Крамерын аргаар матрицыг тооцоолох. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Крамерын арга. Матрицын үйлдлүүд

Гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг ашиглан ийм системийн шийдлийг хоёр тэгшитгэлийн системтэй ижил хэлбэрээр бичиж болно, өөрөөр хэлбэл.

(2.4)

хэрэв 0. Энд

Энэ бол Крамерын дүрэм гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.3.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олох

0 тул системийн шийдлийг олохын тулд та Крамерын дүрмийг хэрэглэж болно, гэхдээ эхлээд өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоол.

Шалгалт:

Тиймээс шийдэл нь зөв олддог. 

2 ба 3-р дарааллын шугаман системд зориулж олж авсан Крамерын дүрмүүд нь ямар ч дарааллын шугаман системд ижил дүрмийг томъёолж болохыг харуулж байна. Үнэхээр болдог

Крамерын теорем. Системийн үндсэн матрицын тэг биш тодорхойлогч бүхий шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем (0) нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй бөгөөд энэ шийдлийг томъёогоор тооцоолно

(2.5)

Хаана  – гол матриц тодорхойлогч,  би – матриц тодорхойлогч, үндсэн, орлуулахаас гаралтайбиth багана чөлөөт гишүүдийн багана.

Хэрэв =0 бол Крамерын дүрэм хэрэгжихгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдэл байна гэсэн үг.

Крамерын теоремыг томъёолсны дараа дээд эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох асуулт гарч ирнэ.

2.4. n-р эрэмбийн тодорхойлогч

Нэмэлт бага М ijбүрэлдэхүүн а ijустгаснаар өгөгдсөнөөс олж авсан тодорхойлогч гэнэ би-р мөр ба j--р багана. Алгебрийн нэмэлт А ijбүрэлдэхүүн а ij(–1) тэмдгээр авсан энэ элементийн минор гэж нэрлэдэг. би + j, өөрөөр хэлбэл А ij = (–1) би + j М ij .

Жишээлбэл, элементүүдийн бага ба алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё а 23 ба а 31 тодорхойлогч

Бид авдаг



Алгебрийн нэмэлт гэдэг ойлголтыг ашиглан бид томъёолж болно тодорхойлогч тэлэлтийн теоремn-мөр, баганаар эрэмбэлнэ.

Теорем 2.1. Матрицын тодорхойлогчАЭнэ нь зарим мөр (эсвэл баганын) бүх элементүүд болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(2.6)

Энэ теорем нь тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн аргуудын нэгийг үндэслэдэг. захиалга бууруулах арга. Тодорхойлогчийн тэлэлтийн үр дүнд nЯмар ч мөр эсвэл баганын дарааллаар бид n тодорхойлогчийг авна ( n–1)-р захиалга. Ийм тодорхойлогч цөөн байхын тулд хамгийн их тэгтэй мөр эсвэл баганыг сонгох нь зүйтэй. Практикт тодорхойлогчийн өргөтгөлийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

тэдгээр. алгебрийн нэмэгдлүүд нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хувьд тодорхой бичигдсэн байдаг.

Жишээ 2.4.Тодорхойлогчдыг эхлээд дурын мөр, баганад өргөжүүлэн тооцоол. Ихэвчлэн ийм тохиолдолд хамгийн их тэгтэй багана эсвэл мөрийг сонгоно. Сонгосон мөр эсвэл баганыг сумаар тэмдэглэнэ.



2.5. Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарууд

Тодорхойлогчийг аль ч мөр, баганад өргөжүүлэхэд бид n тодорхойлогчийг авна ( n–1)-р захиалга. Дараа нь эдгээр тодорхойлогч бүр ( n–1)-р эрэмбийг мөн тодорхойлогчдын нийлбэр болгон задалж болно ( n-2)-р захиалга. Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр 1-р эрэмбийн тодорхойлогчдод хүрч болно, өөрөөр хэлбэл. тодорхойлогчийг тооцож байгаа матрицын элементүүдэд. Тиймээс 2-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолохын тулд та хоёр гишүүний нийлбэрийг, 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдод - 6 гишүүний нийлбэрийг, 4-р эрэмбийн тодорхойлогчдод - 24 гишүүний нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Тодорхойлогчийн дараалал нэмэгдэхийн хэрээр нэр томьёоны тоо эрс нэмэгдэнэ. Энэ нь маш өндөр эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох нь компьютерийн хүч чадлаас давсан нэлээд хүнд ажил болж хувирдаг гэсэн үг юм. Гэхдээ тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан тодорхойлогчийг өөр аргаар тооцоолж болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1 . Хэрэв мөр, баганыг сольсон бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. матрицыг шилжүүлэх үед:

.

