Хоёр хувьсагчийн функцэд зориулсан LSM. Туршилтын өгөгдлийн ойролцоо. Хамгийн бага квадрат арга. Програмчлагдаагүй тооны машинаас шугаман хамаарлын LSM-ийн практик хэрэгжилт

Жишээ.

Хувьсагчийн утгын туршилтын өгөгдөл XТэгээд цагтхүснэгтэд өгөгдсөн.

Тэдний тохируулгын үр дүнд функц

Ашиглаж байна хамгийн бага квадрат арга, эдгээр өгөгдлийг шугаман хамаарлаар ойролцоол y=ax+b(параметрүүдийг олох АТэгээд б). Туршилтын өгөгдлүүдийг зэрэгцүүлж байгаа хоёр мөрийн аль нь илүү дээр болохыг олж мэд (хамгийн бага квадратын аргын утгаараа). Зураг зурах.

Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар (LSM).

Асуудал нь хоёр хувьсагчийн функцийг гүйцэтгэх шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм АТэгээд б хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ нь өгөгдлийг өгсөн гэсэн үг юм АТэгээд болсон шулуун шугамаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын бүх санаа юм.

Ийнхүү жишээний шийдэл нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох хүртэл буурдаг.

Коэффициент олох томьёо гарган авах.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Хувьсагчтай холбоотой функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олох АТэгээд б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна.

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар шийддэг (жишээлбэл орлуулах аргаэсвэл ) ба хамгийн бага квадратын арга (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авна.

Өгөгдлийн хамт АТэгээд бфункц хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ баримтыг нотлох баримтыг өгсөн болно.

Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо анийлбэр, , , параметрийг агуулна n- туршилтын өгөгдлийн хэмжээ. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна. Коэффицент бтооцооны дараа олдсон а.

Анхны жишээг санах цаг болжээ.

Шийдэл.

Бидний жишээнд n=5. Шаардлагатай коэффициентүүдийн томъёонд орсон дүнг тооцоолоход хялбар болгох үүднээс бид хүснэгтийг бөглөнө.

Хүснэгтийн дөрөв дэх эгнээний утгыг тоо бүрийн 2-р эгнээний утгыг 3-р эгнээний утгуудаар үржүүлэх замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн тав дахь эгнээний утгыг тоо тус бүрийн 2-р эгнээний утгыг квадрат болгох замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн сүүлчийн баганын утгууд нь мөр хоорондын утгуудын нийлбэр юм.

Коэффициентийг олохын тулд бид хамгийн бага квадратын аргын томъёог ашигладаг АТэгээд б. Бид тэдгээрт хүснэгтийн сүүлчийн баганаас харгалзах утгуудыг орлуулна.

Тиймээс, у=0,165х+2,184нь хүссэн ойролцоох шулуун шугам юм.

Энэ мөрүүдийн аль нь болохыг олж мэдэх л үлдлээ у=0,165х+2,184эсвэл анхны өгөгдөлд илүү ойртох, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцоолол хийх.

Хамгийн бага квадратын аргын алдааны тооцоо.

Үүнийг хийхийн тулд та эдгээр мөрүүдээс анхны өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй Тэгээд , жижиг утга нь хамгийн бага квадратын аргын хувьд анхны өгөгдөлд илүү сайн ойртсон шугамтай тохирч байна.

оноос хойш, дараа нь шугам у=0,165х+2,184анхны өгөгдлийг илүү сайн ойртуулдаг.

Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) график дүрслэл.

График дээр бүх зүйл сайхан харагдаж байна. Улаан шугам нь олсон шугам юм у=0,165х+2,184, цэнхэр шугам нь , ягаан цэгүүд нь анхны өгөгдөл юм.

Энэ нь юунд зориулагдсан бэ, энэ бүх ойролцоо тооцоолол юунд зориулагдсан бэ?

Би хувьдаа өгөгдлийг тэгшитгэх, интерполяци, экстраполяцийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг (анхны жишээнд танаас ажиглагдсан утгын утгыг олохыг хүсч болно. yцагт x=3эсвэл хэзээ x=6 MNC аргын дагуу). Гэхдээ бид энэ талаар дараа нь сайтын өөр хэсэгт дэлгэрэнгүй ярих болно.

Баталгаа.

Тиймээс олдсон үед АТэгээд бфункц нь хамгийн бага утгыг авдаг тул энэ үед функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциалын квадрат хэлбэрийн матриц шаардлагатай. эерэг тодорхой байсан. Үүнийг үзүүлье.

Өгөгдсөн функцийг бусад энгийн функцээр ойролцоогоор дүрслэх боломжийг олгодог тул олон програмтай. LSM нь ажиглалтыг боловсруулахад маш их хэрэгтэй байж болох бөгөөд санамсаргүй алдаа агуулсан бусад хэмжилтийн үр дүнгээс зарим хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход идэвхтэй ашиглагддаг. Энэ нийтлэлээс та Excel дээр хамгийн бага квадратуудын тооцоог хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар сурах болно.

Тодорхой жишээн дээрх асуудлын мэдэгдэл

X ба Y гэсэн хоёр үзүүлэлт байна гэж бодъё. Түүнээс гадна Y нь X-ээс хамаарна. OLS нь регрессийн шинжилгээний үүднээс бидний сонирхлыг татдаг (Excel-д түүний аргууд нь суурилагдсан функцуудыг ашиглан хэрэгждэг) тул бид нэн даруй үргэлжлүүлэх хэрэгтэй. тодорхой асуудлыг авч үзэх.

Тиймээс, X нь квадрат метрээр хэмжигддэг хүнсний дэлгүүрийн борлуулалтын талбай, Y нь сая рублиэр тодорхойлогддог жилийн эргэлт гэж үзье.

Дэлгүүр нь нэг юм уу өөр жижиглэнгийн худалдааны талбайтай бол ямар эргэлт (Y) байх талаар урьдчилан таамаглах шаардлагатай. Хайпермаркет нь лангуунаас илүү их бараа зардаг тул Y = f (X) функц нэмэгдэж байгаа нь ойлгомжтой.

Урьдчилан таамаглахад ашигласан анхны өгөгдлийн зөв байдлын талаар хэдэн үг хэлье

Бидэнд n дэлгүүрт зориулсан өгөгдөл бүхий хүснэгт бий гэж бодъё.

Математикийн статистик мэдээллээс үзэхэд хамгийн багадаа 5-6 объектын тоо баримтыг шалгавал үр дүн нь их багагүй зөв гарах болно. Мөн "гажиг" үр дүнг ашиглах боломжгүй. Ялангуяа элит жижиг нэрийн дэлгүүр нь "масмаркет" ангиллын томоохон дэлгүүрүүдийн эргэлтээс хэд дахин их эргэлттэй байж болно.

Аргын мөн чанар

Хүснэгтийн өгөгдлийг декартын хавтгайд M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) цэгүүдээр харуулж болно. Одоо асуудлын шийдлийг M 1, M 2, .. M n цэгүүдэд аль болох ойртсон графиктай y = f (x) ойролцоох функцийг сонгох хүртэл бууруулна.

Мэдээжийн хэрэг та өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнтийг ашиглаж болно, гэхдээ энэ сонголт нь хэрэгжүүлэхэд хэцүү төдийгүй зүгээр л буруу, учир нь энэ нь илрүүлэх шаардлагатай гол чиг хандлагыг тусгахгүй. Хамгийн боломжийн шийдэл бол туршилтын өгөгдлүүдийг хамгийн сайн ойролцоолсон y = ax + b шулуун шугамыг хайх явдал бөгөөд илүү нарийвчлалтай бол коэффициент - a ба b.

Нарийвчлалын оноо

Аливаа ойролцоо тооцооллын хувьд түүний нарийвчлалыг үнэлэх нь онцгой ач холбогдолтой юм. x i цэгийн функциональ ба туршилтын утгуудын зөрүүг (хазайлт) e i -ээр тэмдэглэ, өөрөөр хэлбэл e i = y i - f (x i).

Ойролцоогоор нарийвчлалыг үнэлэхийн тулд та хазайлтын нийлбэрийг ашиглаж болох нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл X-ийн Y-ээс хамаарлыг ойролцоогоор илэрхийлэх шулуун шугамыг сонгохдоо хамгийн бага утгатай нэгийг нь илүүд үзэх хэрэгтэй. нийлбэр e i авч үзэж буй бүх цэгүүдэд. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш, учир нь эерэг хазайлтаас гадна сөрөг зүйл бараг байх болно.

