Хамгийн бага квадратуудын аргын мөн чанар нь. Хамгийн бага квадратын аргыг хаана хэрэглэдэг вэ? Хамгийн бага квадратын аргаар асуудлыг шийдэх жишээ

Өгөгдсөн функцийг бусад энгийн функцээр ойролцоогоор дүрслэх боломжийг олгодог тул олон програмтай. LSM нь ажиглалтыг боловсруулахад маш их хэрэгтэй байж болох бөгөөд санамсаргүй алдаа агуулсан бусад хэмжилтийн үр дүнгээс зарим хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход идэвхтэй ашиглагддаг. Энэ нийтлэлээс та Excel дээр хамгийн бага квадратуудын тооцоог хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар сурах болно.

Тодорхой жишээн дээрх асуудлын мэдэгдэл

X ба Y гэсэн хоёр үзүүлэлт байна гэж бодъё. Түүнээс гадна Y нь X-ээс хамаарна. OLS нь регрессийн шинжилгээний үүднээс бидний сонирхлыг татдаг (Excel-д түүний аргууд нь суурилагдсан функцуудыг ашиглан хэрэгждэг) тул бид нэн даруй үргэлжлүүлэх хэрэгтэй. тодорхой асуудлыг авч үзэх.

Тиймээс, X нь квадрат метрээр хэмжигддэг хүнсний дэлгүүрийн борлуулалтын талбай, Y нь сая рублиэр тодорхойлогддог жилийн эргэлт гэж үзье.

Дэлгүүр нь нэг юм уу өөр жижиглэнгийн худалдааны талбайтай бол ямар эргэлт (Y) байх талаар урьдчилан таамаглах шаардлагатай. Хайпермаркет нь лангуунаас илүү их бараа зардаг тул Y = f (X) функц нэмэгдэж байгаа нь ойлгомжтой.

Урьдчилан таамаглахад ашигласан анхны өгөгдлийн зөв байдлын талаар хэдэн үг хэлье

Бидэнд n дэлгүүрт зориулсан өгөгдөл бүхий хүснэгт бий гэж бодъё.

Математикийн статистик мэдээллээс үзэхэд хамгийн багадаа 5-6 объектын тоо баримтыг шалгавал үр дүн нь их багагүй зөв гарах болно. Мөн "гажиг" үр дүнг ашиглах боломжгүй. Ялангуяа элит жижиг нэрийн дэлгүүр нь "масмаркет" ангиллын томоохон дэлгүүрүүдийн эргэлтээс хэд дахин их эргэлттэй байж болно.

Аргын мөн чанар

Хүснэгтийн өгөгдлийг декартын хавтгайд M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) цэгүүдээр харуулж болно. Одоо асуудлын шийдлийг M 1, M 2, .. M n цэгүүдэд аль болох ойртсон графиктай y = f (x) ойролцоох функцийг сонгох хүртэл бууруулна.

Мэдээжийн хэрэг та өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнтийг ашиглаж болно, гэхдээ энэ сонголт нь хэрэгжүүлэхэд хэцүү төдийгүй зүгээр л буруу, учир нь энэ нь илрүүлэх шаардлагатай гол чиг хандлагыг тусгахгүй. Хамгийн боломжийн шийдэл бол туршилтын өгөгдлүүдийг хамгийн сайн ойролцоолсон y = ax + b шулуун шугамыг хайх явдал бөгөөд илүү нарийвчлалтай бол коэффициент - a ба b.

Нарийвчлалын оноо

Аливаа ойролцоо тооцооллын хувьд түүний нарийвчлалыг үнэлэх нь онцгой ач холбогдолтой юм. x i цэгийн функциональ ба туршилтын утгуудын зөрүүг (хазайлт) e i -ээр тэмдэглэ, өөрөөр хэлбэл e i = y i - f (x i).

Ойролцоогоор нарийвчлалыг үнэлэхийн тулд та хазайлтын нийлбэрийг ашиглаж болох нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл X-ийн Y-ээс хамаарлыг ойролцоогоор илэрхийлэх шулуун шугамыг сонгохдоо хамгийн бага утгатай нэгийг нь илүүд үзэх хэрэгтэй. нийлбэр e i авч үзэж буй бүх цэгүүдэд. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш, учир нь эерэг хазайлтаас гадна сөрөг зүйл бараг байх болно.

Та хазайлтын модулиуд эсвэл тэдгээрийн квадратуудыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно. Сүүлийн арга нь хамгийн өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь регрессийн шинжилгээ зэрэг олон салбарт ашиглагддаг (Excel дээр түүний хэрэгжилт нь хоёр суулгасан функцийг ашиглан хийгддэг) бөгөөд үр дүнтэй нь удаан хугацааны туршид батлагдсан.

Хамгийн бага квадрат арга

Excel-д та бүхний мэдэж байгаагаар сонгосон мужид байрлах бүх утгын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог автомат нийлбэр функц байдаг. Тиймээс илэрхийллийн утгыг (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) тооцоолоход юу ч саад болохгүй.

Математик тэмдэглэгээнд энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Шулуун шугамыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолох шийдвэрийг анх гаргасан тул бид дараах байдалтай байна.

Тиймээс, X ба Y хоёрын хоорондох тодорхой хамаарлыг хамгийн сайн дүрсэлсэн шулуун шугамыг олох даалгавар нь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолох явдал юм.

Үүний тулд a ба b шинэ хувьсагчдын хувьд хэсэгчилсэн деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, 2 үл мэдэгдэх хэлбэрийн хоёр тэгшитгэлээс бүрдэх команд системийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

2-т хуваах, нийлбэрийг удирдах зэрэг энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээлбэл, Крамерын аргаар бид тодорхой коэффициент бүхий суурин цэгийг олж авна a * ба b * . Энэ нь хамгийн бага хэмжээ юм, өөрөөр хэлбэл тодорхой газар нутагт дэлгүүр ямар эргэлттэй байхыг урьдчилан таамаглахад y = a * x + b * шулуун шугам тохиромжтой бөгөөд энэ нь тухайн жишээний регрессийн загвар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тодорхой үр дүнг олох боломжийг танд олгохгүй, гэхдээ энэ нь тухайн бүс нутагт зээлээр дэлгүүр худалдаж авах нь үр дүнгээ өгөх эсэх талаар ойлголттой болоход тусална.

Excel дээр хамгийн бага квадратын аргыг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ

Excel нь хамгийн бага квадратуудын утгыг тооцоолох функцтэй. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна: TREND (мэдэгдэж буй Y утгууд; мэдэгдэж буй X утгууд; шинэ X утгууд; тогтмол). Excel-ийн OLS-ийг тооцоолох томъёог хүснэгтэндээ ашиглацгаая.