Энэ шинж чанар нь тодорхойлогчийн мөр, баганын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийн баганын талаархи аливаа мэдэгдэл нь түүний мөрүүдийн хувьд үнэн бөгөөд эсрэгээр.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2 . Хоёр мөр (багана) солигдох үед тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг.

Үр дагавар . Хэрэв тодорхойлогч нь хоёр ижил мөр (багана) байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 3 . Аливаа мөр (багана) дахь бүх элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс хасаж болно..

Жишээлбэл,

Үр дагавар . Тодорхойлогчийн зарим мөр (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна..

Үл хөдлөх хөрөнгө 4 . Нэг мөр (баганын) элементүүдийг өөр эгнээний (баганын) элементүүдэд хэдэн тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй..

Жишээлбэл,

Эд хөрөнгө 5 . Матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

Крамерын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд тодорхойлогчийг ашиглахад суурилдаг. Энэ нь шийдлийн процессыг ихээхэн хурдасгадаг.

Крамерын аргыг тэгшитгэл бүрт үл мэдэгдэх олон тооны шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш бол шийдэлд Крамерын аргыг хэрэглэж болно, хэрэв тэгтэй тэнцүү бол болохгүй. Үүнээс гадна Крамерын аргыг өвөрмөц шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Тодорхойлолт. Үл мэдэгдэхийн коэффициентээс бүрдэх тодорхойлогчийг системийн тодорхойлогч гэж нэрлээд (дельта) тэмдэглэнэ.

Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд

Харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг чөлөөт нэр томъёогоор солих замаар олж авна.

;

.

Крамерын теорем. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэг биш бол шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг шийдэлтэй байх ба үл мэдэгдэх нь тодорхойлогчдын харьцаатай тэнцүү байна. Системийн тодорхойлогч нь хуваагч бөгөөд тодорхойлогч нь үл мэдэгдэх итгэлцүүрийг чөлөөт нөхцөлөөр сольж системийн тодорхойлогчоос гаргаж авсан тодорхойлогч юм. Энэ теорем нь ямар ч дарааллын шугаман тэгшитгэлийн системд хамаарна.

Жишээ 1Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

дагуу Крамерын теорембидэнд байгаа:

Тиймээс (2) системийн шийдэл:

онлайн тооцоолуур, Крамерын шийдлийн арга.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх гурван тохиолдол

-аас харагдаж байна Крамерын теоремуудШугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд гурван тохиолдол гарч болно.

Эхний тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй

(систем нь тууштай, тодорхой)

Хоёр дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй

(систем нь тогтвортой бөгөөд тодорхойгүй)

** ,

тэдгээр. үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициентүүд пропорциональ байна.

Гурав дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй

(системд нийцэхгүй)

Тиймээс систем мшугаман тэгшитгэлүүд nхувьсагч гэж нэрлэдэг нийцэхгүйхэрэв шийдэл байхгүй бол, мөн хамтарсанХэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Зөвхөн нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн хамтарсан системийг гэнэ тодорхой, мөн нэгээс олон тодорхойгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх жишээ

Системийг зөвшөөр

.

Крамерын теорем дээр үндэслэсэн

………….
,

Хаана
-

системийн танигч. Үлдсэн тодорхойлогчдыг баганыг харгалзах хувьсагчийн коэффициент (үл мэдэгдэх) чөлөөт гишүүдээр солих замаар олж авна.

Жишээ 2

.

Тиймээс тогтолцоо нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид тодорхойлогчдыг тооцоолно

Крамерын томъёогоор бид дараахь зүйлийг олдог.

Тиймээс (1; 0; -1) нь системийн цорын ганц шийдэл юм.

3 X 3 ба 4 X 4 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг шалгахын тулд та онлайн тооцоолуур болох Крамерын шийдвэрлэх аргыг ашиглаж болно.

Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлийн шугаман тэгшитгэлийн системд хувьсагч байхгүй бол тодорхойлогч дахь тэдгээрт тохирох элементүүд тэгтэй тэнцүү байна! Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Жишээ 3Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийд.

.