Та хазайлтын модулиуд эсвэл тэдгээрийн квадратуудыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно. Сүүлийн арга нь хамгийн өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь регрессийн шинжилгээ зэрэг олон салбарт ашиглагддаг (Excel дээр түүний хэрэгжилт нь хоёр суулгасан функцийг ашиглан хийгддэг) бөгөөд үр дүнтэй нь удаан хугацааны туршид батлагдсан.

Хамгийн бага квадрат арга

Excel-д та бүхний мэдэж байгаагаар сонгосон мужид байрлах бүх утгын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог автомат нийлбэр функц байдаг. Тиймээс илэрхийллийн утгыг (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) тооцоолоход юу ч саад болохгүй.

Математик тэмдэглэгээнд энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Шулуун шугамыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолох шийдвэрийг анх гаргасан тул бид дараах байдалтай байна.

Тиймээс, X ба Y хоёрын хоорондох тодорхой хамаарлыг хамгийн сайн дүрсэлсэн шулуун шугамыг олох даалгавар нь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолох явдал юм.

Үүний тулд a ба b шинэ хувьсагчдын хувьд хэсэгчилсэн деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, 2 үл мэдэгдэх хэлбэрийн хоёр тэгшитгэлээс бүрдэх команд системийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

2-т хуваах, нийлбэрийг удирдах зэрэг энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээлбэл, Крамерын аргаар бид тодорхой коэффициент бүхий суурин цэгийг олж авна a * ба b * . Энэ нь хамгийн бага хэмжээ юм, өөрөөр хэлбэл тодорхой газар нутагт дэлгүүр ямар эргэлттэй байхыг урьдчилан таамаглахад y = a * x + b * шулуун шугам тохиромжтой бөгөөд энэ нь тухайн жишээний регрессийн загвар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тодорхой үр дүнг олох боломжийг танд олгохгүй, гэхдээ энэ нь тухайн бүс нутагт зээлээр дэлгүүр худалдаж авах нь үр дүнгээ өгөх эсэх талаар ойлголттой болоход тусална.

Excel дээр хамгийн бага квадратын аргыг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ

Excel нь хамгийн бага квадратуудын утгыг тооцоолох функцтэй. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна: TREND (мэдэгдэж буй Y утгууд; мэдэгдэж буй X утгууд; шинэ X утгууд; тогтмол). Excel-ийн OLS-ийг тооцоолох томъёог хүснэгтэндээ ашиглацгаая.

Үүнийг хийхийн тулд Excel-ийн хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг харуулах нүдэнд "=" тэмдгийг оруулаад "TREND" функцийг сонгоно уу. Нээгдсэн цонхонд тохирох талбаруудыг бөглөж, тодруулна уу:

Y-ийн мэдэгдэж буй утгуудын хүрээ (энэ тохиолдолд эргэлтийн өгөгдөл);
муж x 1 , …x n , өөрөөр хэлбэл жижиглэнгийн талбайн хэмжээ;
мөн x-ийн мэдэгдэж байгаа болон үл мэдэгдэх утгууд, үүний тулд та эргэлтийн хэмжээг олж мэдэх хэрэгтэй (тэдгээрийн байршлын талаархи мэдээллийг ажлын хуудаснаас доороос үзнэ үү).

Үүнээс гадна томъёонд "Const" логик хувьсагч байдаг. Хэрэв та тохирох талбарт 1-ийг оруулбал энэ нь b \u003d 0 гэж үзвэл тооцоолол хийх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв та нэгээс олон x утгын урьдчилсан мэдээг мэдэх шаардлагатай бол томьёог оруулсны дараа "Enter" товчийг дарж болохгүй, харин "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter") хослолыг бичих хэрэгтэй. ) гар дээр.

Зарим онцлог

Регрессийн шинжилгээ нь дамми хүмүүст ч хүртээмжтэй байж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчийн массивын утгыг таамаглах Excel-ийн томьёо - "TREND" -ийг хамгийн бага квадратын аргын талаар сонсож байгаагүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Түүний ажлын зарим шинж чанарыг мэдэхэд л хангалттай. Тухайлбал:

Хэрэв та y хувьсагчийн мэдэгдэж буй утгуудын мужийг нэг мөр эсвэл баганад байрлуулбал х-ийн мэдэгдэж буй утга бүхий мөр (багана) бүрийг програм нь тусдаа хувьсагч болгон хүлээн авах болно.
Хэрэв мэдэгдэж буй х-тэй мужийг TREND цонхонд заагаагүй бол Excel-д функцийг ашиглах тохиолдолд програм нь үүнийг бүхэл тооноос бүрдэх массив гэж үзэх бөгөөд тэдгээрийн тоо нь өгөгдсөн утгатай мужид тохирно. y хувьсагчийн.
"Таамагласан" утгуудын массивыг гаргахын тулд чиг хандлагын илэрхийлэлийг массивын томьёо болгон оруулах ёстой.
Хэрэв шинэ x утгыг заагаагүй бол TREND функц нь тэдгээрийг мэдэгдэж байгаатай тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв тэдгээрийг заагаагүй бол 1-р массивыг аргумент болгон авна; 2; 3; 4;…, энэ нь аль хэдийн өгсөн y параметр бүхий мужтай тохирч байна.
Шинэ x утгуудыг агуулсан муж нь өгөгдсөн y утгатай мужтай ижил буюу түүнээс олон мөр эсвэл баганатай байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагчидтай пропорциональ байх ёстой.
Мэдэгдэж буй x утгууд бүхий массив нь олон хувьсагч агуулж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид зөвхөн нэгийг нь ярьж байгаа бол x ба y-ийн өгөгдсөн утгуудын мужууд нь тэнцүү байх шаардлагатай. Хэд хэдэн хувьсагчийн хувьд өгөгдсөн y утгатай мужийг нэг багана эсвэл нэг мөрөнд багтаах шаардлагатай.

FORECAST функц

Энэ нь хэд хэдэн функцийг ашиглан хэрэгждэг. Тэдгээрийн нэгийг "ТААГААН" гэж нэрлэдэг. Энэ нь TREND-тэй төстэй, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг өгдөг. Гэсэн хэдий ч Y-ийн утга тодорхойгүй зөвхөн нэг X-д зориулагдсан.

Одоо та шугаман чиг хандлагын дагуу индикаторын ирээдүйн утгыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог даммигийн Excel томъёог мэддэг болсон.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний ачаар хамгийн түгээмэл бөгөөд хамгийн хөгжсөн арга юм шугаман параметрүүдийг тооцоолох аргуудын энгийн байдал, үр ашиг. Үүний зэрэгцээ, үүнийг ашиглахдаа болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь үүнийг ашиглан бүтээсэн загварууд нь параметрийн чанарын хэд хэдэн шаардлагыг хангаагүй бөгөөд үр дүнд нь үйл явцын хөгжлийн хэв маягийг "сайн" тусгадаггүй.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолох журмыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ийм загварыг ерөнхий хэлбэрээр (1.2) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно.

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0, a 1,..., a n параметрүүдийг тооцоолох анхны өгөгдөл нь хамааралтай хувьсагчийн утгын вектор юм. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ба бие даасан хувьсагчийн утгуудын матриц

нэгээс бүрдэх эхний багана нь загварын коэффициенттэй тохирч байна.

Хамгийн бага квадратын арга нь түүний үндсэн дээр олж авсан параметрийн тооцоог хангах ёстой гэсэн үндсэн зарчимд үндэслэн нэрээ авсан. загварын алдааны квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байх ёстой.

Хамгийн бага квадратын аргаар асуудлыг шийдэх жишээ

Жишээ 2.1.Худалдааны аж ахуйн нэгж нь 12 дэлгүүрээс бүрдсэн сүлжээтэй бөгөөд тэдгээрийн үйл ажиллагааны талаархи мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.1.

Компанийн удирдлага жилийн хэмжээ нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас хэрхэн хамаардаг болохыг мэдэхийг хүсч байна.

