Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл Нэгдүгээр эрэмбийн нийт дифференциал дахь тэгшитгэл

Хоёр хэмжээст тохиолдолд асуудлын мэдэгдэл

Нийт дифференциалаас хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг сэргээх

9.1. Хоёр хэмжээст тохиолдолд асуудлын мэдэгдэл. 72

9.2. Шийдлийн тайлбар. 72

Энэ бол хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын хэрэглээний нэг юм.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын илэрхийлэл өгөгдсөн.

Функцийг олох.

1. Хэлбэрийн илэрхийлэл бүр нь зарим функцийн нийт дифференциал биш учраас У(x,y), дараа нь асуудлын мэдэгдлийн зөв эсэхийг шалгах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл 2 хувьсагчийн функцийн хувьд хэлбэр бүхий нийт дифференциалын шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагатай. Энэ нөхцөл нь өмнөх хэсгийн теорем дахь (2) ба (3) мэдэгдлүүдийн эквивалент байдлаас үүдэлтэй. Хэрэв заасан нөхцөл хангагдсан бол асуудал нь шийдэлтэй, өөрөөр хэлбэл функцтэй байна У(x,y) сэргээх боломжтой; хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол асуудал шийдэлгүй болно, өөрөөр хэлбэл функцийг сэргээх боломжгүй болно.

2. Та функцийг нийт дифференциалаар нь олж болно, жишээлбэл, хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг ашиглан тогтмол цэгийг холбосон шугамын дагуу ( x 0 ,y 0) ба хувьсах цэг ( x;y) (Цагаан будаа. 18):

Ийнхүү нийт дифференциалын хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг олж авна dU(x,y) нь функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна У(x,y) интеграцийн шугамын төгсгөл ба эхлэлийн цэгүүдэд.

Одоо энэ үр дүнг мэдэж байгаа тул оронд нь орлуулах хэрэгтэй dUмуруйн интеграл илэрхийлэл болгож, тасархай шугамын дагуу интегралыг тооцоол ( ACB), интеграцийн шугамын хэлбэрээс хараат бус байдлыг харгалзан:

дээр ( АС): дээр ( SW) :

(1)

Тиймээс 2 хувьсагчийн функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээсэн томъёог олж авав.

3. Функцийг нийт дифференциалаас нь зөвхөн тогтмол гишүүн хүртэл сэргээх боломжтой, учир нь г(У+ const) = dU. Тиймээс асуудлыг шийдсэний үр дүнд бид бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай функцүүдийн багцыг олж авдаг.

Жишээ (хоёр хувьсагчийн функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх)

1. Хай У(x,y), Хэрэв dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын нөхцөлийг шалгана.

Нийт дифференциалын нөхцөл хангагдсан тул функц У(x,y) сэргээх боломжтой.

Баталгаажуулалт: зөв.

Хариулт: У(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Ийм функцийг ол

Хэрэв илэрхийлэл өгөгдсөн бол , , , гэсэн гурван хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг шалгана.

Шийдэж буй асуудалд

нийт дифференциалын бүх нөхцөл хангагдсан тул функцийг сэргээх боломжтой (асуудлыг зөв тохируулсан).

Бид хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл ашиглан функцийг сэргээж, тогтмол цэг ба хувьсах цэгийг холбосон тодорхой шугамын дагуу тооцоолно.

(энэ тэгш байдал нь хоёр хэмжээст тохиолдлын адилаар үүссэн).

Нөгөө талаас, нийт дифференциалын хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь интегралчлалын шугамын хэлбэрээс хамаардаггүй тул координатын тэнхлэгүүдтэй параллель хэрчмүүдээс бүрдсэн тасархай шугамын дагуу тооцоолоход хамгийн хялбар байдаг. Үүний зэрэгцээ, тогтмол цэгийн хувьд та зөвхөн тодорхой тоон координат бүхий цэгийг авч болно, зөвхөн энэ цэг дээр болон бүх интегралын шугам дээр муруйн интеграл байх нөхцөл хангагдсан эсэхийг хянах боломжтой (өөрөөр хэлбэл функцууд ба тасралтгүй байх). Энэхүү тайлбарыг харгалзан энэ асуудалд бид тогтмол цэгийг авч болно, жишээлбэл, M 0 цэг. Дараа нь бид эвдэрсэн шугамын холбоос бүр дээр байх болно

10.2. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо. 79

10.3. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын зарим хэрэглээ. 81

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн танихыг харуулна. Үүнийг шийдвэрлэх аргуудыг өгсөн болно. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдвэрлэх жишээг өгөв.

