Тэгшитгэлийн систем. Жишээ бүхий нарийвчилсан онол (2020). Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээ: шийдлийн арга Шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв болох нь дамжиггүй. Математикийн бүх салбараас асар олон тооны асуудлыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд багасгасан. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийг бий болгох шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх оновчтой аргыг сонгох;
сонгосон аргын онолыг судлах,
ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзсэний үндсэн дээр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, зарим тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзье. Нэгдүгээрт, Крамерын аргад анхаарлаа хандуулъя, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц доройтсон ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжинэ. Бид Kronecker-Capelli теоремыг томъёолдог бөгөөд энэ нь SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог. Системийн шийдлийг (тэдгээрийн нийцтэй байдлын хувьд) матрицын минорын үндсэн ойлголтыг ашиглан дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулахаа мартуузай. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулсан тэгшитгэлийн системүүд, түүнчлэн шийдвэрлэхэд нь SLAE үүсдэг янз бүрийн асуудлуудыг авч үздэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт гишүүд (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE-ийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэрЭнэ тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын матриц-багана, - чөлөөт гишүүдийн матриц-багана.

Хэрэв бид А матрицад (n + 1)-р баганад чөлөөт нэр томъёоны матриц баганыг нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. Өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн нэмэгдүүлсэн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт гишүүдийн баганыг бусад баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаарсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болж хувирдаг.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол түүнийг дуудна нийцэхгүй.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийн шийдэл.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол бид ийм SLAE гэж нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ахлах сургуульдаа ийм SLAE-г судалж эхэлсэн. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Ийм тэмдэглэгээгээр үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёогоор тооцоолно . Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг Крамерын аргаар ингэж олдог.

Жишээ.

Крамер арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Түүний тодорхойлогчийг тооцоол (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоол (тодорхойлогчийг А матрицын эхний баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар, тодорхойлогчийг - хоёрдугаар баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор, - А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор тодорхойлогчийг авна. ):

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) системийн тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

, тэгвэл А матриц урвуу, өөрөөр хэлбэл урвуу матриц байна. Хэрэв бид тэгш байдлын хоёр хэсгийг зүүн талд үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матрицыг олох томьёо гарна. Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг матрицын аргаар олж авсан.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

Дараа нь SLAE-ийг матрицын аргаар шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг бүтээцгээе (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчийн матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц багана дээр (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгарч буй гол асуудал бол урвуу матрицыг олох, ялангуяа 3-аас дээш эрэмбийн квадрат матрицуудыг олоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасна, зөвхөн үл мэдэгдэх хувьсагч хүртэл. Сүүлийн тэгшитгэлд x n хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах ийм үйл явц гэж нэрлэгддэг. шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш гүйлт дууссаны дараа хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс х n, энэ утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс х n-1, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. урвуу Гауссын арга.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Бид үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгээс нь хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр эхний үржүүлсэн тэгшитгэлийг нэмэх, гурав дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийг нэмэх гэх мэт эхний үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийлэлийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулбал ижил үр дүнд хүрнэ. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй үйлдэл хийдэг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үүссэн системийн нэг хэсэгтэй л ажиллана

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх гэх мэт хоёр дахь үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй ажиллахын зэрэгцээ үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд чиглэлийг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, олж авсан x n утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхнийхээс x 1-ийг олно. тэгшитгэл.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун хэсэгт хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Үүн дээр Гауссын аргын урагшлах курс дуусч, бид урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох бөгөөд энэ нь Гауссын аргын урвуу чиглэлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Ерөнхий тохиолдолд p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцдаггүй.

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь квадрат ба доройтсон тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. Хэзээ SLAE нийцэж байна, хэзээ таарахгүй байна гэсэн асуултын хариултыг өгнө Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем нийцтэй байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл Rank( A)=Зэрэглэл(T) .

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох Кронекер-Каппелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Үүнийг тойрсон гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн талаар ярилцъя:

Бүх хил залгаа гуравдагч зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр байна.

