Ekuacioni në diferencialet totale. Ekuacionet në diferencialet totale Ekuacioni në diferencialet totale të rendit të parë

Paraqitja e problemit në rastin dydimensional

Rikuperimi i një funksioni të disa variablave nga diferenciali i tij total

9.1. Paraqitja e problemit në rastin dydimensional. 72

9.2. Përshkrimi i zgjidhjes. 72

Ky është një nga aplikimet e integralit curvilinear të llojit të dytë.

Është dhënë një shprehje për diferencialin total të një funksioni të dy variablave:

Gjeni funksionin.

1. Meqenëse jo çdo shprehje e formës është një diferencial total i ndonjë funksioni U(x,y), atëherë është e nevojshme të kontrollohet saktësia e deklaratës së problemit, domethënë të kontrollohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për diferencialin total, i cili për një funksion prej 2 ndryshoresh ka formën . Ky kusht rrjedh nga ekuivalenca e pohimeve (2) dhe (3) në teoremën e seksionit të mëparshëm. Nëse plotësohet kushti i treguar, atëherë problemi ka një zgjidhje, domethënë një funksion U(x,y) mund të restaurohet; nëse kushti nuk plotësohet, atëherë problemi nuk ka zgjidhje, domethënë funksioni nuk mund të rikthehet.

2. Ju mund të gjeni një funksion nga diferenciali i tij total, për shembull, duke përdorur një integral lakor të llojit të dytë, duke e llogaritur atë nga një vijë që lidh një pikë fikse ( x 0 ,y 0) dhe pika e ndryshueshme ( x;y) (Oriz. 18):

Kështu, fitohet se integrali lakor i llojit të dytë të diferencialit total dU(x,y) është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit U(x,y) në pikat e fundit dhe të fillimit të linjës së integrimit.

Duke ditur tani këtë rezultat, ne duhet të zëvendësojmë në vend të dU në një shprehje integrale lakor dhe llogarisni integralin përgjatë një vije të thyer ( ACB), duke marrë parasysh pavarësinë e tij nga forma e linjës së integrimit:

në ( AC): në ( JP) :

(1)

Kështu, është marrë një formulë, me ndihmën e së cilës rikthehet një funksion prej 2 ndryshoresh nga diferenciali i tij total.

3. Është e mundur të rivendoset një funksion nga diferenciali i tij total vetëm deri në një term konstant, pasi d(U+ konst) = dU. Prandaj, si rezultat i zgjidhjes së problemit, marrim një grup funksionesh që ndryshojnë nga njëri-tjetri me një term konstant.

Shembuj (rikthimi i një funksioni të dy variablave nga diferenciali i tij total)

1. Gjeni U(x,y), Nëse dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Ne kontrollojmë gjendjen e diferencialit total të një funksioni të dy variablave:

Kushti i diferencialit total është i kënaqur, pra funksioni U(x,y) mund të restaurohet.

Verifikimi: i saktë.

Përgjigje: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Gjeni një funksion të tillë që

Kontrollojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për diferencialin total të një funksioni prej tre ndryshoresh: , , , nëse është dhënë shprehja.

Në problemin që zgjidhet

plotësohen të gjitha kushtet e diferencialit total, prandaj funksioni mund të rikthehet (problemi është vendosur saktë).

Ne do të rivendosim funksionin duke përdorur një integral lakor të llojit të dytë, duke e llogaritur atë përgjatë një linje të caktuar që lidh një pikë fikse dhe një pikë të ndryshueshme, pasi

(kjo barazi nxirret në të njëjtën mënyrë si në rastin dydimensional).

Nga ana tjetër, integrali lakor i llojit të dytë të diferencialit total nuk varet nga forma e vijës së integrimit, kështu që është më e lehtë ta llogaritni atë përgjatë një linje të thyer që përbëhet nga segmente paralele me boshtet e koordinatave. Në të njëjtën kohë, si pikë fikse, thjesht mund të marrësh një pikë me koordinata numerike specifike, duke monitoruar vetëm se në këtë pikë dhe në të gjithë vijën e integrimit, plotësohet kushti për ekzistencën e një integrali lakor (d.m.th. funksionet , dhe të jenë të vazhdueshme). Duke pasur parasysh këtë vërejtje, në këtë problem mund të marrim një pikë fikse, për shembull, pikën M 0 . Pastaj në secilën nga lidhjet e vijës së thyer do të kemi

10.2. Llogaritja e integralit të sipërfaqes së llojit të parë. 79

10.3. Disa aplikime të integralit sipërfaqësor të llojit të parë. 81

Tregon se si të njohim një ekuacion diferencial në diferencialet totale. Janë dhënë metoda për zgjidhjen e tij. Jepet një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni në diferenciale totale në dy mënyra.

përmbajtja

Prezantimi

Një ekuacion diferencial i rendit të parë në diferencialet totale është një ekuacion i formës:
(1) ,
ku ana e majtë e ekuacionit është diferenciali total i disa funksioneve U (x, y) nga ndryshoret x, y:
.
Ku .