Хүснэгт 2.1

Дэлгүүрийн дугаар	Жилийн эргэлт, сая рубль	Худалдааны талбай, мянган м 2

Хамгийн бага квадратын шийдэл.Тодорхойлъё - дэлгүүрийн жилийн эргэлт, сая рубль; --р дэлгүүрийн борлуулалтын талбай, мянган м 2.

Зураг.2.1. Жишээ 2.1-ийн тархалтын график

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.1).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь борлуулалтын талбайгаас эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y нь өсөх тусам өсөх болно). Функциональ холболтын хамгийн тохиромжтой хэлбэр нь - шугаман.

Цаашдын тооцооллын мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.2. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугаман нэг хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тооцоолно

Хүснэгт 2.2

Тиймээс,

Тиймээс худалдааны талбайг 1 мянган м 2-аар нэмэгдүүлснээр бусад зүйлстэй тэнцэхүйц жилийн дундаж эргэлт 67.8871 сая рублиэр нэмэгддэг.

Жишээ 2.2.Аж ахуйн нэгжийн удирдлага жилийн эргэлт нь дэлгүүрийн борлуулалтын талбайгаас (жишээ 2.1-ийг үзнэ үү) төдийгүй зочдын дундаж тооноос хамаардаг болохыг анзаарсан. Холбогдох мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.3.

Хүснэгт 2.3

Шийдэл.Дэлгүүрт өдөрт дунджаар зочилдог хүмүүсийн тоо, мянган хүн.

Хувьсагчдын хоорондох функциональ харилцааны хэлбэрийг тодорхойлж, тархалтын графикийг байгуулна (Зураг 2.2).

Тархалтын диаграмм дээр үндэслэн бид жилийн эргэлт нь өдрийн дундаж зочдын тоотой эерэг хамааралтай гэж дүгнэж болно (өөрөөр хэлбэл, y өсөлттэй хамт өсөх болно). Функциональ хамаарлын хэлбэр нь шугаман байна.

Цагаан будаа. 2.2. Жишээ нь тархалтын график 2.2

Хүснэгт 2.4

Ерөнхийдөө хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Цаашдын тооцоололд шаардагдах мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.4.

Шугаман хоёр хүчин зүйлийн эконометрик загварын параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолъё.

Тиймээс,

Коэффициентийн үнэлгээ = 61.6583 нь бусад зүйлстэй тэнцүү байх үед худалдааны талбайг 1 мянган м 2-аар нэмэгдүүлснээр жилийн эргэлт дунджаар 61.6583 сая рубль нэмэгдэх болно.

Хамгийн бага квадрат арга

Хамгийн бага квадрат арга ( MNK, OLS, энгийн хамгийн бага квадратууд) - түүвэр өгөгдлөөс регрессийн загваруудын үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох регрессийн шинжилгээний үндсэн аргуудын нэг. Энэ арга нь регрессийн үлдэгдэл квадратуудын нийлбэрийг багасгахад суурилдаг.

Хэрэв шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн зарим функцын квадратуудын нийлбэрийг багасгах тодорхой шалгуураас бүрдсэн эсвэл хангасан бол хамгийн бага квадратын аргыг өөрөө аль ч талбарт асуудлыг шийдвэрлэх арга гэж нэрлэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс тэгшитгэл эсвэл хязгаарлалтыг хангасан тоо нь эдгээр хэмжигдэхүүний тооноос давсан хэмжигдэхүүнийг олоход хамгийн бага квадратын аргыг өгөгдсөн функцийг бусад (илүү энгийн) функцээр ойролцоогоор дүрслэх (ойролцоогоор) ашиглаж болно. , гэх мэт.

MNC-ийн мөн чанар

(тайлбарласан) хувьсагчийн хоорондох магадлалын (регрессийн) хамаарлын зарим (параметр) загварыг үзье. yболон олон хүчин зүйл (тайлбарлах хувьсагч) x

Үл мэдэгдэх загварын параметрийн вектор хаана байна

- Санамсаргүй загварын алдаа.

Мөн заасан хувьсагчдын утгын түүврийн ажиглалтыг оруулаарай. Ажиглалтын дугаар () байг. Дараа нь --р ажиглалт дахь хувьсагчдын утгууд байна. Дараа нь b параметрийн өгөгдсөн утгуудын хувьд тайлбарласан y хувьсагчийн онолын (загвар) утгыг тооцоолох боломжтой.

Үлдэгдэлийн утга нь параметрийн утгаас хамаарна b.

LSM-ийн мөн чанар (энгийн, сонгодог) нь үлдэгдэл квадратуудын нийлбэр (eng. Квадратуудын үлдэгдэл нийлбэр) хамгийн бага байх болно:

Ерөнхий тохиолдолд энэ асуудлыг тоон аргаар оновчтой болгох (багаруулах) аргаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд нэг нь ярьдаг шугаман бус хамгийн бага квадратууд(NLS эсвэл NLLS - Англи. Шугаман бус хамгийн бага квадратууд). Ихэнх тохиолдолд аналитик шийдлийг олж авч болно. Багасгах асуудлыг шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх b параметрүүдтэй харьцуулан ялгах, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх, үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх замаар функцийн суурин цэгүүдийг олох шаардлагатай.

Загварын санамсаргүй алдаа нь хэвийн тархалттай, ижил хэлбэлзэлтэй, өөр хоорондоо хамааралгүй бол хамгийн бага квадратын параметрийн тооцоолол нь хамгийн их магадлалтай аргын (MLM) тооцоололтой ижил байна.

Шугаман загварын хувьд LSM

Регрессийн хамаарлыг шугаман гэж үзье.

Болъё y- тайлбарласан хувьсагчийн ажиглалтын баганын вектор ба - хүчин зүйлсийн ажиглалтын матриц (матрицын мөр - өгөгдсөн ажиглалтын хүчин зүйлийн утгын векторууд, баганаар - бүх ажиглалт дахь өгөгдсөн хүчин зүйлийн утгын вектор) . Шугаман загварын матриц дүрслэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Дараа нь тайлбарласан хувьсагчийн үнэлгээний вектор ба регрессийн үлдэгдэл вектор нь тэнцүү байх болно.

үүний дагуу регрессийн үлдэгдлийн квадратуудын нийлбэр тэнцүү байна

Энэ функцийг параметрийн векторын хувьд ялгаж, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар бид тэгшитгэлийн системийг (матриц хэлбэрээр) олж авна.

Энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь шугаман загварын хамгийн бага квадратын тооцооны ерөнхий томъёог өгдөг.

Аналитик зорилгоор энэ томъёоны сүүлчийн дүрслэл нь ашигтай болж хувирав. Хэрэв регрессийн загварт өгөгдөл төвтэй, тэгвэл энэ дүрслэлд эхний матриц нь хүчин зүйлсийн түүврийн ковариацын матрицын утгатай, хоёр дахь нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн ковариацын вектор юм. Хэрэв, үүнээс гадна, өгөгдөл нь мөн хэвийн болгосон SKO-д (энэ нь эцсийн эцэст стандартчилагдсан), дараа нь эхний матриц нь хүчин зүйлийн түүврийн корреляцийн матриц, хоёр дахь вектор нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн түүвэр корреляцийн вектор гэсэн утгатай байна.

Загваруудын LLS тооцооны чухал шинж чанар тогтмолтой- баригдсан регрессийн шугам нь түүврийн өгөгдлийн хүндийн төвөөр дамждаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан болно.

Ялангуяа онцгой тохиолдолд, цорын ганц регрессор тогтмол байх үед бид нэг параметрийн OLS үнэлгээ (тогтмол өөрөө) тайлбарлаж буй хувьсагчийн дундаж утгатай тэнцүү болохыг олж мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, олон тооны хуулиас сайн шинж чанараараа алдартай арифметик дундаж нь мөн хамгийн бага квадратын тооцоолол юм - энэ нь түүнээс хазайсан квадратын хамгийн бага нийлбэрийн шалгуурыг хангадаг.