Шийдэл. Бид системийн тодорхойлогчийг олдог:

Тэгшитгэлийн систем болон системийн тодорхойлогчийг анхааралтай ажиглаж, тодорхойлогчийн нэг буюу хэд хэдэн элемент тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуултын хариултыг давт. Тэгэхээр тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид үл мэдэгдэх тодорхойлогчдыг тооцдог

Крамерын томъёогоор бид дараахь зүйлийг олдог.

Тэгэхээр системийн шийдэл (2; -1; 1) байна.

3 X 3 ба 4 X 4 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг шалгахын тулд та онлайн тооцоолуур болох Крамерын шийдвэрлэх аргыг ашиглаж болно.

Хуудасны дээд хэсэг

Бид хамтдаа Крамерын аргыг ашиглан системийг шийдсээр байна

Өмнө дурьдсанчлан, хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү, үл мэдэгдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй, өөрөөр хэлбэл шийдэлгүй болно. Дараах жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 6Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийд.

Шийдэл. Бид системийн тодорхойлогчийг олдог:

Системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү тул шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг бол нийцэхгүй ба тодорхой, эсвэл нийцэхгүй, өөрөөр хэлбэл шийдэлгүй байна. Тодорхой болгохын тулд бид үл мэдэгдэх тодорхойлогчдыг тооцдог

Үл мэдэгдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь нийцэхгүй, өөрөөр хэлбэл шийдэлгүй байна.

3 X 3 ба 4 X 4 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг шалгахын тулд та онлайн тооцоолуур болох Крамерын шийдвэрлэх аргыг ашиглаж болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системтэй холбоотой асуудлуудад хувьсагчийг илэрхийлэх үсгүүдээс гадна бусад үсэг байдаг. Эдгээр үсэг нь зарим тоог илэрхийлдэг бөгөөд ихэнхдээ бодит тоо байдаг. Практикт ийм тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем нь аливаа үзэгдэл, объектын ерөнхий шинж чанарыг олоход хүргэдэг. Өөрөөр хэлбэл, та шинэ материал эсвэл төхөөрөмжийг зохион бүтээсэн бөгөөд түүний хэмжээ, хуулбараас үл хамааран нийтлэг шинж чанарыг тодорхойлохын тулд хувьсагчийн зарим коэффициентийн оронд үсэг байдаг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй. Та холоос жишээ хайх шаардлагагүй.

Дараагийн жишээ нь ижил төстэй асуудалд зориулагдсан бөгөөд зөвхөн тэгшитгэл, хувьсагч, зарим бодит тоог илэрхийлэх үсгийн тоо нэмэгддэг.

Жишээ 8Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийд.

Шийдэл. Бид системийн тодорхойлогчийг олдог:

Үл мэдэгдэх тодорхойлогчийг олох

Энэ догол мөрийг эзэмшихийн тулд та "хоёр хоёр", "гурваас гурав" гэсэн шалгуурыг нээх чадвартай байх ёстой. Хэрэв шалгуур үзүүлэлтүүд муу байвал хичээлээ судлаарай Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Бид эхлээд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзье. Юуны төлөө? “Эцсийн эцэст хамгийн энгийн системийг сургуулийн аргаар, улирал бүрээр нэмж шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ч гэсэн ийм даалгавар байдаг - хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын томъёог ашиглан шийдвэрлэх. Хоёрдугаарт, энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг илүү төвөгтэй тохиолдолд - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системд хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусална.

Нэмж дурдахад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийн дагуу яг шийдэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцоолно, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
Тэгээд

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтүүдийг латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Тэгшитгэлийн үндэсийг дараах томъёогоор олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь таслал бүхий аравтын бутархай байдаг. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин бөгөөд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудыг авах нь гарцаагүй бөгөөд шийдлийн загвар нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

;

Хариулт: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёоны дагуу шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албадмалДаалгаврын хэсэг нь дараах фрагмент юм. "Тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооцоологч дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоогоор утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултаа энгийн буруу бутархайгаар илэрхийл. Чек хийх.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (нарийн дизайн, хичээлийн төгсгөлд хариулт өгөх жишээ).

Бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзэх болно.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хариулт: .

Ер нь бол бэлэн томьёоллоор шийдвэр гарч байгаа болохоор энд дахин тайлбар хэлэх онцлох зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн тэмдэглэл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв гарт компьютер байхгүй бол бид дараах зүйлийг хийнэ.

