განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში. განტოლებები ჯამურ დიფერენციალებში განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში პირველი რიგის

პრობლემის განცხადება ორგანზომილებიან შემთხვევაში

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის აღდგენა მისი მთლიანი დიფერენციალიდან

9.1. პრობლემის განცხადება ორგანზომილებიან შემთხვევაში. 72

9.2. ხსნარის აღწერა. 72

ეს არის მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალის ერთ-ერთი გამოყენება.

მოცემულია ორი ცვლადის ფუნქციის სრული დიფერენციალური გამოხატულება:

იპოვნეთ ფუნქცია.

1. ვინაიდან ფორმის ყველა გამოხატულება არ არის რაიმე ფუნქციის სრული დიფერენციალი უ(x,წ), მაშინ აუცილებელია პრობლემის განცხადების სისწორის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ აუცილებელი და საკმარისი პირობა ჯამური დიფერენციალისთვის, რომელსაც 2 ცვლადის ფუნქციისთვის აქვს ფორმა . ეს პირობა გამომდინარეობს წინა ნაწილის თეორემაში (2) და (3) დებულებების ეკვივალენტობიდან. თუ მითითებული პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ პრობლემას აქვს გამოსავალი, ანუ ფუნქცია უ(x,წ) შეიძლება აღდგეს; თუ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ პრობლემას გამოსავალი არ აქვს, ანუ ფუნქცია ვერ აღდგება.

2. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქცია მისი მთლიანი დიფერენციალით, მაგალითად, მეორე სახის მრუდი ინტეგრალის გამოყენებით, მისი გამოთვლა ფიქსირებული წერტილის დამაკავშირებელი ხაზიდან ( x 0 ,წ 0) და ცვლადი წერტილი ( x;y) (ბრინჯი. 18):

ამრიგად, მიღებულია, რომ მთლიანი დიფერენციალის მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი dU(x,წ) უდრის სხვაობას ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის უ(x,წ) ინტეგრაციის ხაზის ბოლო და საწყისი წერტილები.

ვიცით ახლა ეს შედეგი, ჩვენ გვჭირდება ჩანაცვლება dUმრუდხაზოვან ინტეგრალურ გამოსახულებაში და გამოთვალეთ ინტეგრალი გატეხილი ხაზის გასწვრივ ( ACB), მისი დამოუკიდებლობის გათვალისწინებით ინტეგრაციის ხაზის ფორმისგან:

ზე ( AC): ჩართულია ( სვ) :

(1)

ამრიგად, მიღებულია ფორმულა, რომლის დახმარებით აღდგება 2 ცვლადის ფუნქცია მისი მთლიანი დიფერენციალიდან.

3. ფუნქციის სრული დიფერენციალიდან აღდგენა შესაძლებელია მხოლოდ მუდმივ ტერმინამდე, ვინაიდან დ(უ+ const) = dU. ამიტომ, პრობლემის გადაჭრის შედეგად ვიღებთ ფუნქციების ერთობლიობას, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება მუდმივი ვადით.

მაგალითები (ორი ცვლადის ფუნქციის აღდგენა მისი სრული დიფერენციალიდან)

1. იპოვეთ უ(x,წ), თუ dU = (x 2 – წ 2)dx – 2xydy.

ჩვენ ვამოწმებთ ორი ცვლადის ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალის მდგომარეობას:

მთლიანი დიფერენციალური პირობა დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, ფუნქცია უ(x,წ) შეიძლება აღდგეს.

გადამოწმება: სწორი.

პასუხი: უ(x,წ) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. იპოვეთ ფუნქცია ისეთი, რომ

ვამოწმებთ აუცილებელ და საკმარის პირობებს სამი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალისთვის: , , , თუ გამოთქმა მოცემულია.

მოგვარებულ პრობლემაში

სრული დიფერენციალის ყველა პირობა დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, შესაძლებელია ფუნქციის აღდგენა (პრობლემა სწორად არის დაყენებული).

ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას მეორე სახის მრუდი ინტეგრალის გამოყენებით, გამოვთვლით მას გარკვეული ხაზის გასწვრივ, რომელიც აკავშირებს ფიქსირებულ წერტილს და ცვლადი წერტილს, რადგან

(ეს ტოლობა მიღებულია ისევე, როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში).

