Llogaritja e matricave me metodën e Cramer-it. Metoda e Kramerit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Veprimet e matricës

Konsideroni një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura

Duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë, zgjidhja e një sistemi të tillë mund të shkruhet në të njëjtën formë si për një sistem me dy ekuacione, d.m.th.

(2.4)

nëse 0. Këtu

Eshte Rregulli i Kramerit zgjidhja e një sistemi me tre ekuacione lineare në tre të panjohura.

Shembulli 2.3. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur rregullën e Cramer-it:

Zgjidhje . Gjetja e përcaktorit të matricës kryesore të sistemit

Meqenëse 0, atëherë për të gjetur një zgjidhje për sistemin, mund të aplikoni rregullin e Cramer-it, por fillimisht llogaritni tre përcaktues të tjerë:

Ekzaminimi:

Prandaj, zgjidhja është gjetur drejt. 

Rregullat e Cramer-it të marra për sistemet lineare të rendit të dytë dhe të tretë sugjerojnë që të njëjtat rregulla mund të formulohen për sistemet lineare të çdo rendi. Me të vërtetë zhvillohet

Teorema e Kramerit. Sistemi kuadratik i ekuacioneve lineare me një përcaktor jozero të matricës kryesore të sistemit (0) ka një dhe vetëm një zgjidhje, dhe kjo zgjidhje llogaritet me formula

(2.5)

Ku  – përcaktues i matricës kryesore,  i – përcaktues matricë, rrjedh nga kryesore, zëvendësimikolona e anëtarëve të lirë të kolonës.

Vini re se nëse =0, atëherë rregulli i Cramer-it nuk është i zbatueshëm. Kjo do të thotë që sistemi ose nuk ka fare zgjidhje ose ka pafundësisht shumë zgjidhje.

Pas formulimit të teoremës së Cramer-it, natyrshëm lind pyetja e llogaritjes së përcaktuesve të rendit më të lartë.

2.4. përcaktorët e rendit të n-të

E mitura shtesë M ij element a ij quhet përcaktor që fitohet nga e dhëna me fshirje i-linja e th dhe j-kolona e th. Mbledhja algjebrike A ij element a ij quhet minor i këtij elementi, marrë me shenjën (–1) i + j, d.m.th. A ij = (–1) i + j M ij .

Për shembull, le të gjejmë minoret dhe plotësimet algjebrike të elementeve a 23 dhe a 31 përcaktues

marrim



Duke përdorur konceptin e komplementit algjebrik, ne mund të formulojmë teorema e zgjerimit përcaktuesn-rendi sipas rreshtit ose kolonës.

Teorema 2.1. Përcaktues matricëAështë e barabartë me shumën e produkteve të të gjithë elementëve të një rreshti (ose kolone) dhe plotësimeve algjebrike të tyre:

(2.6)

Kjo teoremë qëndron në themel të një prej metodave kryesore për llogaritjen e përcaktorëve, të ashtuquajturat. metoda e reduktimit të porosisë. Si rezultat i zgjerimit të përcaktorit n në rendin e çdo rreshti ose kolone, marrim n përcaktorë ( n–1)-th order. Për të pasur më pak përcaktues të tillë, këshillohet të zgjidhni rreshtin ose kolonën që ka më shumë zero. Në praktikë, formula e zgjerimit për përcaktorin zakonisht shkruhet si:

ato. shtesat algjebrike shkruhen shprehimisht në terma të vegjël.

Shembujt 2.4. Llogaritni përcaktorët duke i zgjeruar fillimisht në çdo rresht ose kolonë. Zakonisht në raste të tilla, zgjidhni kolonën ose rreshtin që ka më shumë zero. Rreshti ose kolona e zgjedhur do të shënohet me një shigjetë.



