Beräkning av matriser med Cramers metod. Cramers metod för att lösa linjära ekvationssystem. Åtgärder på matriser

Betrakta ett system med 3 ekvationer med tre okända

Med hjälp av 3:e ordningens determinanter kan lösningen till ett sådant system skrivas i samma form som för ett system med två ekvationer, d.v.s.

(2.4)

om 0. Här

Det är där Cramers regel lösa ett system med tre linjära ekvationer i tre okända.

Exempel 2.3. Lös ett system av linjära ekvationer med Cramers regel:

Lösning . Att hitta determinanten för systemets huvudmatris

Sedan 0, för att hitta en lösning på systemet kan vi tillämpa Cramers regel, men först beräknar vi ytterligare tre determinanter:

Undersökning:

Därför hittades lösningen korrekt. 

Cramers regler erhållna för linjära system av 2:a och 3:e ordningen tyder på att samma regler kan formuleras för linjära system av vilken ordning som helst. Det händer verkligen

Cramers teorem. Kvadratiskt system av linjära ekvationer med en determinant som inte är noll för systemets huvudmatris (0) har en och bara en lösning och denna lösning beräknas med hjälp av formlerna

(2.5)

Var  – determinant för huvudmatrisen,  i – matrisdeterminant, erhålls från den huvudsakliga, ersätterikolumn kolumnen av fria termer.

Observera att om =0 så gäller inte Cramers regel. Det betyder att systemet antingen inte har några lösningar alls eller har oändligt många lösningar.

Efter att ha formulerat Cramers teorem uppstår naturligtvis frågan om att beräkna determinanter av högre ordning.

2.4. Determinanter av n:e ordningen

Ytterligare mindre M I j element a I jär en determinant som erhålls från en given genom radering i raden och j kolumnen. Algebraiskt komplement A I j element a I j den moll av detta element taget med tecknet (–1) kallas i + j, dvs. A I j = (–1) i + j M I j .

Låt oss till exempel hitta biämnen och algebraiska komplement till elementen a 23 och a 31 kval

Vi får



Med hjälp av begreppet algebraiskt komplement kan vi formulera teorem för determinantexpansionn-th ordningen efter rad eller kolumn.

Sats 2.1. MatrisdeterminantAär lika med summan av produkterna av alla element i en viss rad (eller kolumn) genom deras algebraiska komplement:

(2.6)

Detta teorem ligger till grund för en av huvudmetoderna för att beräkna determinanter, den sk. orderminskningsmetod. Som ett resultat av expansionen av determinanten n ordningen över valfri rad eller kolumn får vi n determinanter ( n–1):e ordningen. För att ha färre sådana bestämningsfaktorer är det lämpligt att välja den rad eller kolumn som har flest nollor. I praktiken skrivs expansionsformeln för determinanten vanligtvis som:

de där. algebraiska tillägg skrivs uttryckligen i termer av minderåriga.

Exempel 2.4. Beräkna determinanterna genom att först sortera dem i någon rad eller kolumn. I sådana fall väljer du vanligtvis den kolumn eller rad som har flest nollor. Den valda raden eller kolumnen kommer att indikeras med en pil.



2.5. Grundläggande egenskaper hos determinanter

Om vi ​​expanderar determinanten över valfri rad eller kolumn får vi n determinanter ( n–1):e ordningen. Sedan var och en av dessa bestämningsfaktorer ( n–1):e ordningen kan också delas upp i en summa av determinanter ( n–2):e ordningen. Fortsätter man denna process kan man nå 1:a ordningens determinanter, dvs. till de element i matrisen vars determinant beräknas. Så för att beräkna andra ordningens determinanter måste du beräkna summan av två termer, för tredje ordningens determinanter - summan av 6 termer, för 4:e ordningens determinanter - 24 termer. Antalet termer kommer att öka kraftigt när ordningen på determinanten ökar. Detta innebär att beräkning av determinanter av mycket höga ordningsvärden blir en ganska arbetskrävande uppgift, bortom kapaciteten hos ens en dator. Determinanter kan dock beräknas på annat sätt med hjälp av determinanters egenskaper.

Fastighet 1 . Determinanten ändras inte om raderna och kolumnerna i den byts om, dvs. när man transponerar en matris:

.

Den här egenskapen indikerar likheten mellan raderna och kolumnerna i determinanten. Med andra ord, alla påståenden om kolumnerna i en determinant är också sant för dess rader och vice versa.

Fastighet 2 . Determinanten byter tecken när två rader (kolumner) byts om.

Följd . Om determinanten har två identiska rader (kolumner), är den lika med noll.

