- จำนวนทั้งสิ้น nตัวเลข ค 1, ค 2, …, ซี เอ็น,เช่นนั้นการทดแทนทั้งหมด ค ฉันแทน x ฉันเข้าสู่ระบบจะเปลี่ยนสมการทั้งหมดให้กลายเป็นอัตลักษณ์
ระบบข้อต่อ -เมื่อระบบมีอย่างน้อย 1 วิธีแก้ไข และ ระบบที่ไม่ร่วมมือเมื่อระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ระบบข้อต่อประเภทนี้ (ตามที่ระบุข้างต้น ปล่อยให้เป็น (1)) สามารถมีวิธีแก้ปัญหาได้ตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป
โซลูชั่น ค 1 (1) , ค 2 (1) , …, ค n (1)และ ค 1 (2) , ค 2 (2) , …, ค n (2)ระบบร่วมประเภท (1) จะเป็น หลากหลายเมื่อแม้แต่ 1 ในความเท่าเทียมกันไม่เป็นที่พอใจ:
ค 1 (1) = ค 1 (2) , ค 2 (1) = ค 2 (2) , …, ค n (1) = ค n (2) .
ระบบร่วมประเภท (1) จะเป็น แน่ใจเมื่อเธอมีทางออกเพียงทางเดียว เมื่อระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันอย่างน้อย 2 วิธี มันจะกลายเป็น ไม่ได้กำหนดไว้. เมื่อมีสมการมากกว่าสมการที่ไม่รู้จัก ระบบก็จะเป็นเช่นนั้น นิยามใหม่.
ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกเขียนเป็นเมทริกซ์:
มันถูกเรียกว่า เมทริกซ์ของระบบ.
ตัวเลขที่ปรากฏทางด้านขวาของสมการคือ ข 1 ,…,ข มเป็น สมาชิกฟรี.
จำนวนทั้งสิ้น nตัวเลข ค 1 ,…,ค นเป็นคำตอบของระบบนี้เมื่อสมการทั้งหมดของระบบเท่ากันหลังจากแทนตัวเลขแล้ว ค 1 ,…,ค นแทนที่จะเป็นสิ่งไม่รู้ที่เกี่ยวข้อง x 1 ,…,xn.
เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นอาจมี 3 ทางเลือกเกิดขึ้น:
1. ระบบมีทางออกเดียวเท่านั้น
2. ระบบมีโซลูชั่นจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น, . วิธีแก้ของระบบนี้คือคู่ตัวเลขทุกคู่ที่มีเครื่องหมายต่างกัน
3. ระบบไม่มีวิธีแก้ไข ตัวอย่างเช่น. .ถ้ามีทางแก้ไขอยู่แล้ว x 1 + x 2จะเท่ากับ 0 และ 1 ในเวลาเดียวกัน
วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
วิธีการโดยตรงให้อัลกอริทึมที่ใช้หาวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน สลอ(ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น) และถ้าความถูกต้องแม่นยำพวกเขาก็คงจะพบมันแล้ว แน่นอนว่าคอมพิวเตอร์ไฟฟ้าจริงทำงานโดยมีข้อผิดพลาด ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจะเป็นค่าประมาณ
ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่างเกิดขึ้นที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตระดับ 1 หรือที่มักเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น เราจะเรียนรู้ที่จะแก้ระบบใดๆ โดยไม่ต้องให้จำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบด้วยซ้ำ
โดยทั่วไประบบสมการเชิงเส้นเขียนได้ดังนี้
นี่คือตัวเลข ไอจ– อัตราต่อรอง ระบบ, ข ฉัน – สมาชิกฟรี x ฉัน– สัญลักษณ์ ไม่ทราบ . สะดวกมากในการแนะนำสัญลักษณ์เมทริกซ์: – หลัก เมทริกซ์ของระบบ – เมทริกซ์–คอลัมน์ของเทอมอิสระ – เมทริกซ์–คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่ทราบ จากนั้นระบบสามารถเขียนได้ดังนี้: ขวาน=บีหรือรายละเอียดเพิ่มเติม:
หากทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เราจะทำการคูณเมทริกซ์ตามกฎปกติและจัดวางองค์ประกอบของคอลัมน์ผลลัพธ์ด้วยองค์ประกอบ ในจากนั้นเราก็มาถึงการบันทึกต้นฉบับของระบบ
ตัวอย่างที่ 14. ลองเขียนระบบสมการเชิงเส้นเดียวกันด้วยสองวิธี:
โดยทั่วไปเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น ข้อต่อ ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ เข้ากันไม่ได้, หากไม่มีวิธีแก้ไข
ในตัวอย่างของเรา ระบบมีความสอดคล้องกัน คอลัมน์คือคำตอบ:
วิธีนี้สามารถเขียนได้โดยไม่ต้องใช้เมทริกซ์: x=2, ย=1 . เราจะเรียกระบบสมการ ไม่แน่นอน ในกรณีที่มีมากกว่าหนึ่งวิธีและ แน่ใจ, หากมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว
ตัวอย่างที่ 15. ระบบมีความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่นมีวิธีแก้ปัญหา ผู้อ่านสามารถค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับระบบนี้