Агуулга

Оршил

Нийт дифференциал дахь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(1) ,
Энд тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим U функцийн нийт дифференциал юм (х, у) x, y хувьсагчдаас:
.
Үүнд .

Хэрэв ийм функц байвал U (х, у), тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна.
dU (x, y) = 0.
Түүний ерөнхий интеграл:
У (x, y) = C,
Энд C нь тогтмол байна.

Хэрэв эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг деривативаар бичвэл:
,
дараа нь үүнийг хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (1) . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг dx-ээр үржүүлнэ. Дараа нь . Үүний үр дүнд бид дифференциалаар илэрхийлсэн тэгшитгэлийг олж авна.
(1) .

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанар

Тэгшитгэл хийхийн тулд (1) Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл бөгөөд дараахь хамаарлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.
(2) .

Баталгаа

Цаашилбал, нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y-ийн зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна. x цэг 0 , y0мөн энэ бүсэд хамаарна.

Нөхцөл (2) шаардлагатайг баталцгаая..
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үзье (1) нь зарим U функцийн дифференциал юм (х, у):
.
Дараа нь
;
.
Хоёрдахь дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул
;
.
Тиймээс үүнийг дагадаг. Шаардлагатай нөхцөл (2) батлагдсан.

Нөхцөл (2) хангалттай гэдгийг баталъя..
Нөхцөл байцгаая (2) :
(2) .
Ийм U функцийг олох боломжтой гэдгийг харуулъя (х, у)түүний дифференциал нь:
.
Энэ нь ийм U функц байгаа гэсэн үг юм (х, у), энэ нь тэгшитгэлийг хангадаг:
(3) ;
(4) .
Ийм функцийг олцгооё. Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-ээс x-ээр 0 y-г тогтмол гэж үзвэл x хүртэл:
;
;
(5) .
x-ийг тогтмол гэж үзээд у-д хамааруулан ялга (2) :

.
Тэгшитгэл (4) байвал гүйцэтгэнэ
.
y-ээс y дээр интеграл хийх 0 танд:
;
;
.
Орлуулах (5) :
(6) .
Тиймээс бид дифференциал нь байх функцийг оллоо
.
Хангалттай нь батлагдсан.

Томъёонд (6) , У (x0, y0)тогтмол байна - U функцийн утга (х, у) x цэг дээр 0 , y0. Энэ нь ямар ч утгыг оноож болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн таних вэ

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэл нь бүрэн дифференциал байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд та нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй (2) :
(2) .
Хэрэв энэ нь тохирч байвал энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл юм. Хэрэв тийм биш бол энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл биш юм.

Жишээ

Тэгшитгэл нийт дифференциал байгаа эсэхийг шалгана уу:
.

Энд
, .
x-ийг тогтмол гэж үзвэл y-г ялгана:


.
Ялгах


.
Учир нь:
,
тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь нийт дифференциал болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дараалсан дифференциал олборлох арга

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн энгийн арга бол дифференциалыг дараалан гаргаж авах арга юм. Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциал хэлбэрээр бичсэн ялгах томъёог ашигладаг.
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Эдгээр томъёонд u болон v нь хувьсагчдын дурын хослолоос бүрдсэн дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд:
.

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциалд байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье:
(P1) .
Бид дифференциалыг дараалан тодруулах замаар тэгшитгэлийг шийддэг.
;
;
;
;

.
Орлуулах (P1):
;
.

Дараалсан интеграцийн арга

Энэ аргад бид U функцийг хайж байна (х, у), тэгшитгэлийг хангах:
(3) ;
(4) .

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-д y-г тогтмол гэж үзвэл:
.
Энд φ (y)нь тодорхойлогдох y-ийн дурын функц юм. Энэ нь интеграцийн тогтмол зүйл юм. Бид тэгшитгэлд орлуулна (4) :
.
Эндээс:
.
Интеграцчилснаар бид φ-ийг олно (y)улмаар У (х, у).

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийд:
.