Fastighet 3 . Den gemensamma faktorn för alla element i valfri rad (kolumn) kan tas ut ur determinanttecknet.

Till exempel,

Följd . Om alla element i en viss rad (kolumn) i en determinant är lika med noll, då är själva determinanten lika med noll.

Fastighet 4 . Determinanten ändras inte om elementen i en rad (kolumn) läggs till elementen i en annan rad (kolumn), multiplicerat med valfritt tal.

Till exempel,

Fastighet 5 . Determinanten för produkten av matriser är lika med produkten av matrisens determinanter:

Cramers metod bygger på användningen av determinanter för att lösa linjära ekvationssystem. Detta påskyndar lösningsprocessen avsevärt.

Cramers metod kan användas för att lösa ett system med lika många linjära ekvationer som det finns okända i varje ekvation. Om systemets determinant inte är lika med noll kan Cramers metod användas i lösningen, men om den är lika med noll så kan den inte. Dessutom kan Cramers metod användas för att lösa system av linjära ekvationer som har en unik lösning.

Definition. En determinant som består av koefficienter för okända kallas en determinant för systemet och betecknas (delta).

Determinanter

erhålls genom att ersätta koefficienterna för motsvarande okända med fria termer:

;

.

Cramers teorem. Om systemets determinant är icke-noll, har systemet med linjära ekvationer en unik lösning, och det okända är lika med förhållandet mellan determinanterna. Nämnaren innehåller systemets determinant, och täljaren innehåller determinanten som erhålls från systemets determinant genom att ersätta koefficienterna för detta okända med fria termer. Detta teorem gäller för ett system av linjära ekvationer av vilken ordning som helst.

Exempel 1. Lös ett system med linjära ekvationer:

Enligt Cramers teorem vi har:

Så, lösningen på systemet (2):

online-kalkylator, Cramers lösningsmetod.

Tre fall vid lösning av linjära ekvationssystem

Som framgår av Cramers teorem, när man löser ett system av linjära ekvationer kan tre fall uppstå:

Första fallet: ett system av linjära ekvationer har en unik lösning

(systemet är konsekvent och definitivt)

Andra fallet: ett system av linjära ekvationer har ett oändligt antal lösningar

(systemet är konsekvent och osäkert)

** ,

de där. koefficienterna för de okända och de fria termerna är proportionella.

Tredje fallet: systemet med linjära ekvationer har inga lösningar

(systemet är inkonsekvent)

Systemet alltså m linjära ekvationer med n kallas variabler icke-fogad, om hon inte har en enda lösning, och gemensam, om den har minst en lösning. Ett simultant ekvationssystem som bara har en lösning kallas vissa, och mer än en – osäker.

Exempel på att lösa system av linjära ekvationer med Cramermetoden

Låt systemet vara givet

.

Baserat på Cramers teorem

………….
,

Var
-

systemdeterminant. Vi får de återstående determinanterna genom att ersätta kolumnen med koefficienterna för motsvarande variabel (okänd) med fria termer:

Exempel 2.

.

Därför är systemet definitivt. För att hitta lösningen beräknar vi determinanterna

Med hjälp av Cramers formler hittar vi:

Så, (1; 0; -1) är den enda lösningen på systemet.

För att kontrollera lösningar på ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda en onlineräknare med Cramers lösningsmetod.

Om det i ett system av linjära ekvationer inte finns några variabler i en eller flera ekvationer, så är motsvarande element lika med noll i determinanten! Detta är nästa exempel.

Exempel 3. Lös ett system av linjära ekvationer med Cramer-metoden:

.

Lösning. Vi hittar systemets determinant:

Titta noga på ekvationssystemet och på systemets determinant och upprepa svaret på frågan i vilka fall ett eller flera element i determinanten är lika med noll. Så determinanten är inte lika med noll, därför är systemet definitivt. För att hitta lösningen beräknar vi determinanterna för de okända

Med hjälp av Cramers formler hittar vi:

Så, lösningen på systemet är (2; -1; 1).

För att kontrollera lösningar på ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda en onlineräknare med Cramers lösningsmetod.

Förstasidan

Vi fortsätter att tillsammans lösa system med Cramers metod

Som redan nämnts, om systemets determinant är lika med noll, och determinanterna för de okända inte är lika med noll, är systemet inkonsekvent, det vill säga det har inga lösningar. Låt oss illustrera med följande exempel.