2.5. Vetitë themelore të përcaktorëve

Duke zgjeruar përcaktorin në çdo rresht ose kolonë, marrim n përcaktorë ( n–1)-th order. Pastaj secili prej këtyre përcaktorëve ( n Rendi –1)-të gjithashtu mund të zbërthehet në një shumë përcaktuesish ( n–2) rend. Duke vazhduar këtë proces, mund të arrihen përcaktuesit e rendit të parë, d.m.th. tek elementët e matricës përcaktorja e së cilës llogaritet. Pra, për të llogaritur përcaktorët e rendit të dytë, do të duhet të llogarisni shumën e dy termave, për përcaktuesit e rendit të tretë - shuma e 6 termave, për përcaktuesit e rendit të 4-të - 24 terma. Numri i termave do të rritet ndjeshëm me rritjen e rendit të përcaktorit. Kjo do të thotë që llogaritja e përcaktuesve të rendit shumë të lartë bëhet një detyrë mjaft e mundimshme, përtej fuqisë edhe të një kompjuteri. Megjithatë, përcaktorët mund të llogariten në një mënyrë tjetër, duke përdorur vetitë e përcaktorëve.

Prona 1 . Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse rreshtat dhe kolonat ndërrohen në të, d.m.th. kur transpozoni një matricë:

Kjo veti tregon barazinë e rreshtave dhe kolonave të përcaktorit. Me fjalë të tjera, çdo deklaratë për kolonat e një përcaktori është e vërtetë për rreshtat e saj, dhe anasjelltas.

Prona 2 . Përcaktori ndryshon shenjën kur ndërrohen dy rreshta (kolona).

Pasoja . Nëse përcaktori ka dy rreshta (kolona) identike, atëherë ai është i barabartë me zero.

Prona 3 . Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve në çdo rresht (kolona) mund të hiqet nga shenja e përcaktorit.

Për shembull,

Pasoja . Nëse të gjithë elementët e ndonjë rreshti (kolone) të përcaktorit janë të barabartë me zero, atëherë vetë përcaktorja është e barabartë me zero.

Prona 4 . Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet e një rreshti (kolone) u shtohen elementeve të një rreshti (kolone) tjetër të shumëzuar me një numër.

Për shembull,

Prona 5 . Përcaktori i produktit të matricës është i barabartë me produktin e përcaktuesve të matricës:

Metoda e Cramer-it bazohet në përdorimin e përcaktorëve në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo përshpejton shumë procesin e zgjidhjes.

Metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur një sistem me aq ekuacione lineare sa ka të panjohura në secilin ekuacion. Nëse përcaktori i sistemit nuk është i barabartë me zero, atëherë metoda e Cramer-it mund të përdoret në zgjidhje; nëse është e barabartë me zero, atëherë nuk mundet. Përveç kësaj, metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare që kanë një zgjidhje unike.

Përkufizimi. Përcaktori, i përbërë nga koeficientët e të panjohurave, quhet përcaktor i sistemit dhe shënohet me (delta).

Përcaktuesit

fitohen duke zëvendësuar koeficientët në të panjohurat përkatëse me terma të lirë:

;

Teorema e Kramerit. Nëse përcaktorja e sistemit është jozero, atëherë sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje të vetme, dhe e panjohura është e barabartë me raportin e përcaktorëve. Emëruesi është përcaktor i sistemit, dhe numëruesi është përcaktor që merret nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar koeficientët me të panjohurën me terma të lirë. Kjo teoremë vlen për një sistem ekuacionesh lineare të çdo rendi.

Shembulli 1 Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare:

Sipas Teorema e Kramerit ne kemi:

Pra, zgjidhja e sistemit (2):

kalkulator online, metoda e zgjidhjes së Cramer.

Tre raste në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

Siç duket nga Teoremat e Kramerit, kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare, mund të ndodhin tre raste:

Rasti i parë: sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike

(sistemi është konsistent dhe i përcaktuar)

Rasti i dytë: sistemi i ekuacioneve lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh

(sistemi është i qëndrueshëm dhe i papërcaktuar)

** ,

ato. koeficientët e të panjohurave dhe të termave të lirë janë proporcionalë.

