Ecuație în diferențiale totale. Ecuații în diferențiale totale Ecuații în diferențiale totale de ordinul întâi

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Reconstruirea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile unei integrale curbilinii de al doilea fel.

Expresia pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:

Găsiți funcția.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială completă a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunțului problemei, adică să se verifice condiția necesară și suficientă pentru diferența totală, care pentru o funcție de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(X,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție din diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. 18):

Astfel, se obţine că integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total dU(X,y) este egală cu diferența dintre valorile funcției U(X,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.

Cunoscând acest rezultat acum, trebuie să înlocuim dUîn expresia integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul liniei întrerupte ( ACB), având în vedere independența sa față de forma liniei de integrare:

pe ( A.C.): pe ( NE) :

(1)

Astfel, s-a obţinut o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie a 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcție din diferența sa totală doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (reconstruirea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(X,y), Dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm condiția pentru diferența totală a unei funcții a două variabile:

Condiția diferențială completă este satisfăcută, ceea ce înseamnă funcția U(X,y) poate fi restaurat.

Verificați: – adevărat.

Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm condițiile necesare și suficiente pentru diferența completă a unei funcții de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile pentru un diferențial complet sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este formulată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, o integrală curbilinie de al doilea fel dintr-o diferență totală nu depinde de forma liniei de integrare, așa că este cel mai ușor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente paralele cu axele de coordonate. În acest caz, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar că în acest punct și de-a lungul întregii linii de integrare este îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică, astfel încât funcțiile și sunt continue). Ținând cont de această remarcă, în această problemă putem lua, de exemplu, punctul M 0 ca punct fix. Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Arată cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt date metode de rezolvare. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (X y) din variabilele x, y:
.
în care .

Dacă se găseşte o astfel de funcţie U (X y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală este:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei sale:
,
atunci este ușor să-l aduci în formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx. Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:
(1) .

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale

Pentru ca ecuația (1) a fost o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient pentru ca relația să se țină:
(2) .

Dovada

În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y. Punctul x 0, y 0 aparține și acestei zone.

Să demonstrăm necesitatea condiției (2).
Lasă partea stângă a ecuației (1) este diferența unei funcții U (X y):
.
Apoi
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci
;
.
Rezultă că . Condiție de necesitate (2) dovedit.

Să demonstrăm suficiența condiției (2).
Să fie îndeplinită condiția (2) :
(2) .
Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U (X y) că diferența sa este:
.
Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U (X y), care satisface ecuațiile:
(3) ;
(4) .
Să găsim o astfel de funcție. Să integrăm ecuația (3) prin x din x 0 la x, presupunând că y este o constantă:
;
;
(5) .
Diferențiem față de y, presupunând că x este o constantă și se aplică (2) :

.
Ecuația (4) va fi executat dacă
.
Integrați peste y din y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci, am găsit o funcție a cărei diferenţială
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x 0 , y 0) este o constantă - valoarea funcției U (X y)în punctul x 0, y 0. I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe totale, trebuie să verificați condiția (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci această ecuație este în diferențe totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație diferențială totală.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
.

Aici
, .
Diferențiem față de y, considerând constanta x:


.
Sa facem diferenta


.
Deoarece:
,
atunci ecuația dată este în diferențe totale.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvențială

Cea mai simplă metodă de rezolvare a unei ecuații în diferențiale totale este metoda izolării secvenţiale a diferenţialei. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise în formă diferențială:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația izolând succesiv diferența.
;
;
;
;

.
Înlocuiește în (P1):
;
.

Metoda de integrare succesivă

În această metodă căutăm funcția U (X y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
.
Aici φ (y)- o funcție arbitrară a lui y care trebuie determinată. Este constanta integrării. Înlocuiți în ecuație (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y)și, astfel, U (X y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențiale totale:
.

Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem următoarea notație:
, .
Se caută funcția U (X y), a cărei diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
.
Apoi:
(3) ;
(4) .
Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Să înlocuim (4) :
;
.
Să integrăm:
.
Să înlocuim (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U definită de relația:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x 0 , y 0)Și (X y):
(7) .
Deoarece
(8) ,
atunci integrala depinde numai de coordonatele initialei (x 0 , y 0) si finala (X y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) Și (8) găsim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U (x 0 , y 0)- de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici integrarea se realizează mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) până la punctul (x 0 , y). Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x 0 , y) până la punctul (X y) .

Mai general, trebuie să reprezentați ecuația unei curbe care leagă punctele (x 0 , y 0 )Și (X y) sub forma parametrica:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
și integrează peste t 1 de la T 0 la t.

Cel mai simplu mod de a realiza integrarea este peste un segment de puncte de conectare (x 0 , y 0 )Și (X y). În acest caz:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
După înlocuire, obținem integrala peste t din 0 inainte de 1 .
Această metodă, însă, duce la calcule destul de greoaie.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.

unele functii. Dacă restabilim o funcție din diferența sa totală, vom găsi integrala generală a ecuației diferențiale. Mai jos vom vorbi despre metoda de restabilire a unei funcţii din diferenţialul ei total.

Partea stângă a unei ecuații diferențiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0, dacă condiția este îndeplinită.

Deoarece funcție diferențială completă U(x, y) = 0 Acest , ceea ce înseamnă că atunci când condiția este îndeplinită, se precizează că .

Apoi, .

Din prima ecuație a sistemului obținem . Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:

În acest fel vom găsi funcția necesară U(x, y) = 0.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:

Apoi, partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece este diferența totală a funcției U(x, y) = 0, Mijloace:

.

Ne integrăm prin X prima ecuație a sistemului și diferențiați în raport cu y rezultat:

.

Din ecuația a 2-a a sistemului obținem . Mijloace:

Unde CU- constantă arbitrară.

Astfel, integrala generală a ecuației date va fi .

Există un al doilea metoda de calcul a unei funcţii din diferenţialul ei total. Constă în luarea integralei drepte a unui punct fix (x 0 , y 0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): . În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca traseu de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

Verificăm îndeplinirea condiției:

Astfel, partea stângă a ecuației diferențiale este diferența completă a unei funcții U(x, y) = 0. Să găsim această funcție calculând integrala curbilinie a punctului (1; 1) inainte de (X y). Ca cale de integrare luăm o linie întreruptă: prima secțiune a liniei întrerupte este trecută de-a lungul unei linii drepte y = 1 din punct (1, 1) inainte de (x, 1), a doua secțiune a traseului ia un segment de linie dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):

Deci, soluția generală a telecomenzii arată astfel: .

Exemplu.

Să determinăm soluția generală a DE.

Soluţie.

Deoarece , ceea ce înseamnă că condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a ecuației diferențiale nu va fi o diferență completă a funcției și trebuie să utilizați a doua metodă de soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).

Se poate întâmpla ca partea stângă a ecuației diferențiale

este diferența totală a unei funcții:

și prin urmare, ecuația (7) ia forma .

Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci , și, prin urmare,

unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finită (8) într-o identitate, atunci, diferențiind identitatea rezultată, obținem , și, prin urmare, , unde este o constantă arbitrară, este integrala generală a originalului ecuaţie.

Dacă sunt date valori inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și

este integrala parțială dorită. Dacă în punctul , atunci ecuația (9) este definită ca o funcție implicită a lui .

Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie o diferență completă a unei funcții, este necesar și suficient ca

Dacă această condiție specificată de Euler este îndeplinită, atunci ecuația (7) poate fi integrată cu ușurință. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,

Când se calculează integrala, cantitatea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a . Pentru a determina funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce , obținem

Din această ecuație determinăm și, prin integrare, găsim .