მეორეს მხრივ, მთლიანი დიფერენციალური მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის ხაზის ფორმაზე, ამიტომ ყველაზე ადვილია მისი გამოთვლა გატეხილი ხაზის გასწვრივ, რომელიც შედგება კოორდინატთა ღერძების პარალელურად სეგმენტებისგან. ამავდროულად, როგორც ფიქსირებული წერტილი, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ წერტილი კონკრეტული რიცხვითი კოორდინატებით, აკონტროლოთ მხოლოდ ის, რომ ამ ეტაპზე და მთლიან ინტეგრაციის ხაზზე დაკმაყოფილებულია მრუდი ინტეგრალის არსებობის პირობა (ანუ ფუნქციები და იყოს უწყვეტი). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, ამ პრობლემაში შეგვიძლია ავიღოთ ფიქსირებული წერტილი, მაგალითად, წერტილი M 0 . შემდეგ გატეხილი ხაზის თითოეულ ბმულზე გვექნება

10.2. პირველი სახის ზედაპირის ინტეგრალის გაანგარიშება. 79

10.3. პირველი ტიპის ზედაპირის ინტეგრალის ზოგიერთი გამოყენება. 81

გვიჩვენებს, როგორ ამოვიცნოთ დიფერენციალური განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში. მოცემულია მისი გადაჭრის მეთოდები. მოყვანილია განტოლების საერთო დიფერენციალებში ორი გზით ამოხსნის მაგალითი.

შინაარსი

შესავალი

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება მთლიან დიფერენციალებში არის ფორმის განტოლება:
(1) ,
სადაც განტოლების მარცხენა მხარე არის U ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი (x, y) x, y ცვლადებიდან:
.
სადაც .

თუ ასეთი ფუნქცია U (x, y), მაშინ განტოლება იღებს ფორმას:
dU (x, y) = 0.
მისი ზოგადი ინტეგრალი:
უ (x, y) = C,
სადაც C არის მუდმივი.

თუ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება დაწერილია წარმოებულის მიხედვით:
,
მაშინ ადვილია მისი ფორმაში მოყვანა (1) . ამისათვის გაამრავლეთ განტოლება dx-ზე. მაშინ . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას, რომელიც გამოხატულია დიფერენციალებით:
(1) .

დიფერენციალური განტოლების თვისება ჯამურ დიფერენციალებში

განტოლების მიზნით (1) არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი მიმართების დაკმაყოფილება:
(2) .

მტკიცებულება

გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მტკიცებულებაში გამოყენებული ყველა ფუნქცია განსაზღვრულია და აქვს შესაბამისი წარმოებულები x და y-ის გარკვეულ დიაპაზონში. წერტილი x 0, y0ასევე ეკუთვნის ამ ტერიტორიას.

მოდით დავამტკიცოთ პირობის აუცილებლობა (2).
მოდით განტოლების მარცხენა მხარე (1) არის ზოგიერთი U ფუნქციის დიფერენციალი (x, y):
.
მერე
;
.
ვინაიდან მეორე წარმოებული არ არის დამოკიდებული დიფერენციაციის თანმიმდევრობაზე, მაშინ
;
.
აქედან გამომდინარეობს, რომ. აუცილებლობის პირობა (2) დადასტურებული.

მოდით დავამტკიცოთ პირობის საკმარისობა (2).
დაუშვით პირობა (2) :
(2) .
ვაჩვენოთ, რომ შესაძლებელია ასეთი U ფუნქციის პოვნა (x, y)რომ მისი დიფერენციალი არის:
.
ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ასეთი ფუნქცია U (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებებს:
(3) ;
(4) .
მოდი ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია. ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას (3) x-ით x-დან 0 x-მდე, თუ ვივარაუდებთ, რომ y არის მუდმივი:
;
;
(5) .
დიფერენცირება y-ის მიმართ, თუ დავუშვებთ, რომ x არის მუდმივი და გამოიყენეთ (2) :

.
განტოლება (4) აღსრულდება თუ
.
y-ზე ინტეგრირება y-დან 0 y-ს:
;
;
.
ჩანაცვლება შიგნით (5) :
(6) .
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქცია, რომლის დიფერენციალი არის
.
საკმარისობა დადასტურებულია.

ფორმულაში (6) , უ (x0, y0)არის მუდმივი – U ფუნქციის მნიშვნელობა (x, y) x წერტილში 0, y0. მას შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მნიშვნელობა.