Exempel 6. Lös ett system av linjära ekvationer med Cramer-metoden:

Lösning. Vi hittar systemets determinant:

Systemets determinant är lika med noll, därför är systemet med linjära ekvationer antingen inkonsekvent och bestämt, eller inkonsekvent, det vill säga har inga lösningar. För att förtydliga, beräknar vi determinanter för okända

Determinanterna för de okända är inte lika med noll, därför är systemet inkonsekvent, det vill säga det har inga lösningar.

För att kontrollera lösningar på ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda en onlineräknare med Cramers lösningsmetod.

I problem som involverar linjära ekvationssystem finns det även sådana där det, förutom bokstäver som betecknar variabler, även finns andra bokstäver. Dessa bokstäver representerar ett nummer, oftast verkligt. I praktiken orsakas sådana ekvationer och ekvationssystem av problem med att söka efter allmänna egenskaper hos något fenomen eller objekt. Det vill säga, du har uppfunnit något nytt material eller apparat, och för att beskriva dess egenskaper, som är vanliga oavsett storlek eller kvantitet på provet, måste du lösa ett system med linjära ekvationer, där det istället för några koefficienter för variabler finns brev. Du behöver inte leta långt efter exempel.

Följande exempel är för ett liknande problem, bara antalet ekvationer, variabler och bokstäver som anger ett visst reellt tal ökar.

Exempel 8. Lös ett system av linjära ekvationer med Cramer-metoden:

Lösning. Vi hittar systemets determinant:

Att hitta determinanter för okända

För att bemästra detta stycke måste du kunna avslöja bestämningsfaktorerna "två och två" och "tre av tre". Om du är dålig på kval, vänligen studera lektionen Hur beräknar man determinanten?

Först ska vi titta närmare på Cramers regel för ett system med två linjära ekvationer i två okända. För vad? – Det enklaste systemet kan trots allt lösas med skolmetoden, metoden att lägga till termin för termin!

Faktum är att, om än ibland, en sådan uppgift inträffar - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra, ett enklare exempel hjälper dig att förstå hur du använder Cramers regel för ett mer komplext fall - ett system med tre ekvationer med tre okända.

Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som är lämpliga att lösa med Cramers regel!

Tänk på ekvationssystemet

I första steget beräknar vi determinanten, kallas den systemets huvudsakliga bestämningsfaktor.

Gauss metod.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
Och

I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med en latinsk bokstav.

Vi hittar rötterna till ekvationen med hjälp av formlerna:
,

Exempel 7

Lös ett system av linjära ekvationer

Lösning: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.

Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du förmodligen att sluta med fruktansvärda fancy fraktioner som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se helt enkelt hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk uppstår även här.

Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.

;

;

Svar: ,

Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.

Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses med hjälp av färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Ett fragment av uppgiftsdesignen är följande fragment: "Detta betyder att systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för bristande respekt för Cramers teorem.

Det skulle inte vara överflödigt att kontrollera, vilket bekvämt kan utföras på en miniräknare: vi ersätter ungefärliga värden på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör du få siffror som är på rätt sidor.

Exempel 8

Presentera svaret i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (ett exempel på den slutliga designen och svaret i slutet av lektionen).

Låt oss gå vidare och överväga Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända:

Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet:

Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet hjälper inte Cramers regel, du måste använda Gauss-metoden.

Om , då har systemet en unik lösning och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter:
, ,

Och slutligen beräknas svaret med formlerna:

Som du kan se skiljer sig fallet "tre av tre" i grunden inte från fallet "två och två"; kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.

Exempel 9

Lös systemet med Cramers formler.

Lösning: Låt oss lösa systemet med Cramers formler.

, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Svar: .

Egentligen finns det återigen inget speciellt att kommentera, på grund av att lösningen följer färdiga formler. Men det finns ett par kommentarer.

Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om du inte har en dator till hands gör du så här:

1) Det kan finnas ett fel i beräkningarna. Så fort du stöter på en "dålig" fraktion måste du omedelbart kontrollera Är villkoret korrekt omskrivet?. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansion i en annan rad (kolumn).

2) Om inga fel identifieras som ett resultat av kontroll, så var det troligen ett stavfel i uppgiftsvillkoren. Arbeta i det här fallet lugnt och NOGA igenom uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och vi drar upp det på nollan efter beslutet. Att kontrollera ett bråkdelssvar är förstås en obehaglig uppgift, men det blir ett avväpnande argument för läraren, som verkligen gillar att ge ett minus för något skitsnack som . Hur man hanterar bråk beskrivs i detalj i svaret på exempel 8.

Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest lönsamt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen); du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.

Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel:

Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten:
– Nollor placeras i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor enligt raden (kolumnen) där nollan är placerad, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.