După cum se știe din cursul analizei matematice, este și mai simplu să se determine o funcție prin diferența sa totală, luând integrala curbilinie dintre un anumit punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:

Cel mai adesea, ca cale de integrare, este convenabil să se ia o linie întreruptă compusă din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz,

Exemplu. .

Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece

Prin urmare, integrala generală are forma

O altă metodă de definire a unei funcții poate fi utilizată:

Alegem, de exemplu, originea coordonatelor ca punct de plecare și o linie întreruptă ca cale de integrare. Apoi

iar integrala generală are forma

Ceea ce coincide cu rezultatul anterior, conducând la un numitor comun.

În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferențială completă, este ușor să selectați o funcție, după înmulțirea cu care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență completă. Această funcție este numită factor integrator. Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții parțiale inutile care transformă acest factor la zero.

Exemplu. .

Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă se transformă într-o diferență totală. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem

sau, integrând, . Inmultind cu 2 si potentand, avem .

Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna ales atât de ușor. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să se selecteze cel puțin o soluție parțială a ecuației în derivate parțiale, sau în formă extinsă, care să nu fie identic zero.

care, după împărțirea și transferarea unor termeni într-o altă parte a egalității, se reduce la formă

În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o sarcină mai simplă decât integrarea ecuației originale, dar în unele cazuri selectarea unei anumite soluții pentru ecuația (11) nu este dificilă.

În plus, având în vedere că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este o funcție de numai sau numai , sau o funcție de numai , sau numai , etc.), se poate integra cu ușurință ecuația (11) și indicați condițiile în care există un factor integrator de tipul în cauză. Aceasta identifică clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.

De exemplu, să găsim condițiile în care ecuația are un factor de integrare care depinde numai de , i.e. . În acest caz, ecuația (11) simplifică și ia forma , din care, considerând ca funcție continuă a lui , se obține

Dacă este o funcție numai a lui , atunci un factor integrator care depinde numai de , există și este egal cu (12), în caz contrar un factor integrator de formă nu există.

Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pentru o ecuație liniară sau . Într-adevăr, și prin urmare. Condițiile de existență a factorilor integratori ai formei etc., pot fi găsite într-un mod complet similar.

Exemplu. Ecuația are un factor integrator de formă?

Să notăm. Ecuația (11) la ia forma , de unde sau

Pentru existența unui factor integrator de tip dat este necesar și, în ipoteza continuității, suficient ca acesta să fie doar o funcție . În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când primim. Înmulțind ecuația inițială cu , o reducem la forma

Integrând, obținem , iar după potențare vom avea , sau în coordonate polare - o familie de spirale logaritmice.

Exemplu. Găsiți forma unei oglinzi care reflectă paralel cu o direcție dată toate razele care emană dintr-un punct dat.

Să plasăm originea coordonatelor într-un punct dat și să direcționăm axa absciselor paralel cu direcția specificată în condițiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă în punctul . Să considerăm o secțiune a oglinzii printr-un plan care trece prin axa absciselor și punctul . Să desenăm o tangentă la secțiunea suprafeței oglinzii luate în considerare la punctul . Deoarece unghiul de incidență al razei este egal cu unghiul de reflexie, triunghiul este isoscel. Prin urmare,

Ecuația omogenă rezultată se integrează ușor prin modificarea variabilelor, dar este și mai ușor, eliberat de iraționalitate în numitor, să o rescrieți sub forma . Această ecuație are un factor de integrare evident , , , (familie de parabole).

Această problemă poate fi rezolvată și mai simplu în coordonate și , unde , iar ecuația pentru secțiunea suprafețelor necesare ia forma .

Este posibil să se dovedească existența unui factor de integrare sau, ceea ce este același lucru, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispar. Prin urmare, metoda factorului de integrare poate fi considerată o metodă generală de integrare a ecuațiilor de forma , cu toate acestea, din cauza dificultății de a găsi factorul de integrare, această metodă este cel mai des folosită în cazurile în care factorul de integrare este evident.