Sistemi i ekuacioneve. Teori e detajuar me shembuj (2020). Shembuj të sistemeve të ekuacioneve lineare: metoda e zgjidhjes Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme të sistemeve algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) është padyshim tema më e rëndësishme e kursit të algjebrës lineare. Një numër i madh problemesh nga të gjitha degët e matematikës reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e krijimit të këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni
- zgjidhni metodën optimale për zgjidhjen e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
- studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
- zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare, duke shqyrtuar në detaje zgjidhjet e shembujve dhe problemeve tipike.
Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.
Së pari, ne japim të gjitha përkufizimet, konceptet e nevojshme dhe prezantojmë disa shënime.
Më pas, shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe që kanë një zgjidhje unike. Së pari, le të përqendrohemi në metodën Cramer, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve dhe së treti, do të analizojmë metodën Gauss (metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të ndryshoreve të panjohura). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.
Pas kësaj, ne vazhdojmë me zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të një forme të përgjithshme, në të cilën numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është e degjeneruar. Le të formulojmë teoremën Kronecker - Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (në rastin e përputhshmërisë së tyre) duke përdorur konceptin e bazës minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.
Sigurohuni që të ndaleni në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare. Le të japim konceptin e një sistemi themelor zgjidhjesh dhe të tregojmë se si zgjidhja e përgjithshme e SLAE shkruhet duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.
Si përfundim, ne konsiderojmë sistemet e ekuacioneve që reduktohen në ato lineare, si dhe probleme të ndryshme, në zgjidhjen e të cilave lindin SLAE.
Navigimi i faqes.
Përkufizime, koncepte, emërtime.
Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës
Variabla të panjohur, - koeficientë (disa numra realë ose kompleksë), - anëtarë të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).
Kjo formë e SLAE quhet koordinoj.
NË forma matrice ky sistem ekuacionesh ka formën,
Ku 
- matrica kryesore e sistemit, - matrica-kolona e variablave të panjohur, - matrica-kolona e anëtarëve të lirë.
Nëse matricës A i shtojmë si kolonë (n + 1)-të matricën-kolona të termave të lirë, atëherë marrim të ashtuquajturën. matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Zakonisht, matrica e shtuar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e anëtarëve të lirë ndahet me një vijë vertikale nga pjesa tjetër e kolonave, d.m.th. 
Duke zgjidhur një sistem ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura, i cili i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të variablave të panjohur kthehet gjithashtu në një identitet.
Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.
Nëse sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet të papajtueshme.
Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.
Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero 
, atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.
Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.
Nëse numri i ekuacioneve të sistemit është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është i barabartë me zero, atëherë ne do t'i quajmë SLAE të tilla elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.
Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në shkollën e mesme. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një variabël të panjohur në terma të të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, pastaj morëm ekuacionin tjetër, shprehëm variablin tjetër të panjohur dhe e zëvendësuam me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, domethënë kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.
Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Cramer-it.
Le të na duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare 
në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .
Le të jetë përcaktori i matricës kryesore të sistemit, dhe 
janë përcaktorë të matricave që fitohen nga A duke zëvendësuar 1, 2, ..., e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë: 
Me një shënim të tillë, variablat e panjohur llogariten me formulat e metodës Cramer si 
. Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare me metodën Cramer.
Shembull.
Metoda Cramer 
.
Zgjidhje.
Matrica kryesore e sistemit ka formën 
. Llogaritni përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer-it.
Hartoni dhe njehsoni përcaktorët e nevojshëm 
(përcaktori fitohet duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë anëtarësh të lirë, përcaktorja - duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë anëtarësh të lirë, - duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë anëtarësh të lirë ): 
Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula 
:
Përgjigje:
Disavantazhi kryesor i metodës së Cramer-it (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve të sistemit është më shumë se tre.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare me metodën e matricës (duke përdorur matricën e kundërt).
Le të jepet sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare në formën e matricës , ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.
Meqenëse , atëherë matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja pjesët e barazisë me në të majtë, atëherë marrim një formulë për gjetjen e matricës së kolonës së ndryshoreve të panjohura. Pra, ne morëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare me metodën e matricës.
Shembull.
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare metoda e matricës.
Zgjidhje.
Ne rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës: 
Sepse
atëherë SLAE mund të zgjidhet me metodën e matricës. Duke përdorur matricën e kundërt, zgjidhja për këtë sistem mund të gjendet si 
.
Le të ndërtojmë një matricë të kundërt duke përdorur një matricë të plotësimeve algjebrike të elementeve të matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Mbetet për të llogaritur - matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt 
në kolonën e matricës së anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Përgjigje:
ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Problemi kryesor në gjetjen e zgjidhjeve të sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare me metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore të rendit më të lartë se e treta.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Gausit.
Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura 
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.