1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. Та "муу" цохилттой тулгармагц тэр даруй шалгах хэрэгтэй нөхцөлийг зөвөөр дахин бичсэн байна. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол даалгаврын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл тайван, болгоомжтой шийдээрэй, тэгээд дараа нь шалгахаа мартуузайшийдвэр гаргасны дараа цэвэр хуулбар дээр зурна. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч муу зүйлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвүүн маргаан болно. Бутархайтай хэрхэн харьцах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв таны гарт компьютер байгаа бол үүнийг шалгахын тулд автоматжуулсан програмыг ашиглана уу, үүнийг хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө) та алдаа гаргасан завсрын алхамаа шууд харах болно! Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
– орхигдсон хувьсагчийн оронд тэг тавина.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй мөр (багана) -ын дагуу тэг бүхий тодорхойлогчдыг нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол өөрөө шийдвэр гаргах жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд түүвэр болон хариултыг дуусгах).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогч шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр даалгавар нь аль хэдийн азтай оюутны цээжинд профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг өргөжүүлэх, урвуу матрицыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх шаардлагатай. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.

Жишээ 11

Системийг матрицын аргаар шийд

Шийдэл: Бид системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.
, Хаана

Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Бид ямар зарчмаар элементүүдийг матрицад бичдэг вэ гэдгийг бүгд ойлгосон байх гэж бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг оруулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд тодорхойлогчтой харьцъя:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлнэ.

Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар системийг шийддэг (Гауссын арга).

Одоо та насанд хүрээгүй 9 хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний эгнээ, гурав дахь баганад байгаа бол, жишээлбэл, элемент нь 3-р эгнээ, 2-р баганад байгааг илтгэнэ.

Шийдвэрлэх явцад насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тооцоог нарийвчлан тайлбарлах нь дээр, гэхдээ тодорхой туршлагатай бол тэдгээрийг амаар алдаатай тоолоход тохируулж болно.

Эхний хэсэгт бид зарим онолын материал, орлуулалтын арга, түүнчлэн системийн тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх аргыг авч үзсэн. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад ирсэн бүх хүмүүст эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Зарим зочдод энэ материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би математикийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой маш чухал тайлбар, дүгнэлтийг хийсэн.

Одоо бид Крамерын дүрмийг, мөн урвуу матриц (матрицын арга) ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг шинжлэх болно. Бүх материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, ойлгомжтой байдлаар танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудыг ашиглан системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой болно.

Бид эхлээд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзье. Юуны төлөө? “Эцсийн эцэст хамгийн энгийн системийг сургуулийн аргаар, улирал бүрээр нэмж шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ч гэсэн ийм даалгавар байдаг - хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын томъёог ашиглан шийдвэрлэх. Хоёрдугаарт, энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг илүү төвөгтэй тохиолдолд - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системд хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусална.

Нэмж дурдахад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийн дагуу яг шийдэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцоолно, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
Тэгээд

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтүүдийг латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Тэгшитгэлийн үндэсийг дараах томъёогоор олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь таслал бүхий аравтын бутархай байдаг. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин бөгөөд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудыг авах нь гарцаагүй бөгөөд шийдлийн загвар нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

;

Хариулт: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёоны дагуу шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албадмалДаалгаврын хэсэг нь дараах фрагмент юм. "Тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооцоологч дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоогоор утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултаа энгийн буруу бутархайгаар илэрхийл. Чек хийх.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (нарийн дизайн, хичээлийн төгсгөлд хариулт өгөх жишээ).

Бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзэх болно.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хариулт: .

Ер нь бол бэлэн томьёоллоор шийдвэр гарч байгаа болохоор энд дахин тайлбар хэлэх онцлох зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн тэмдэглэл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв гарт компьютер байхгүй бол бид дараах зүйлийг хийнэ.

1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. Та "муу" цохилттой тулгармагц тэр даруй шалгах хэрэгтэй нөхцөлийг зөвөөр дахин бичсэн байна. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол даалгаврын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл тайван, болгоомжтой шийдээрэй, тэгээд дараа нь шалгахаа мартуузайшийдвэр гаргасны дараа цэвэр хуулбар дээр зурна. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч муу зүйлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвүүн маргаан болно. Бутархайтай хэрхэн харьцах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв таны гарт компьютер байгаа бол үүнийг шалгахын тулд автоматжуулсан програмыг ашиглана уу, үүнийг хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө) та алдаа гаргасан завсрын алхамаа шууд харах болно! Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
– орхигдсон хувьсагчийн оронд тэг тавина.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй мөр (багана) -ын дагуу тэг бүхий тодорхойлогчдыг нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол өөрөө шийдвэр гаргах жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд түүвэр болон хариултыг дуусгах).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогч шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр даалгавар нь аль хэдийн азтай оюутны цээжинд профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг өргөжүүлэх, урвуу матрицыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх шаардлагатай. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.