როგორ ამოვიცნოთ დიფერენციალური განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში

განვიხილოთ დიფერენციალური განტოლება:
(1) .
იმის დასადგენად, არის თუ არა ეს განტოლება სრულ დიფერენციალებში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ მდგომარეობა (2) :
(2) .
თუ ის მოქმედებს, მაშინ ეს არის განტოლება მთლიან დიფერენციალებში. თუ არა, მაშინ ეს არ არის განტოლება მთლიან დიფერენციალებში.

მაგალითი

შეამოწმეთ არის თუ არა განტოლება მთლიან დიფერენციალებში:
.

Აქ
, .
დიფერენცირება y-ის მიმართ, თუ დავუშვებთ, რომ x მუდმივია:


.
დიფერენცირებადი


.
Იმიტომ რომ:
,
მაშინ მოცემული განტოლება არის საერთო დიფერენციალებში.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები ჯამურ დიფერენციალებში

თანმიმდევრული დიფერენციალური ექსტრაქციის მეთოდი

საერთო დიფერენციალებში განტოლების ამოხსნის უმარტივესი მეთოდია დიფერენციალური თანმიმდევრული ამოღების მეთოდი. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის ფორმულებს, რომლებიც დაწერილია დიფერენციალური ფორმით:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = დ (UV);
;
.
ამ ფორმულებში, u და v არის თვითნებური გამონათქვამები, რომლებიც შედგება ცვლადების ნებისმიერი კომბინაციით.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება:
.

ადრე ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ეს განტოლება არის მთლიან დიფერენციალებში. მოდით გარდავქმნათ:
(P1) .
განტოლებას ვხსნით დიფერენციალის თანმიმდევრულად ხაზგასმით.
;
;
;
;

.
ჩანაცვლება შიგნით (P1):
;
.

თანმიმდევრული ინტეგრაციის მეთოდი

ამ მეთოდში ჩვენ ვეძებთ ფუნქციას U (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებებს:
(3) ;
(4) .

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას (3) x-ში, თუ ვივარაუდებთ, რომ y მუდმივია:
.
აქ φ (y)არის y-ის თვითნებური ფუნქცია, რომელიც უნდა განისაზღვროს. ეს არის ინტეგრაციის მუდმივი. ჩვენ ვცვლით განტოლებაში (4) :
.
აქედან:
.
ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ φ (y)და ამრიგად U (x, y).

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება ჯამური დიფერენციალებით:
.

ადრე ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ეს განტოლება არის მთლიან დიფერენციალებში. შემოვიღოთ აღნიშვნა:
, .
ვეძებთ ფუნქციას U (x, y), რომლის დიფერენციალი არის განტოლების მარცხენა მხარე:
.
შემდეგ:
(3) ;
(4) .
ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას (3) x-ში, თუ ვივარაუდებთ, რომ y მუდმივია:
(P2)
.
დიფერენცირება y-სთან მიმართებაში:

.
ჩანაცვლება შიგნით (4) :
;
.
ჩვენ ვაერთიანებთ:
.
ჩანაცვლება შიგნით (P2):

.
განტოლების ზოგადი ინტეგრალი:
უ (x, y) = კონსტ.
ჩვენ ვაკავშირებთ ორ მუდმივას ერთში.

მრუდის გასწვრივ ინტეგრაციის მეთოდი

ფუნქცია U განისაზღვრება მიმართებით:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
შეიძლება მოიძებნოს ამ განტოლების ინტეგრირებით წერტილების დამაკავშირებელი მრუდის გასწვრივ (x0, y0)და (x, y):
(7) .
Იმიტომ რომ
(8) ,
მაშინ ინტეგრალი დამოკიდებულია მხოლოდ საწყისის კოორდინატებზე (x0, y0)და საბოლოო (x, y)მიუთითებს და არ არის დამოკიდებული მრუდის ფორმაზე. დან (7) და (8) ჩვენ ვიპოვეთ:
(9) .
აქ x 0 და y 0 - მუდმივი. ამიტომ უ (x0, y0)ასევე მუდმივია.

U-ს ასეთი განმარტების მაგალითი იქნა მიღებული მტკიცებულებაში:
(6) .
აქ ინტეგრაცია ჯერ შესრულებულია წერტილიდან y ღერძის პარალელურად სეგმენტის გასწვრივ (x 0 , y 0 )აზრამდე (x0, y). შემდეგ ინტეგრაცია ხორციელდება წერტილიდან x ღერძის პარალელურად სეგმენტის გასწვრივ (x0, y)აზრამდე (x, y) .