Thelbi i metodës Gauss konsiston në përjashtimin e njëpasnjëshëm të ndryshoreve të panjohura: së pari, x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa vetëm ndryshorja e panjohur. x n mbetet në ekuacionin e fundit. Një proces i tillë i transformimit të ekuacioneve të sistemit për eliminimin e njëpasnjëshëm të ndryshoreve të panjohura quhet Metoda e drejtpërdrejtë e Gausit. Pas përfundimit të drejtimit përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, x n-1 llogaritet nga ekuacioni i parafundit duke përdorur këtë vlerë, dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura gjatë lëvizjes nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari Metoda e kundërt e Gausit.
Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.
Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke riorganizuar ekuacionet e sistemit. E përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, shtoni ekuacionin e parë të shumëzuar me ekuacionin e dytë të sistemit, shtoni të parën shumëzuar me ekuacionin e tretë dhe kështu me radhë, shtoni ekuacionin e n-të të shumëzuar me të parën. Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën 
ku, a 
.
Do të arrinim në të njëjtin rezultat nëse do të shprehnim x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.
Më pas, ne veprojmë në mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë 
Për ta bërë këtë, shtoni të dytin shumëzuar me ekuacionin e tretë të sistemit, shtoni të dytin shumëzuar me ekuacionin e katërt dhe kështu me radhë, shtoni të dytin shumëzuar me ekuacionin e n-të. Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën 
ku, a 
. Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.
Më pas, ne vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3, duke vepruar në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë. 
Pra vazhdojmë rrjedhën e drejtpërdrejtë të metodës së Gausit derisa sistemi të marrë formën 
Nga ky moment, ne fillojmë kursin e kundërt të metodës së Gausit: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga i pari ekuacioni.
Shembull.
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare Metoda Gaussian.
Zgjidhje.
Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy pjesët e ekuacionit të dytë dhe të tretë, ne shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuar me dhe me, përkatësisht: 
Tani përjashtojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në pjesët e tij të majta dhe të djathta pjesët e majta dhe të djathta të ekuacionit të dytë, shumëzuar me: 
Mbi këtë, kursi përpara i metodës Gauss përfundon, ne fillojmë kursin e kundërt.
Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve, gjejmë x 3: 
Nga ekuacioni i dytë marrim .
Nga ekuacioni i parë gjejmë ndryshoren e mbetur të panjohur dhe kjo plotëson kursin e kundërt të metodës së Gausit.
Përgjigje:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Në rastin e përgjithshëm, numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:
SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe i degjeneruar.
Teorema Kronecker-Capelli.
Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile, dhe kur është e papajtueshme, jep Teorema Kronecker–Capelli:
që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n ) të jetë i pajtueshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, domethënë Rank( A)=Ranku(T) .
Le të shqyrtojmë si shembull zbatimin e teoremës Kronecker-Cappelli për përcaktimin e përputhshmërisë së një sistemi ekuacionesh lineare.
Shembull.
Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka 
Zgjidhjet.
Zgjidhje.
. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minoren e rendit të dytë 
të ndryshme nga zero. Le të kalojmë tek të miturit e rendit të tretë që e rrethojnë atë: 
Meqenëse të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është dy.
Nga ana tjetër, rangu i matricës së shtuar 
është e barabartë me tre, meqë minorja e rendit të tretë 
të ndryshme nga zero.
Kështu, Rang(A) , prandaj, sipas teoremës Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.
Përgjigje:
Nuk ka asnjë sistem zgjidhjeje.
Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e sistemit duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.
Por si të gjendet zgjidhja e SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?
Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e bazës minore të një matrice dhe teorema mbi rangun e një matrice.
Minorja e rendit më të lartë të matricës A, përveç zeros, quhet bazë.
Nga përkufizimi i bazës minor del se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë A jozero, mund të ketë disa minore bazë; ka gjithmonë një minore bazë.
Për shembull, merrni parasysh matricën 
.
Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.
Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi janë jozero 
Të miturit 
nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.
Teorema e rangut të matricës.
Nëse rangu i një matrice të rendit p me n është r, atëherë të gjithë elementët e rreshtave (dhe kolonave) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve përkatëse të rreshtave (dhe kolonave ) që përbëjnë bazën e vogël.
Çfarë na jep teorema e renditjes së matricës?
Nëse, me teoremën Kronecker-Capelli, kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo minor bazë të matricës kryesore të sistemit (rendi i tij është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që nuk formojnë të miturën bazë të zgjedhur. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).
Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të tepërta të sistemit, dy raste janë të mundshme.
Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.
Shembull.
.
Zgjidhje.
Rangu i matricës kryesore të sistemit 
është e barabartë me dy, meqë minorja e rendit të dytë 
të ndryshme nga zero. Rangu i zgjeruar i matricës 
është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është e barabartë me zero 
dhe minori i rendit të dytë të konsideruar më sipër është i ndryshëm nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker-Capelli, mund të pohohet përputhshmëria e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2 .