Жишээ 11

Системийг матрицын аргаар шийд

Шийдэл: Бид системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.
, Хаана

Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Бид ямар зарчмаар элементүүдийг матрицад бичдэг вэ гэдгийг бүгд ойлгосон байх гэж бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг оруулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд тодорхойлогчтой харьцъя:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлнэ.

Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар системийг шийддэг (Гауссын арга).

Одоо та насанд хүрээгүй 9 хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний эгнээ, гурав дахь баганад байгаа бол, жишээлбэл, элемент нь 3-р эгнээ, 2-р баганад байгааг илтгэнэ.

Арга зүй КрамерТэгээд Гауссхамгийн алдартай шийдлүүдийн нэг SLAU. Үүнээс гадна зарим тохиолдолд тусгай аргыг ашиглах нь зүйтэй. Хэлэлцүүлэг ойртсон бөгөөд одоо тэдгээрийг эхнээс нь давтах эсвэл эзэмших цаг болжээ. Өнөөдөр бид Крамерын аргаар шийдлийг авч үздэг. Эцсийн эцэст, шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх нь маш хэрэгтэй ур чадвар юм.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь дараахь хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем юм.

Утгыг тогтоосон x , системийн тэгшитгэлүүд ижил утгатай болж хувирах үед үүнийг системийн шийдэл гэж нэрлэдэг. а Тэгээд б бодит коэффициентүүд юм. Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдэх энгийн системийг оюун ухаанаар эсвэл нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх замаар шийдэж болно. Гэхдээ SLAE-д хоёроос илүү хувьсагч (x) байж болох бөгөөд энд сургуулийн энгийн зохицуулалт зайлшгүй шаардлагатай. Юу хийх вэ? Жишээлбэл, SLAE-ийг Крамерын аргаар шийдээрэй!

Тиймээс систем нь байг n бүхий тэгшитгэлүүд n үл мэдэгдэх.

Ийм системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно

Энд А системийн гол матриц, X Тэгээд Б , тус тус үл мэдэгдэх хувьсагч болон чөлөөт гишүүдийн баганын матрицууд.

Крамерын аргаар SLAE шийдэл

Хэрэв үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш (матриц нь ганц биш) бол системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдэж болно.

Крамерын аргын дагуу уусмалыг дараах томъёогоор олно.

Энд дельта нь үндсэн матрицын тодорхойлогч бөгөөд дельта х n-р - n-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж үндсэн матрицын тодорхойлогчоос олж авсан тодорхойлогч.

Энэ бол Крамерын аргын гол санаа юм. Дээрх томьёогоор олсон утгуудыг орлуулах x Хүссэн системд бид шийдвэрийнхээ зөв (эсвэл эсрэгээр) гэдэгт итгэлтэй байна. Мөн чанарыг хурдан ойлгоход тань туслахын тулд бид Крамерын аргаар SLAE-ийн нарийвчилсан шийдлийн жишээг доор өгөв.

Хэдийгээр та анх удаагаа амжилтанд хүрч чадаагүй ч бүү шантар! Жаахан дасгал хийвэл та самар шиг УДАХГҮЙ шидэлж эхэлнэ. Түүгээр ч барахгүй, одоо бол дэвтэр нугалж, нүсэр тооцоог шийдэж, саваа дээр бичих шаардлагагүй болсон. SLAE-ийг Cramer аргаар онлайнаар шийдвэрлэхэд хялбар бөгөөд зөвхөн коэффицентүүдийг бэлэн хэлбэрээр орлуулснаар л болно. Та Cramer аргыг шийдэхийн тулд онлайн тооцоолуур ашиглаж болно, жишээлбэл, энэ сайт дээр.

Хэрэв систем нь зөрүүд болж, бууж өгөхгүй бол та манай зохиолчдоос тусламж хүсч болно, жишээлбэл, конспект худалдаж аваарай. Хэрэв системд дор хаяж 100 үл мэдэгдэх зүйл байгаа бол бид үүнийг зөв, цаг тухайд нь шийдэх нь гарцаагүй!