Nëse një funksion i tillë U (x, y), atëherë ekuacioni merr formën:
dU (x, y) = 0.
Integrali i tij i përgjithshëm:
U (x, y) = C,
ku C është një konstante.

Nëse ekuacioni diferencial i rendit të parë shkruhet në terma të derivatit:
,
atëherë është e lehtë për ta sjellë atë në formë (1) . Për ta bërë këtë, shumëzojeni ekuacionin me dx. Pastaj . Si rezultat, marrim një ekuacion të shprehur në terma të diferencialeve:
(1) .

Vetia e një ekuacioni diferencial në diferencialet totale

Në mënyrë që ekuacioni (1) është një ekuacion në diferencialet totale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të plotësohet relacioni i mëposhtëm:
(2) .

Dëshmi

Më tej, supozojmë se të gjitha funksionet e përdorura në vërtetim janë të përcaktuara dhe kanë derivate përkatëse në një gamë prej x dhe y. pika x 0, y0 gjithashtu i përket kësaj zone.

Le të vërtetojmë domosdoshmërinë e kushtit (2).
Lëreni anën e majtë të ekuacionit (1) është diferenciali i disa funksioneve U (x, y):
.
Pastaj
;
.
Meqenëse derivati ​​i dytë nuk varet nga rendi i diferencimit, atëherë
;
.
Prandaj rrjedh se . Kushti i domosdoshmërisë (2) e provuar.

Le të vërtetojmë mjaftueshmërinë e kushtit (2).
Lëreni kushtin (2) :
(2) .
Le të tregojmë se është e mundur të gjesh një funksion të tillë U (x, y) se diferenciali i tij është:
.
Kjo do të thotë se ekziston një funksion i tillë U (x, y), e cila plotëson ekuacionet:
(3) ;
(4) .
Le të gjejmë një funksion të tillë. Ne integrojmë ekuacionin (3) nga x nga x 0 në x, duke supozuar se y është një konstante:
;
;
(5) .
Diferenconi në lidhje me y, duke supozuar se x është një konstante dhe zbatojeni (2) :

.
Ekuacioni (4) do të ekzekutohet nëse
.
Integrimi mbi y nga y 0 lodër :
;
;
.
Zëvendësoni në (5) :
(6) .
Pra, ne kemi gjetur një funksion diferenciali i të cilit është
.
Mjaftueshmëria është vërtetuar.

Në formulë (6) , U (x0, y0)është një konstante - vlera e funksionit U (x, y) në pikën x 0, y0. Mund t'i caktohet çdo vlerë.

Si të njohim një ekuacion diferencial në diferencialet totale

Merrni parasysh ekuacionin diferencial:
(1) .
Për të përcaktuar nëse ky ekuacion është në diferenciale të plota, duhet të kontrolloni gjendjen (2) :
(2) .
Nëse qëndron, atëherë ky është një ekuacion në diferencialet totale. Nëse jo, atëherë ky nuk është një ekuacion në diferencialet totale.

Shembull

Kontrolloni nëse ekuacioni është në diferenciale totale:
.

Këtu
, .
Diferenconi në lidhje me y, duke supozuar se x është konstante:


.
Duke diferencuar


.
Sepse:
,
atëherë ekuacioni i dhënë është në diferenciale totale.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale në diferencialet totale

Metoda e Nxjerrjes Diferenciale Sekuenciale

Metoda më e thjeshtë për zgjidhjen e një ekuacioni në diferencialet totale është metoda e nxjerrjes së njëpasnjëshme të diferencialit. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulat e diferencimit të shkruara në formë diferenciale:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Në këto formula, u dhe v janë shprehje arbitrare të përbëra nga çdo kombinim variablash.

Shembulli 1

Zgjidhe ekuacionin:
.

Më parë kemi gjetur se ky ekuacion është në diferencialet totale. Le ta transformojmë atë:
(P1) .
E zgjidhim ekuacionin duke theksuar në mënyrë të njëpasnjëshme diferencialin.
;
;
;
;

.
Zëvendësoni në (P1):
;
.