Хариуд нь нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэл гурав дахь эрэмбийн бага учраас гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A) тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Шийдвэрлэх систем алга.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ нийцтэй байдал нь тогтоогдсон тохиолдолд SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн теорем хэрэгтэй.

Тэгээс бусад А матрицын хамгийн дээд эрэмбийн минорыг нэрлэнэ үндсэн.

Минорын суурь тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн үндсэн минор байж болно; үргэлж нэг үндсэн минор байдаг.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Хоёрдахь зэрэглэлийн дараах насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэгээс ялгаатай тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r бол сонгосон минорыг үүсгэдэггүй матрицын мөрийн (ба баганын) бүх элементүүдийг мөрийн (ба баганын) харгалзах элементүүдээр шугаман байдлаар илэрхийлнэ. ) энэ нь минорын суурийг бүрдүүлдэг.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу өгдөг вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремоор бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч үндсэн минорыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, системээс хамааралгүй бүх тэгшитгэлийг хасна. сонгосон үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг бүрдүүлнэ. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн хэт их тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр дахь эрэмбийн минор учраас хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь эрэмбийн цорын ганц минор нь тэгтэй тэнцүү тул хоёртой тэнцүү байна

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Kronecker-Capelli теорем дээр үндэслэн Rank(A)=Rank(T)=2 байх тул шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж болно.

Бага үндэс болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.

Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн үүнийг системээс хасна.

Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн энгийн системийг олж авлаа. Үүнийг Крамерын аргаар шийдье.

Хариулт:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага бол n , тэгвэл бид тэгшитгэлийн зүүн хэсэгт үндсэн минорыг бүрдүүлдэг нэр томъёог үлдээж, үлдсэн гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун хэсэгт шилжүүлнэ. эсрэг тэмдэгтэй системийн.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r байгаа) гэж нэрлэдэг. гол.

Баруун талд төгссөн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн n - r байдаг) гэж нэрлэдэг. үнэгүй.

Одоо бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчид дурын утгыг авч болно гэж таамаглаж байна, харин r үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагч нь чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдаас өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно. Тэдний илэрхийлэл нь үүссэн SLAE-ийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар шийдвэрлэх замаар олж болно.

Нэг жишээ татъя.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргаар. 1 1 = 1-ийг тэг биш эхний эрэмбийн минор гэж авцгаая. Энэ насанд хүрээгүй хүүхдийг тойрсон тэгээс өөр хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.

Тиймээс бид 2-р зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хил хязгаарыг хайж эхэлцгээе.

Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс багагүй олдсон минорыг үндсэн гэж авна.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорд оролцож буй нэр томъёог үлдээж, үлдсэнийг нь эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ.

Бид x 2 ба x 5 үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл бид авдаг , дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE хэлбэрийг авна

Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн олж авсан энгийн системийг Крамерын аргаар шийддэг.

Тиймээс, .

Хариултанд үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг олж мэднэ. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид үндсэн минорыг сонгож, сонгосон үндсэн минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж болно.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг онооно. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олдог.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг ашиглан ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг тэдгээрийн нийцтэй байдлын урьдчилсан судалгаагүйгээр шийдэж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын ажлын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын талаархи дэлгэрэнгүй тайлбар, дүн шинжилгээ хийсэн жишээг үзнэ үү.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бүртгэх.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй олон шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлүүдийн нэг төрлийн ба нэг төрлийн бус системд анхаарлаа хандуулах болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системүүдийг авч үзье.