Rasti i tretë: sistemi i ekuacioneve lineare nuk ka zgjidhje

(sistemi jo konsistent)

Pra sistemi m ekuacionet lineare me n quhet variabla të papajtueshme nëse nuk ka zgjidhje, dhe të përbashkët nëse ka të paktën një zgjidhje. Një sistem i përbashkët ekuacionesh që ka vetëm një zgjidhje quhet të caktuara, dhe më shumë se një i pasigurt.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën Cramer

Lëreni sistemin

Bazuar në teoremën e Kramerit

………….
,

Ku
-

identifikuesin e sistemit. Përcaktuesit e mbetur fitohen duke zëvendësuar kolonën me koeficientët e variablit përkatës (të panjohur) me anëtarë të lirë:

Shembulli 2

Prandaj, sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët

Sipas formulave të Cramer-it gjejmë:

Pra, (1; 0; -1) është e vetmja zgjidhje për sistemin.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni kalkulatorin online, metodën e zgjidhjes Cramer.

Nëse nuk ka ndryshore në sistemin e ekuacioneve lineare në një ose më shumë ekuacione, atëherë në përcaktor elementët që u korrespondojnë janë të barabartë me zero! Ky është shembulli tjetër.

Shembulli 3 Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare me metodën e Cramer-it:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Shikoni me kujdes sistemin e ekuacioneve dhe përcaktorin e sistemit dhe përsëritni përgjigjen e pyetjes në cilat raste një ose më shumë elementë të përcaktorit janë të barabartë me zero. Pra, përcaktorja nuk është e barabartë me zero, prandaj, sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Sipas formulave të Cramer-it gjejmë:

Pra, zgjidhja e sistemit është (2; -1; 1).

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni kalkulatorin online, metodën e zgjidhjes Cramer.

Në krye të faqes

Ne vazhdojmë të zgjidhim sistemet duke përdorur metodën Cramer së bashku

Siç u përmend tashmë, nëse përcaktori i sistemit është i barabartë me zero, dhe përcaktuesit për të panjohurat nuk janë të barabartë me zero, sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje. Le të ilustrojmë me shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 6 Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare me metodën e Cramer-it:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Përcaktori i sistemit është i barabartë me zero, prandaj, sistemi i ekuacioneve lineare është ose i paqëndrueshëm dhe i përcaktuar, ose jokonsistent, domethënë nuk ka zgjidhje. Për të sqaruar, ne llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Përcaktuesit për të panjohurat nuk janë të barabartë me zero, prandaj sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni kalkulatorin online, metodën e zgjidhjes Cramer.

Në problemat e sistemeve të ekuacioneve lineare, ka edhe nga ato ku, përveç shkronjave që tregojnë ndryshore, ka edhe shkronja të tjera. Këto shkronja përfaqësojnë një numër, më shpesh një numër real. Në praktikë, ekuacione të tilla dhe sisteme ekuacionesh çojnë në probleme për të gjetur vetitë e përgjithshme të çdo fenomeni dhe objekti. Kjo do të thotë, keni shpikur një material ose pajisje të re, dhe për të përshkruar vetitë e tij, të cilat janë të zakonshme pavarësisht nga madhësia ose numri i kopjeve, duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, ku në vend të disa koeficientëve për ndryshoret ka shkronja. Nuk duhet të kërkoni larg për shembuj.

Shembulli tjetër është për një problem të ngjashëm, rritet vetëm numri i ekuacioneve, variablave dhe shkronjave që tregojnë disa numra realë.

Shembulli 8 Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare me metodën e Cramer-it:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Gjetja e përcaktorëve për të panjohurat

Për të zotëruar këtë paragraf, duhet të jeni në gjendje të hapni kualifikuesit "dy nga dy" dhe "tre nga tre". Nëse kualifikimet janë të këqija, ju lutemi studioni mësimin Si të llogarisim përcaktorin?

Ne fillimisht e konsiderojmë rregullin e Cramer-it në detaje për një sistem me dy ekuacione lineare në dy të panjohura. Per cfare? “Në fund të fundit, sistemi më i thjeshtë mund të zgjidhet me metodën e shkollës, me mbledhje term pas termi!