Жишээ нь: энгийн (хосоор) регресс

Хосолсон шугаман регрессийн хувьд тооцооллын томъёог хялбаршуулсан (та матриц алгебргүйгээр хийж болно):

OLS тооцооны шинж чанарууд

Юуны өмнө бид шугаман загваруудын хувьд хамгийн бага квадратын тооцоолол нь дээрх томьёоны дагуу шугаман тооцоолол гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Шударга бус OLS тооцооллын хувьд регрессийн шинжилгээний хамгийн чухал нөхцлийг биелүүлэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм: хүчин зүйлээс хамаарах санамсаргүй алдааны математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл хангагдсан, тухайлбал, хэрэв

санамсаргүй алдааны математикийн хүлээлт тэг, ба
хүчин зүйлс ба санамсаргүй алдаа нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Хоёрдахь нөхцөл - экзоген хүчин зүйлийн нөхцөл нь суурь юм. Хэрэв энэ өмч нь сэтгэл хангалуун бус байвал бараг бүх тооцоо нь туйлын хангалтгүй байх болно гэж бид таамаглаж болно: тэдгээр нь бүр тогтвортой биш байх болно (өөрөөр хэлбэл маш их хэмжээний мэдээлэл ч гэсэн энэ тохиолдолд чанарын тооцоо хийх боломжийг олгодоггүй). Сонгодог тохиолдолд санамсаргүй алдаанаас ялгаатай нь хүчин зүйлийн детерминизмын талаар илүү хүчтэй таамаглал дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь автоматаар экзоген нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Ерөнхий тохиолдолд тооцооллыг тууштай байлгахын тулд түүврийн хэмжээг хязгааргүй хүртэл нэмэгдүүлэх замаар матрицыг зарим нэг бус матрицад нэгтгэхтэй хамт экзогенийн нөхцлийг биелүүлэхэд хангалттай.

LSM-ийн (ердийн) тооцоолол нь тууштай, шударга байдлаас гадна үр дүнтэй байхын тулд (шугаман бус үнэлгээний ангилалд хамгийн шилдэг нь) санамсаргүй алдааны нэмэлт шинж чанарыг хангах шаардлагатай.

Эдгээр таамаглалыг санамсаргүй алдааны векторын ковариацын матрицад зориулж томъёолж болно

Эдгээр нөхцлийг хангасан шугаман загварыг гэнэ сонгодог. Сонгодог шугаман регрессийн хамгийн бага квадратын үнэлгээчид нь бүх шугаман бус үнэлэгчийн ангилалд хамааралгүй, тууштай, хамгийн үр ашигтай үнэлгээчид байдаг (товчлол цэнхэр (Шилдэг шугаман үндэслэлгүй тооцоологч) хамгийн сайн шугаман бус үнэлгээ; дотоодын уран зохиолд Гаусс-Марковын теоремыг илүү олон удаа иш татдаг). Үзүүлэхэд хялбар тул коэффициентийн тооцооллын векторын ковариацын матриц нь дараахтай тэнцүү байна.

Ерөнхийжүүлсэн хамгийн бага квадратууд

Хамгийн бага квадратын арга нь өргөн хүрээний ерөнхий ойлголт өгөх боломжийг олгодог. Үлдэгдэлийн квадратуудын нийлбэрийг багасгахын оронд үлдэгдэл векторын эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг багасгаж болно, энд зарим тэгш хэмтэй эерэг тодорхой жинтэй матриц байна. Жингийн матриц нь таних матрицтай пропорциональ байх үед энгийн хамгийн бага квадратууд нь энэ аргын онцгой тохиолдол юм. Тэгш хэмт матрицуудын (эсвэл операторуудын) онолоос мэдэгдэж байгаачлан ийм матрицуудын задрал байдаг. Тиймээс, заасан функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл энэ функцийг зарим хувиргасан "үлдэгдэл" -ийн квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс бид хамгийн бага квадратын аргуудын ангиллыг ялгаж салгаж болно - LS арга (Бага квадратууд).

Ерөнхий шугаман регрессийн загварт (санамсаргүй алдааны ковариацын матрицад ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй) хамгийн үр дүнтэй (шугаман бус үнэлгээний ангилалд) гэж нэрлэгддэг тооцоолол байдаг нь (Айткенийн теорем) батлагдсан. ерөнхий OLS (OMNK, GLS - Ерөнхий жижиг квадратууд)- Санамсаргүй алдааны урвуу ковариацын матрицтай тэнцүү жинтэй матрицтай LS-арга: .

Шугаман загварын параметрүүдийн GLS-үнэлгээний томъёо нь хэлбэртэй байгааг харуулж болно

Эдгээр тооцооллын ковариацын матриц нь тэнцүү байх болно

Үнэн хэрэгтээ OLS-ийн мөн чанар нь анхны өгөгдлийн тодорхой (шугаман) хувиргалт (P) болон хувирсан өгөгдөлд ердийн хамгийн бага квадратуудыг ашиглахад оршдог. Энэхүү хувиргалтын зорилго нь хувиргасан өгөгдлийн хувьд санамсаргүй алдаа нь сонгодог таамаглалыг аль хэдийн хангасан байх явдал юм.

Жинлэсэн хамгийн бага квадратууд

Диагональ жингийн матриц (мөн санамсаргүй алдааны ковариацын матриц) тохиолдолд бид хамгийн бага жинтэй квадратууд гэж нэрлэгддэг (WLS - Weighted Least Squares). Энэ тохиолдолд загварын үлдэгдлийн квадратуудын жигнэсэн нийлбэрийг багасгасан, өөрөөр хэлбэл, ажиглалт бүр энэ ажиглалтын санамсаргүй алдааны дисперстэй урвуу пропорциональ "жин"-ийг хүлээн авдаг: . Үнэн хэрэгтээ, ажиглалтыг жинлэх замаар өгөгдлийг хувиргадаг (санамсаргүй алдааны стандарт хазайлттай пропорциональ хэмжээгээр хуваах), жинлэсэн өгөгдөлд ердийн хамгийн бага квадратуудыг ашигладаг.

LSM-ийг практикт хэрэглэх зарим онцгой тохиолдлууд

Шугаман ойртолт

Тодорхой скаляр хэмжигдэхүүнийг тодорхой скаляр хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг судалсны үр дүнд (Энэ нь жишээлбэл, хүчдэлийн одоогийн хүчнээс хамаарах хамаарал байж болно: , тогтмол утга хаана байна, дамжуулагчийн эсэргүүцэл). ), эдгээр хэмжигдэхүүнийг хэмжсэн бөгөөд үүний үр дүнд утгууд ба тэдгээрийн холбогдох утгууд. Хэмжилтийн өгөгдлийг хүснэгтэд тэмдэглэнэ.

Хүснэгт. Хэмжилтийн үр дүн.

Хэмжилтийн дугаар
1
2
3
4
5
6

Асуулт нь иймэрхүү сонсогдож байна: хамаарлыг хамгийн сайн тодорхойлохын тулд коэффициентийн ямар утгыг сонгож болох вэ? Хамгийн бага квадратуудын дагуу энэ утга нь утгуудын утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр байх ёстой.

хамгийн бага байсан

Квадрат хазайлтын нийлбэр нь нэг экстремумтай байдаг - хамгийн бага нь энэ томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог. Энэ томъёоноос коэффициентийн утгыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид түүний зүүн талыг дараах байдлаар хувиргана.

Сүүлийн томъёо нь асуудалд шаардлагатай байсан коэффициентийн утгыг олох боломжийг бидэнд олгодог.

Өгүүллэг

XIX зууны эхэн үе хүртэл. эрдэмтэд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос бага байдаг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэмгүй байсан; Тэр үеийг хүртэл тэгшитгэлийн төрөл, тооны машинуудын ухаалаг байдлаас хамааран тодорхой аргуудыг ашигладаг байсан тул ижил ажиглалтын өгөгдлөөс эхлэн өөр өөр тооцоолуур өөр өөр дүгнэлтэд хүрчээ. Гаусс (1795) аргын анхны хэрэглээ гэж тооцогддог бөгөөд Лежендре (1805) үүнийг бие даан олж, орчин үеийн нэрээр хэвлүүлсэн (fr. Арга зүй des moindres arres ). Лаплас энэ аргыг магадлалын онолтой холбосон бөгөөд Америкийн математикч Адрейн (1808) түүний магадлалын хэрэглээг авч үзсэн. Энэ арга нь Энке, Бессел, Хансен болон бусад хүмүүсийн цаашдын судалгаагаар өргөн тархсан бөгөөд сайжруулсан.