Шийдвэр гаргах үндсэн системҮл мэдэгдэх n хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн багц (n – r) бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) гэж нэрлэвэл n хэмжээсийн матрицын баганууд болно. 1 ), дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг дурын тогтмол С 1 , С 2 , …, С (n-r) коэффициент бүхий шийдлүүдийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томьёо нь анхны SLAE-ийн бүх боломжит шийдлүүдийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл бид томъёоны дагуу дурын тогтмол C 1 , C 2 , ..., C (n-r) утгуудын багцыг авна. анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авах болно.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тохируулж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан бүх гишүүнийг эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 1,0,0,…,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолж, шугаман тэгшитгэлийн үндсэн системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргаар шийдэж үзье. Тиймээс үндсэн системийн анхны шийдэл болох X (1) -ийг олж авна. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0,0,…,0,1 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) болно. Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг ингэж байгуулж, түүний ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийдийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Гол матрицын зэрэглэлийг насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хүрээний аргаар олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгээс өөр минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын a 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг ол:

Хоёр дахь эрэмбийн минор буюу тэгээс ялгаатай нь олддог. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бага насны үндсэн хичээлийг авч үзье. Тодорхой болгохын тулд бид үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэв.

Анхны SLAE-ийн гуравдахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нөхцлүүдийг үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун гар талд шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний үндсэн минорын дараалал нь хоёр байдаг. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 утгыг өгөөд дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

Системүүд мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийм тооны багц юм ( x 1 , x 2 , …, x n), системийн тэгшитгэл тус бүрд алийг нь орлуулах нь зөв тэгшитгэлийг олж авна.
Хаана a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nсистемийн коэффициентүүд;
b i , i = 1, …, m- чөлөөт гишүүд;
x j , j = 1, …, n- үл мэдэгдэх.
Дээрх системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно: A X = B,

Хаана ( А|Б) нь системийн үндсэн матриц;
А- системийн өргөтгөсөн матриц;
X- үл мэдэгдэх багана;
Бчөлөөт гишүүдийн багана юм.
Хэрэв матриц Бтэг матриц ∅ биш бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг.
Хэрэв матриц Б= ∅ бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн системд үргэлж тэг (жижиг) шийдэл байдаг: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системшийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх системшийдэлгүй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой системөвөрмөц шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой бус системнь хязгааргүй олон шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
n үл мэдэгдэх n шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Хэрэв үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү бол матриц нь квадрат болно. Матрицын тодорхойлогчийг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн тодорхойлогч гэж нэрлэх ба Δ тэмдгээр тэмдэглэнэ.
Крамер аргасистемийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
Крамерын дүрэм.
Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн системийн гол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь тууштай, тодорхойлогддог бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын томъёогоор тооцоолно.
Энд Δ i нь системийн үндсэн тодорхойлогчоос Δ солих замаар олж авсан тодорхойлогч юм. би th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад. .
n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Кронекер-Каппелли теорем.

Энэхүү шугаман тэгшитгэлийн систем тогтвортой байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. зэрэглэл(Α) = зэрэглэл(Α|В).
Хэрэв дуугарав(Α) ≠ дуугарав(Α|B), тэгвэл системд ямар ч шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.
Хэрэв зэрэглэл(Α) = зэрэглэл(Α|В), дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:
1) rang(Α) = n(үл мэдэгдэх тоогоор) - шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд Крамерын томъёогоор олж авах боломжтой;
2) зэрэглэл(Α)< n - Хязгааргүй олон шийдэл байдаг.
Гауссын аргашугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан

Өргөтгөсөн матрицыг зохиоё ( А|Б) тодорхойгүй ба баруун талд байгаа коэффициентүүдийн өгөгдсөн системийн.
Гауссын арга буюу үл мэдэгдэхийг арилгах арга нь нэмэгдүүлсэн матрицыг багасгахад оршино. А|Б) эгнээний дээгүүр диагональ хэлбэрт (дээд гурвалжин хэлбэрт) энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар. Тэгшитгэлийн систем рүү буцаж ирэхэд бүх үл мэдэгдэх зүйл тодорхойлогддог.
Мөр дээрх анхан шатны хувиргалтуудад дараахь зүйлс орно.
1) хоёр мөрийг солих;
2) мөрийг 0-ээс өөр тоогоор үржүүлэх;
3) дурын тоогоор үржүүлсэн өөр мөрийг мөрөнд нэмэх;
4) хоосон мөрийг хаях.
Диагональ хэлбэрээр бууруулсан өргөтгөсөн матриц нь өгөгдсөнтэй тэнцэх шугаман системтэй тохирч, шийдэл нь хүндрэл учруулдаггүй. .
Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем.
Нэг төрлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.