Fakti është se edhe nëse ndonjëherë, por ekziston një detyrë e tillë - të zgjidhet një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura duke përdorur formulat e Cramer. Së dyti, një shembull më i thjeshtë do t'ju ndihmojë të kuptoni se si të përdorni rregullin e Cramer për një rast më kompleks - një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura.

Përveç kësaj, ekzistojnë sisteme ekuacionesh lineare me dy ndryshore, të cilat këshillohet t'i zgjidhni saktësisht sipas rregullit të Cramer!

Konsideroni sistemin e ekuacioneve

Në hapin e parë, ne llogarisim përcaktorin , quhet përcaktuesi kryesor i sistemit.

Metoda e Gausit.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, dhe për të gjetur rrënjët, duhet të llogarisim edhe dy përcaktues të tjerë:
Dhe

Në praktikë, kualifikuesit e mësipërm mund të shënohen edhe me shkronjën latine.

Rrënjët e ekuacionit gjenden me formula:
,

Shembulli 7

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare

Zgjidhje: Shohim se koeficientët e ekuacionit janë mjaft të mëdhenj, në anën e djathtë janë thyesat dhjetore me presje. Presja është një mysafir mjaft i rrallë në detyrat praktike në matematikë; Unë e mora këtë sistem nga një problem ekonometrik.

Si të zgjidhet një sistem i tillë? Mund të përpiqeni të shprehni një variabël në termat e një tjetri, por në këtë rast me siguri do të merrni fraksione të tmerrshme të zbukuruara, me të cilat janë jashtëzakonisht të papërshtatshme për të punuar, dhe dizajni i zgjidhjes do të duket thjesht i tmerrshëm. Ju mund të shumëzoni ekuacionin e dytë me 6 dhe të zbrisni term pas termi, por të njëjtat thyesa do të shfaqen këtu.

Çfarë duhet bërë? Në raste të tilla, formulat e Cramer vijnë në shpëtim.

;

Përgjigju: ,

Të dyja rrënjët kanë bishta të pafund dhe gjenden afërsisht, gjë që është mjaft e pranueshme (dhe madje e zakonshme) për problemet ekonometrike.

Komentet nuk janë të nevojshme këtu, pasi detyra zgjidhet sipas formulave të gatshme, megjithatë, ekziston një paralajmërim. Kur përdorni këtë metodë, të detyrueshme Fragmenti i detyrës është fragmenti i mëposhtëm: "kështu që sistemi ka një zgjidhje unike". Përndryshe, recensuesi mund t'ju ndëshkojë për mosrespektimin e teoremës së Cramer.

Nuk do të jetë e tepërt të kontrollohet, gjë që është e përshtatshme për t'u kryer në një kalkulator: ne zëvendësojmë vlerat e përafërta në anën e majtë të secilit ekuacion të sistemit. Si rezultat, me një gabim të vogël, duhet të merren numrat që janë në anën e djathtë.

Shembulli 8

Shprehni përgjigjen tuaj me thyesa të zakonshme të pasakta. Bëni një kontroll.

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur (shembull i dizajnit të mirë dhe përgjigje në fund të mësimit).

Ne i drejtohemi shqyrtimit të rregullit të Cramer për një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:

Gjejmë përcaktuesin kryesor të sistemit:

Nëse , atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent (nuk ka zgjidhje). Në këtë rast, rregulli i Cramer nuk do të ndihmojë, ju duhet të përdorni metodën Gauss.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, dhe për të gjetur rrënjët, duhet të llogarisim edhe tre përcaktues të tjerë:
, ,

Dhe së fundi, përgjigja llogaritet nga formula:

Siç mund ta shihni, rasti "tre nga tre" në thelb nuk ndryshon nga rasti "dy nga dy", kolona e termave të lirë "ecën" në mënyrë sekuenciale nga e majta në të djathtë përgjatë kolonave të përcaktorit kryesor.

Shembulli 9

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Zgjidhje: Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

, kështu që sistemi ka një zgjidhje unike.

Përgjigju: .

Në fakt këtu nuk ka asgjë të veçantë për të komentuar sërish, duke qenë se vendimi është marrë sipas formulave të gatshme. Por ka disa shënime.