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциалд байгааг олж мэдсэн. Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
, .
U функцийг хайж байна (х, у), дифференциал нь тэгшитгэлийн зүүн тал нь:
.
Дараа нь:
(3) ;
(4) .
Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-д y-г тогтмол гэж үзвэл:
(P2)
.
y-ийн хувьд ялгах:

.
Орлуулах (4) :
;
.
Бид нэгтгэдэг:
.
Орлуулах (P2):

.
Тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл:
У (x, y) = const.
Бид хоёр тогтмолыг нэг болгон нэгтгэдэг.

Муруй дагуу нэгтгэх арга

U функцийг хамаарлаар тодорхойлсон:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Энэ тэгшитгэлийг цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу нэгтгэх замаар олж болно (x0, y0)Тэгээд (х, у):
(7) .
Учир нь
(8) ,
тэгвэл интеграл нь зөвхөн анхны координатаас хамаарна (x0, y0)ба эцсийн (х, у)оноо бөгөөд муруй хэлбэрээс хамаарахгүй. -аас (7) Тэгээд (8) бид олдог:
(9) .
Энд x 0 болон y 0 - байнгын. Тиймээс У (x0, y0)мөн тогтмол байна.

U-ийн ийм тодорхойлолтын жишээг нотлох баримтаас авсан болно.
(6) .
Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэ (x 0 , y 0 )цэг хүртэл (x0, у). Дараа нь цэгээс х тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу интеграцийг гүйцэтгэнэ (x0, у)цэг хүртэл (х, у) .

Илүү ерөнхий тохиолдолд цэгүүдийг холбосон муруйны тэгшитгэлийг илэрхийлэх шаардлагатай (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у)параметрийн хэлбэрээр:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
ба т дээр нэгтгэх 1 -аас т 0 т.

Хамгийн энгийн интеграци нь цэгүүдийг холбосон сегмент дээр байрладаг (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у). Энэ тохиолдолд:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
т 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Орлуулсны дараа t-ийн интегралыг авна 0 өмнө 1 .
Гэхдээ энэ арга нь нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг.

Лавлагаа:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, LKI, 2015.

зарим функцууд. Хэрэв бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олно. Доор бид ярих болно функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх арга.

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0нөхцөл хангагдсан бол.

Учир нь функцийн нийт дифференциал U(x, y) = 0Энэ , энэ нь нөхцөл байдалд тэд ингэж хэлдэг гэсэн үг юм.

Дараа нь, .

Системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авна . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан функцийг олно.

Тиймээс бид хүссэн функцийг олох болно U(x, y) = 0.

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг олцгооё .

Шийдэл.

Бидний жишээнд. Энэ нөхцөл хангагдсан учир нь:

Дараа нь эхний DE-ийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0. Бид энэ функцийг олох хэрэгтэй.

Учир нь нь функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0, гэсэн утгатай:

.

Нэгтгэж байна xСистемийн 1-р тэгшитгэл ба ялгах боломжтой yүр дүн:

.

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид . гэсэн утгатай:

Хаана ХАМТнь дурын тогтмол юм.

Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь байх болно .

Хоёр дахь нь бий функцийг нийт дифференциалаас нь тооцоолох арга. Энэ нь тогтмол цэгийн муруйн интегралыг авахаас бүрдэнэ (x0, y0)хувьсах координаттай цэг хүртэл (х, у): . Энэ тохиолдолд интегралын утга нь интегралын замаас хамааралгүй байна. Холбоос нь координатын тэнхлэгтэй параллель байгаа тасархай шугамыг нэгтгэх зам болгон авах нь тохиромжтой.

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг олцгооё .

Шийдэл.

Бид нөхцөлийн биелэлтийг шалгана:

Тиймээс DE-ийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0. Бид энэ функцийг цэгийн муруйн интегралыг тооцоолох замаар олдог (1; 1) өмнө (х, у). Бид полилинийг нэгтгэх зам болгон авдаг: бид шулуун шугамын дагуу полилингийн эхний хэсгийг дайран өнгөрнө y=1цэгээс (1, 1) өмнө (x, 1), замын хоёр дахь хэсэг болгон бид цэгээс шулуун шугамын сегментийг авдаг (x, 1)өмнө (х, у):

Тэгэхээр DE-ийн ерөнхий шийдэл дараах байдалтай байна. .

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг тодорхойлъё.