энэ нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна A X = 0.
1) Нэг төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь r(A) = r(A|B), үргэлж тэг шийдэл байдаг (0, 0, …, 0).
2) Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r = r(A)< n Δ = 0-тэй тэнцүү байна.
3) Хэрэв r< n , дараа нь Δ = 0, тэгвэл чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлүүд байна c 1 , c 2 , …, c n-r, систем нь энгийн бус шийдлүүдтэй бөгөөд тэдгээр нь хязгааргүй олон байдаг.
4) Ерөнхий шийдэл Xцагт r< n матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
шийдэл хаана байна X 1 , X 2 , …, X n-rшийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.
5) Уусмалын үндсэн системийг нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлээс гаргаж авч болно.

,
Хэрэв бид параметрүүдийн утгыг дарааллаар нь (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) гэж үзвэл.
Уусмалын үндсэн системийн хувьд ерөнхий шийдлийн задралүндсэн системд хамаарах шийдлүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр ерөнхий шийдлийн бүртгэл юм.
Теорем. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Тэгэхээр тодорхойлогч нь Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
Теорем. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r(A)< n .
Баталгаа:
1) rилүү байж болохгүй n(матрицын зэрэглэл нь багана, мөрийн тооноос хэтрэхгүй);
2) r< n , учир нь Хэрэв r=n, дараа нь системийн гол тодорхойлогч Δ ≠ 0 байх ба Крамерын томъёоны дагуу өвөрмөц өчүүхэн шийдэл байна. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. гэсэн үг, r(A)< n .
Үр дагавар. Нэг төрлийн системийг бий болгохын тулд nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь тэгээс өөр шийдэлтэй тул Δ = 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд. Лекц 6

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Үндсэн ойлголтууд.

харах систем

дуудсан систем - үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

, , тоонуудыг дууддаг системийн коэффициентүүд.

Тоонуудыг дууддаг системийн чөлөөт гишүүд, – системийн хувьсагч. Матриц

дуудсан системийн үндсэн матриц, болон матриц

– Өргөтгөсөн матрицын систем. Матрицууд - баганууд

Мөн үүний дагуу системийн чөлөөт гишүүд болон үл мэдэгдэх матрицууд. Дараа нь матриц хэлбэрээр тэгшитгэлийн системийг гэж бичиж болно. Системийн шийдэлХувьсагчийн утгууд гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг орлуулах үед системийн бүх тэгшитгэлүүд жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирдаг. Системийн аливаа шийдлийг матриц багана хэлбэрээр дүрсэлж болно. Тэгвэл матрицын тэгш байдал үнэн болно.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба нийцэхгүйХэрэв шийдэл байхгүй бол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь тохирох эсэхийг олж мэдэх, хэрэв нийцэж байгаа бол ерөнхий шийдлийг олох гэсэн үг юм.

систем гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнхэрэв түүний бүх чөлөөт нөхцөл нь тэгтэй тэнцүү бол. Нэг төрлийн систем нь шийдэлтэй байдаг тул үргэлж нийцдэг

Кронекер-Копелли теорем.

Шугаман системийн шийдлүүд байгаа эсэх, тэдгээрийн өвөрмөц байдлын талаархи асуултын хариулт нь тодорхойгүй шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи дараах мэдэгдлүүдээр томъёолж болох дараах үр дүнг авах боломжийг бидэнд олгодог.

(1)

Теорем 2. Шугаман тэгшитгэлийн систем (1) нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн зэрэгтэй (.

Теорем 3. Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Теорем 4. Хэрэв хамтарсан системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байвал систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Системийг шийдвэрлэх дүрэм.

3. Үндсэн хувьсагчдын илэрхийллийг чөлөөт хувьсагчаар нь олж системийн ерөнхий шийдийг ол.

4. Чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгснөөр үндсэн хувьсагчдын бүх утгыг олж авна.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.

Урвуу матрицын арга.