Ndodh që si rezultat i llogaritjeve të fitohen thyesa të pareduktueshme “të këqija” p.sh.: .
Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm të "trajtimit". Nëse nuk ka kompjuter në dorë, ne bëjmë këtë:

1) Mund të ketë një gabim në llogaritjet. Sapo të hasni një goditje "të keqe", duhet të kontrolloni menjëherë nëse është kushti i rishkruar saktë. Nëse kushti rishkruhet pa gabime, atëherë duhet të rillogaritni përcaktuesit duke përdorur zgjerimin në një rresht (kolona) tjetër.

2) Nëse nuk u gjetën gabime si rezultat i kontrollit, atëherë me shumë mundësi është bërë një gabim shtypi në gjendjen e detyrës. Në këtë rast, me qetësi dhe me kujdes zgjidheni detyrën deri në fund, dhe më pas sigurohuni që të kontrolloni dhe hartojeni atë në një kopje të pastër pas vendimit. Sigurisht, kontrollimi i një përgjigjeje të pjesshme është një detyrë e pakëndshme, por do të jetë një argument çarmatos për mësuesin, i cili, mirë, me të vërtetë i pëlqen të vendosë një minus për çdo gjë të keqe si. Si të merreni me thyesat është e detajuar në përgjigjen për shembullin 8.

Nëse keni një kompjuter në dorë, atëherë përdorni një program të automatizuar për ta kontrolluar atë, i cili mund të shkarkohet falas që në fillim të mësimit. Nga rruga, është më e dobishme të përdorni programin menjëherë (edhe para se të filloni zgjidhjen), menjëherë do të shihni hapin e ndërmjetëm në të cilin keni bërë një gabim! I njëjti kalkulator llogarit automatikisht zgjidhjen e sistemit duke përdorur metodën e matricës.

Vërejtje e dytë. Herë pas here ka sisteme në ekuacionet e të cilave mungojnë disa variabla, për shembull:

Këtu në ekuacionin e parë nuk ka variabël, në të dytin nuk ka ndryshore. Në raste të tilla, është shumë e rëndësishme të shkruani saktë dhe me kujdes përcaktuesin kryesor:
– zero vendosen në vend të variablave që mungojnë.
Nga rruga, është racionale të hapen përcaktuesit me zero sipas rreshtit (kolonës) në të cilën ndodhet zero, pasi ka dukshëm më pak llogaritje.

Shembulli 10

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Ky është një shembull për vetëvendosje (përfundimi i mostrës dhe përgjigjes në fund të mësimit).

Për rastin e një sistemi prej 4 ekuacionesh me 4 të panjohura, formulat e Cramer-it shkruhen sipas parimeve të ngjashme. Mund të shihni një shembull të drejtpërdrejtë në mësimin e Vetive përcaktuese. Zvogëlimi i rendit të përcaktorit - pesë përcaktorë të rendit të katërt janë mjaft të zgjidhshëm. Edhe pse detyra tashmë të kujton shumë këpucën e një profesori në gjoksin e një studenti me fat.

Zgjidhja e sistemit duke përdorur matricën e kundërt

Metoda e matricës së kundërt është në thelb një rast i veçantë ekuacioni i matricës(Shih shembullin nr. 3 të mësimit të specifikuar).

Për të studiuar këtë seksion, duhet të jeni në gjendje të zgjeroni përcaktuesit, të gjeni matricën e kundërt dhe të kryeni shumëzimin e matricës. Lidhjet përkatëse do të jepen ndërsa shpjegimi përparon.

Shembulli 11

Zgjidheni sistemin me metodën e matricës

Zgjidhje: Ne e shkruajmë sistemin në formë matrice:
, Ku

Ju lutemi shikoni sistemin e ekuacioneve dhe matricave. Me çfarë parimi shkruajmë elementë në matrica, mendoj se të gjithë e kuptojnë. Komenti i vetëm: nëse disa variabla do të mungonin në ekuacione, atëherë zerat do të duhej të vendoseshin në vendet përkatëse në matricë.