Үүнийг хийхийн тулд Excel-ийн хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг харуулах нүдэнд "=" тэмдгийг оруулаад "TREND" функцийг сонгоно уу. Нээгдсэн цонхонд тохирох талбаруудыг бөглөж, тодруулна уу:

• Y-ийн мэдэгдэж буй утгуудын хүрээ (энэ тохиолдолд эргэлтийн өгөгдөл);
• муж x 1 , …x n , өөрөөр хэлбэл жижиглэнгийн талбайн хэмжээ;
• мөн x-ийн мэдэгдэж байгаа болон үл мэдэгдэх утгууд, үүний тулд та эргэлтийн хэмжээг олж мэдэх хэрэгтэй (тэдгээрийн байршлын талаархи мэдээллийг ажлын хуудаснаас доороос үзнэ үү).

Үүнээс гадна томъёонд "Const" логик хувьсагч байдаг. Хэрэв та тохирох талбарт 1-ийг оруулбал энэ нь b \u003d 0 гэж үзвэл тооцоолол хийх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв та нэгээс олон x утгын урьдчилсан мэдээг мэдэх шаардлагатай бол томьёог оруулсны дараа "Enter" товчийг дарж болохгүй, харин "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter") хослолыг бичих хэрэгтэй. ) гар дээр.

Зарим онцлог

Регрессийн шинжилгээ нь дамми хүмүүст ч хүртээмжтэй байж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчийн массивын утгыг таамаглах Excel-ийн томьёо - "TREND" -ийг хамгийн бага квадратын аргын талаар сонсож байгаагүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Түүний ажлын зарим шинж чанарыг мэдэхэд л хангалттай. Тухайлбал:

• Хэрэв та y хувьсагчийн мэдэгдэж буй утгуудын мужийг нэг мөр эсвэл баганад байрлуулбал х-ийн мэдэгдэж буй утга бүхий мөр (багана) бүрийг програм нь тусдаа хувьсагч болгон хүлээн авах болно.
• Хэрэв мэдэгдэж буй х-тэй мужийг TREND цонхонд заагаагүй бол Excel-д функцийг ашиглах тохиолдолд програм нь үүнийг бүхэл тооноос бүрдэх массив гэж үзэх бөгөөд тэдгээрийн тоо нь өгөгдсөн утгатай мужид тохирно. хувьсагчийн y.
• "Таамагласан" утгуудын массивыг гаргахын тулд чиг хандлагын илэрхийлэлийг массивын томьёо болгон оруулах ёстой.
• Хэрэв шинэ x утгыг заагаагүй бол TREND функц нь тэдгээрийг мэдэгдэж байгаатай тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв тэдгээрийг заагаагүй бол 1-р массивыг аргумент болгон авна; 2; 3; 4;…, энэ нь аль хэдийн өгсөн y параметр бүхий мужтай тохирч байна.
• Шинэ x утгуудыг агуулсан муж нь өгөгдсөн y утгатай мужтай ижил буюу түүнээс олон мөр эсвэл баганатай байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагчидтай пропорциональ байх ёстой.
• Мэдэгдэж буй x утгууд бүхий массив нь олон хувьсагч агуулж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид зөвхөн нэгийг нь ярьж байгаа бол x ба y-ийн өгөгдсөн утгуудын мужууд нь тэнцүү байх шаардлагатай. Хэд хэдэн хувьсагчийн хувьд өгөгдсөн y утгатай мужийг нэг багана эсвэл нэг мөрөнд багтаах шаардлагатай.

FORECAST функц

Энэ нь хэд хэдэн функцийг ашиглан хэрэгждэг. Тэдгээрийн нэгийг "ТААГААН" гэж нэрлэдэг. Энэ нь TREND-тэй төстэй, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг өгдөг. Гэсэн хэдий ч Y-ийн утга тодорхойгүй зөвхөн нэг X-д зориулагдсан.

Одоо та шугаман чиг хандлагын дагуу индикаторын ирээдүйн утгыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог даммигийн Excel томъёог мэддэг болсон.

Асуудал нь хоёр хувьсагчийн функцийг гүйцэтгэх шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм АТэгээд бхамгийн бага утгыг авдаг. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдлийг өгсөн АТэгээд болсон шулуун шугамаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын бүх санаа юм.

Ийнхүү жишээний шийдэл нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох хүртэл буурдаг.

Коэффициент олох томьёо гарган авах.Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хувьсагчаар АТэгээд б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна.

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар (жишээлбэл, орлуулах арга эсвэл Крамерын арга) шийдэж, хамгийн бага квадратын аргыг (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авдаг.

Өгөгдлийн хамт АТэгээд бфункц хамгийн бага утгыг авдаг.

Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо анийлбэр, , , параметрийг агуулна n- туршилтын өгөгдлийн хэмжээ. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна. Коэффицент бтооцооны дараа олно а.

Ийм олон гишүүнтийг ашиглах гол талбар бол туршилтын өгөгдлийг боловсруулах (эмпирик томъёо барих) юм. Туршилтын тусламжтайгаар олж авсан функцийн утгуудаас бүрдсэн интерполяцийн олон гишүүнтэд "туршилтын чимээ" хүчтэй нөлөөлнө, үүнээс гадна интерполяцийн үед интерполяцийн зангилаа дахин давтагдах боломжгүй, жишээлбэл. Та ижил нөхцөлд давтан хийсэн туршилтын үр дүнг ашиглах боломжгүй. Дундаж язгуур олон гишүүнт нь дуу чимээг жигдрүүлж, олон туршилтын үр дүнг ашиглах боломжтой болгодог.

Тоон интеграл ба дифференциал. Жишээ.

Тоон интеграци- тодорхой интегралын утгыг тооцоолох (дүрмээр бол ойролцоогоор). Тоон интеграл гэдэг нь тодорхой интегралын утгыг олох тоон аргын цогц гэж ойлгогддог.

Тоон ялгаа– салангид өгөгдсөн функцийн деривативын утгыг тооцоолох аргуудын багц.

Интеграци

Асуудлын томъёолол.Асуудлын математик тайлбар: тодорхой интегралын утгыг олох шаардлагатай

a, b нь төгсгөлтэй, f(x) нь [а, b] дээр тасралтгүй байна.

Практик асуудлуудыг шийдвэрлэх үед интегралыг аналитик байдлаар авах нь тохиромжгүй эсвэл боломжгүй байдаг: энэ нь энгийн функцээр илэрхийлэгдэхгүй, интегралыг хүснэгт хэлбэрээр өгөх гэх мэт. Ийм тохиолдолд тоон интегралын аргууд байдаг. ашигласан. Тоон интеграцийн аргууд нь муруй шугаман трапецын талбайг яг тооцоолж болох энгийн геометрийн хэлбэрийн хязгаарлагдмал нийлбэрээр солих аргыг ашигладаг. Энэ утгаараа квадрат томьёо ашиглах тухай ярьж байна.