Si bazë minor, marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë: 
Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e minorit bazë, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën e rangut të matricës: 
Kështu kemi marrë një sistem elementar ekuacionesh algjebrike lineare. Le ta zgjidhim atë me metodën e Cramer: 
Përgjigje:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura n, atëherë ne lëmë termat që formojnë minorin bazë në pjesët e majta të ekuacioneve dhe termat e mbetur i transferojmë në pjesët e djathta të ekuacioneve. të sistemit me shenjën e kundërt.
Variablat e panjohur (ka r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.
Quhen ndryshore të panjohura (ka n - r) që kanë përfunduar në anën e djathtë falas.
Tani supozojmë se variablat e panjohur të lirë mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen në terma të ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE-në që rezulton me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.
Le të marrim një shembull.
Shembull.
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare 
.
Zgjidhje.
Gjeni rangun e matricës kryesore të sistemit 
me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor i rendit të parë jo-zero. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor të rendit të dytë jo-zero që rrethon këtë minor: 
Pra, gjetëm një minor jo zero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë: 
Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Renditja e matricës së shtuar është gjithashtu e barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.
Minorja e gjetur jozero e rendit të tretë do të merret si bazë.
Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël: 
I lëmë termat që marrin pjesë në minorin bazë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit, dhe pjesën tjetër i transferojmë me shenja të kundërta në anët e djathta: 
Ne u japim variablave të panjohur falas x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë marrim 
, ku janë numra arbitrarë. Në këtë rast, SLAE merr formën 
Sistemin elementar të marrë të ekuacioneve algjebrike lineare e zgjidhim me metodën Cramer: 
Prandaj, .
Në përgjigje, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.
Përgjigje:
Ku janë numrat arbitrarë.
Përmblidhni.
Për të zgjidhur një sistem ekuacionesh algjebrike lineare të një forme të përgjithshme, së pari zbulojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse rangu i matricës kryesore nuk është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i paqëndrueshëm.
Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim minorin bazë dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e minorit bazë të zgjedhur.
Nëse rendi i bazës minor është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, e cila mund të gjendet me çdo metodë të njohur për ne.
Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë ne i lëmë termat me variablat kryesore të panjohura në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe caktojmë vlera arbitrare. tek variablat e panjohur të lirë. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare, ne gjejmë variablat kryesore të panjohura me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Duke përdorur metodën e Gausit, mund të zgjidhen sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çdo lloji pa hetimin e tyre paraprak për pajtueshmërinë. Procesi i eliminimit të njëpasnjëshëm të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për mospërputhjen e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.
Nga pikëpamja e punës llogaritëse preferohet metoda Gaussian.
Shihni përshkrimin e tij të detajuar dhe shembujt e analizuar në artikullin Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Regjistrimi i zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.
Në këtë pjesë, ne do të fokusohemi në sistemet e përbashkëta homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë një numër të pafund zgjidhjesh.
Së pari, le të merremi me sistemet homogjene.
Sistemi i vendimeve themelore Një sistem homogjen i ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura është një grup (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.
Nëse caktojmë zgjidhje lineare të pavarura të një SLAE homogjene si X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë kolona matricash me dimension n me 1 ), atëherë zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me koeficientë konstante arbitrare С 1 , С 2 , …, С (n-r), pra .
Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?
Kuptimi është i thjeshtë: formula specifikon të gjitha zgjidhjet e mundshme për SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstanteve arbitrare C 1 , C 2 , ..., C (n-r), sipas formulës që ne do të marrë një nga tretësirat e SLAE origjinale homogjene.
Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i vendosim të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .
Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.
Ne zgjedhim minorin bazë të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira. Le t'u japim variablave të panjohura të lira vlerat 1,0,0,…,0 dhe të llogarisim të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, me metodën Cramer. Kështu, do të fitohet X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, atëherë marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse u japim variablave të panjohura të lira vlerat 0,0,…,0,1 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, atëherë marrim X (n-r) . Kështu do të ndërtohet sistemi themelor i zgjidhjeve të SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .
Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet si
Le të shohim shembuj.
Shembull.
Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare 
.
Zgjidhje.
Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore me metodën e fringing të të miturve. Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Gjeni minorin kufitar jozero të rendit të dytë: 
Gjendet një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero: 
Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është dy. Le të marrim minorin bazë. Për qartësi, ne vërejmë elementet e sistemit që e formojnë atë: 
Ekuacioni i tretë i SLAE origjinal nuk merr pjesë në formimin e minorit bazë, prandaj mund të përjashtohet: 
Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anën e djathtë të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:
Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE përbëhet nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura dhe rendi i minorit bazë të tij është dy. Për të gjetur X (1), ne u japim variablave të panjohura të lira vlerat x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve 
.