ба , өөрөөр хэлбэл, систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Бид системийг матриц хэлбэрээр бичдэг

Хаана , , .

Зүүн талд байгаа матрицын тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүл

-ээс хойш бид үл мэдэгдэхийг олох тэгш байдлыг олж авдаг

Жишээ 27.Урвуу матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицаар тэмдэглэ

Дараа нь томъёогоор шийдлийг олъё.

Тооцоолъё.

-ээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон. Бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг ол

, ,

Тиймээс

Шалгацгаая

Урвуу матриц зөв олдсон. Эндээс томъёог ашиглан бид хувьсагчдын матрицыг олно.

Матрицуудын утгыг харьцуулж үзвэл бид дараах хариултыг авна.

Крамерын арга.

Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье

ба , өөрөөр хэлбэл, систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Бид системийн шийдлийг матриц хэлбэрээр бичдэг эсвэл

Тэмдэглэх

. . . . . . . . . . . . . . ,

Тиймээс бид үл мэдэгдэх утгыг олох томъёог олж авдаг Крамерын томъёо.

Жишээ 28.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийд .

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг ол

Үүнээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон.

Крамерын томъёоны үлдэгдэл тодорхойлогчдыг ол

Крамерын томъёог ашиглан бид хувьсагчдын утгыг олдог

Гауссын арга.

Энэ арга нь хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ.

Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.

Гауссын шийдлийн процесс нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Эхний шатанд системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

хаана , энэ нь системтэй тохирч байна

Үүний дараа хувьсагчид үнэ төлбөргүй гэж тооцогддог бөгөөд тэгшитгэл бүрт баруун тал руу шилждэг.

Хоёр дахь шатанд хувьсагчийг сүүлчийн тэгшитгэлээс илэрхийлж, үр дүнгийн утгыг тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тэгшитгэлээс

хувьсагчийг илэрхийлнэ. Энэ процесс эхний тэгшитгэл хүртэл үргэлжилнэ. Үр дүн нь үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлнэ .

Жишээ 29.Дараах системийг Гауссын аргаар шийд

Шийдэл. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичээд алхам хэлбэрт оруулъя

Учир нь нь үл мэдэгдэх тооноос их байвал систем нь нийцтэй, хязгааргүй тооны шийдэлтэй байна. Алхам матрицын системийг бичье

Эхний гурван баганаас бүрдэх энэ системийн өргөтгөсөн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид үүнийг үндсэн гэж үзэж байна. Хувьсагч

Үндсэн байх ба хувьсагч нь үнэ төлбөргүй байх болно. Үүнийг бүх тэгшитгэлийн зүүн тал руу шилжүүлье

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ

Энэ утгыг эцсийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна

хаана . Хувьсагчдын утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулснаар бид олдог . Бид хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ

ХАМТ nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.

Хаана айжТэгээд b i (i=1,…,m; b=1,…,n)зарим мэдэгдэж байгаа тоонууд ба x 1 ,…,x n- үл мэдэгдэх тоо. Коэффициентуудын тэмдэглэгээнд айжиндекс битэгшитгэлийн тоог тодорхойлдог ба хоёр дахь jнь энэ коэффициент байрладаг үл мэдэгдэх тоо юм.

Нэг төрлийн систем -системийн бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү байх үед ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), нөхцөл байдал эсрэгээрээ байна гетероген систем.

Дөрвөлжин систем -хэзээ тоо мтэгшитгэл нь тоотой тэнцүү байна nүл мэдэгдэх.

Системийн шийдэл- багц nтоо c 1 , c 2 , …, c n ,бүх зүйлийг орлуулахаар в биоронд нь x iсистем болгон бүх тэгшитгэлээ таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хамтарсан систем -системд дор хаяж нэг шийдэл байгаа үед, ба үл нийцэх системсистемд шийдэл байхгүй үед.

Ийм төрлийн хамтарсан систем (дээр дурдсанчлан (1)) нэг буюу хэд хэдэн шийдэлтэй байж болно.