Ихэнх аргууд нь интегралыг хязгаарлагдмал нийлбэр (квадрат томъёо) хэлбэрээр дүрслэх аргыг ашигладаг.

Квадрат томьёо нь интеграцийн интервал дээрх интегралын графикийг аналитик байдлаар хялбархан нэгтгэж, тооцоолж болохуйц хялбар хэлбэрийн функцээр солих санаан дээр суурилдаг. Квадрат томьёо бүтээх хамгийн энгийн ажил бол олон гишүүнт математик загварт зориулагдсан байдаг.

Гурван бүлгийн аргыг ялгаж салгаж болно.

1. Интеграцийн сегментийг тэнцүү интервалд хуваах арга. Интервалд хуваах ажлыг урьдчилан хийдэг, ихэвчлэн интервалуудыг тэнцүү байдлаар сонгоно (интервалуудын төгсгөлд функцийг тооцоолоход хялбар болгохын тулд). Талбайг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэн гарга (тэгш өнцөгт, трапецын арга, Симпсон).

2. Тусгай цэгүүдийг ашиглан интеграцийн сегментийг хуваах аргууд (Гауссын арга).

3. Санамсаргүй тоо ашиглан интегралыг тооцоолох (Монте Карлогийн арга).

Тэгш өнцөгтийн арга.Функцийг (зураг) сегмент дээр тоогоор нэгтгэж үзье. Бид сегментийг N тэнцүү интервалд хуваана. N муруйн трапецын талбайг тэгш өнцөгтийн талбайгаар сольж болно.

Бүх тэгш өнцөгтүүдийн өргөн нь ижил бөгөөд тэнцүү байна:

Тэгш өнцөгтүүдийн өндрийг сонгохдоо зүүн талын хүрээ дээрх функцийн утгыг сонгож болно. Энэ тохиолдолд эхний тэгш өнцөгтийн өндөр нь f(a), хоёр дахь нь f(x 1),..., N-f(N-1) болно.

Хэрэв бид баруун хил дээрх функцын утгыг тэгш өнцөгтийн өндрийн сонголт гэж авбал энэ тохиолдолд эхний тэгш өнцөгтийн өндөр нь f (x 1), хоёр дахь нь - f (x 2), . .., N - f (x N).

Эндээс харахад энэ тохиолдолд томъёоны аль нэг нь интегралыг илүүдэлтэй, хоёр дахь нь дутагдалтай ойролцоо утгыг өгдөг. Өөр нэг арга бий - интеграцийн сегментийн дунд байрлах функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолоход ашиглах:

Тэгш өнцөгтийн аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоо (дунд)

Зүүн ба баруун тэгш өнцөгтийн аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоо.

Жишээ.Бүхэл бүтэн интервалыг тооцоолж, интервалыг дөрвөн хэсэгт хуваа

Шийдэл.Энэ интегралын аналитик тооцоолол нь I=arctg(1)–arctg(0)=0.7853981634 болно. Манай тохиолдолд:

1) h = 1; xo = 0; x1 = 1;

2) h = 0.25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0.25; x2 = 0.5; x3 = 0.75; x4 = 1;

Бид зүүн тэгш өнцөгтийн аргаар тооцоолно.

Бид тэгш өнцөгтийн аргаар тооцоолно.

Дундаж тэгш өнцөгтийн аргаар тооцоол:

Трапец хэлбэрийн арга.Интерполяци хийхдээ нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт (хоёр цэгээр татсан шулуун шугам) ашигласнаар трапец хэлбэрийн томьёо гарна. Интеграцийн сегментийн төгсгөлүүдийг интерполяцийн зангилаа болгон авдаг. Тиймээс муруй шугаман трапецийг ердийн трапецаар сольсон бөгөөд түүний талбайг суурь ба өндрийн нийлбэрийн хагасын үржвэрээр олж болно.

Сегментийн туйлын цэгүүдээс бусад бүх зангилааны интегралын N сегментийн хувьд функцийн утгыг нийт нийлбэрт хоёр удаа оруулна (хөрш зэргэлдээ трапецууд нэг нийтлэг талтай байдаг тул)

Сегментийн баруун ба зүүн ирмэгийн дагуух тэгш өнцөгтийн томъѐоны нийлбэрийн хагасыг авах замаар трапец хэлбэрийн томъёог гаргаж болно.

Уусмалын тогтвортой байдлыг шалгах.Дүрмээр бол интервал бүрийн урт нь богино байх тусам, i.e. Эдгээр интервалын тоо их байх тусам интегралын ойролцоо ба нарийн утгуудын хоорондын ялгаа бага байх болно. Энэ нь ихэнх функцүүдийн хувьд үнэн юм. Трапецын аргын хувьд ϭ интегралыг тооцоолох алдаа нь интегралчлалын алхамын квадраттай ойролцоогоор пропорциональ байна (ϭ ~ h 2).Иймд a,b хязгаарт тодорхой функцийн интегралыг тооцоолоход шаардлагатай. хэрчмийг N 0 интервалд хувааж трапецын талбайн нийлбэрийг ол. Дараа нь та N 1 интервалын тоог нэмэгдүүлж, трапецын нийлбэрийг дахин тооцоолж, үүссэн утгыг өмнөх үр дүнтэй харьцуулах хэрэгтэй. Үр дүнгийн заасан нарийвчлалд (нийтлэгийн шалгуур) хүрэх хүртэл үүнийг (N i) хүртэл давтах ёстой.

Тэгш өнцөгт ба трапец хэлбэрийн аргуудын хувьд ихэвчлэн давталтын алхам бүрт интервалын тоо 2 дахин нэмэгддэг (N i +1 =2N i).

Конвергенцийн шалгуур:

Трапецын дүрмийн гол давуу тал нь түүний энгийн байдал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв интеграцид өндөр нарийвчлал шаардагддаг бол энэ арга нь хэт олон давталт шаарддаг.

Трапец хэлбэрийн аргын үнэмлэхүй алдаагэж үнэлэгдсэн
.

Жишээ.Трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоол.

a) Интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах.
б) Интеграцийн сегментийг 5 хэсэгт хуваах.

Шийдэл:
a) Нөхцөлөөр интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах ёстой, өөрөөр хэлбэл.
Хуваалтын сегмент бүрийн уртыг тооцоол. .