- Sistemet m ekuacionet lineare me n i panjohur.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineareështë një grup i tillë numrash ( x 1, x 2, …, x n), duke e zëvendësuar atë në secilin nga ekuacionet e sistemit, fitohet barazia e saktë.
Ku a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n janë koeficientët e sistemit;
b i , i = 1, …, m- anëtarë të lirë;
x j, j = 1, …, n- e panjohur.
Sistemi i mësipërm mund të shkruhet në formë matrice: A X = B,
ku ( A|B) është matrica kryesore e sistemit;
A— matrica e zgjeruar e sistemit;
X- kolona e të panjohurave;
Bështë një kolonë anëtarësh të lirë.
Nëse matrica B nuk është një matricë null ∅, atëherë ky sistem ekuacionesh lineare quhet johomogjen.
Nëse matrica B= ∅, atëherë ky sistem ekuacionesh lineare quhet homogjen. Një sistem homogjen ka gjithmonë një zgjidhje zero (të parëndësishme): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Sistemi i përbashkët i ekuacioneve lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një zgjidhje.
Sistemi jokonsistent i ekuacioneve lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që nuk ka zgjidhje.
Një sistem i caktuar ekuacionesh lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një zgjidhje unike.
Sistemi i pacaktuar ekuacionesh lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një numër të pafund zgjidhjesh. - Sistemet e n ekuacioneve lineare me n të panjohura
Nëse numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve, atëherë matrica është katrore. Përcaktori i matricës quhet përcaktor kryesor i sistemit të ekuacioneve lineare dhe shënohet me simbolin Δ.
Metoda Cramer për zgjidhjen e sistemeve n ekuacionet lineare me n i panjohur.
Rregulli i Kramerit.
Nëse përcaktori kryesor i një sistemi ekuacionesh lineare nuk është i barabartë me zero, atëherë sistemi është konsistent dhe i përcaktuar, dhe zgjidhja e vetme llogaritet duke përdorur formulat Cramer:
ku Δ i janë përcaktorët që përftohen nga përcaktorja kryesore e sistemit Δ duke zëvendësuar i kolona th në kolonën e anëtarëve të lirë. . - Sisteme m ekuacionesh lineare me n të panjohura
Teorema Kronecker-Cappelli.
Që ky sistem ekuacionesh lineare të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të sistemit, rang(Α) = rang(Α|B).
Nëse rang(Α) ≠ rang(Α|B), atëherë sistemi padyshim nuk ka zgjidhje.
Nëse rang(Α) = rang(Α|B), atëherë janë të mundshme dy raste:
1) rang(Α) = n(në numrin e të panjohurave) - zgjidhja është unike dhe mund të merret me formulat e Cramer-it;
2) gradë (Α)< n − ka pafundësisht shumë zgjidhje. - Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Le të hartojmë matricën e shtuar ( A|B) të sistemit të dhënë të koeficientëve në pjesët e panjohura dhe të djathta.
Metoda Gaussian ose metoda e eliminimit të të panjohurave konsiston në zvogëlimin e matricës së shtuar ( A|B) me ndihmën e shndërrimeve elementare mbi rreshtat e saj në një formë diagonale (në një formë trekëndore të sipërme). Duke u kthyer në sistemin e ekuacioneve, përcaktohen të gjitha të panjohurat.
Transformimet elementare në vargje përfshijnë si më poshtë:
1) ndërrimi i dy rreshtave;
2) shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga 0;
3) duke i shtuar vargut një varg tjetër të shumëzuar me një numër arbitrar;
4) Hedhja e një vargu null.
Një matricë e zgjeruar e reduktuar në një formë diagonale korrespondon me një sistem linear ekuivalent me atë të dhënë, zgjidhja e të cilit nuk shkakton vështirësi. . - Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene.
Sistemi homogjen ka formën:
i përgjigjet ekuacionit të matricës A X = 0.
1) Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi r(A) = r(A|B), ka gjithmonë një zgjidhje zero (0, 0, ..., 0).
2) Që një sistem homogjen të ketë një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r = r(A)< n , e cila është ekuivalente me Δ = 0.
3) Nëse r< n , atëherë Δ = 0, atëherë ka të panjohura të lira c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemi ka zgjidhje jo të parëndësishme dhe ka pafundësisht shumë prej tyre.
4) Zgjidhja e përgjithshme X në r< n mund të shkruhet në formë matrice si më poshtë:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
ku janë zgjidhjet X 1 , X 2 , …, X n-r formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
5) Sistemi themelor i zgjidhjeve mund të merret nga zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen:
,
nëse supozojmë sekuencialisht vlerat e parametrave të jenë (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Zbërthimi i zgjidhjes së përgjithshme për sa i përket sistemit themelor të zgjidhjeveështë një rekord i zgjidhjes së përgjithshme si një kombinim linear i zgjidhjeve që i përkasin sistemit themelor.
Teorema. Që një sistem ekuacionesh homogjene lineare të ketë një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ ≠ 0.