MNC-ийн альтернатив хэрэглээ

Хамгийн бага квадратын аргын санааг регрессийн шинжилгээтэй шууд холбоогүй бусад тохиолдолд ашиглаж болно. Баримт нь квадратуудын нийлбэр нь векторуудын хамгийн түгээмэл ойрын хэмжүүрүүдийн нэг юм (хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай дахь Евклидийн хэмжүүр).

Нэг хэрэглээ бол тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос их байх шугаман тэгшитгэлийн системийг "шийдвэрлэх" явдал юм.

матриц нь дөрвөлжин биш, харин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Ийм тэгшитгэлийн систем нь ерөнхий тохиолдолд ямар ч шийдэлгүй (хэрэв зэрэглэл нь хувьсагчийн тооноос их байвал). Иймээс энэ системийг зөвхөн векторуудын хоорондох "зай"-ыг багасгахын тулд ийм векторыг сонгох утгаар л "шийдвэрлэх" боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгүүдийн квадрат ялгааны нийлбэрийг багасгах шалгуурыг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл, . Энэхүү багасгах бодлогын шийдэл нь дараах тэгшитгэлийн системийн шийдэлд хүргэдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг

Жишээ.

Хувьсагчийн утгын туршилтын өгөгдөл XТэгээд цагтхүснэгтэд өгөгдсөн.

Тэдний тохируулгын үр дүнд функц

Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар (LSM).

Ийнхүү жишээний шийдэл нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох хүртэл буурдаг.

Коэффициент олох томьёо гарган авах.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хувьсагчаар АТэгээд б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна.

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар шийддэг (жишээлбэл орлуулах аргаэсвэл Крамерын арга) ба хамгийн бага квадратын аргыг (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авна.

Өгөгдлийн хамт АТэгээд бфункц хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ баримтыг нотлох баримтыг өгсөн болно хуудасны төгсгөлд байгаа текстийн доор.

Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо анийлбэр,,, параметрийг агуулна n- туршилтын өгөгдлийн хэмжээ. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна. Коэффицент бтооцооны дараа олдсон а.

Анхны жишээг санах цаг болжээ.

Шийдэл.

Хүснэгтийн тав дахь эгнээний утгыг тоо тус бүрийн 2-р эгнээний утгыг квадрат болгох замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн сүүлчийн баганын утгууд нь мөр хоорондын утгуудын нийлбэр юм.

Тиймээс, у=0,165х+2,184нь хүссэн ойролцоох шулуун шугам юм.

Хамгийн бага квадратын аргын алдааны тооцоо.

оноос хойш, дараа нь шугам у=0,165х+2,184анхны өгөгдлийг илүү сайн ойртуулдаг.

Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) график дүрслэл.

Практикт янз бүрийн үйл явцыг загварчлахдаа, тухайлбал эдийн засаг, физик, техникийн, нийгмийн хувьд функцүүдийн ойролцоо утгыг зарим тогтмол цэгүүдэд мэдэгдэж буй утгуудаас нь тооцоолох нэг буюу өөр аргыг өргөн ашигладаг.

Энэ төрлийн функцийг ойртуулах асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг.

туршилтын үр дүнд олж авсан хүснэгтийн өгөгдлийн дагуу судалж буй үйл явцын шинж чанарын утгыг тооцоолох ойролцоо томъёог бүтээхдээ;

тоон интеграл, дифференциал, дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гэх мэт;

хэрэв авч үзсэн интервалын завсрын цэгүүдэд функцүүдийн утгыг тооцоолох шаардлагатай бол;

авч үзэж буй интервалаас гадуурх үйл явцын шинж чанарын утгыг тодорхойлох, ялангуяа урьдчилан таамаглах үед.

Хүснэгтээр тодорхойлсон тодорхой процессыг загварчлахын тулд хамгийн бага квадратын аргад тулгуурлан энэ процессыг ойролцоогоор тодорхойлсон функцийг бүтээвэл түүнийг ойролцоолох функц (регресс) гэж нэрлэх ба ойролцоох функцийг бүтээх ажил өөрөө болно. ойролцоолох асуудал байх.

Энэ нийтлэлд ийм асуудлыг шийдвэрлэх MS Excel багцын боломжуудын талаар авч үзэх бөгөөд үүнээс гадна хүснэгтээр өгөгдсөн функцүүдийн регрессийг бий болгох (бүтээх) арга, техникийг (энэ нь регрессийн шинжилгээний үндэс болсон) өгсөн болно.

Excel дээр регресс үүсгэх хоёр сонголт байдаг.

Сонгосон регрессийг (тренд шугам) судалж буй үйл явцын шинж чанарын өгөгдлийн хүснэгтэд үндэслэн бүтээсэн диаграммд нэмэх (зөвхөн диаграммыг барьсан тохиолдолд л боломжтой);

Excel-ийн ажлын хуудасны суурилагдсан статистик функцуудыг ашиглах нь эх сурвалжийн өгөгдлийн хүснэгтээс шууд регресс (трэнд шугам) авах боломжийг олгодог.

Диаграммд чиг хандлагын шугам нэмэх

Тодорхой үйл явцыг дүрсэлсэн, диаграмаар дүрсэлсэн өгөгдлийн хүснэгтийн хувьд Excel нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгодог үр дүнтэй регрессийн шинжилгээний хэрэгсэлтэй.

хамгийн бага квадратын аргын үндсэн дээр барьж, диаграммд судалж буй процессыг янз бүрийн нарийвчлалтайгаар загварчлах таван төрлийн регрессийг нэмэх;

Диаграммд баригдсан регрессийн тэгшитгэлийг нэмэх;

Сонгосон регрессийн диаграммд үзүүлсэн өгөгдөлтэй нийцэж байгаа зэргийг тодорхойлох.

Графикийн өгөгдөл дээр үндэслэн Excel нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугаман, олон гишүүнт, логарифм, экспоненциал, экспоненциал регрессийн төрлийг авах боломжийг олгодог.

у = у(х)

Энд x нь бие даасан хувьсагч бөгөөд энэ нь ихэвчлэн натурал тоонуудын дарааллын утгыг (1; 2; 3; ...) авч, жишээлбэл, судалж буй процессын цаг хугацааны (шинж чанар) тооллогыг үүсгэдэг. .

1 . Шугаман регресс нь тогтмол хурдаар нэмэгдэж, буурах шинж чанарыг загварчлахад сайн байдаг. Энэ бол судалж буй үйл явцын хамгийн энгийн загвар юм. Энэ нь тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:

y=mx+b

Энд m нь шугаман регрессийн налуугийн шүргэгч х тэнхлэг; b - шугаман регрессийн y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

2 . Олон гишүүнт чиг хандлагын шугам нь хэд хэдэн эрс тэс (өндөр ба доод) шинж чанаруудыг тодорхойлоход хэрэгтэй. Олон гишүүнтийн зэргийг сонгох нь судалж буй шинж чанарын экстремумуудын тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт нь зөвхөн нэг хамгийн их эсвэл хамгийн багатай процессыг сайн тодорхойлж чадна; гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт - хоёр экстремумаас илүүгүй; дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт - гурваас илүүгүй экстремум гэх мэт.

Энэ тохиолдолд чиг хандлагын шугамыг тэгшитгэлийн дагуу байгуулна.

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

Энд c0, c1, c2,... c6 коэффициентүүд нь барилгын ажлын явцад тодорхойлогддог тогтмолууд юм.

3 . Логарифмын чиг хандлагын шугамыг загварчлалд амжилттай ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн утгууд нь эхлээд хурдан өөрчлөгдөж, дараа нь аажмаар тогтворждог.

y = c ln(x) + b

4 . Хэрэв судлагдсан хамаарлын утгууд нь өсөлтийн хурдны тогтмол өөрчлөлтөөр тодорхойлогддог бол эрчим хүчний чиг хандлагын шугам нь сайн үр дүнг өгдөг. Ийм хамаарлын жишээ нь машины жигд хурдассан хөдөлгөөний график болж болно. Хэрэв өгөгдөлд тэг эсвэл сөрөг утга байгаа бол та эрчим хүчний чиг хандлагын шугамыг ашиглах боломжгүй.

Энэ нь тэгшитгэлийн дагуу баригдсан:

y = cxb

Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.