უფრო ზოგად შემთხვევაში, საჭიროა წარმოვადგინოთ წერტილების დამაკავშირებელი მრუდის განტოლება (x 0 , y 0 )და (x, y)პარამეტრული ფორმით:
x 1 = s(t1); წ 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); წ 0 = r(t0);
x = s (ტ); y=r (ტ);
და ინტეგრირება ტ 1 თ 0 თ.

უმარტივესი ინტეგრაცია ხდება წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტზე (x 0 , y 0 )და (x, y). Ამ შემთხვევაში:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; წ 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
ტ 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; დი 1 = (y - y 0) dt 1.
ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ ინტეგრალს t-ზე 0 ადრე 1 .
თუმცა, ეს მეთოდი იწვევს საკმაოდ რთულ გამოთვლებს.

ცნობები:
ვ.ვ. სტეპანოვი, დიფერენციალური განტოლებების კურსი, LKI, 2015 წ.

ზოგიერთი ფუნქცია. თუ ფუნქციას აღვადგენთ მისი მთლიანი დიფერენციალურიდან, მაშინ ვიპოვით დიფერენციალური განტოლების ზოგად ინტეგრალს. ქვემოთ ვისაუბრებთ ფუნქციის სრული დიფერენციალიდან აღდგენის მეთოდი.

დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი U(x, y) = 0თუ პირობა დაკმაყოფილებულია.

იმიტომ რომ ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0ეს რაც იმას ნიშნავს, რომ იმ პირობებში ამბობენ, რომ.

შემდეგ, .

სისტემის პირველი განტოლებიდან ვიღებთ . ჩვენ ვიპოვით ფუნქციას სისტემის მეორე განტოლების გამოყენებით:

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით სასურველ ფუნქციას U(x, y) = 0.

მაგალითი.

მოდი ვიპოვოთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა .

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში. პირობა დაკმაყოფილებულია, რადგან:

შემდეგ, საწყისი DE-ს მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ეს ფუნქცია.

იმიტომ რომ არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0, ნიშნავს:

.

ინტეგრირება დასრულდა xსისტემის 1-ლი განტოლება და დიფერენცირებადი მიმართებით წშედეგი:

.

სისტემის მე-2 განტოლებიდან ვიღებთ . ნიშნავს:

სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

ამრიგად, და მოცემული განტოლების ზოგადი ინტეგრალი იქნება .

არის მეორე ფუნქციის გამოთვლის მეთოდი მისი მთლიანი დიფერენციალიდან. იგი შედგება ფიქსირებული წერტილის მრუდი ინტეგრალის აღებაში (x0, y0)ცვლადი კოორდინატების მქონე წერტილამდე (x, y): . ამ შემთხვევაში, ინტეგრალის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია ინტეგრაციის გზიდან. მოსახერხებელია ინტეგრაციის გზად მივიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის ბმულები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია.

მაგალითი.

მოდი ვიპოვოთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა .

გამოსავალი.

ჩვენ ვამოწმებთ პირობის შესრულებას:

ამრიგად, DE-ს მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0. ამ ფუნქციას ვპოულობთ წერტილის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლით (1; 1) ადრე (x, y). ჩვენ ვიღებთ პოლიხაზს, როგორც ინტეგრაციის გზას: ჩვენ გავალთ პოლიხაზის პირველ მონაკვეთს სწორი ხაზის გასწვრივ y=1წერტილიდან (1, 1) ადრე (x, 1), როგორც ბილიკის მეორე მონაკვეთი წერტილიდან ვიღებთ სწორი ხაზის სეგმენტს (x, 1)ადრე (x, y):

ასე რომ, DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა ასე გამოიყურება: .

მაგალითი.

მოდით განვსაზღვროთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა.

გამოსავალი.

იმიტომ რომ , მაშინ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ DE-ს მარცხენა მხარე არ იქნება ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი და თქვენ უნდა გამოიყენოთ ამოხსნის მეორე მეთოდი (ეს განტოლება არის დიფერენციალური განტოლება გამყოფი ცვლადებით).

შეიძლება მოხდეს, რომ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე

არის ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი:

და შესაბამისად განტოლება (7) იღებს ფორმას.

თუ ფუნქცია არის (7) განტოლების ამონახსნი, მაშინ და, შესაბამისად,

სად არის მუდმივი და პირიქით, თუ რომელიმე ფუნქცია აქცევს საბოლოო განტოლებას (8) იდენტურად, მაშინ, მიღებული იდენტობის დიფერენცირებით, მივიღებთ და, შესაბამისად, სადაც არის თვითნებური მუდმივი, არის ორიგინალის ზოგადი ინტეგრალი. განტოლება.