Exempel 10

Lös systemet med Cramers formler.

Detta är ett exempel på en oberoende lösning (ett exempel på den slutliga designen och svaret i slutet av lektionen).

För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Egenskaper för determinanter. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan mycket påminner om en professors sko på bröstet på en lycklig student.

Lösa systemet med en invers matris

Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).

För att studera det här avsnittet måste du kunna expandera determinanter, hitta inversen av en matris och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att tillhandahållas när förklaringarna fortskrider.

Exempel 11

Lös systemet med matrismetoden

Lösning: Låt oss skriva systemet i matrisform:
, Var

Titta på ekvations- och matrissystemet. Jag tror att alla förstår principen med vilken vi skriver in element i matriser. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna skulle nollor behöva placeras på motsvarande platser i matrisen.

Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement av motsvarande element i matrisen.

Låt oss först titta på determinanten:

Här utökas determinanten på första raden.

Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet med metoden att eliminera okända (Gauss-metoden).

Nu måste vi räkna ut 9 minderåriga och skriva in dem i minderåriga matrisen

Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla sänkningar i linjär algebra. Den första siffran är numret på den linje där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns:

Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet finns i första raden, tredje kolumnen, och till exempel elementet är i 3 rader, 2 kolumner

Under lösningen är det bättre att beskriva beräkningen av minderåriga i detalj, även om du med viss erfarenhet kan vänja dig vid att beräkna dem med fel muntligen.

I den första delen tittade vi på lite teoretiskt material, substitutionsmetoden, samt metoden för term-för-term addition av systemekvationer. Jag rekommenderar alla som besökt sidan via denna sida att läsa den första delen. Kanske kommer en del besökare att tycka att materialet är för enkelt, men i processen att lösa linjära ekvationssystem gjorde jag ett antal mycket viktiga kommentarer och slutsatser angående lösningen av matematiska problem i allmänhet.

Nu ska vi analysera Cramers regel, samt lösa ett system av linjära ekvationer med hjälp av en invers matris (matrismetod). Allt material presenteras enkelt, i detalj och tydligt; nästan alla läsare kommer att kunna lära sig hur man löser system med ovanstående metoder.

Först ska vi titta närmare på Cramers regel för ett system med två linjära ekvationer i två okända. För vad? – Det enklaste systemet kan trots allt lösas med skolmetoden, metoden att lägga till termin för termin!

Faktum är att, om än ibland, en sådan uppgift inträffar - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra, ett enklare exempel hjälper dig att förstå hur du använder Cramers regel för ett mer komplext fall - ett system med tre ekvationer med tre okända.

Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som är lämpliga att lösa med Cramers regel!

Tänk på ekvationssystemet

I första steget beräknar vi determinanten, kallas den systemets huvudsakliga bestämningsfaktor.

Gauss metod.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
Och

I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med en latinsk bokstav.

Vi hittar rötterna till ekvationen med hjälp av formlerna:
,

Exempel 7

Lös ett system av linjära ekvationer

Lösning: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.

Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du förmodligen att sluta med fruktansvärda fancy fraktioner som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se helt enkelt hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk uppstår även här.

Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.

;

;

Svar: ,

Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.

Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses med hjälp av färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Ett fragment av uppgiftsdesignen är följande fragment: "Detta betyder att systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för bristande respekt för Cramers teorem.

Det skulle inte vara överflödigt att kontrollera, vilket bekvämt kan utföras på en miniräknare: vi ersätter ungefärliga värden på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör du få siffror som är på rätt sidor.

Exempel 8

Presentera svaret i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (ett exempel på den slutliga designen och svaret i slutet av lektionen).

Låt oss gå vidare och överväga Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända:

Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet:

Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet hjälper inte Cramers regel, du måste använda Gauss-metoden.

Om , då har systemet en unik lösning och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter:
, ,

Och slutligen beräknas svaret med formlerna:

Som du kan se skiljer sig fallet "tre av tre" i grunden inte från fallet "två och två"; kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.

Exempel 9

Lös systemet med Cramers formler.

Lösning: Låt oss lösa systemet med Cramers formler.

, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Svar: .

Egentligen finns det återigen inget speciellt att kommentera, på grund av att lösningen följer färdiga formler. Men det finns ett par kommentarer.

Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om du inte har en dator till hands gör du så här:

1) Det kan finnas ett fel i beräkningarna. Så fort du stöter på en "dålig" fraktion måste du omedelbart kontrollera Är villkoret korrekt omskrivet?. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansion i en annan rad (kolumn).