Metoda e integrimit sekuencial

Në këtë metodë, ne jemi duke kërkuar për funksionin U (x, y), duke plotësuar ekuacionet:
(3) ;
(4) .

Ne integrojmë ekuacionin (3) në x, duke supozuar se y është konstante:
.
Këtu φ (y)është një funksion arbitrar i y që duhet përcaktuar. Është një konstante integrimi. Ne e zëvendësojmë në ekuacion (4) :
.
Nga këtu:
.
Duke integruar, gjejmë φ (y) dhe kështu U (x, y).

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin në diferenciale totale:
.

Më parë kemi gjetur se ky ekuacion është në diferencialet totale. Le të prezantojmë shënimin:
, .
Duke kërkuar për funksionin U (x, y), diferenciali i të cilit është ana e majtë e ekuacionit:
.
Pastaj:
(3) ;
(4) .
Ne integrojmë ekuacionin (3) në x, duke supozuar se y është konstante:
(P2)
.
Diferenconi në lidhje me y:

.
Zëvendësoni në (4) :
;
.
Ne integrojmë:
.
Zëvendësoni në (P2):

.
Integrali i përgjithshëm i ekuacionit:
U (x, y) = konst.
Ne bashkojmë dy konstante në një.

Metoda e integrimit përgjatë një kurbë

Funksioni U i përcaktuar nga relacioni:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
mund të gjendet duke integruar këtë ekuacion përgjatë lakores që lidh pikat (x0, y0) Dhe (x, y):
(7) .
Sepse
(8) ,
atëherë integrali varet vetëm nga koordinatat e inicialit (x0, y0) dhe përfundimtare (x, y) pikë dhe nuk varet nga forma e kurbës. Nga (7) Dhe (8) ne gjejme:
(9) .
Këtu x 0 dhe y 0 - e përhershme. Prandaj U (x0, y0)është gjithashtu konstante.

Një shembull i një përkufizimi të tillë të U është marrë në provë:
(6) .
Këtu, integrimi kryhet së pari përgjatë një segmenti paralel me boshtin y nga pika (x 0 , y 0 ) drejt e në temë (x0, y). Pastaj integrimi kryhet përgjatë një segmenti paralel me boshtin x nga pika (x0, y) drejt e në temë (x, y) .

Në një rast më të përgjithshëm, duhet të përfaqësohet ekuacioni i kurbës që lidh pikat (x 0 , y 0 ) Dhe (x, y) në formë parametrike:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
dhe integrohen mbi t 1 nga t 0 te t.

Integrimi më i thjeshtë është mbi segmentin që lidh pikat (x 0 , y 0 ) Dhe (x, y). Në këtë rast:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pas zëvendësimit, marrim integralin mbi t të 0 para 1 .
Sidoqoftë, kjo metodë çon në llogaritje mjaft të vështira.

Referencat:
V.V. Stepanov, Kursi i ekuacioneve diferenciale, LKI, 2015.

disa funksione. Nëse e rivendosim funksionin nga diferenciali i tij total, atëherë gjejmë integralin e përgjithshëm të ekuacionit diferencial. Më poshtë do të flasim për metoda e rikuperimit të një funksioni nga diferenciali i tij total.

Ana e majtë e ekuacionit diferencial është diferenciali total i disa funksioneve U(x, y) = 0 nëse plotësohet kushti.

Sepse diferenciali total i një funksioni U(x, y) = 0 Kjo , që do të thotë se në kushtet që thonë se .

Pastaj, .

Nga ekuacioni i parë i sistemit, marrim . Ne e gjejmë funksionin duke përdorur ekuacionin e dytë të sistemit:

Kështu, ne do të gjejmë funksionin e dëshiruar U(x, y) = 0.

Shembull.

Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të DE .

Zgjidhje.

Në shembullin tonë. Kushti plotësohet sepse:

Pastaj, ana e majtë e DE fillestare është diferenciali total i disa funksioneve U(x, y) = 0. Duhet ta gjejmë këtë funksion.

Sepse është diferenciali total i funksionit U(x, y) = 0, Do të thotë:

.

Integrimi gjatë x Ekuacioni i parë i sistemit dhe i diferencueshëm në lidhje me y rezultat:

.

Nga ekuacioni i dytë i sistemit marrim . Do të thotë:

Ku MEështë një konstante arbitrare.

Kështu, dhe integrali i përgjithshëm i ekuacionit të dhënë do të jetë .