Тиймээс трапецын ерөнхий томъёог тааламжтай хэмжээгээр багасгасан:

Эцэст нь:

Үүссэн утга нь тухайн талбайн ойролцоо утга гэдгийг би танд сануулж байна.

б) Бид интеграцийн сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваадаг, өөрөөр хэлбэл, . сегментийн тоог нэмэгдүүлснээр бид тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэг.

Хэрэв бол трапец хэлбэрийн томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Хуваах алхамыг олцгооё:
, өөрөөр хэлбэл завсрын сегмент бүрийн урт нь 0.6 байна.

Даалгаврыг дуусгахдаа бүх тооцоог тооцоолох хүснэгтээр хийх нь тохиромжтой.

Эхний мөрөнд бид "тоолуур" гэж бичнэ.

Үр дүнд нь:

За, үнэхээр тодруулга, ноцтой зүйл байна!
Хэрэв хуваалтын 3 сегментийн хувьд бол 5 сегментийн хувьд . Хэрэв та илүү их сегментийг авбал => бүр илүү нарийвчлалтай болно.

Симпсоны томъёо.Трапец хэлбэрийн томъёо нь алхамын хэмжээ h-ээс ихээхэн хамаардаг үр дүнг өгдөг бөгөөд энэ нь тодорхой интегралыг тооцоолох нарийвчлалд нөлөөлдөг, ялангуяа функц нь монотон бус тохиолдолд. Хэрэв бид f(x) функцийн графикийн муруйн хэсгүүдийг орлуулах шулуун шугамын сегментүүдийн оронд жишээлбэл, графикийн хөрш гурван цэгээр өгөгдсөн параболын хэсгүүдийг ашиглавал тооцооллын нарийвчлал нэмэгдэнэ гэж үзэж болно. . Үүнтэй төстэй геометрийн тайлбар нь тодорхой интегралыг тооцоолох Симпсоны аргын үндэс юм. a,b интегралын интервалыг бүхэлд нь N сегментэд хуваасан, сегментийн урт нь мөн h=(b-a)/N-тэй тэнцүү байх болно.

Симпсоны томъёо нь:

үлдсэн хугацаа

Сегментүүдийн урт нэмэгдэх тусам томъёоны нарийвчлал буурч байгаа тул нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд нийлмэл Simpson томъёог ашигладаг. Бүх интеграцийн интервал нь тэгш тооны ижил N сегментүүдэд хуваагдсан бөгөөд сегментийн урт нь h=(b-a)/N-тэй тэнцүү байх болно. Симпсоны нийлмэл томъёо нь:

Томъёоны хувьд хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь сондгой ба тэгш дотоод сегментийн төгсгөлд тус тус интегралын утгуудын нийлбэр юм.

Симпсоны томъёоны үлдсэн гишүүн нь алхамын дөрөв дэх зэрэгтэй пропорциональ байна.

Жишээ:Симпсоны дүрмийг ашиглан интегралыг тооцоол. (Яг шийдэл - 0.2)

Гауссын арга

Гауссын квадрат томъёо. Хоёр дахь сортын квадрат томъёоны үндсэн зарчмыг Зураг 1.12-аас харж болно: цэгүүдийг ийм байдлаар байрлуулах шаардлагатай. X 0 ба Xсегмент дотор 1 [ а;б] ингэснээр "гурвалжин" -ын талбайнууд нь "сегмент" -ийн талбайтай тэнцүү байна. Гауссын томъёог ашиглах үед эхний сегмент [ а;б] хувьсагчийг өөрчилснөөр [-1;1] интервал хүртэл буурна Xдээр

0.5∙(б– а)∙т+ 0.5∙(б + а).

Дараа нь , Хаана .

Хэрэв энэ орлуулалт боломжтой бол аТэгээд бнь төгсгөлтэй ба функц е(x) үргэлжилсэн [ дээр а;б]. Гауссын томъёо nоноо x i, би=0,1,..,n-1 сегмент дотор [ а;б]:

, (1.27)

Хаана т биТэгээд А итөрөл бүрийн хувьд nлавлах номонд өгөгдсөн. Жишээлбэл, хэзээ n=2 А 0 =А 1=1; цагт n=3: т 0 =t 2" 0.775, т 1 =0, А 0 =А 2" 0.555, А 1" 0.889.

Гауссын квадрат томъёо

нэгтэй тэнцүү жингийн функцээр олж авсан p(x)= 1 ба зангилаа x i, эдгээр нь Лежендре олон гишүүнтүүдийн үндэс юм

Магадлал А итомъёогоор хялбархан тооцоолно

би=0,1,2,...n.

n = 2,3,4,5-ын зангилаа ба коэффициентүүдийн утгыг хүснэгтэд үзүүлэв

Захиалга	Зангилаа	Магадлал
n=2	x 1=0 x 0 =-x2=0.7745966692	А 1=8/9 A 0 = A 2=5/9
n=3	x 2 =-x 1=0.3399810436 x 3 =-x0=0.8611363116	A 1 = A 2=0.6521451549 A 0 = A 3=0.6521451549
n=4	x 2 = 0 x 3 = -x 1 = 0.5384693101 x 4 =-x 0 =0.9061798459	А 0 =0.568888899 А 3 =А 1 =0.4786286705 А 0 =А 4 =0.2869268851
n=5	x 5 = -x 0 =0.9324695142 x 4 = -x 1 =0.6612093865 x 3 = -x 2 =0.2386191861	А 5 =А 0 =0.1713244924 А 4 =А 1 =0.3607615730 А 3 =А 2 =0.4679139346

Жишээ.Гауссын томъёог ашиглан утгыг тооцоол n=2:

Яг үнэ цэнэ: .

Гауссын томъёоны дагуу интегралыг тооцоолох алгоритм нь микросегментийн тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэхгүй, харин ординатын тоог 1-ээр нэмэгдүүлэх, интегралын олж авсан утгыг харьцуулах боломжийг олгодог. Гауссын томьёоны давуу тал нь харьцангуй цөөн тооны ординаттай өндөр нарийвчлал юм. Сул талууд: гараар тооцоолоход тохиромжгүй; компьютерийн санах ойд хадгалагдах ёстой т би, А итөрөл бүрийн хувьд n.

Сегмент дээрх Гауссын квадратын томьёоны алдаа нь нэгэн зэрэг байх болно Үлдсэн гишүүний томъёонд α коэффициент байх болно. Нөсөлттэй холбоотойгоор хурдан буурдаг Н. Энд

Гауссын томъёо нь аль хэдийн цөөн тооны зангилаатай (4-ээс 10 хүртэл) өндөр нарийвчлалыг өгдөг.Энэ тохиолдолд практик тооцоололд зангилааны тоо хэдэн зуугаас хэдэн мянга хүртэл байдаг. Гауссын квадратуудын жин үргэлж эерэг байдаг бөгөөд энэ нь нийлбэрийг тооцоолох алгоритмын тогтвортой байдлыг баталгаажуулдаг.