Шийдэл c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)Тэгээд c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)(1) төрлийн хамтарсан систем хүсэл янз бүрийн, тэгшитгэлийн 1 нь ч хангагдаагүй үед:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

(1) төрлийн хамтарсан систем болно тодорхойэнэ нь зөвхөн нэг шийдэлтэй үед; систем нь дор хаяж 2 өөр шийдэлтэй бол энэ нь болдог дутуу тодорхойлсон. Үл мэдэгдэхээс олон тэгшитгэл байгаа бол систем нь байна дахин тодорхойлсон.

Үл мэдэгдэх коэффициентийг матриц хэлбэрээр бичнэ.

гэж нэрлэдэг системийн матриц.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонууд, b 1 ,…,b мбайна чөлөөт гишүүд.

Агрегат nтоо c 1 ,…,c nсистемийн бүх тэгшитгэлүүд нь тоонуудыг орлуулсны дараа тэгшитгэл болж хувирах үед энэ системийн шийдэл юм c 1 ,…,c nхаргалзах үл мэдэгдэхийн оронд x 1 ,…,x n.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ 3 сонголт гарч ирж болно.

1. Систем нь ганцхан шийдэлтэй.

2. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй. Жишээлбэл, . Энэ системийн шийдэл нь тэмдгээр ялгаатай бүх хос тоонууд байх болно.

3. Системд ямар ч шийдэл байхгүй. Жишээлбэл, , хэрэв шийдэл байгаа бол x 1 + x 2нэгэн зэрэг 0 ба 1-тэй тэнцүү байна.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.

Шууд аргуудяг шийдлийг олох алгоритмыг өг SLAU(шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем). Хэрэв нарийвчлал нь үнэмлэхүй байсан бол тэд үүнийг олох байсан. Жинхэнэ цахилгаан компьютер мэдээж алдаатай ажилладаг тул шийдэл нь ойролцоо байх болно.

Олон практик асуудлуудыг 1-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийн системийг эсвэл шугаман тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг. Бид тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тоотой давхцахыг шаардахгүйгээр ийм системийг шийдэж сурах болно.

Ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичнэ.

Энд тоонууд байна айж– магадлал системүүд, б би – чөлөөт гишүүд, x i- тэмдэг үл мэдэгдэх . Матрицын тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх нь маш тохиромжтой: - гол системийн матриц, – матриц-чөлөөт нөхцлийн багана, – матриц- үл мэдэгдэх багана. Дараа нь системийг дараах байдлаар бичиж болно. AX=Бэсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

Хэрэв энэ тэгш байдлын зүүн талд ердийн дүрмийн дагуу матрицын үржүүлгийг хийж, үүссэн баганын элементүүдийг элементүүдтэй тэнцүү болго. IN, дараа нь бид анхны системийн тэмдэглэгээнд хүрэх болно.

Жишээ 14. Бид ижил шугаман тэгшитгэлийн системийг хоёр өөр аргаар бичдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг ихэвчлэн нэрлэдэг хамтарсан , хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол, ба нийцэхгүй, ямар ч шийдэл байхгүй бол.

Бидний жишээн дээр систем нь нийцтэй, багана нь түүний шийдэл юм:

Энэ шийдлийг матрицгүйгээр бичиж болно: x=2, ж=1 . Бид тэгшитгэлийн системийг дуудах болно тодорхойгүй , хэрэв нэгээс олон шийдэлтэй бол, ба тодорхой Хэрэв шийдэл нь өвөрмөц байвал.

Жишээ 15. Систем нь тодорхойгүй байна. Жишээлбэл, түүний шийдэл. Уншигч энэ системийн өөр олон шийдлийг олох боломжтой.

Эхлээд тодорхой тохиолдолд шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурцгаая. Тэгшитгэлийн систем Өө=INбид дуудна Крамеровская , хэрэв түүний үндсэн матриц Адөрвөлжин, доройтдоггүй. Өөрөөр хэлбэл, Крамерийн системд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой давхцдаг ба .