มาเรียนรู้วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นกรณีพิเศษกันก่อน ระบบสมการ โอ้=ในเราจะโทร เครเมอร์ ถ้าเป็นเมทริกซ์หลัก ก– ทรงสี่เหลี่ยมและไม่เสื่อมโทรม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในระบบแครมเมอร์ จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนสมการ และ
ทฤษฎีบท 6 (กฎของแครเมอร์)ระบบแครมเมอร์ของสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่กำหนดโดยสูตร:
โดยที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจาก ดีทดแทน ฉันคอลัมน์ที่ -th พร้อมคอลัมน์คำศัพท์อิสระ
ความคิดเห็นระบบแครมเมอร์สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน ให้เราเขียนระบบนี้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน=ใน. เนื่องจาก แล้วจะมีเมทริกซ์ผกผัน ก –1 . คูณความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ด้วย ก –1 ซ้าย: ก –1 โอ้=ก –1 ใน. เพราะ ก –1 โอ้=อดีต=เอ็กซ์จากนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาของระบบ: เอ็กซ์= ก –1 ในเราจะเรียกวิธีการแก้ปัญหานี้ว่า เมทริกซ์ . ให้เราเน้นอีกครั้งว่าเหมาะสำหรับระบบ Cramer เท่านั้น ในกรณีอื่นไม่มีเมทริกซ์ผกผัน ผู้อ่านจะพบตัวอย่างโดยละเอียดของการใช้วิธีการเมทริกซ์และวิธี Cramer ได้ที่ด้านล่างนี้
ในที่สุดเรามาศึกษากรณีทั่วไป - ระบบกัน มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ หากต้องการแก้ปัญหาให้ใช้ วิธีเกาส์เซียน ซึ่งเราจะพิจารณาโดยละเอียดสำหรับระบบสมการตามอำเภอใจ โอ้=ในเราจะเขียนมันออกมา ขยาย เมทริกซ์ นี่คือชื่อปกติสำหรับเมทริกซ์ที่จะได้รับหากเป็นเมทริกซ์หลัก กเพิ่มคอลัมน์สมาชิกฟรีทางด้านขวา ใน:
เช่นเดียวกับเมื่อคำนวณอันดับ การใช้การแปลงแถวเบื้องต้นและการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์ เราจะลดเมทริกซ์ของเราให้อยู่ในรูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมู ในกรณีนี้ แน่นอนว่าระบบสมการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จะเปลี่ยนไป แต่มันจะเป็นอย่างนั้น เทียบเท่ากัน อันเดิม ( แทร. ตี้. จะมีวิธีแก้ไขแบบเดียวกัน) ที่จริงแล้ว การจัดเรียงใหม่หรือการเพิ่มสมการจะไม่เปลี่ยนคำตอบ การจัดเรียงคอลัมน์ใหม่ - เช่นกัน: สมการ x1+3x2+7x3=4 และ x1+7x3+3x2=4, แน่นอนว่ามันเทียบเท่ากัน คุณเพียงแค่ต้องเขียนว่าคอลัมน์ใดที่ไม่รู้จักตรงกับคอลัมน์นั้น เราไม่จัดเรียงคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระใหม่ โดยปกติแล้วจะแยกคอลัมน์ออกจากคอลัมน์อื่นๆ ในเมทริกซ์ด้วยเส้นประ ไม่จำเป็นต้องเขียนแถวศูนย์ที่ปรากฏในเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 1. แก้ระบบสมการ:
สารละลาย.ลองเขียนเมทริกซ์ขยายแล้วย่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เข้าสู่ระบบ ~ ตอนนี้จะหมายถึงไม่เพียงแต่ความบังเอิญของอันดับเท่านั้น แต่ยังหมายถึงความเท่าเทียมกันของระบบสมการที่สอดคล้องกันด้วย
~ . ให้เราอธิบายการกระทำที่ทำ
การดำเนินการ 1. บรรทัดที่ 1 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่ 2 แล้วคูณด้วย (–2). บรรทัดที่ 1 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่ 3 และ 4 คูณด้วย (–3). วัตถุประสงค์ของการดำเนินการเหล่านี้คือเพื่อให้ได้ค่าศูนย์ในคอลัมน์แรก ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลัก
การดำเนินการ 2.เนื่องจากที่ตำแหน่งแนวทแยง (2,2) มี 0 ฉันต้องจัดเรียงคอลัมน์ที่ 2 และ 3 ใหม่ เพื่อเป็นการจดจำการเรียงสับเปลี่ยนนี้ เราได้เขียนสัญลักษณ์ของสิ่งแปลกปลอมไว้ด้านบน
การดำเนินการ 3.บรรทัดที่ 2 เพิ่มเข้ากับบรรทัดที่ 3 แล้วคูณด้วย (–2). บรรทัดที่ 2 ถูกเพิ่มเข้ากับบรรทัดที่ 4 เป้าหมายคือการได้ศูนย์ในคอลัมน์ที่สอง ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลัก
การดำเนินการ 4.เส้นศูนย์สามารถลบออกได้
ดังนั้นเมทริกซ์จึงลดลงเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู อันดับของเธอ ร=2 . ไม่ทราบ x1,x3- ขั้นพื้นฐาน; x2,x4- ฟรี. ให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีโดยพลการ:
x2= ก, x 4= ข.