Шийдэл.

Учир нь , дараа нь нөхцөл хангагдаагүй бол DE-ийн зүүн тал нь функцийн нийт дифференциал болохгүй бөгөөд та шийдлийн хоёр дахь аргыг ашиглах хэрэгтэй (энэ тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл юм).

Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн зүүн талд тохиолдож болно

нь зарим функцийн нийт дифференциал юм:

(7) тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

Хэрэв функц нь (7) тэгшитгэлийн шийдэл бол , ба тиймээс

хаана нь тогтмол ба эсрэгээр, хэрэв зарим функц нь эцсийн тэгшитгэлийг (8) адилтгал болгон хувиргавал үр дүнд нь ялгаж салгаснаар бид олж авна, тиймээс, хаана дурын тогтмол байна, эхийн ерөнхий интеграл болно. тэгшитгэл.

Хэрэв анхны утгыг өгсөн бол тогтмолыг (8) ба түүнээс тодорхойлно

нь хүссэн хэсэгчилсэн интеграл юм. Хэрэв цэг дээр байвал (9) тэгшитгэл нь далд функц гэж тодорхойлогдоно.

(7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хэрэв Эйлерийн заасан энэ нөхцөл хангагдсан бол (7) тэгшитгэлийг хялбархан нэгтгэнэ. Үнэхээр, . Нөгөө талаар, . Тиймээс,

Интегралыг тооцоолохдоо утгыг тогтмол гэж үздэг тул энэ нь дурын функц юм. Функцийг тодорхойлохын тулд бид олсон функцийг -ээр нь ялгаж, учир нь олж авдаг

Энэ тэгшитгэлээс бид тодорхойлж, нэгтгэн олно.

Математик анализын явцад мэдэгдэж байгаагаар ямар нэгэн тогтмол цэг ба аливаа зам дагуух хувьсах координаттай цэгийн хоорондох муруйн интегралыг авах замаар функцийг нийт дифференциалаар нь тодорхойлох нь бүр ч хялбар байдаг.

Ихэнх тохиолдолд интеграцийн замын хувьд координатын тэнхлэгтэй зэрэгцээ хоёр холбоосоос бүрдсэн тасархай шугамыг авах нь тохиромжтой байдаг; энэ тохиолдолд

Жишээ. .

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм

Тиймээс ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Та функцийг тодорхойлох өөр аргыг ашиглаж болно:

Эхлэх цэгийн хувьд бид жишээлбэл координатын гарал үүслийг интеграцийн зам гэж сонгоно - эвдэрсэн шугам. Дараа нь

ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Энэ нь өмнөх үр дүнтэй давхцаж, нийтлэг хуваагч руу хөтөлдөг.

Зарим тохиолдолд (7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийт дифференциал биш тохиолдолд (7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийт дифференциал болж хувирах функцийг олоход хялбар байдаг. Ийм функцийг нэрлэдэг нэгтгэх хүчин зүйл. Интеграцчлах хүчин зүйлээр үржүүлэх нь энэ хүчин зүйлийг тэг болгон хувиргах нэмэлт тодорхой шийдлүүдийг гаргахад хүргэж болохыг анхаарна уу.

Жишээ. .

Мэдээжийн хэрэг, хүчин зүйлээр үржүүлсний дараа зүүн тал нь нийт дифференциал болж хувирдаг. Үнэхээр бид үржүүлсний дараа авна

эсвэл нэгтгэх замаар, . 2-оор үржүүлж, хүчирхэгжүүлэхэд бид .

Мэдээжийн хэрэг, нэгтгэх хүчин зүйлийг үргэлж тийм амархан сонгодоггүй. Ерөнхий тохиолдолд интегралчлагч хүчин зүйлийг олохын тулд тэгшитгэлийн дор хаяж нэг тодорхой шийдийг ижил тэг биш хэсэгчилсэн дериватив эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр сонгох шаардлагатай.

хувааж, зарим нэр томъёог тэгш байдлын нөгөө хэсэг рүү шилжүүлсний дараа хэлбэрт оруулдаг

Ерөнхий тохиолдолд энэхүү хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх нь анхны тэгшитгэлийг нэгтгэхээс хялбар ажил биш боловч зарим тохиолдолд (11) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тийм ч хэцүү биш юм.