Ka një të dytë metodë për llogaritjen e një funksioni nga diferenciali i tij total. Ai konsiston në marrjen e integralit lakor të një pike fikse (x0, y0) në një pikë me koordinata të ndryshueshme (x, y): . Në këtë rast, vlera e integralit është e pavarur nga rruga e integrimit. Është i përshtatshëm për të marrë si një rrugë integrimi një vijë të thyer, lidhjet e së cilës janë paralele me boshtet e koordinatave.

Shembull.

Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të DE .

Zgjidhje.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit:

Kështu, ana e majtë e DE është diferenciali total i disa funksioneve U(x, y) = 0. Këtë funksion e gjejmë duke llogaritur integralin lakor të pikës (1; 1) para (x, y). Ne marrim një poliline si një shteg integrimi: do të kalojmë pjesën e parë të polivijës përgjatë një vije të drejtë y=1 nga pika (1, 1) para (x, 1), si seksion i dytë i shtegut marrim një segment të drejtë nga pika (x, 1) para (x, y):

Pra, zgjidhja e përgjithshme e DE duket si kjo: .

Shembull.

Le të përcaktojmë zgjidhjen e përgjithshme të DE.

Zgjidhje.

Sepse , atëherë kushti nuk plotësohet, atëherë ana e majtë e DE nuk do të jetë diferenciali total i funksionit dhe duhet të përdorni metodën e dytë të zgjidhjes (ky ekuacion është një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme).

Mund të ndodhë që ana e majtë e ekuacionit diferencial

është diferenciali total i disa funksioneve:

dhe kështu ekuacioni (7) merr formën .

Nëse funksioni është një zgjidhje e ekuacionit (7), atëherë, dhe, prandaj,

ku është një konstante dhe anasjelltas, nëse një funksion e kthen ekuacionin përfundimtar (8) në një identitet, atëherë, duke diferencuar identitetin që rezulton, marrim , dhe për këtë arsye, , ku është një konstante arbitrare, është një integral i përgjithshëm i origjinalit ekuacioni.

Nëse jepen vlerat fillestare, atëherë konstanta përcaktohet nga (8) dhe

është integrali i pjesshëm i dëshiruar. Nëse në pikën , atëherë ekuacioni (9) përcakton si një funksion të nënkuptuar të .

Që ana e majtë e ekuacionit (7) të jetë diferenciali total i një funksioni, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

Nëse ky kusht, i treguar nga Euler, plotësohet, atëherë ekuacioni (7) integrohet lehtësisht. Vërtet,. Ne anen tjeter, . Prandaj,

Gjatë llogaritjes së integralit, vlera konsiderohet si një konstante, prandaj është një funksion arbitrar i . Për të përcaktuar funksionin, ne e dallojmë funksionin e gjetur në lidhje me dhe, pasi , marrim

Nga ky ekuacion, ne përcaktojmë dhe, duke integruar, gjejmë .

Siç dihet nga kursi i analizës matematikore, është edhe më e lehtë të përcaktohet një funksion nga diferenciali i tij total duke marrë integralin lakor të mes një pike fikse dhe një pike me koordinata të ndryshueshme përgjatë çdo rruge:

Më shpesh, si një rrugë integrimi, është e përshtatshme të merret një vijë e thyer e përbërë nga dy lidhje paralele me boshtet koordinative; në këtë rast

Shembull. .

Ana e majtë e ekuacionit është diferenciali total i disa funksioneve, pasi

Prandaj, integrali i përgjithshëm ka formën

Ju mund të përdorni një metodë tjetër për të përcaktuar një funksion:

Për pikën fillestare, ne zgjedhim, për shembull, origjinën e koordinatave, si rrugën e integrimit - një vijë e thyer. Pastaj

dhe integrali i përgjithshëm ka formën

Që përkon me rezultatin e mëparshëm, duke çuar në një emërues të përbashkët.

Në disa raste, kur ana e majtë e ekuacionit (7) nuk është një diferencial total, është e lehtë të gjendet një funksion, pas shumëzimit me të cilin ana e majtë e ekuacionit (7) kthehet në një diferencial total. Një funksion i tillë quhet faktor integrues. Vini re se shumëzimi me një faktor integrues mund të çojë në shfaqjen e zgjidhjeve shtesë të veçanta që e kthejnë këtë faktor në zero.

Shembull. .

Natyrisht, pas shumëzimit me një faktor, ana e majtë kthehet në një diferencial total. Në të vërtetë, pasi të shumëzojmë me marrim

ose, duke integruar, . Duke shumëzuar me 2 dhe duke fuqizuar, do të kemi .