თუ საწყისი მნიშვნელობები მოცემულია, მაშინ მუდმივი განისაზღვრება (8) და

არის სასურველი ნაწილობრივი ინტეგრალი. თუ წერტილში, მაშინ განტოლება (9) განსაზღვრავს, როგორც იმპლიციტურ ფუნქციას .

იმისათვის, რომ (7) განტოლების მარცხენა მხარე იყოს რომელიმე ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ

თუ ეილერის მიერ მითითებული ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ განტოლება (7) ადვილად ინტეგრირებულია. ნამდვილად,. Მეორეს მხრივ, . აქედან გამომდინარე,

ინტეგრალის გაანგარიშებისას, მნიშვნელობა განიხილება როგორც მუდმივი, ამიტომ ის არის თვითნებური ფუნქცია . ფუნქციის დასადგენად, ჩვენ განვასხვავებთ ნაპოვნი ფუნქციას და, ვინაიდან, ვიღებთ

ამ განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ და ინტეგრირებით ვპოულობთ.

როგორც ცნობილია მათემატიკური ანალიზის კურსიდან, კიდევ უფრო ადვილია ფუნქციის განსაზღვრა მისი მთლიანი დიფერენციალით, მრუდი ინტეგრალის აღებით რომელიმე ფიქსირებულ წერტილსა და ცვლადი კოორდინატების მქონე წერტილს შორის ნებისმიერი ბილიკის გასწვრივ:

ყველაზე ხშირად, როგორც ინტეგრაციის გზა, მოსახერხებელია გატეხილი ხაზის აღება, რომელიც შედგება ორი რგოლისგან, კოორდინატთა ღერძების პარალელურად; ამ შემთხვევაში

მაგალითი. .

განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი, ვინაიდან

მაშასადამე, ზოგად ინტეგრალს აქვს ფორმა

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა მეთოდი ფუნქციის განსაზღვრისთვის:

საწყისი წერტილისთვის ვირჩევთ, მაგალითად, კოორდინატების წარმოშობას, როგორც ინტეგრაციის გზას - გაწყვეტილ ხაზს. მერე

ხოლო ზოგად ინტეგრალს აქვს ფორმა

რაც ემთხვევა წინა შედეგს, რაც იწვევს საერთო მნიშვნელს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, როდესაც (7) განტოლების მარცხენა მხარე არ არის მთლიანი დიფერენციალური, ადვილია იპოვოთ ფუნქცია, გამრავლების შემდეგ, რომლითაც (7) განტოლების მარცხენა მხარე გადაიქცევა მთლიან დიფერენციალში. ასეთ ფუნქციას ე.წ ინტეგრირების ფაქტორი. გაითვალისწინეთ, რომ ინტეგრირებულ ფაქტორზე გამრავლებამ შეიძლება გამოიწვიოს დამატებითი კონკრეტული ამონახსნები, რომლებიც ამ ფაქტორს ნულამდე აქცევს.

მაგალითი. .

ცხადია, ფაქტორზე გამრავლების შემდეგ, მარცხენა მხარე იქცევა მთლიან დიფერენციალად. მართლაც, გამრავლების შემდეგ მივიღებთ

ან ინტეგრირებით, . გავამრავლოთ 2-ზე და გავაძლიეროთ, გვექნება .

რა თქმა უნდა, ინტეგრირების ფაქტორი ყოველთვის ასე მარტივად არ ირჩევა. ზოგად შემთხვევაში, ინტეგრირების ფაქტორის მოსაძებნად აუცილებელია განტოლების მინიმუმ ერთი კონკრეტული ამონახსნის არჩევა ნაწილობრივ წარმოებულებში, რომელიც არ არის იდენტური ნული, ან გაფართოებული ფორმით.

რომელიც ზოგიერთი ტერმინის გაყოფისა და ტოლობის მეორე ნაწილზე გადატანის შემდეგ მცირდება ფორმამდე

ზოგად შემთხვევაში, ამ ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირება სულაც არ არის უფრო მარტივი ამოცანა, ვიდრე თავდაპირველი განტოლების ინტეგრირება, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში (11) განტოლების კონკრეტული ამოხსნის შერჩევა არ არის რთული.