Pra, nëse përcaktorja është Δ ≠ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.
Nëse Δ ≠ 0, atëherë sistemi i ekuacioneve homogjene lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Teorema. Që një sistem homogjen të ketë një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r(A)< n .
Dëshmi:
1) r nuk mund të jetë më shumë n(renditja e matricës nuk e kalon numrin e kolonave ose rreshtave);
2) r< n , sepse Nëse r=n, atëherë përcaktori kryesor i sistemit Δ ≠ 0, dhe, sipas formulave të Cramer-it, ekziston një zgjidhje unike e parëndësishme x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, që bie ndesh me kushtin. Do të thotë, r(A)< n .
Pasoja. Për një sistem homogjen n ekuacionet lineare me n e panjohura ka një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ = 0.
Sistemet e ekuacioneve lineare. Leksioni 6
Sistemet e ekuacioneve lineare.
Konceptet bazë.
sistemi i pamjes
thirrur sistem - ekuacione lineare me të panjohura.
Numrat , , quhen koeficientët e sistemit.
Numrat thirren anëtarët e lirë të sistemit, – variablat e sistemit. Matricë
thirrur matricës kryesore të sistemit, dhe matricës
– sistemi i zgjeruar i matricës. Matricat - kolonat
Dhe përkatësisht matricat e anëtarëve të lirë dhe të panjohurave të sistemit. Pastaj, në formë matrice, sistemi i ekuacioneve mund të shkruhet si . Zgjidhja e sistemit quhet vlerat e variablave, kur zëvendësohen të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi të vërteta numerike. Çdo zgjidhje e sistemit mund të përfaqësohet si një kolonë-matricë. Atëherë barazia e matricës është e vërtetë.
Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët nëse ka të paktën një zgjidhje dhe të papajtueshme nëse nuk ka zgjidhje.
Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare do të thotë të gjesh nëse ai është i pajtueshëm dhe, nëse është i pajtueshëm, të gjesh zgjidhjen e tij të përgjithshme.
Sistemi quhet homogjene nëse të gjithë termat e tij të lirë janë të barabartë me zero. Një sistem homogjen është gjithmonë i pajtueshëm sepse ka një zgjidhje
Teorema Kronecker-Kopelli.
Përgjigja në pyetjen e ekzistencës së zgjidhjeve të sistemeve lineare dhe unike e tyre na lejon të marrim rezultatin e mëposhtëm, i cili mund të formulohet si deklaratat e mëposhtme për një sistem ekuacionesh lineare me të panjohura
(1)
Teorema 2. Sistemi i ekuacioneve lineare (1) është i qëndrueshëm nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e asaj të zgjeruar (.
Teorema 3. Nëse rangu i matricës kryesore të një sistemi të përbashkët ekuacionesh lineare është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.
Teorema 4. Nëse rangu i matricës kryesore të një sistemi të përbashkët është më i vogël se numri i të panjohurave, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Rregullat për zgjidhjen e sistemeve.
3. Gjeni shprehjen e variablave kryesore në terma të atyre të lirë dhe merrni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit.
4. Duke u dhënë vlera arbitrare variablave të lirë, fitohen të gjitha vlerat e variablave kryesore.
Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.
Metoda e matricës së kundërt.
dhe, d.m.th., sistemi ka një zgjidhje unike. Sistemin e shkruajmë në formë matrice
Ku 
,
,
.
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit të matricës në të majtë me matricën
Që nga , marrim , nga e cila marrim barazi për gjetjen e të panjohurave
Shembulli 27. Duke përdorur metodën e matricës së kundërt, zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare 
Zgjidhje. Shënoni me matricën kryesore të sistemit
.
Le , pastaj gjejmë zgjidhjen me formulë .
Le të llogarisim.
Që atëherë, sistemi ka një zgjidhje unike. Gjeni të gjitha shtesat algjebrike
,
,
,
,
,
,
,
,
Kështu
.
Le të kontrollojmë
.
Matrica e anasjelltë është gjetur saktë. Nga këtu, duke përdorur formulën, gjejmë matricën e variablave.
.
Duke krahasuar vlerat e matricave, marrim përgjigjen: .
Metoda e Cramer-it.
Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare me të panjohura
dhe, d.m.th., sistemi ka një zgjidhje unike. Zgjidhjen e sistemit e shkruajmë në formë matrice ose
Shënoni
. . . . . . . . . . . . . . ,
Kështu, marrim formula për gjetjen e vlerave të të panjohurave, të cilat quhen Formulat e Cramer-it.
Shembulli 28. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer-it 
.
Zgjidhje. Gjeni përcaktorin e matricës kryesore të sistemit
.
Që atëherë, sistemi ka një zgjidhje unike.
Gjeni përcaktuesit e mbetur për formulat e Cramer-it
,
,
.
Duke përdorur formulat e Cramer, gjejmë vlerat e variablave
Metoda e Gausit.
Metoda konsiston në përjashtimin sekuencial të variablave.
Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare me të panjohura.
Procesi i zgjidhjes Gaussian përbëhet nga dy hapa:
Në fazën e parë, matrica e zgjeruar e sistemit reduktohet në formën hap pas hapi me ndihmën e transformimeve elementare.
,
ku , që korrespondon me sistemin
Pas kësaj variablat 
konsiderohen të lira dhe në çdo ekuacion kalohen në anën e djathtë.
Në fazën e dytë, ndryshorja shprehet nga ekuacioni i fundit, vlera që rezulton zëvendësohet në ekuacion. Nga ky ekuacion
shprehet ndryshorja. Ky proces vazhdon deri në ekuacionin e parë. Rezultati është një shprehje e variablave kryesore në terma të variablave të lirë 
.
Shembulli 29. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm duke përdorur metodën Gaussian
Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe ta zvogëlojmë atë në formën e hapit
.
Sepse 
është më i madh se numri i të panjohurave, atëherë sistemi është kompatibil dhe ka një numër të pafund zgjidhjesh. Le të shkruajmë sistemin për matricën e hapave
Përcaktori i matricës së zgjeruar të këtij sistemi, i përbërë nga tre kolonat e para, nuk është i barabartë me zero, prandaj e konsiderojmë bazë. Variablat
Do të jetë bazë dhe ndryshorja do të jetë falas. Le ta zhvendosim atë në të gjitha ekuacionet në anën e majtë
Nga ekuacioni i fundit që shprehim
Duke e zëvendësuar këtë vlerë në ekuacionin e dytë të parafundit, marrim
ku 
. Duke zëvendësuar vlerat e variablave dhe në ekuacionin e parë, gjejmë 
. Përgjigjen e shkruajmë në formën e mëposhtme
ME n i panjohur është një sistem i formës:
Ku aij Dhe b i (i=1,…,m; b=1,…,n) janë disa numra të njohur, dhe x 1,…,x n- numra të panjohur. Në shënimin e koeficientëve aij indeks i përcakton numrin e ekuacionit, dhe e dyta jështë numri i të panjohurës në të cilën ndodhet ky koeficient.
Sistemi homogjen - kur të gjithë anëtarët e lirë të sistemit janë të barabartë me zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), situata është e kundërta sistem heterogjen.
Sistemi katror - kur numri m ekuacionet janë të barabarta me numrin n i panjohur.
Zgjidhja e sistemit- vendosur n numrat c 1 , c 2 , ..., c n , të tillë që zëvendësimi i të gjithëve c i në vend të x i në një sistem i kthen të gjitha ekuacionet e tij në identitete.
Sistemi i përbashkët - kur sistemi ka të paktën një zgjidhje, dhe sistem i papajtueshëm kur sistemi nuk ka zgjidhje.
Një sistem i përbashkët i këtij lloji (siç është dhënë më sipër, le të jetë (1)) mund të ketë një ose më shumë zgjidhje.
Zgjidhjet c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Dhe c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistemi i përbashkët i tipit (1) do të ndryshme, kur edhe 1 nga barazitë nuk plotësohet:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
Një sistem i përbashkët i tipit (1) do të caktuara kur ka vetëm një zgjidhje; kur një sistem ka të paktën 2 zgjidhje të ndryshme, ai bëhet i nënpërcaktuar. Kur ka më shumë ekuacione sesa të panjohura, sistemi është ripërcaktuar.
Koeficientët për të panjohurat shkruhen si matricë:
Quhet matrica e sistemit.
Numrat që janë në anën e djathtë të ekuacioneve, b 1,…,b m janë anëtarë të lirë.
Agregat n numrat c 1,…,c nështë zgjidhje e këtij sistemi kur të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi pasi të zëvendësohen numrat në to c 1,…,c n në vend të të panjohurave përkatëse x 1,…,x n.
Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, mund të shfaqen 3 opsione:
1. Sistemi ka vetëm një zgjidhje.
2. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, . Zgjidhja e këtij sistemi do të jenë të gjitha çiftet e numrave që ndryshojnë në shenjë.
3. Sistemi nuk ka zgjidhje. Për shembull, , nëse ekziston një zgjidhje, atëherë x 1 + x 2është e barabartë me 0 dhe 1 në të njëjtën kohë.
Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.
Metodat e drejtpërdrejta jepni një algoritëm me të cilin gjendet zgjidhja e saktë SLAU(sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare). Dhe nëse saktësia do të ishte absolute, ata do ta kishin gjetur atë. Një kompjuter i vërtetë elektrik, natyrisht, funksionon me një gabim, kështu që zgjidhja do të jetë e përafërt.
Shumë probleme praktike reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike të shkallës 1 ose, siç quhen zakonisht, sistemet e ekuacioneve lineare. Ne do të mësojmë të zgjidhim çdo sistem të tillë, pa kërkuar as që numri i ekuacioneve të përkojë me numrin e të panjohurave.