Ne gjejmë matricën e kundërt me formulën:
, ku është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

Së pari, le të merremi me përcaktorin:

Këtu përcaktorja zgjerohet me rreshtin e parë.

Kujdes! Nëse , atëherë matrica e kundërt nuk ekziston dhe është e pamundur të zgjidhet sistemi me metodën e matricës. Në këtë rast, sistemi zgjidhet me eliminimin e të panjohurave (metoda Gauss).

Tani duhet të llogaritni 9 të mitur dhe t'i shkruani në matricën e të miturve

Referenca:Është e dobishme të dihet kuptimi i nënshkrimeve të dyfishta në algjebër lineare. Shifra e parë është numri i rreshtit në të cilin ndodhet elementi. Shifra e dytë është numri i kolonës në të cilën ndodhet elementi:

Kjo do të thotë, një nënshkrim i dyfishtë tregon që elementi është në rreshtin e parë, kolonën e tretë, ndërsa, për shembull, elementi është në rreshtin e 3-të, kolonën e 2-të

Gjatë zgjidhjes, është më mirë të përshkruhet në detaje llogaritja e të miturve, megjithëse, me një përvojë të caktuar, ato mund të rregullohen për të numëruar gabime gojarisht.

Në pjesën e parë kemi shqyrtuar disa materiale teorike, metodën e zëvendësimit, si dhe metodën e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve të sistemit. Për të gjithë ata që erdhën në faqe përmes kësaj faqeje, ju rekomandoj të lexoni pjesën e parë. Ndoshta disa vizitorëve do ta kenë materialin shumë të thjeshtë, por gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare, unë bëra një sërë vërejtjesh dhe përfundimesh shumë të rëndësishme në lidhje me zgjidhjen e problemeve matematikore në përgjithësi.

Dhe tani do të analizojmë rregullin e Cramer-it, si dhe zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur matricën e kundërt (metoda e matricës). Të gjitha materialet janë paraqitur thjesht, në detaje dhe qartë, pothuajse të gjithë lexuesit do të jenë në gjendje të mësojnë se si të zgjidhin sistemet duke përdorur metodat e mësipërme.

Përveç kësaj, ekzistojnë sisteme ekuacionesh lineare me dy ndryshore, të cilat këshillohet t'i zgjidhni saktësisht sipas rregullit të Cramer!

Konsideroni sistemin e ekuacioneve

Në hapin e parë, ne llogarisim përcaktorin , quhet përcaktuesi kryesor i sistemit.

Metoda e Gausit.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, dhe për të gjetur rrënjët, duhet të llogarisim edhe dy përcaktues të tjerë:
Dhe

Në praktikë, kualifikuesit e mësipërm mund të shënohen edhe me shkronjën latine.

Rrënjët e ekuacionit gjenden me formula:
,

Shembulli 7

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare

Çfarë duhet bërë? Në raste të tilla, formulat e Cramer vijnë në shpëtim.

;

Përgjigju: ,

Të dyja rrënjët kanë bishta të pafund dhe gjenden afërsisht, gjë që është mjaft e pranueshme (dhe madje e zakonshme) për problemet ekonometrike.

Shembulli 8

Shprehni përgjigjen tuaj me thyesa të zakonshme të pasakta. Bëni një kontroll.

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur (shembull i dizajnit të mirë dhe përgjigje në fund të mësimit).

Ne i drejtohemi shqyrtimit të rregullit të Cramer për një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:

Gjejmë përcaktuesin kryesor të sistemit:

Nëse , atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent (nuk ka zgjidhje). Në këtë rast, rregulli i Cramer nuk do të ndihmojë, ju duhet të përdorni metodën Gauss.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, dhe për të gjetur rrënjët, duhet të llogarisim edhe tre përcaktues të tjerë:
, ,

Dhe së fundi, përgjigja llogaritet nga formula:

Shembulli 9

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Zgjidhje: Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

, kështu që sistemi ka një zgjidhje unike.

Përgjigju: .

Në fakt këtu nuk ka asgjë të veçantë për të komentuar sërish, duke qenë se vendimi është marrë sipas formulave të gatshme. Por ka disa shënime.