5 . Өгөгдлийн өөрчлөлтийн хурд тасралтгүй нэмэгдэж байвал экспоненциал чиг хандлагын шугамыг ашиглах хэрэгтэй. Тэг эсвэл сөрөг утгатай өгөгдлийн хувьд энэ төрлийн ойролцооллыг мөн ашиглах боломжгүй.

Энэ нь тэгшитгэлийн дагуу баригдсан:

y=cebx

Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.

Трендийн шугамыг сонгохдоо Excel нь R2-ийн утгыг автоматаар тооцдог бөгөөд энэ нь ойролцоогоор тооцооллын нарийвчлалыг тодорхойлдог: R2 утга нэгтэй ойр байх тусам чиг хандлагын шугам нь судалж буй процессыг илүү найдвартай ойртуулдаг. Шаардлагатай бол R2-ийн утгыг диаграм дээр үргэлж харуулж болно.

Томъёогоор тодорхойлно:

Өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд:

өгөгдлийн цувралын үндсэн дээр бүтээгдсэн диаграмыг идэвхжүүлэх, өөрөөр хэлбэл диаграмын талбар дотор товш. Үндсэн цэсэнд Chart зүйл гарч ирнэ;

Энэ зүйл дээр товшсоны дараа дэлгэцэн дээр цэс гарч ирэх бөгөөд үүнд та Trend мөр нэмэх командыг сонгох хэрэгтэй.

Хэрэв та өгөгдлийн цувралын аль нэгэнд тохирох график дээр хулганы баруун товчийг дарвал ижил үйлдлүүдийг хялбархан гүйцэтгэх болно; гарч ирэх контекст цэснээс Add Trend line командыг сонгоно. Тренд шугамын харилцах цонх нь Төрөл табыг нээсэн үед дэлгэцэн дээр гарч ирнэ (Зураг 1).

Үүний дараа танд хэрэгтэй:

Төрөл таб дээрээс шаардлагатай чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгоно уу (Анхдагчаар шугаманыг сонгосон). Олон гишүүнт төрлийн хувьд Degree талбарт сонгосон олон гишүүнтийн зэргийг зааж өгнө.

1 . Built on Series талбар нь тухайн диаграм дахь бүх өгөгдлийн цувралуудыг жагсаадаг. Тодорхой өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд Built on series талбараас нэрийг нь сонгоно уу.

Шаардлагатай бол "Параметр" таб (Зураг 2) руу орж, чиг хандлагын шугамын хувьд дараах параметрүүдийг тохируулж болно.

Ойролцоо (гөлгөр) муруй талбарын нэр дэх трендийн шугамын нэрийг өөрчлөх.

Урьдчилан таамаглах талбарт урьдчилан таамаглах хугацааны тоог (урагш эсвэл урагш) тохируулах;

диаграмын талбарт чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг харуулах ба үүний тулд диаграм дээрх тэгшитгэлийг харуулах хайрцгийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;

диаграмын талбарт R2 ойртсон найдвартай байдлын утгыг харуулах ба үүний тулд та диаграмм дээр ойртсон найдвартай байдлын утгыг (R^2) тэмдэглэгээг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;

чиг хандлагын шугамын Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тохируулах ба үүний тулд та муруйг Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;

OK товчийг дарж харилцах цонхыг хаа.

Аль хэдийн бий болсон тренд шугамыг засварлаж эхлэх гурван арга бий:

чиг хандлагын шугамыг сонгосны дараа Формат цэсний Сонгосон чиг хандлагын шугам командыг ашиглана;

чиг хандлагын шугам дээр хулганы баруун товчийг дарж дуудагдах контекст цэснээс Format Trendline командыг сонгоно уу;

чиг хандлагын шугам дээр давхар товших замаар.

Тренд шугамын форматын харилцах цонх дэлгэцэн дээр гарч ирнэ (Зураг 3), Харах, Төрөл, Параметр гэсэн гурван табыг агуулсан бөгөөд сүүлийн хоёрын агуулга нь Trendline харилцах цонхны ижил төстэй табуудтай бүрэн давхцаж байна (Зураг 1-2). ). Харах таб дээр та шугамын төрөл, түүний өнгө, зузааныг тохируулж болно.

Аль хэдийн бий болсон трендийн шугамыг устгахын тулд устгах трендийн шугамыг сонгоод Delete товчийг дарна уу.

Регрессийн шинжилгээний хэрэгслийн давуу талууд нь:

Трендийн шугамыг график дээр өгөгдлийн хүснэгт үүсгэхгүйгээр зурах харьцангуй хялбар байдал;

санал болгож буй чиг хандлагын шугамын төрлүүдийн нэлээд өргөн жагсаалт бөгөөд энэ жагсаалтад хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг регрессийн төрлүүд багтсан болно;

судалж буй үйл явцын зан үйлийг дур зоргоороо (ерөнхий ойлголтоор) урагшлах, түүнчлэн ухрах алхмуудыг урьдчилан таамаглах боломж;

чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр авах боломж;

шаардлагатай бол ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлын үнэлгээг авах боломж.

Сул талууд нь дараахь зүйлийг агуулна.

чиг хандлагын шугамыг барих нь зөвхөн цуврал өгөгдөл дээр суурилсан диаграм байгаа тохиолдолд л хийгддэг;

Тренд шугамын тэгшитгэл дээр үндэслэн судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх үйл явц нь бага зэрэг эмх замбараагүй байдаг: хүссэн регрессийн тэгшитгэлүүд нь анхны өгөгдлийн цувралын утгын өөрчлөлт бүрт шинэчлэгддэг, гэхдээ зөвхөн диаграмын хэсэгт л шинэчлэгддэг. , хуучин шугамын тэгшитгэлийн чиг хандлагын үндсэн дээр үүссэн өгөгдлийн цуваа өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;

Пивот диаграмын тайланд диаграмын харагдац эсвэл холбогдох Пивот хүснэгтийн тайланг өөрчлөх үед одоо байгаа чиг хандлагын шугамууд хадгалагдахгүй бөгөөд энэ нь та тренд шугам зурах эсвэл Пивот диаграмын тайланг өөр хэлбэрээр форматлахаас өмнө тайлангийн бүтэц таны шаардлагад нийцэж байгаа эсэхийг шалгах ёстой гэсэн үг юм.

График, гистограмм, хавтгай нормчлогдоогүй талбайн диаграм, бар, тараалт, хөөс, хувьцааны график зэрэг диаграммд үзүүлсэн өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугамыг нэмж болно.

Та 3-D, Стандарт, Радар, Pie, Donut диаграм дээрх өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэх боломжгүй.

Суурилуулсан Excel функцуудыг ашиглах

Excel нь диаграмын талбайн гадна чиг хандлагын шугамыг зурах регрессийн шинжилгээний хэрэгслээр хангадаг. Энэ зорилгоор статистикийн ажлын хуудасны хэд хэдэн функцийг ашиглаж болох боловч тэдгээр нь бүгд зөвхөн шугаман эсвэл экспоненциал регрессийг бүтээх боломжийг олгодог.

Excel нь шугаман регрессийг бий болгох хэд хэдэн функцтэй, тухайлбал:

TREND;

SLOPE болон CUT.

Экспоненциал чиг хандлагын шугамыг бий болгох хэд хэдэн функц, тухайлбал:

LGRFPойролцоо.

TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан регрессийг бий болгох арга техник нь бараг ижил гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. LINEST болон LGRFPRIBL хос функцүүдийн талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Эдгээр дөрвөн функцийн хувьд утгын хүснэгт үүсгэхдээ массивын томъёо гэх мэт Excel функцуудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь регрессийг бий болгох үйл явцыг тодорхой хэмжээгээр саатуулдаг. Шугаман регрессийн бүтээн байгуулалт нь бидний бодлоор SLOPE ба INTERCEPT функцуудыг ашиглан хэрэгжүүлэхэд хамгийн хялбар гэдгийг бид тэмдэглэж, тэдгээрийн эхнийх нь шугаман регрессийн налууг, хоёр дахь нь регрессээр таслагдсан сегментийг тодорхойлдог. y тэнхлэг дээр.