Нэмж дурдахад, интегралчлах хүчин зүйл нь зөвхөн нэг аргументийн функц (жишээлбэл, энэ нь зөвхөн эсвэл зөвхөн функц, эсвэл зөвхөн, эсвэл зөвхөн функц гэх мэт) гэж үзвэл бид (11) тэгшитгэлийг хялбархан нэгтгэж чадна. авч үзэж буй маягтын интеграцийн хүчин зүйл байгаа нөхцөлийг заана. Тиймээс интеграцийн хүчин зүйлийг хялбархан олох боломжтой тэгшитгэлийн ангиллыг ялгаж үздэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэл нь зөвхөн -ээс хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй байх нөхцөлийг олъё. . Энэ тохиолдолд (11) тэгшитгэлийг хялбаршуулж, хэлбэрийг авдаг бөгөөд үүнийг тасралтгүй функц гэж үзвэл бид олж авна.

Хэрэв зөвхөн -ийн функц байвал зөвхөн -ээс хамаарах интегралчлах хүчин зүйл нь байгаа бөгөөд (12)-тай тэнцүү, эс бөгөөс хэлбэрийн интегралчлах хүчин зүйл байхгүй болно.

Зөвхөн үүнээс хамаарч интегралчлах хүчин зүйл байх нөхцөл хангагдана, жишээлбэл, шугаман тэгшитгэл эсвэл . Үнэхээр, тиймээс, . Үүнтэй адил хэлбэрийн интеграцийн хүчин зүйлүүд байх нөхцөлийг олж болно.

Жишээ.Тэгшитгэл нь хэлбэрийн интегралч хүчин зүйлтэй юу?

гэж тэмдэглэе. (11)-ийн тэгшитгэл нь , хаанаас эсвэл хэлбэртэй байна

Өгөгдсөн хэлбэрийн нэгтгэх хүчин зүйл байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд тасралтгүй байдлын таамаглалд зөвхөн . Энэ тохиолдолд интегралчлах хүчин зүйл байгаа бөгөөд (13) тэнцүү байна. Биднийг авах үед. Анхны тэгшитгэлийг -ээр үржүүлснээр бид үүнийг хэлбэрт оруулна

Интеграцчилснаар бид , хүчирхэгжүүлсний дараа бид , эсвэл туйлын координатаар - логарифмын спираль гэр бүлтэй болно.

Жишээ. Өгөгдсөн цэгээс гарч буй бүх цацрагийг өгөгдсөн чиглэлд параллель тусгах толины хэлбэрийг ол.

Бид координатын эхийг өгөгдсөн цэг дээр байрлуулж, абсцисса тэнхлэгийг асуудлын нөхцөлд заасан чиглэлтэй параллель чиглүүлнэ. Толин тусгал дээр туяа тусах цэг дээр . Абсцисса тэнхлэг ба цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар толины хэсгийг авч үзье. Толин тусгалын гадаргуугийн авч үзсэн хэсэг рүү тухайн цэг дээр шүргэгч зуръя. Цацрагийн тусгалын өнцөг нь тусгалын өнцөгтэй тэнцүү тул гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм. Тиймээс,

Үүссэн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хувьсагчийн өөрчлөлтөөр амархан нэгтгэдэг боловч хуваагч дахь зохисгүй байдлаас ангижруулж, хэлбэрээр дахин бичих нь бүр ч хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэл нь , , , (параболын гэр бүл) тодорхой интегралч хүчин зүйлтэй.

Энэ асуудлыг координатаар шийдвэрлэх нь бүр ч хялбар бөгөөд хаана, хүссэн гадаргуугийн хэсгийн тэгшитгэл хэлбэрийг авдаг.

Хэрэв функцүүд тасралтгүй деривативтай ба эдгээрийн ядаж нэг нь байвал интегралчлах хүчин зүйл, эсвэл ижилхэн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн (11) тэгээс өөр шийдэл байгаа эсэхийг нотлох боломжтой. функцүүд алга болдоггүй. Тиймээс интегралчлах хүчин зүйлийн аргыг хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгтгэх ерөнхий арга гэж үзэж болох боловч интегралчлах хүчин зүйлийг олоход хэцүү байдаг тул интегралчлах хүчин зүйл нь тодорхой байгаа тохиолдолд энэ аргыг ихэвчлэн ашигладаг.