Теорем 6. (Крамерын дүрэм).Шугаман тэгшитгэлийн Крамер систем нь дараахь томъёогоор өгөгдсөн өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

үндсэн матрицын тодорхойлогч хаана байна, -аас олж авсан тодорхойлогч байна Дсолих би-чөлөөт гишүүдийн багана бүхий багана.

Сэтгэгдэл.Крамер системийг урвуу матрицыг ашиглан өөр аргаар шийдэж болно. Бид ийм системийг матриц хэлбэрээр бичдэг. AX=IN. -ээс хойш урвуу матриц байна А –1 . Бид матрицын тэгш байдлыг үржүүлдэг А –1 зүүн: А –1 Өө=А –1 IN. Учир нь А –1 Өө=EX=X, дараа нь системийн шийдэл олддог: X= А –1 IN.Бид энэ шийдлийн аргыг нэрлэх болно матриц . Энэ нь зөвхөн Cramer системд тохиромжтой гэдгийг бид дахин онцолж байна - бусад тохиолдолд урвуу матриц байдаггүй. Уншигч та доорх матрицын арга болон Крамерын аргыг хэрэглэхэд дүн шинжилгээ хийсэн жишээнүүдийг олох болно.

Эцэст нь ерөнхий тохиолдол, системийг судалцгаая мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх. Үүнийг шийдэхийн тулд өргөдөл гаргана уу Гауссын арга , бид үүнийг нарийвчлан авч үзэх болно.Хурмын тэгшитгэлийн системийн хувьд Өө=INбичих сунгасан матриц. Тиймээс матрицыг дуудах нь заншилтай байдаг бөгөөд энэ нь үндсэн матриц нь гарч ирэх болно Абаруун талд, чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмнэ үү IN:

Зэрэглэлийг тооцоолохын нэгэн адил эгнээний энгийн хувиргалт ба баганын сэлгэцийн тусламжтайгаар бид матрицаа трапец хэлбэртэй болгоно. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг, матрицад тохирох тэгшитгэлийн систем өөрчлөгдөх боловч өөрчлөгдөх болно -тэй тэнцүү юм эх (ᴛ.ᴇ. ижил шийдлүүдтэй байх болно). Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах эсвэл нэмэх нь шийдлийг өөрчлөхгүй. Багануудыг дахин зохион байгуулах - Хэтэрхий: Тэгшитгэл x 1+3х2+7х3=4 Тэгээд x 1+7х3+3х2=4, Мэдээжийн хэрэг тэнцүү байна. Зөвхөн аль үл мэдэгдэх баганад тохирохыг бичих шаардлагатай. Бид чөлөөт гишүүдийн баганыг өөрчилдөггүй - энэ нь ихэвчлэн матриц дахь тасархай шугамаар бусдаас тусгаарлагддаг. Матрицад гарч буй тэг мөрүүдийг орхигдуулж болно.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Бид өргөтгөсөн матрицыг бичиж, трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулдаг. Гарын үсэг зурах ~ Одоо энэ нь зөвхөн эрэмбийн давхцал төдийгүй тэгшитгэлийн холбогдох системийн эквивалент гэсэн үг юм.

~ . Хийсэн алхмуудыг тайлбарлая.

Үйлдэл 1. 1-р мөрийг 2-р мөрөнд нэмээд үржүүлэв (–2). 3, 4-р мөрөнд тэд 1-ийг нэмж, үржүүлэв (–3). Эдгээр үйлдлүүдийн зорилго нь үндсэн диагональ доогуур эхний баганад тэгийг авах явдал юм.

Үйлдэл 2.Диагональ газар (2,2) байгаа тул 0 , би 2, 3-р баганыг дахин цэгцлэх шаардлагатай болсон. Энэ орлуулалтыг санахын тулд бид үл мэдэгдэх тэмдэгтүүдийг дээр нь бичсэн.

Үйлдэл 3. 3-р мөрөнд тэд 2-ыг нэмээд үржүүлэв (–2). 2-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв. Зорилго нь үндсэн диагональ доогуур хоёр дахь баганад тэг авах явдал юм.

Үйлдэл 4.Тэг шугамыг арилгаж болно.