Natyrisht, faktori integrues nuk zgjidhet gjithmonë kaq lehtë. Në rastin e përgjithshëm, për të gjetur faktorin integrues, është e nevojshme të zgjidhni të paktën një zgjidhje të veçantë të ekuacionit në derivate të pjesshme që nuk është identikisht zero, ose në formë të zgjeruar.

i cili pas pjesëtimit dhe kalimit të disa termave në pjesën tjetër të barazisë, reduktohet në formë

Në rastin e përgjithshëm, integrimi i këtij ekuacioni diferencial të pjesshëm nuk është aspak një detyrë më e thjeshtë sesa integrimi i ekuacionit origjinal, por në disa raste zgjedhja e një zgjidhjeje të veçantë për ekuacionin (11) nuk është e vështirë.

Përveç kësaj, duke supozuar se faktori integrues është një funksion i vetëm një argumenti (për shembull, ai është një funksion i vetëm ose vetëm , ose një funksion i vetëm , ose vetëm, etj.), ne mund ta integrojmë lehtësisht ekuacionin (11) dhe tregojnë kushtet në të cilat ekziston një faktor integrues i formës në shqyrtim. Kështu, veçohen klasa ekuacionesh për të cilat faktori integrues mund të gjendet lehtësisht.

Për shembull, le të gjejmë kushtet në të cilat ekuacioni ka një faktor integrues që varet vetëm nga , d.m.th. . Në këtë rast, ekuacioni (11) është thjeshtuar dhe merr formën , nga ku, duke supozuar se është një funksion i vazhdueshëm i , marrim

Nëse është funksion vetëm i , atëherë faktori integrues në varësi të vetëm , ekziston dhe është i barabartë me (12), përndryshe faktori integrues i formës nuk ekziston.

Kushti për ekzistencën e një faktori integrues në varësi të vetëm është i plotësuar, për shembull, për një ekuacion linear ose . Në të vërtetë, dhe, prandaj, . Po kështu, mund të gjenden kushte për ekzistencën e faktorëve integrues të formës etj.

Shembull. A ka ekuacioni një faktor integrues të formës?

Le të shënojmë. Ekuacioni (11) në merr formën , prej nga ose

Për ekzistencën e një faktori integrues të një forme të caktuar, është e nevojshme dhe, nën supozimin e vazhdimësisë, mjafton që vetëm . Në këtë rast, pra, faktori integrues ekziston dhe është i barabartë me (13). Kur të marrim. Duke shumëzuar ekuacionin origjinal me , ne e sjellim atë në formë

Duke integruar, marrim , dhe pas fuqizimit do të kemi , ose në koordinatat polare - një familje spiralesh logaritmike.

Shembull. Gjeni formën e një pasqyre që reflekton paralelisht me një drejtim të caktuar të gjitha rrezet që dalin nga një pikë e caktuar.

Ne vendosim origjinën e koordinatave në një pikë të caktuar dhe drejtojmë boshtin e abshisave paralelisht me drejtimin e përcaktuar në kushtet e problemit. Lëreni rreze të bjerë në pasqyrë në pikën . Konsideroni një pjesë të pasqyrës nga një aeroplan që kalon përmes boshtit të abshisës dhe pikës. Le të vizatojmë një tangjente në seksionin e konsideruar të sipërfaqes së pasqyrës në pikën . Meqenëse këndi i rënies së rrezes është i barabartë me këndin e reflektimit, trekëndëshi është dykëndësh. Prandaj,

Ekuacioni homogjen që rezulton integrohet lehtësisht nga një ndryshim i ndryshoreve, por është edhe më e lehtë, duke u çliruar nga irracionaliteti në emërues, ta rishkruajmë atë në formën . Ky ekuacion ka një faktor integrues të dukshëm , , , (një familje parabolash).

Ky problem është edhe më i lehtë për t'u zgjidhur në koordinata dhe , ku , ndërsa ekuacioni për seksionin e sipërfaqeve të dëshiruara merr formën .

Është e mundur të vërtetohet ekzistenca e një faktori integrues, ose, çfarë është e njëjta, ekzistenca e një zgjidhjeje jozero të ekuacionit diferencial të pjesshëm (11) në një fushë, nëse funksionet dhe kanë derivate të vazhdueshme dhe të paktën një nga këto funksionet nuk zhduken. Prandaj, metoda e faktorit integrues mund të konsiderohet si një metodë e përgjithshme për integrimin e ekuacioneve të formës, megjithatë, për shkak të vështirësisë së gjetjes së faktorit integrues, kjo metodë përdoret më shpesh në rastet kur faktori integrues është i dukshëm.