Регрессийн шинжилгээнд зориулсан суулгасан функцийн хэрэгслийн давуу талууд нь:

чиг хандлагын шугамыг тогтоодог бүх суурилагдсан статистик функцүүдийн судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх ижил төрлийн нэлээд энгийн процесс;

үүсгэсэн өгөгдлийн цуврал дээр үндэслэн чиг хандлагын шугамыг бий болгох стандарт техник;

шаардлагатай тооны урагш эсвэл ухрах алхмуудын хувьд судалж буй үйл явцын зан төлөвийг урьдчилан таамаглах чадвар.

Сул тал нь Excel-д бусад (шугаман ба экспоненциал) төрлийн чиг хандлагын шугамыг бий болгох суурилуулсан функцүүд байдаггүй. Энэ нөхцөл байдал нь ихэвчлэн судалж буй үйл явцын хангалттай үнэн зөв загварыг сонгох, бодит байдалд ойртсон урьдчилсан мэдээг олж авах боломжийг олгодоггүй. Түүнчлэн, TREND болон GROW функцийг ашиглах үед чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлүүд тодорхойгүй байдаг.

Зохиогчид өгүүллийн зорилгоо регрессийн шинжилгээний явцыг янз бүрийн бүрэн дүүрэн байдлаар танилцуулах зорилго тавиагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний гол зорилго нь тодорхой жишээнүүдийг ашиглан ойролцоолсон асуудлыг шийдвэрлэхэд Excel багцын чадварыг харуулах явдал юм; регресс болон таамаглалыг бий болгоход Excel-д ямар үр дүнтэй хэрэгсэл байгааг харуулах; Регрессийн шинжилгээний талаар гүнзгий мэдлэггүй хэрэглэгч ч гэсэн ийм асуудлыг харьцангуй амархан шийдэж болохыг харуулах.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Excel багцын жагсаасан хэрэгслүүдийг ашиглан тодорхой асуудлуудын шийдлийг авч үзье.

Даалгавар 1

Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн 1995-2002 оны ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгттэй. та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

График бүтээх.

Диаграммд шугаман болон олон гишүүнт (квадрат ба куб) чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.

Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрээр аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж авна.

Аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гаргах.

Асуудлын шийдэл

Excel-ийн ажлын хуудасны A4: C11 нүднүүдийн хүрээнд бид Зураг дээр үзүүлсэн ажлын хуудсыг оруулна. 4.

B4:C11 нүднүүдийн мужийг сонгосны дараа бид диаграммыг байгуулна.

Бид бүтээсэн диаграмыг идэвхжүүлж, дээр дурдсан аргыг ашиглан Trend Line харилцах цонхноос чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгосны дараа (1-р зургийг үз) графикт шугаман, квадрат, куб трендийн шугамуудыг ээлжлэн нэмнэ. Ижил харилцах цонхны Параметр табыг нээнэ үү (Зураг 2-ыг үз), ойролцоох (тэгшгэсэн) муруй талбарт нэмэх трендийн нэрийг оруулаад Forecast forward for: periods талбарт тохируулна уу. хоёр жилийн хугацаанд ашгийн таамаглал гаргахаар төлөвлөж байгаа тул үнэ цэнэ 2. Диаграмын талбарт регрессийн тэгшитгэл болон ойролцоолсон найдвартай байдлын R2 утгыг харуулахын тулд дэлгэцэн дээрх тэгшитгэлийг харуулах хайрцгийг идэвхжүүлж, диаграмм дээр ойртсон найдвартай байдлын утгыг (R^2) байрлуулна. Илүү сайн харагдахын тулд бид зурсан чиг хандлагын шугамын төрөл, өнгө, зузааныг өөрчилдөг бөгөөд үүний тулд Trend Line Format харилцах цонхны Харах табыг ашигладаг (3-р зургийг үз). Нэмэлт чиг хандлагын шугам бүхий үр дүнгийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 5.

1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрээр аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаархи хүснэгтэн мэдээллийг авах. Зураг дээр үзүүлсэн чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглацгаая. 5. Үүнийг хийхийн тулд D3:F3 мужын нүднүүдэд сонгосон трендийн шугамын төрлийн тухай текстэн мэдээллийг оруулна: Шугаман тренд, Квадрат тренд, Куб тренд. Дараа нь D4 нүдэнд шугаман регрессийн томъёог оруулаад дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог D5:D13 нүднүүдийн мужид харьцангуй лавлагаатайгаар хуулна. D4:D13 нүдний мужаас шугаман регрессийн томьёотой нүд бүр аргумент болгон A4:A13 мужаас харгалзах нүдтэй байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний нэгэн адил квадрат регрессийн хувьд E4:E13 нүдний мужийг, куб регрессийн хувьд F4:F13 нүдний мужийг дүүргэнэ. Ийнхүү аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн урьдчилсан тооцоо гарсан. гурван чиг хандлагатай. Үр дүнгийн утгын хүснэгтийг Зураг дээр үзүүлэв. 6.

Даалгавар 2

График бүтээх.

Диаграммд логарифм, экспоненциал, экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.

Хүлээн авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл, түүнчлэн R2 найдвартай байдлын утгыг тус бүрээр нь гарга.

Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2002 оны чиг хандлагын шугам тус бүрийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж авна.

Эдгээр чиг хандлагын шугамыг ашиглан 2003, 2004 оны бизнесийн ашгийн таамаглалыг гарга.

Асуудлын шийдэл

1-р асуудлыг шийдвэрлэхэд өгөгдсөн аргачлалын дагуу бид логарифм, экспоненциал болон экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмсэн диаграммыг олж авна (Зураг 7). Цаашилбал, олж авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид 2003, 2004 оны таамагласан утгыг багтаасан аж ахуйн нэгжийн ашгийн утгын хүснэгтийг бөглөнө. (Зураг 8).

Зураг дээр. 5 ба зураг. логарифмын хандлагатай загвар нь ойролцоогоор найдвартай байдлын хамгийн бага утгатай тохирч байгааг харж болно.

R2 = 0.8659

R2-ийн хамгийн өндөр утга нь олон гишүүнт хандлагатай загваруудад тохирч байна: квадрат (R2 = 0.9263) ба куб (R2 = 0.933).

Даалгавар 3

1-р даалгаварт өгөгдсөн 1995-2002 оны автотээврийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгтийн дагуу та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

TREND болон GROW функцийг ашиглан шугаман болон экспоненциал чиг хандлагын шугамын өгөгдлийн цувралыг аваарай.

TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гарга.

Эхний өгөгдөл болон хүлээн авсан өгөгдлийн цувралын хувьд диаграммыг байгуул.

Асуудлын шийдэл

1-р даалгаврын ажлын хуудсыг ашиглацгаая (4-р зургийг үз). TREND функцээс эхэлье:

D4: D11 нүднүүдийн мужийг сонгох бөгөөд энэ нь аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх мэдэгдэж буй өгөгдөлд харгалзах TREND функцийн утгуудаар дүүргэгдсэн байх ёстой;

Insert цэснээс Function командыг дуудна. Гарч ирэх функцийн шидтэн харилцах цонхноос Статистик ангилалаас TREND функцийг сонгоод OK товчийг дарна уу. Үүнтэй ижил үйлдлийг стандарт хэрэгслийн самбарын товчлуур (Insert функц) дарж хийж болно.

Гарч буй "Функцийн аргументууд" харилцах цонхны "Мэдэгдэж буй_утга" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж;

Оруулсан томъёог массив томьёо болгохын тулд + + товчлуурын хослолыг ашиглана.

Томъёоны мөрөнд бидний оруулсан томьёо дараах байдалтай харагдана: =(TREND(C4:C11;B4:B11)).

Үүний үр дүнд D4: D11 нүднүүдийн хүрээ нь TREND функцийн харгалзах утгуудаар дүүрсэн байна (Зураг 9).

Компанийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гаргах. шаардлагатай:

TREND функцээр урьдчилан таамагласан утгуудыг оруулах D12:D13 нүднүүдийн мужийг сонгоно уу.

TREND функцийг дуудаж, гарч ирэх "Функцийн аргументууд" харилцах цонхонд "Мэдэгдэж буй_утга_у" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна уу; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж; болон Шинэ_утга_x талбарт - B12:B13 нүдний муж.

Ctrl + Shift + Enter товчлууруудыг ашиглан энэ томьёог массив томьёо болгон хувиргана уу.