ที่นี่ ก, ขสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ ทีนี้จากสมการสุดท้ายของระบบใหม่
x3+x4= –3
เราพบ x3:x3= –3 –ข.ขึ้นมาจากสมการแรก
x1+3x3+2x2+4x4= 5
เราพบ x 1: x 1=5 –3(–3 –ข)–2ก–4ข= 14 –2ก–ข.
เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
x1=14 –2ก–ข, x 2=ก, x 3=–3 –ข, x 4=ข.
คุณสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเมทริกซ์-คอลัมน์ได้:
สำหรับค่าเฉพาะ กและ ขคุณสามารถรับได้ ส่วนตัว โซลูชั่น เช่น เมื่อใด ก=0,ข=1 เราได้รับ: – หนึ่งในโซลูชั่นของระบบ
หมายเหตุในอัลกอริทึมวิธีเกาส์เซียนที่เราเห็น (กรณีที่ 1) ความไม่เข้ากันของระบบสมการนั้นสัมพันธ์กับความคลาดเคลื่อนของอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยาย ให้เรานำเสนอทฤษฎีบทที่สำคัญต่อไปนี้โดยไม่ต้องพิสูจน์
ทฤษฎีบทที่ 7 (โครเนกเกอร์–คาเปลลี). ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบ
ระบบสมการเชิงเส้น--แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "ระบบสมการเชิงเส้น" 2017, 2018
เพื่อให้แถว (หรือคอลัมน์) ของมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ให้ระบบที่มีสมการเชิงเส้นตรงและไม่ทราบค่าได้รับ: 5.1 ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ 5.2. - เมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์แบบขยาย - คอลัมน์สมาชิกฟรี - คอลัมน์ไม่ทราบ ถ้า... .
การเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้น (NLO) และในทางกลับกัน คำชี้แจงของปัญหา ZNO: ค้นหา (8.1) ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในบางโดเมน D ตามที่เราจำได้จากคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์อนุพันธ์ย่อยควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ZNO (8.1) จึงถูกรีดิวซ์เป็น SNL (8.2) (8.2) และสมการไม่เชิงเส้น ... .
การบรรยายครั้งที่ 15 พิจารณาระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (16) หากค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (7) เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (16) ดังนั้นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (7) จะเรียกว่าระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน (16) . ทฤษฎีบท. ถ้า... [อ่านต่อ] .
7.1 ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน (*) สมมติว่าชุดตัวเลขเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบนี้ จากนั้นเซตของตัวเลขก็เป็นคำตอบเช่นกัน ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ด้วยการทดแทนโดยตรงในสมการของระบบ.... .
ตารางที่ 3 ขั้นตอนของการพัฒนาการเคลื่อนไหวของเด็ก ระยะอายุ ตัวบ่งชี้การพัฒนามอเตอร์ ช่วงเวลาแรกเกิด สูงสุด 4 เดือน การก่อตัวของการควบคุมตำแหน่งของศีรษะและความเป็นไปได้ของการวางแนวอิสระในอวกาศ การพัฒนาเริ่มต้น 4-6 เดือน... .
คำจำกัดความ 1. ระบบสมการเชิงเส้นที่มีรูปแบบ (1) โดยที่สนามนี้เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น m โดยที่ไม่ทราบค่าใดๆ เหนือสนาม เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ เป็นเงื่อนไขอิสระของระบบ (1 ). คำจำกัดความ 2. สั่ง n () โดยที่ เรียกว่าคำตอบของระบบเชิงเส้น...