2) Om inga fel identifieras som ett resultat av kontroll, så var det troligen ett stavfel i uppgiftsvillkoren. Arbeta i det här fallet lugnt och NOGA igenom uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och vi drar upp det på nollan efter beslutet. Att kontrollera ett bråkdelssvar är förstås en obehaglig uppgift, men det blir ett avväpnande argument för läraren, som verkligen gillar att ge ett minus för något skitsnack som . Hur man hanterar bråk beskrivs i detalj i svaret på exempel 8.

Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest lönsamt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen); du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.

Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel:

Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten:
– Nollor placeras i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor enligt raden (kolumnen) där nollan är placerad, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.

Exempel 10

Lös systemet med Cramers formler.

Detta är ett exempel på en oberoende lösning (ett exempel på den slutliga designen och svaret i slutet av lektionen).

För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Egenskaper för determinanter. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan mycket påminner om en professors sko på bröstet på en lycklig student.

Lösa systemet med en invers matris

Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).

För att studera det här avsnittet måste du kunna expandera determinanter, hitta inversen av en matris och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att tillhandahållas när förklaringarna fortskrider.

Exempel 11

Lös systemet med matrismetoden

Lösning: Låt oss skriva systemet i matrisform:
, Var

Titta på ekvations- och matrissystemet. Jag tror att alla förstår principen med vilken vi skriver in element i matriser. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna skulle nollor behöva placeras på motsvarande platser i matrisen.

Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement av motsvarande element i matrisen.

Låt oss först titta på determinanten:

Här utökas determinanten på första raden.

Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet med metoden att eliminera okända (Gauss-metoden).

Nu måste vi räkna ut 9 minderåriga och skriva in dem i minderåriga matrisen

Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla sänkningar i linjär algebra. Den första siffran är numret på den linje där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns:

Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet finns i första raden, tredje kolumnen, och till exempel elementet är i 3 rader, 2 kolumner

Metoder Kramer Och Gauss- en av de mest populära lösningsmetoderna SLAU. Dessutom är det i vissa fall tillrådligt att använda specifika metoder. Sessionen är nära, och nu är det dags att upprepa eller bemästra dem från grunden. Idag ska vi titta på lösningen med Cramers metod. Att lösa ett system av linjära ekvationer med Cramer-metoden är trots allt en mycket användbar färdighet.

System av linjära algebraiska ekvationer

Ett system av linjära algebraiska ekvationer är ett ekvationssystem av formen:

Värdeuppsättning x , där systemets ekvationer förvandlas till identiteter, kallas en lösning av systemet, a Och b är verkliga koefficienter. Ett enkelt system som består av två ekvationer med två okända kan lösas i ditt huvud eller genom att uttrycka en variabel i termer av den andra. Men det kan finnas mycket mer än två variabler (xes) i en SLAE, och här räcker det inte med enkla skolmanipulationer. Vad ska man göra? Lös till exempel SLAEs med Cramers metod!

Så låt systemet bestå av n ekvationer med n okänd.

Ett sådant system kan skrivas om i matrisform

Här A – systemets huvudmatris, X Och B kolumnmatriser av okända variabler respektive fria termer.

Lösa SLAEs med Cramers metod

Om determinanten för huvudmatrisen inte är lika med noll (matrisen är icke-singular) kan systemet lösas med Cramers metod.

Enligt Cramers metod hittas lösningen med formlerna:

Här delta är determinanten för huvudmatrisen, och delta x n:te – determinant erhållen från determinanten för huvudmatrisen genom att ersätta den n:te kolumnen med en kolumn med fria termer.

Detta är hela kärnan i Cramer-metoden. Ersätter de hittade värdena med formlerna ovan x in i det önskade systemet är vi övertygade om riktigheten (eller vice versa) av vår lösning. För att hjälpa dig att snabbt förstå essensen ger vi nedan ett exempel på en detaljerad lösning av SLAE med Cramers metod:

Även om du inte lyckas första gången, bli inte avskräckt! Med lite övning kommer du att börja knäcka SLAUs som nötter. Dessutom är det nu absolut inte nödvändigt att gå igenom en anteckningsbok, lösa besvärliga beräkningar och skriva upp kärnan. Du kan enkelt lösa SLAE med Cramers metod online, bara genom att ersätta koefficienterna i den färdiga formen. Du kan prova en onlinelösningskalkylator med Cramers metod, till exempel på den här webbplatsen.

Och om systemet visar sig vara envist och inte ger upp kan du alltid vända dig till våra författare för att få hjälp, till exempel att köpa en synopsis. Om det finns minst 100 okända i systemet kommer vi definitivt att lösa det korrekt och i tid!