Хамгийн бага квадратын арга (LSM) нь санамсаргүй алдаа агуулсан олон хэмжилтийн үр дүнг ашиглан янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Онцлог MNC

Энэ аргын гол санаа нь квадрат алдааны нийлбэрийг багасгахыг эрэлхийлж буй асуудлын шийдлийн нарийвчлалын шалгуур гэж үздэг. Энэ аргыг ашиглахдаа тоон болон аналитик аргыг хоёуланг нь ашиглаж болно.

Ялангуяа тоон хувилбарын хувьд хамгийн бага квадратын арга нь үл мэдэгдэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аль болох олон хэмжилт хийхийг хэлнэ. Түүнээс гадна, илүү их тооцоолол хийх тусам шийдэл нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Энэхүү тооцооллын багц дээр (анхны өгөгдөл) санал болгож буй шийдлүүдийн өөр багцыг гаргаж, хамгийн сайныг нь сонгоно. Хэрэв шийдлүүдийн багцыг параметржүүлсэн бол хамгийн бага квадратын аргыг параметрийн оновчтой утгыг олох хүртэл бууруулна.

Анхны өгөгдөл (хэмжилт) ба санал болгож буй шийдлүүдийн багц дээр LSM-ийг хэрэгжүүлэх аналитик арга барилын хувьд зарим нь (функциональ) тодорхойлогддог бөгөөд үүнийг баталгаажуулах шаардлагатай тодорхой таамаглал болгон олж авсан томъёогоор илэрхийлж болно. Энэ тохиолдолд хамгийн бага квадратын аргыг анхны өгөгдлийн квадрат алдааны багц дээр энэ функцийн хамгийн бага утгыг олох хүртэл бууруулна.

Алдаа өөрөө биш, харин алдааны квадратууд гэдгийг анхаарна уу. Яагаад? Баримт нь хэмжилтийн яг тодорхой утгаас хазайх нь ихэвчлэн эерэг ба сөрөг байдаг. Дундаж хэмжээг тодорхойлохдоо энгийн нийлбэр нь үнэлгээний чанарын талаар буруу дүгнэлт гаргахад хүргэдэг, учир нь эерэг ба сөрөг утгыг харилцан цуцлах нь хэмжилтийн багцын түүврийн хүчийг бууруулна. Үүний үр дүнд үнэлгээний үнэн зөв байдал.

Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд квадрат хазайлтыг нэгтгэн гаргадаг. Үүнээс ч илүү хэмжсэн утга ба эцсийн тооцооны хэмжээсийг тэнцүүлэхийн тулд алдааны квадратын нийлбэрийг гаргаж авахдаа ашигладаг.

MNC-ийн зарим хэрэглээ

MNC нь янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, магадлалын онол ба математик статистикийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын хүрээний өргөнийг тодорхойлдог стандарт хазайлт гэх мэт санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох аргыг ашигладаг.

Туршилтын өгөгдлийг ойртуулах нь туршилтаар олж авсан өгөгдлийг анхны утгууд (туршилт эсвэл туршилтын явцад олж авсан өгөгдөл) зангилааны цэгүүдэд хамгийн ойрхон дамждаг эсвэл давхцдаг аналитик функцээр солиход үндэслэсэн арга юм. Одоогоор аналитик функцийг тодорхойлох хоёр арга бий:

Дамждаг n зэрэглэлийн интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуулах замаар бүх цэгээр шуудөгөгдлийн массив. Энэ тохиолдолд ойртох функцийг дараах байдлаар илэрхийлнэ: Лагранж хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнт эсвэл Ньютон хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнт.

Дамждаг n зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнт байгуулснаар цэгүүдэд ойрхонөгөгдсөн өгөгдлийн массиваас. Тиймээс ойролцоолох функц нь туршилтын явцад тохиолдож болох бүх санамсаргүй дуу чимээг (эсвэл алдааг) жигд болгодог: туршилтын явцад хэмжсэн утга нь өөрсдийн санамсаргүй хуулиудын дагуу өөрчлөгддөг санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарна (хэмжилтийн эсвэл багажийн алдаа, алдаа, туршилтын) алдаа). Энэ тохиолдолд ойртох функцийг хамгийн бага квадратын аргаар тодорхойлно.

Хамгийн бага квадрат арга(Английн уран зохиолд Энгийн хамгийн бага квадратууд, OLS) нь өгөгдсөн туршилтын өгөгдлийн массивын цэгүүдэд хамгийн ойрхон баригдсан ойролцоолсон функцийн тодорхойлолтод суурилсан математик арга юм. F(x)-ийн анхны болон ойртсон функцүүдийн ойролцоо байдлыг тоон хэмжүүрээр тодорхойлно, тухайлбал: F(x) ойролцоох муруйгаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр нь хамгийн бага байх ёстой.

Хамгийн бага квадратын аргаар босгосон муруй

Хамгийн бага квадратын аргыг ашигладаг:

Тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тооноос хэтэрсэн тохиолдолд хэт тодорхойлогдсон тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх;

Энгийн (хэт тодорхойлогдоогүй) шугаман бус тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хайх;

Зарим ойролцоолсон функцээр цэгийн утгыг ойртуулахын тулд.

Туршилтын өгөгдсөн массиваас тооцоолсон ойролцоолох функцийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийн нөхцлөөс хамгийн бага квадратын аргаар ойртуулах функцийг тодорхойлно. Хамгийн бага квадратын аргын энэ шалгуурыг дараах илэрхийлэл хэлбэрээр бичнэ.

Зангилааны цэгүүд дээр тооцоолсон ойролцоолох функцийн утгууд,

Зангилааны цэгүүд дээрх туршилтын өгөгдлийн тодорхой массив.

Квадрат шалгуур нь олон гишүүнт ойртуулах функцээр ойртуулах асуудлыг шийдвэрлэх өвөрмөц шийдлийг өгдөг дифференциал зэрэг хэд хэдэн "сайн" шинж чанартай байдаг.

Бодлогын нөхцлөөс хамааран ойролцоолох функц нь m зэрэгтэй олон гишүүнт байна

Ойролцоох функцийн зэрэг нь зангилааны цэгүүдийн тооноос хамаардаггүй, гэхдээ түүний хэмжээс нь туршилтын өгөгдлийн массивын хэмжээсээс (цэгийн тоо) үргэлж бага байх ёстой.

∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=1 бол хүснэгтийн функцийг шулуун шугамаар (шугаман регресс) ойролцоолно.

∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=2 бол хүснэгтийн функцийг квадрат параболаар (квадрат ойролцоо) ойролцоолно.

∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=3 бол хүснэгтийн функцийг куб параболаар (куб ойролцоо) ойролцоогоор тооцоолно.

Ерөнхий тохиолдолд өгөгдсөн хүснэгтийн утгуудын хувьд ойролцоогоор m зэрэгтэй олон гишүүнт байгуулах шаардлагатай үед бүх зангилааны цэгүүдийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийн нөхцөлийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

- m зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд;

Хүснэгтийн заасан утгуудын тоо.

Функцийн хамгийн бага байх зайлшгүй нөхцөл бол үл мэдэгдэх хувьсагчдын хувьд түүний хэсэгчилсэн деривативын тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. . Үүний үр дүнд бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг хувиргацгаая: хаалтуудыг нээж, чөлөөт нэр томъёог илэрхийллийн баруун талд шилжүүлээрэй. Үүний үр дүнд шугаман алгебр илэрхийллийн системийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэхүү шугаман алгебр илэрхийллийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Үүний үр дүнд m + 1 үл мэдэгдэхээс бүрдэх m + 1 хэмжээтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авсан. Энэ системийг шугаман алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ямар ч аргыг ашиглан шийдэж болно (жишээлбэл, Гауссын арга). Уг шийдлийн үр дүнд анхны өгөгдлөөс ойртсон функцийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийг өгдөг ойролцоолох функцийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох болно, өөрөөр хэлбэл. хамгийн боломжит квадрат ойролцоо тооцоолол. Анхны өгөгдлийн нэг утга өөрчлөгдвөл бүх коэффициентүүд нь анхны өгөгдлөөр бүрэн тодорхойлогддог тул утгуудаа өөрчилнө гэдгийг санах нь зүйтэй.

Шугаман хамаарлаар анхдагч өгөгдлүүдийг ойртуулах

(шугаман регресс)

Жишээ болгон шугаман хамаарлаар өгөгдсөн ойролцоолох функцийг тодорхойлох аргыг авч үзье. Хамгийн бага квадратын аргын дагуу квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийн нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хүснэгтийн зангилааны цэгүүдийн координат;

Шугаман хамаарлаар өгөгдсөн ойролцоолох функцийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд.

Функцийн хамгийн бага байх зайлшгүй нөхцөл бол үл мэдэгдэх хувьсагчдын хувьд түүний хэсэгчилсэн деривативын тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Үүний үр дүнд бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг хувиргацгаая.

Бид үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Аналитик хэлбэрээр ойртох функцийн коэффициентийг дараах байдлаар тодорхойлно (Крамерын арга).

Эдгээр коэффициентүүд нь өгөгдсөн хүснэгтийн утгуудаас (туршилтын өгөгдөл) ойролцоолсон функцийн квадратуудын нийлбэрийг багасгах шалгуурын дагуу шугаман ойролцоо функцийг бүтээх боломжийг олгодог.

Хамгийн бага квадратын аргыг хэрэгжүүлэх алгоритм

1. Анхны өгөгдөл:

Хэмжилтийн N тоотой туршилтын өгөгдлийн массив өгөгдсөн

Ойролцоо олон гишүүнт (m)-ийн зэрэг өгөгдсөн

2. Тооцооллын алгоритм:

2.1. Хэмжээ бүхий тэгшитгэлийн системийг бий болгохын тулд коэффициентийг тодорхойлно

Тэгшитгэлийн системийн коэффициентүүд (тэгшитгэлийн зүүн тал)

- тэгшитгэлийн системийн квадрат матрицын баганын дугаарын индекс

Шугаман тэгшитгэлийн системийн чөлөөт гишүүд (тэгшитгэлийн баруун тал)

- тэгшитгэлийн системийн квадрат матрицын эгнээний дугаарын индекс

2.2. Хэмжээтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх.

2.3. m зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл.

2.4 Бүх зангилааны цэгүүдийн анхны утгуудаас ойртож буй олон гишүүнтийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тодорхойлох

Квадрат хазайлтын нийлбэрийн олсон утга нь боломжит хамгийн бага байна.

Бусад функцуудтай ойртох

Анхны өгөгдлийг хамгийн бага квадратын аргын дагуу ойртуулахдаа логарифмын функц, экспоненциал функц, чадлын функцийг заримдаа ойртох функц болгон ашигладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Бүртгэлийн ойролцоо

Ойролцоох функцийг дараах хэлбэрийн логарифм функцээр өгсөн тохиолдлыг авч үзье.

Хамгийн бага квадрат арга

Хамгийн бага квадрат арга ( MNK, OLS, энгийн хамгийн бага квадратууд) - түүвэр өгөгдлөөс регрессийн загваруудын үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох регрессийн шинжилгээний үндсэн аргуудын нэг. Энэ арга нь регрессийн үлдэгдэл квадратуудын нийлбэрийг багасгахад суурилдаг.

Хэрэв шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн зарим функцын квадратуудын нийлбэрийг багасгах тодорхой шалгуураас бүрдсэн эсвэл хангасан бол хамгийн бага квадратын аргыг өөрөө аль ч талбарт асуудлыг шийдвэрлэх арга гэж нэрлэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс тэгшитгэл эсвэл хязгаарлалтыг хангасан тоо нь эдгээр хэмжигдэхүүний тооноос давсан олон тооны хэмжигдэхүүнийг олохдоо өгөгдсөн функцийг бусад (илүү энгийн) функцээр ойролцоогоор илэрхийлэх (ойролцоогоор) хамгийн бага квадратын аргыг ашиглаж болно. , гэх мэт.

MNC-ийн мөн чанар

(тайлбарласан) хувьсагчийн хоорондох магадлалын (регрессийн) хамаарлын зарим (параметр) загварыг үзье. yболон олон хүчин зүйл (тайлбарлах хувьсагч) x

Үл мэдэгдэх загварын параметрийн вектор хаана байна

- Санамсаргүй загварын алдаа.

Мөн заасан хувьсагчдын утгын түүврийн ажиглалтыг оруулаарай. Ажиглалтын дугаар () байг. Дараа нь --р ажиглалт дахь хувьсагчдын утгууд байна. Дараа нь b параметрийн өгөгдсөн утгуудын хувьд тайлбарласан y хувьсагчийн онолын (загвар) утгыг тооцоолох боломжтой.

Үлдэгдэлийн утга нь параметрийн утгаас хамаарна b.