Оруулсан томьёо нь дараах байдлаар харагдах болно: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), D12:D13 нүднүүдийн муж нь TREND функцийн урьдчилан таамагласан утгуудаар дүүрнэ (Зураг 1-ийг үз). 9).

Үүний нэгэн адил өгөгдлийн цувралыг GROWTH функцийг ашиглан дүүргэдэг бөгөөд энэ нь шугаман бус хамаарлыг шинжлэхэд ашигладаг бөгөөд шугаман TREND-тэй яг адилхан ажилладаг.

Зураг 10-д хүснэгтийг томъёоны дэлгэцийн горимд харуулав.

Эхний өгөгдөл болон олж авсан өгөгдлийн цувралын хувьд диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. арван нэгэн.

Даалгавар 4

Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн диспетчерийн үйлчилгээ үзүүлэх хүсэлтийг тухайн сарын 1-ээс 11-ний өдрийг хүртэлх хугацаанд хүлээн авсан мэдээллийн хүснэгтийн дагуу дараахь үйлдлүүдийг хийх ёстой.

Шугаман регрессийн өгөгдлийн цуваа авах: SLOPE болон INTERCEPT функцийг ашиглан; LINEST функцийг ашиглан.

LYFFPRIB функцийг ашиглан экспоненциал регрессийн өгөгдлийн цувралыг татаж авна уу.

Дээрх функцуудыг ашиглан тухайн сарын 12-оос 14-ний өдрийг хүртэлх хугацаанд диспетчерийн үйлчилгээнд өргөдөл хүлээн авах урьдчилсан мэдээг гарга.

Анхны болон хүлээн авсан өгөгдлийн цувралын хувьд диаграммыг байгуул.

Асуудлын шийдэл

TREND болон GROW функцүүдээс ялгаатай нь дээр дурдсан функцүүдийн аль нь ч (SLOPE, INTERCEPTION, LINEST, LGRFPRIB) регресс биш гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр функцууд нь зөвхөн туслах үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд шаардлагатай регрессийн параметрүүдийг тодорхойлдог.

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB функцуудыг ашиглан бүтээгдсэн шугаман болон экспоненциал регрессийн хувьд TREND ба ӨСӨЛТ функцүүдэд харгалзах шугаман болон экспоненциал регрессээс ялгаатай нь тэгшитгэлийн харагдах байдал нь үргэлж мэдэгддэг.

1 . Дараах тэгшитгэлтэй шугаман регрессийг байгуулъя.

y=mx+b

SLOPE болон INTERCEPT функцийг ашиглан регрессийн налууг m-ийг SLOPE функцээр, b тогтмол гишүүнийг INTERCEPT функцээр тодорхойлно.

Үүнийг хийхийн тулд бид дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

A4:B14 нүдний мужид эх хүснэгтийг оруулна уу;

m параметрийн утгыг C19 нүдэнд тодорхойлно. Статистикийн ангилалаас Slope функцийг сонгоно уу; мэдэгдэж байгаа_утга_y талбарт B4:B14 нүдний мужийг, мэдэгдэж буй_утга_х талбарт A4:A14 нүдний мужийг оруулна. Томьёог C19 нүдэнд оруулна: =SLOPE(B4:B14;A4:A14);

ижил төстэй аргыг ашиглан D19 нүдний b параметрийн утгыг тодорхойлно. Үүний агуулга нь иймэрхүү харагдах болно: = INTERCEPT(B4:B14;A4:A14). Тиймээс шугаман регрессийг бий болгоход шаардлагатай m ба b параметрийн утгыг C19, D19 нүднүүдэд тус тус хадгална;

Дараа нь бид шугаман регрессийн томъёог C4 нүдэнд: = $ C * A4 + $ D хэлбэрээр оруулна. Энэ томъёонд C19 ба D19 нүднүүд үнэмлэхүй лавлагаатай бичигдсэн байдаг (хуулбарлах замаар нүдний хаяг өөрчлөгдөх ёсгүй). Үнэмлэхүй лавлагааны тэмдгийг $ гараас эсвэл курсорыг нүдний хаяг дээр байрлуулсны дараа F4 товчлуурыг ашиглан бичиж болно. Бөглөх бариулыг ашиглан энэ томьёог C4:C17 нүдний мужид хуулна. Бид хүссэн өгөгдлийн цувралыг авдаг (Зураг 12). Хүсэлтийн тоо нь бүхэл тоо тул та Cell Format цонхны Number табын аравтын бутархайн тоог 0 болгож тооны форматыг тохируулах хэрэгтэй.

2 . Одоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугаман регрессийг байгуулъя.

y=mx+b

LINEST функцийг ашиглан.

Үүний тулд:

C20:D20: =(LINEST(B4:B14;A4:A14)) нүднүүдийн мужид LINEST функцийг массивын томьёо болгон оруулна. Үүний үр дүнд бид C20 нүдэнд m параметрийн утгыг, D20 нүдэнд b параметрийн утгыг авна;

D4 нүдэнд томьёог оруулна: =$C*A4+$D;

дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог D4:D17 нүднүүдийн мужид хуулж, хүссэн өгөгдлийн цувралыг аваарай.

3 . Бид дараах тэгшитгэлтэй экспоненциал регрессийг байгуулна.

LGRFPRIBL функцийн тусламжтайгаар үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэдэг.

C21:D21 нүдний мужид LGRFPRIBL функцийг массив томьёо болгон оруулна уу: =( LGRFPRIBL (B4:B14;A4:A14)). Энэ тохиолдолд m параметрийн утгыг C21 нүдэнд, b параметрийн утгыг D21 нүдэнд тодорхойлно;

томъёог E4 нүдэнд оруулна: =$D*$C^A4;

дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог экспоненциал регрессийн өгөгдлийн цуваа байрлах E4:E17 нүднүүдийн мужид хуулна (12-р зургийг үз).

Зураг дээр. 13-т шаардлагатай нүдний мужууд болон томъёогоор бидний ашигладаг функцуудыг харах боломжтой хүснэгтийг харуулав.

Үнэ цэнэ Р 2 дуудсан тодорхойлох коэффициент.

Регрессийн хамаарлыг бий болгох даалгавар нь R коэффициент хамгийн их утгыг авах загварын (1) m коэффициентүүдийн векторыг олох явдал юм.

R-ийн ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд томъёогоор тооцоолсон Фишерийн F тестийг ашигладаг

Хаана n- дээжийн хэмжээ (туршилтын тоо);

k нь загварын коэффициентүүдийн тоо юм.

Хэрэв F нь өгөгдлийн зарим чухал утгыг давсан бол nТэгээд кболон хүлээн зөвшөөрөгдсөн итгэлийн түвшин, дараа нь R утгыг чухал ач холбогдолтой гэж үзнэ. F-ийн чухал утгуудын хүснэгтийг математик статистикийн лавлах номонд өгсөн болно.

Тиймээс R-ийн ач холбогдлыг зөвхөн үнэ цэнээр нь биш, мөн туршилтын тоо болон загварын коэффициентүүдийн (параметрүүдийн) тоо хоорондын харьцаагаар тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ энгийн шугаман загварын хувьд n=2 корреляцийн харьцаа 1 байна (хавтгай дээрх 2 цэгээр дамжуулан та үргэлж нэг шулуун шугам зурж болно). Гэсэн хэдий ч туршилтын өгөгдөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол R-ийн ийм утгыг маш болгоомжтой итгэх хэрэгтэй. Ихэвчлэн мэдэгдэхүйц R ба найдвартай регрессийг олж авахын тулд туршилтын тоо нь загварын коэффициентүүдийн тооноос (n>k) ихээхэн давсан эсэхийг баталгаажуулахад чиглэгддэг.

Шугаман регрессийн загварыг бий болгохын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) туршилтын өгөгдлийг агуулсан n мөр, m баганын жагсаалтыг бэлтгэх (гаралтын утгыг агуулсан багана) Южагсаалтын эхний эсвэл сүүлчийнх байх ёстой); жишээлбэл, өмнөх даалгаврын өгөгдлийг авч, "үеийн дугаар" хэмээх багана нэмж, 1-ээс 12 хүртэлх тооны үеийг дугаарлана. (эдгээр нь утгууд байх болно. X)

2) Data/Data Analysis/Regression цэс рүү орно