გარდა ამისა, თუ ვივარაუდებთ, რომ ინტეგრაციული ფაქტორი მხოლოდ ერთი არგუმენტის ფუნქციაა (მაგალითად, ის არის მხოლოდ ან მხოლოდ , ან ფუნქცია მხოლოდ , ან მხოლოდ და ა.შ.), ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავაერთიანოთ განტოლება (11) და მიუთითეთ პირობები, რომლებშიც არსებობს განსახილველი ფორმის შემადგენელი ფაქტორი. ამრიგად, გამოყოფილია განტოლებათა კლასები, რომლებისთვისაც ინტეგრაციის ფაქტორი ადვილად მოიძებნება.

მაგალითად, ვიპოვოთ პირობები, რომლებშიც განტოლებას აქვს ინტეგრაციული ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ , ე.ი. . ამ შემთხვევაში განტოლება (11) გამარტივებულია და იღებს ფორმას, საიდანაც, თუ ვივარაუდებთ, რომ ის არის უწყვეტი ფუნქცია, მივიღებთ

თუ მხოლოდ ფუნქციაა, მაშინ ინტეგრირებადი ფაქტორი დამოკიდებულია მხოლოდ , არსებობს და უდრის (12-ს), წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფორმის ინტეგრაციული ფაქტორი არ არსებობს.

მხოლოდ დამოკიდებულების ინტეგრირების ფაქტორის არსებობის პირობა დაკმაყოფილებულია, მაგალითად, წრფივი განტოლებისთვის ან . მართლაც და, შესაბამისად, . ანალოგიურად, შეიძლება მოიძებნოს ფორმის ინტეგრაციული ფაქტორების არსებობის პირობები და ა.შ.

მაგალითი.აქვს თუ არა განტოლებას ფორმის ინტეგრირების ფაქტორი?

აღვნიშნოთ. განტოლება (11) at იღებს ფორმას, საიდანაც ან

მოცემული ფორმის შემადგენელი ფაქტორის არსებობისთვის აუცილებელია და უწყვეტობის ვარაუდით საკმარისია მხოლოდ . ამ შემთხვევაში, შესაბამისად, ინტეგრირების ფაქტორი არსებობს და უდრის (13). როცა მივიღებთ. თავდაპირველი განტოლების გამრავლებით, მივიღებთ ფორმას

ინტეგრირება, ვიღებთ და გაძლიერების შემდეგ გვექნება , ან პოლარულ კოორდინატებში - ლოგარითმული სპირალების ოჯახი.

მაგალითი. იპოვეთ სარკის ფორმა, რომელიც ასახავს მოცემული მიმართულების პარალელურად ყველა სხივს, რომელიც გამოდის მოცემული წერტილიდან.

კოორდინატების საწყისს ვათავსებთ მოცემულ წერტილში და ვუმართავთ აბსცისის ღერძს პრობლემის პირობებში მითითებული მიმართულების პარალელურად. დაეცემა სხივი სარკეზე წერტილში. განვიხილოთ სარკის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის აბსცისის ღერძს და წერტილს. მოდით დავხატოთ ტანგენსი სარკის ზედაპირის განხილულ მონაკვეთზე წერტილში. ვინაიდან სხივის დაცემის კუთხე ტოლია არეკვლის კუთხის, სამკუთხედი არის ტოლფერდა. აქედან გამომდინარე,

შედეგად მიღებული ერთგვაროვანი განტოლება ადვილად ინტეგრირდება ცვლადების ცვლილებით, მაგრამ კიდევ უფრო ადვილია, მნიშვნელში ირაციონალურობისგან თავისუფლდება, მისი სახით გადაწერა. ამ განტოლებას აქვს აშკარა ინტეგრირების ფაქტორი , , , (პარაბოლების ოჯახი).

ამ პრობლემის გადაჭრა კიდევ უფრო ადვილია კოორდინატებში და სადაც, ხოლო სასურველი ზედაპირის მონაკვეთის განტოლება ფორმას იღებს.

შესაძლებელია დადასტურდეს ინტეგრაციული ფაქტორის არსებობა, ან, რაც იგივეა, ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლების (11) არანულოვანი ამონახსნის არსებობა ზოგიერთ დომენში, თუ ფუნქციებს აქვთ უწყვეტი წარმოებულები და მათგან ერთი მაინც. ფუნქციები არ ქრება. ამრიგად, ინტეგრირების ფაქტორის მეთოდი შეიძლება ჩაითვალოს ფორმის განტოლებების ინტეგრაციის ზოგად მეთოდად, თუმცა, ინტეგრაციული ფაქტორის პოვნის სირთულის გამო, ეს მეთოდი ყველაზე ხშირად გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ინტეგრაციის ფაქტორი აშკარაა.