LSM-ийн мөн чанар (энгийн, сонгодог) нь үлдэгдэл квадратуудын нийлбэр (eng. Квадратуудын үлдэгдэл нийлбэр) хамгийн бага байх болно:

Ерөнхий тохиолдолд энэ асуудлыг тоон аргаар оновчтой болгох (багаруулах) аргаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд нэг нь ярьдаг шугаман бус хамгийн бага квадратууд(NLS эсвэл NLLS - Англи. Шугаман бус хамгийн бага квадратууд). Ихэнх тохиолдолд аналитик шийдлийг олж авч болно. Багасгах асуудлыг шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх b параметрүүдтэй харьцуулан ялгах, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх, үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх замаар функцийн суурин цэгүүдийг олох шаардлагатай.

Загварын санамсаргүй алдаа нь хэвийн тархалттай, ижил хэлбэлзэлтэй, өөр хоорондоо хамааралгүй бол хамгийн бага квадратын параметрийн тооцоолол нь хамгийн их магадлалтай аргын (MLM) тооцоололтой ижил байна.

Шугаман загварын хувьд LSM

Регрессийн хамаарлыг шугаман гэж үзье.

Болъё y- тайлбарласан хувьсагчийн ажиглалтын баганын вектор ба - хүчин зүйлсийн ажиглалтын матриц (матрицын мөр - өгөгдсөн ажиглалтын хүчин зүйлийн утгын векторууд, баганаар - бүх ажиглалт дахь өгөгдсөн хүчин зүйлийн утгын вектор) . Шугаман загварын матриц дүрслэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Дараа нь тайлбарласан хувьсагчийн үнэлгээний вектор ба регрессийн үлдэгдэл вектор нь тэнцүү байх болно.

үүний дагуу регрессийн үлдэгдлийн квадратуудын нийлбэр тэнцүү байна

Энэ функцийг параметрийн векторын хувьд ялгаж, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар бид тэгшитгэлийн системийг (матриц хэлбэрээр) олж авна.

.

Энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь шугаман загварын хамгийн бага квадратын тооцооны ерөнхий томъёог өгдөг.

Аналитик зорилгоор энэ томъёоны сүүлчийн дүрслэл нь ашигтай болж хувирав. Хэрэв регрессийн загварт өгөгдөл төвтэй, тэгвэл энэ дүрслэлд эхний матриц нь хүчин зүйлсийн түүврийн ковариацын матрицын утгатай, хоёр дахь нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн ковариацын вектор юм. Хэрэв, үүнээс гадна, өгөгдөл нь мөн хэвийн болгосон SKO-д (энэ нь эцсийн эцэст стандартчилагдсан), дараа нь эхний матриц нь хүчин зүйлийн түүврийн корреляцийн матриц, хоёр дахь вектор нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн түүвэр корреляцийн вектор гэсэн утгатай байна.

Загваруудын LLS тооцооны чухал шинж чанар тогтмолтой- баригдсан регрессийн шугам нь түүврийн өгөгдлийн хүндийн төвөөр дамждаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан болно.

Ялангуяа цорын ганц регрессор нь тогтмол байх онцгой тохиолдолд нэг параметрийн (тогтмол өөрөө) OLS үнэлгээ нь тайлбарлаж буй хувьсагчийн дундаж утгатай тэнцүү болохыг олж мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, олон тооны хуулиас сайн шинж чанараараа алдартай арифметик дундаж нь мөн хамгийн бага квадратын тооцоолол юм - энэ нь түүнээс хазайсан квадратын хамгийн бага нийлбэрийн шалгуурыг хангадаг.

Жишээ нь: энгийн (хосоор) регресс

Хосолсон шугаман регрессийн хувьд тооцооллын томъёог хялбаршуулсан (та матриц алгебргүйгээр хийж болно):

OLS тооцооны шинж чанарууд

Юуны өмнө бид шугаман загваруудын хувьд хамгийн бага квадратын тооцоолол нь дээрх томьёоны дагуу шугаман тооцоолол гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Шударга бус OLS тооцооллын хувьд регрессийн шинжилгээний хамгийн чухал нөхцлийг биелүүлэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм: хүчин зүйлээс хамаарах санамсаргүй алдааны математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл хангагдсан, тухайлбал, хэрэв

1. санамсаргүй алдааны математикийн хүлээлт тэг, ба
2. хүчин зүйлс ба санамсаргүй алдаа нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Хоёрдахь нөхцөл - экзоген хүчин зүйлийн нөхцөл нь суурь юм. Хэрэв энэ өмч нь сэтгэл хангалуун бус байвал бараг бүх тооцоо нь туйлын хангалтгүй байх болно гэж бид таамаглаж болно: тэдгээр нь бүр тогтвортой биш байх болно (өөрөөр хэлбэл маш их хэмжээний мэдээлэл ч гэсэн энэ тохиолдолд чанарын тооцоо хийх боломжийг олгодоггүй). Сонгодог тохиолдолд санамсаргүй алдаанаас ялгаатай нь хүчин зүйлийн детерминизмын талаар илүү хүчтэй таамаглал дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь автоматаар экзоген нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Ерөнхий тохиолдолд тооцооллыг тууштай байлгахын тулд түүврийн хэмжээ хязгааргүй хүртэл нэмэгдэж, матрицыг зарим нэг бус матрицад нэгтгэхтэй хамт экзогенийн нөхцлийг биелүүлэхэд хангалттай.

Тохиромжтой, шударга байдлаас гадна (ердийн) хамгийн бага квадратуудын тооцоо үр дүнтэй байхын тулд (шугаман бус үнэлгээний ангилалд хамгийн сайн нь) санамсаргүй алдааны нэмэлт шинж чанарыг хангах шаардлагатай.

Эдгээр таамаглалыг санамсаргүй алдааны векторын ковариацын матрицад зориулж томъёолж болно

Эдгээр нөхцлийг хангасан шугаман загварыг гэнэ сонгодог. Сонгодог шугаман регрессийн хамгийн бага квадратын үнэлгээчид нь бүх шугаман бус үнэлэгчийн ангилалд хамааралгүй, тууштай, хамгийн үр ашигтай үнэлгээчид байдаг (товчлол цэнхэр (Шилдэг шугаман үндэслэлгүй тооцоологч) хамгийн сайн шугаман бус үнэлгээ; дотоодын уран зохиолд Гаусс-Марковын теоремыг илүү олон удаа иш татдаг). Үзүүлэхэд хялбар тул коэффициентийн тооцооллын векторын ковариацын матриц нь дараахтай тэнцүү байна.