Në përgjithësi, sistemi i ekuacioneve lineare shkruhet si më poshtë:
Këtu janë numrat aij– shanset sistemet, b i – anëtarë të lirë, x i- simbolet i panjohur . Është shumë i përshtatshëm për të futur shënimin e matricës:- kryesore matrica e sistemit, – matrica-kolona e termave të lira, – matrica-kolona e të panjohurave. Atëherë sistemi mund të shkruhet si më poshtë: sëpata=B ose më në detaje:
Nëse, në anën e majtë të kësaj barazie, kryeni shumëzimin e matricës sipas rregullave të zakonshme dhe barazoni elementet e kolonës që rezulton me elementët NË, atëherë do të arrijmë në shënimin origjinal të sistemit.
Shembulli 14. Ne shkruajmë të njëjtin sistem ekuacionesh lineare në dy mënyra të ndryshme:
Zakonisht quhet sistemi i ekuacioneve lineare të përbashkët , nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe të papajtueshme, nëse nuk ka zgjidhje.
Në shembullin tonë, sistemi është i pajtueshëm, kolona është zgjidhja e tij:
Kjo zgjidhje mund të shkruhet edhe pa matrica: x=2, y=1 . Ne do ta quajmë sistemin e ekuacioneve i pasigurt , nëse ka më shumë se një zgjidhje, dhe të caktuara nëse zgjidhja është unike.
Shembulli 15. Sistemi është i papërcaktuar. Për shembull, janë zgjidhjet e tij. Lexuesi mund të gjejë shumë zgjidhje të tjera për këtë sistem.
Le të mësojmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve lineare së pari në një rast të veçantë. Sistemi i ekuacioneve Oh=NË do të thërrasim Kramerovskaya , nëse matrica e saj kryesore A janë katrore dhe jo të degjeneruara. Me fjalë të tjera, në sistemin Cramerian, numri i të panjohurave përkon me numrin e ekuacioneve dhe .
Teorema 6. (rregulla e Kramerit). Sistemi i ekuacioneve lineare Cramer ka një zgjidhje unike të dhënë nga formula:
ku është përcaktorja e matricës kryesore, është përcaktorja e përftuar nga D zëvendësim i-kolona e-të me një kolonë anëtarësh të lirë.
Koment. Sistemet Cramer gjithashtu mund të zgjidhen në një mënyrë tjetër, duke përdorur matricën e kundërt. Ne shkruajmë një sistem të tillë në formën e matricës: sëpata=NË. Meqenëse , atëherë ekziston një matricë e kundërt A –1 . Ne e shumëzojmë barazinë e matricës me A –1 majtas: A –1 Oh=A –1 NË. Sepse A –1 Oh=SH.SH=X, atëherë gjendet zgjidhja e sistemit: X= A –1 NË.Këtë metodë zgjidhjeje do ta quajmë matricë . Theksojmë edhe një herë se është i përshtatshëm vetëm për sistemet Cramer - në raste të tjera, matrica e kundërt nuk ekziston. Më poshtë, lexuesi do të gjejë shembujt e analizuar të aplikimit të metodës së matricës dhe metodës Cramer.
Le të studiojmë më në fund rastin e përgjithshëm, sistemin m ekuacionet lineare me n i panjohur. Për ta zgjidhur atë, aplikoni Metoda e Gausit , të cilin do ta shqyrtojmë në detaje.Për një sistem ekuacionesh arbitrare Oh=NË shkruani jashtë zgjatur matricë. Pra, është zakon të quhet matrica, e cila do të dalë nëse matrica kryesore A në të djathtë, shtoni një kolonë anëtarësh falas NË:
Ashtu si në llogaritjen e renditjes, me ndihmën e transformimeve elementare të rreshtave dhe permutacioneve të kolonave, ne do ta sjellim matricën tonë në një formë trapezoidale. Në këtë rast, sigurisht, sistemi i ekuacioneve që korrespondojnë me matricën do të ndryshojë, por do të jetë është e barabartë me origjinal (ᴛ.ᴇ. do të ketë të njëjtat zgjidhje). Në të vërtetë, rirregullimi ose shtimi i ekuacioneve nuk do të ndryshojë zgjidhjet. Rirregullimi i kolonave - Gjithashtu: Ekuacionet x 1+3x2+7x3=4 Dhe x 1+7x3+3x2=4, janë, natyrisht, ekuivalente. Është e nevojshme vetëm të shkruhet se cilës kolonë të panjohur korrespondon. Ne nuk e riorganizojmë kolonën e anëtarëve të lirë - ajo zakonisht ndahet nga të tjerët me një vijë me pika në matricë. Zero rreshtat që shfaqen në matricë mund të hiqen.
Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:
Zgjidhje. Ne shkruajmë matricën e zgjeruar dhe e sjellim atë në një formë trapezoidale. Shenjë ~ tani do të nënkuptojë jo vetëm koincidencën e gradave, por edhe ekuivalencën e sistemeve përkatëse të ekuacioneve.
~ . Le të shpjegojmë hapat e ndërmarrë.
Veprimi 1. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të dytë, duke e shumëzuar atë me (–2). Në rreshtat e 3-të dhe të 4-të ata shtuan të parin, duke e shumëzuar me (–3). Qëllimi i këtyre veprimeve është të merren zero në kolonën e parë, poshtë diagonales kryesore.
Veprimi 2. Meqenëse në vendin diagonal (2,2) ka 0 , më duhej të riorganizoja kolonat e 2-të dhe të 3-të. Për të kujtuar këtë ndërrim, ne shkruajmë simbolet e të panjohurave sipër.
Veprimi 3. Në rreshtin e 3-të ata i shtuan të dytin, duke e shumëzuar me (–2). Rreshti i dytë u shtua në rreshtin e 4-të. Qëllimi është të merrni zero në kolonën e dytë, poshtë diagonales kryesore.
Veprimi 4. Linjat zero mund të hiqen.
Pra, matrica reduktohet në një formë trapezoidale. Rangu i saj r=2 . E panjohur x 1, x 3- bazë; x 2, x 4- falas. Le të caktojmë vlera arbitrare për të panjohurat e lira:
x 2= a, x 4= b.
Këtu a, b janë ndonjë numër. Tani nga ekuacioni i fundit i sistemit të ri
x 3+x4= –3
Gjej x 3: x 3= –3 –b. Duke u ngritur lart, nga ekuacioni i parë
x 1+3 x 3+2 x 2+4x4= 5
Gjej x 1: x 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.
Ne shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme:
x 1=14 –2a–b, x2=a, x3=–3 –b,x4=b.
Zgjidhjen e përgjithshme mund ta shkruani në formën e një kolone-matrice:
Për vlera specifike a Dhe b, ju mund të merrni private Zgjidhjet. Për shembull, kur a=0,b=1 marrim: është një nga zgjidhjet e sistemit.
Vërejtje. Në algoritmin e metodës Gauss, ne kemi parë (rasti 1), se mospërputhja e sistemit të ekuacioneve është e lidhur me mospërputhjen e radhëve të matricave kryesore dhe të zgjeruara. Ne paraqesim teoremën e mëposhtme të rëndësishme pa prova.
Teorema 7 (Kronecker-Capelli). Një sistem ekuacionesh lineare është i qëndrueshëm nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të sistemit.
Sistemet e ekuacioneve lineare - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Sistemet e ekuacioneve lineare" 2017, 2018.
Kështu që rreshtat (ose kolonat) e tij janë të varura në mënyrë lineare. Le të jepet një sistem që përmban m ekuacione lineare me n të panjohura: 5.1. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm. 5.2., - matrica e sistemit - matrica e tij e zgjeruar. - kolona e anëtarëve të lirë. - kolona e të panjohurave. Nëse... .
optimizimi jolinear (NNO) dhe anasjelltas. Paraqitja e problemës ZNO: Gjeni (8.1) një minimum ose një maksimum në një zonë D. Siç e kujtojmë nga mat. analiza, derivatet e pjesshme duhet të barazohen me zero. Kështu, ZNO (8.1) u reduktua në SLE (8.2) (8.2) të n ekuacioneve jolineare. ....
Leksioni 15 Konsideroni një sistem johomogjen (16) Nëse koeficientët përkatës të një sistemi homogjen (7) janë të barabartë me koeficientët përkatës të një sistemi johomogjen (16), atëherë sistemi homogjen (7) quhet sistemi korrespondues johomogjen (16) . Teorema. Nëse... [lexo më shumë] .
7.1 Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare. Le të jepet një sistem homogjen ekuacionesh lineare (*) Supozoni se një grup numrash është një lloj zgjidhjeje për këtë sistem. Atëherë bashkësia e numrave është gjithashtu një zgjidhje. Kjo vërtetohet me zëvendësim të drejtpërdrejtë në ekuacionet e sistemit.... .
Tabela 3 Fazat e zhvillimit motorik të një fëmije Faza Mosha Treguesit e zhvillimit motorik koha e lindjes deri në 4 muaj Formimi i kontrollit mbi pozicionin e kokës dhe mundësia e orientimit të saj të lirë në hapësirë 4-6 muaj duke zotëruar fillimin ... .
Përkufizimi 1. Një sistem ekuacionesh lineare të formës (1) , ku, fusha, quhet një sistem m ekuacionesh lineare me n të panjohura mbi fushë, janë koeficientët e të panjohurave, janë anëtarët e lirë të sistemit ( 1). Përkufizim 2. Një n-ka e renditur (), ku, quhet zgjidhja e një sistemi linear ... .