Тиймээс матрицыг трапец хэлбэртэй болгож бууруулсан байна. Түүний зэрэглэл r=2 . Тодорхойгүй x 1, x 3- үндсэн; x 2, x 4- үнэ төлбөргүй. Чөлөөт үл мэдэгдэхэд дурын утгыг оноож өгье:

x 2= a, x 4= б.

Энд а, бдурын тоо байна. Одоо шинэ системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс

x 3+x4= –3

олох x 3: x 3= –3 –б.Эхний тэгшитгэлээс дээшээ

x 1+3х 3+2х 2+4х4= 5

олох x 1: x 1=5 –3(–3 –б)–2а–4б= 14 –2а–б.

Бид ерөнхий шийдлийг бичнэ:

x 1=14 –2а–b, x2=a,x3=–3 –b,x4=б.

Та ерөнхий шийдлийг матриц багана хэлбэрээр бичиж болно.

Тодорхой утгуудын хувьд аТэгээд б, чи авч чадна хувийн шийдлүүд. Жишээлбэл, хэзээ а=0,б=1 Бид олж авсан: системийн шийдлүүдийн нэг юм.

Тайлбар.Гауссын аргын алгоритм дээр бид үзсэн (тохиолдол 1), тэгшитгэлийн системийн нийцэхгүй байдал нь үндсэн ба өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлүүдийн таарахгүй байгаатай холбоотой. Бид дараах чухал теоремыг нотлох баримтгүйгээр толилуулж байна.

Теорем 7 (Кронекер-Капелли). Шугаман тэгшитгэлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд - ойлголт ба төрлүүд. "Шугаман тэгшитгэлийн систем" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.

- Шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Ингэснээр түүний мөр (эсвэл багана) нь шугаман хамааралтай байна. n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэл агуулсан системийг өгье: 5.1. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. 5.2., - системийн матриц - түүний өргөтгөсөн матриц. - чөлөөт гишүүдийн багана. - үл мэдэгдэх багана. Хэрэв....

- P.1. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодлого болгон бууруулах

шугаман бус оновчлол (NNO) ба эсрэгээр. ZNO бодлогын илэрхийлэл: (8.1)-ийн хамгийн бага буюу максимумыг зарим хэсэгт олоорой D. Дэвсгэрээс бидний санаж байгаагаар. дүн шинжилгээ хийхдээ хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс ZNO (8.1) нь n шугаман бус тэгшитгэлийн SLE (8.2) (8.2) болж буурсан. ... .

- Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус систем

Лекц 15 Нэг төрлийн бус системийг авч үзье (16) Нэг төрлийн (7) системийн харгалзах коэффициентүүд нь нэгэн төрлийн бус системийн (16) харгалзах коэффициентүүдтэй тэнцүү бол нэгэн төрлийн (7) системийг харгалзах нэгэн төрлийн бус систем (16) гэнэ. . Теорем. Хэрэв... [дэлгэрэнгүй унших] .

7.1 Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг өгье (*) Тоонуудын багц нь энэ системийн ямар нэгэн шийдэл гэж бодъё. Тэгвэл тоонуудын багц нь бас шийдэл болно. Үүнийг системийн тэгшитгэлд шууд орлуулах замаар баталгаажуулна.... .

- Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн багцын бүтэц

Хүснэгт 3 Хүүхдийн хөдөлгөөний хөгжлийн үе шат Үе шат Нас Хүүхдийн 4 сар хүртэлх насны хөдөлгөөний хөгжлийн үзүүлэлтүүд Толгойн байрлалыг хянах, орон зайд чөлөөтэй чиглүүлэх боломжийг бүрдүүлэх 4-6 сар Анхан шатны ... .

- Шугаман тэгшитгэлийн системүүд (SLE). Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл. Анхан шатны SLE хувиргалт. Элементар матрицын хувиргалт.

Тодорхойлолт 1. Хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн систем (1) , энд талбар, талбар дээр n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэгддэг, үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд, системийн чөлөөт гишүүд ( 1). Тодорхойлолт 2. Эмх цэгцтэй n-ka () -ийг шугаман ... системийн шийдэл гэнэ.