Ерөнхийжүүлсэн хамгийн бага квадратууд

Хамгийн бага квадратын арга нь өргөн хүрээний ерөнхий ойлголт өгөх боломжийг олгодог. Үлдэгдэлийн квадратуудын нийлбэрийг багасгахын оронд үлдэгдэл векторын эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг багасгаж болно, энд зарим тэгш хэмтэй эерэг тодорхой жинтэй матриц байна. Жингийн матриц нь таних матрицтай пропорциональ байх үед энгийн хамгийн бага квадратууд нь энэ аргын онцгой тохиолдол юм. Тэгш хэмт матрицуудын (эсвэл операторуудын) онолоос мэдэгдэж байгаачлан ийм матрицуудын задрал байдаг. Тиймээс, заасан функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл энэ функцийг зарим хувиргасан "үлдэгдэл" -ийн квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс бид хамгийн бага квадратын аргуудын ангиллыг ялгаж салгаж болно - LS арга (Бага квадратууд).

Ерөнхий шугаман регрессийн загварт (санамсаргүй алдааны ковариацын матрицад ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй) хамгийн үр дүнтэй (шугаман бус үнэлгээний ангилалд) гэж нэрлэгддэг тооцоолол байдаг нь (Айткенийн теорем) батлагдсан. ерөнхий OLS (OMNK, GLS - Ерөнхий жижиг квадратууд)- Санамсаргүй алдааны урвуу ковариацын матрицтай тэнцүү жинтэй матрицтай LS-арга: .

Шугаман загварын параметрүүдийн GLS-үнэлгээний томъёо нь хэлбэртэй байгааг харуулж болно

Эдгээр тооцооллын ковариацын матриц нь тэнцүү байх болно

Үнэн хэрэгтээ OLS-ийн мөн чанар нь анхны өгөгдлийн тодорхой (шугаман) хувиргалт (P) болон хувирсан өгөгдөлд ердийн хамгийн бага квадратуудыг ашиглахад оршдог. Энэхүү хувиргалтын зорилго нь хувиргасан өгөгдлийн хувьд санамсаргүй алдаа нь сонгодог таамаглалыг аль хэдийн хангасан байх явдал юм.

Жинлэсэн хамгийн бага квадратууд

Диагональ жингийн матриц (мөн санамсаргүй алдааны ковариацын матриц) тохиолдолд бид хамгийн бага жинтэй квадратууд гэж нэрлэгддэг (WLS - Weighted Least Squares). Энэ тохиолдолд загварын үлдэгдлийн квадратуудын жигнэсэн нийлбэрийг багасгасан, өөрөөр хэлбэл, ажиглалт бүр энэ ажиглалтын санамсаргүй алдааны дисперстэй урвуу пропорциональ "жин"-ийг хүлээн авдаг: . Үнэн хэрэгтээ, ажиглалтыг жинлэх замаар өгөгдлийг хувиргадаг (санамсаргүй алдааны стандарт хазайлттай пропорциональ хэмжээгээр хуваах), жинлэсэн өгөгдөлд ердийн хамгийн бага квадратуудыг ашигладаг.

LSM-ийг практикт хэрэглэх зарим онцгой тохиолдлууд

Шугаман ойртолт

Тодорхой скаляр хэмжигдэхүүнийг тодорхой скаляр хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг судалсны үр дүнд (Энэ нь жишээлбэл, хүчдэлийн одоогийн хүчнээс хамаарах хамаарал байж болно: , тогтмол утга хаана байна, дамжуулагчийн эсэргүүцэл). ), эдгээр хэмжигдэхүүнийг хэмжсэн бөгөөд үүний үр дүнд утгууд ба тэдгээрийн холбогдох утгууд. Хэмжилтийн өгөгдлийг хүснэгтэд тэмдэглэнэ.

Хүснэгт. Хэмжилтийн үр дүн.

Хэмжилтийн дугаар
1
2
3
4
5
6

Асуулт нь иймэрхүү сонсогдож байна: хамаарлыг хамгийн сайн тодорхойлохын тулд коэффициентийн ямар утгыг сонгож болох вэ? Хамгийн бага квадратуудын дагуу энэ утга нь утгуудын утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр байх ёстой.

хамгийн бага байсан

Квадрат хазайлтын нийлбэр нь нэг экстремумтай байдаг - хамгийн бага нь энэ томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог. Энэ томъёоноос коэффициентийн утгыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид түүний зүүн талыг дараах байдлаар хувиргана.

Сүүлийн томъёо нь асуудалд шаардлагатай байсан коэффициентийн утгыг олох боломжийг бидэнд олгодог.

Өгүүллэг

XIX зууны эхэн үе хүртэл. эрдэмтэд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос бага байдаг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэмгүй байсан; Тэр үеийг хүртэл тэгшитгэлийн төрөл, тооны машинуудын ухаалаг байдлаас хамааран тодорхой аргуудыг ашигладаг байсан тул ижил ажиглалтын өгөгдлөөс эхлэн өөр өөр тооцоолуур өөр өөр дүгнэлтэд хүрчээ. Гаусс (1795) аргын анхны хэрэглээ гэж тооцогддог бөгөөд Лежендре (1805) үүнийг бие даан олж, орчин үеийн нэрээр хэвлүүлсэн (fr. Арга зүй des moindres arres ). Лаплас энэ аргыг магадлалын онолтой холбосон бөгөөд Америкийн математикч Адрейн (1808) түүний магадлалын хэрэглээг авч үзсэн. Энэ арга нь Энке, Бессел, Хансен болон бусад хүмүүсийн цаашдын судалгаагаар өргөн тархсан бөгөөд сайжруулсан.

MNC-ийн альтернатив хэрэглээ

Хамгийн бага квадратын аргын санааг регрессийн шинжилгээтэй шууд холбоогүй бусад тохиолдолд ашиглаж болно. Баримт нь квадратуудын нийлбэр нь векторуудын хамгийн түгээмэл ойрын хэмжүүрүүдийн нэг юм (хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай дахь Евклидийн хэмжүүр).

Нэг хэрэглээ бол тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос их байх шугаман тэгшитгэлийн системийг "шийдвэрлэх" явдал юм.

матриц нь дөрвөлжин биш, харин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Ийм тэгшитгэлийн систем нь ерөнхий тохиолдолд ямар ч шийдэлгүй (хэрэв зэрэглэл нь хувьсагчийн тооноос их байвал). Иймээс энэ системийг зөвхөн векторуудын хоорондох "зай"-ыг багасгахын тулд ийм векторыг сонгох утгаар л "шийдвэрлэх" боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгүүдийн квадрат ялгааны нийлбэрийг багасгах шалгуурыг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл, . Энэхүү багасгах бодлогын шийдэл нь дараах тэгшитгэлийн системийн шийдэлд хүргэдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг