Calculul matricelor prin metoda lui Cramer. Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acțiuni asupra matricelor

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul 3, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

Este acolo regula lui Cramer rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Soluţie . Aflarea determinantului matricei principale a sistemului

Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem putem aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculăm încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția a fost găsită corect. 

Regulile lui Cramer obținute pentru sistemele liniare de ordinul 2 și 3 sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Se întâmplă cu adevărat

teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție și această soluție se calculează folosind formulele

(2.5)

Unde  – determinant al matricei principale,  i – determinant matriceal, obtinut din cel principal, inlocuindia-a coloană a membrilor liberi.

Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu se aplică. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce a formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordine superioară.

2.4. Determinanți de ordin al n-lea

Minor suplimentar M ij element A ij este un determinant obținut dintr-un dat prin ștergere i a linia și j a coloana. Complement algebric A ij element A ij minorul acestui element luat cu semnul (–1) se numește i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, să găsim minorele și complementele algebrice ale elementelor A 23 și A 31 de calificari

Primim



Folosind conceptul de complement algebric putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant de matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (sau coloană) prin complementele lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n Ordinea de pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să selectați rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:

acestea. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții sortându-i mai întâi într-un rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, selectați coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi indicată printr-o săgeată.



2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n Ordinul –1 poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul 1, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calcularea factorilor determinanți ai comenzilor foarte mari devine o sarcină destul de intensivă în muncă, dincolo de capacitățile chiar și ale unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele din acesta sunt schimbate, de exemplu. la transpunerea unei matrice:

.

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este valabilă și pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) a unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană), înmulțite cu orice număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților matricelor:

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și incert)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistemul este inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse la probleme de căutare a proprietăților generale ale oricăror fenomene sau obiecte. Adică ați inventat un material sau dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau cantitatea specimenului, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți pentru variabile există scrisori. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute

Pentru a stăpâni acest paragraf, trebuie să poți dezvălui determinanții „două câte doi” și „trei câte trei”. Dacă ești prost cu calificative, te rog să studiezi lecția Cum se calculează determinantul?

În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!

Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari; în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.

Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce poate fi efectuat în mod convenabil pe un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:

1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană

În timpul soluției, este mai bine să descrieți în detaliu calculul minorilor, deși cu ceva experiență vă puteți obișnui să le calculați cu erori oral.

În prima parte, am analizat ceva material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în procesul de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.

Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar; aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!

Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari; în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.

Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce poate fi efectuat în mod convenabil pe un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:

1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană

Metode KramerȘi Gauss- una dintre cele mai populare metode de rezolvare SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi vom analiza soluția folosind metoda lui Cramer. La urma urmei, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată X , în care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluție a sistemului, A Și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat în capul tău sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) într-un SLAE, iar aici simplele manipulări școlare nu sunt suficiente. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE-urile folosind metoda lui Cramer!

Deci, lăsați sistemul să fie format din n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici A – matricea principală a sistemului, X Și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și termeni liberi.

Rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda lui Cramer.

Conform metodei lui Cramer, soluția se găsește folosind formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x nth – determinant obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de termeni liberi.

Aceasta este întreaga esență a metodei Cramer. Înlocuind valorile găsite folosind formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid esența, vă oferim mai jos un exemplu de soluție detaliată a SLAE folosind metoda Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină practică, vei începe să spargi SLAU-uri precum nucile. Mai mult, acum nu este absolut necesar să studiezi cu atenție un caiet, rezolvând calcule greoaie și redactând nucleul. Puteți rezolva cu ușurință SLAE-urile folosind metoda lui Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finală. Puteți încerca un calculator de soluții online folosind metoda lui Cramer, de exemplu, pe acest site web.

Și dacă sistemul se dovedește a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, pentru a cumpăra un rezumat. Dacă în sistem există cel puțin 100 de necunoscute, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!