Shembulli 10

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Ky është një shembull për vetëvendosje (përfundimi i mostrës dhe përgjigjes në fund të mësimit).

Zgjidhja e sistemit duke përdorur matricën e kundërt

Metoda e matricës së kundërt është në thelb një rast i veçantë ekuacioni i matricës(Shih shembullin nr. 3 të mësimit të specifikuar).

Shembulli 11

Zgjidheni sistemin me metodën e matricës

Zgjidhje: Ne e shkruajmë sistemin në formë matrice:
, Ku

Ne gjejmë matricën e kundërt me formulën:
, ku është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

Së pari, le të merremi me përcaktorin:

Këtu përcaktorja zgjerohet me rreshtin e parë.

Tani duhet të llogaritni 9 të mitur dhe t'i shkruani në matricën e të miturve

Metodat Kramer Dhe Gausian një nga zgjidhjet më të njohura SLAU. Përveç kësaj, në disa raste këshillohet përdorimi i metodave specifike. Seanca është afër dhe tani është koha për t'i përsëritur ose zotëruar ato nga e para. Sot merremi me zgjidhjen me metodën Cramer. Në fund të fundit, zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare me metodën e Cramer-it është një aftësi shumë e dobishme.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare

Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare është një sistem ekuacionesh të formës:

Vlera e vendosur x , në të cilin ekuacionet e sistemit kthehen në identitete, quhet zgjidhja e sistemit, a Dhe b janë koeficientë realë. Një sistem i thjeshtë i përbërë nga dy ekuacione me dy të panjohura mund të zgjidhet mendërisht ose duke shprehur një ndryshore në terma të tjetrës. Por mund të ketë shumë më tepër se dy variabla (x) në SLAE, dhe manipulimet e thjeshta të shkollës janë të domosdoshme këtu. Çfarë duhet bërë? Për shembull, zgjidhni SLAE me metodën e Cramer!

Pra, le të jetë sistemi n ekuacionet me n i panjohur.

Një sistem i tillë mund të rishkruhet në formë matrice

Këtu A është matrica kryesore e sistemit, X Dhe B , respektivisht, matricat e kolonave të ndryshoreve të panjohura dhe anëtarëve të lirë.

Zgjidhja SLAE me metodën e Cramer

Nëse përcaktori i matricës kryesore nuk është i barabartë me zero (matrica është josingulare), sistemi mund të zgjidhet duke përdorur metodën Cramer.

Sipas metodës Cramer, zgjidhja gjendet me formulat:

Këtu delta është përcaktor i matricës kryesore, dhe delta x n-të - përcaktori i marrë nga përcaktorja e matricës kryesore duke zëvendësuar kolonën e n-të me një kolonë anëtarësh të lirë.

Kjo është e gjithë pika e metodës së Cramer-it. Zëvendësimi i vlerave të gjetura nga formulat e mësipërme x në sistemin e dëshiruar, ne jemi të bindur për korrektësinë (ose anasjelltas) të vendimit tonë. Për t'ju ndihmuar të kuptoni shpejt thelbin, ne japim më poshtë një shembull të një zgjidhjeje të detajuar të SLAE me metodën Cramer:

Edhe nëse nuk keni sukses herën e parë, mos u dekurajoni! Me pak praktikë, do të filloni të dalni ngadalshëm si arra. Për më tepër, tani nuk është absolutisht e nevojshme të hapësh një fletore, të zgjidhësh llogaritjet e rënda dhe të shkruash në shufër. Është e lehtë për të zgjidhur SLAE me metodën Cramer në internet, vetëm duke zëvendësuar koeficientët në formën e përfunduar. Mund të provoni kalkulatorin në internet për zgjidhjen e metodës Cramer, për shembull, në këtë faqe.

Dhe nëse sistemi doli të ishte kokëfortë dhe nuk heq dorë, gjithmonë mund të kërkoni ndihmë nga autorët tanë, për shembull, për të blerë një përmbledhje. Nëse ka të paktën 100 të panjohura në sistem, ne patjetër do ta zgjidhim atë saktë dhe në kohë!