განტოლებათა სისტემა. დეტალური თეორია მაგალითებით (2020). წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითები: ამოხსნის მეთოდი ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის დაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (SLAE) უდავოდ არის ხაზოვანი ალგებრის კურსის ყველაზე მნიშვნელოვანი თემა. მათემატიკის ყველა დარგიდან ამოცანების დიდი რაოდენობა მცირდება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნაზე. ეს ფაქტორები ხსნის ამ სტატიის შექმნის მიზეზს. სტატიის მასალა ისეა შერჩეული და სტრუქტურირებული, რომ მისი დახმარებით შეძლოთ

• აირჩიეთ ოპტიმალური მეთოდი თქვენი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად,
• შეისწავლეთ არჩეული მეთოდის თეორია,
• გადაწყვიტეთ თქვენი წრფივი განტოლებების სისტემა, დეტალურად განიხილეთ ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნები.

სტატიის მასალის მოკლე აღწერა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ყველა საჭირო განმარტებას, კონცეფციას და შემოგთავაზებთ რამდენიმე აღნიშვნას.

შემდეგ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები. ჯერ კრამერის მეთოდზე გავამახვილოთ ყურადღება, მეორეც ვაჩვენებთ განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნის მატრიცულ მეთოდს და მესამედ გავაანალიზებთ გაუსის მეთოდს (უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი). თეორიის გასამყარებლად, ჩვენ აუცილებლად მოვაგვარებთ რამდენიმე SLAE-ს სხვადასხვა გზით.

ამის შემდეგ ვაგრძელებთ ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნას, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა არის გადაგვარებული. ჩამოვაყალიბოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ SLAE-ის თავსებადობა. მოდით გავაანალიზოთ სისტემების ამოხსნა (მათი თავსებადობის შემთხვევაში) მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფციის გამოყენებით. ჩვენ ასევე განვიხილავთ გაუსის მეთოდს და დეტალურად აღვწერთ მაგალითების ამონახსნებს.

დარწმუნდით, რომ ყურადღება მიაქციეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურას. მოდით მივცეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია და ვაჩვენოთ, როგორ იწერება SLAE-ის ზოგადი ამონახსნები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით. უკეთესი გაგებისთვის, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შემცირებულია წრფივზე, ასევე სხვადასხვა ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისას წარმოიქმნება SLAE.

გვერდის ნავიგაცია.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

განვიხილავთ p წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს n უცნობი ცვლადით (p შეიძლება ტოლი იყოს n-ის) ფორმის

უცნობი ცვლადები, - კოეფიციენტები (ზოგიერთი რეალური ან რთული რიცხვი), - თავისუფალი წევრები (ასევე რეალური ან რთული რიცხვები).

SLAE-ის ამ ფორმას ე.წ კოორდინაცია.

IN მატრიცის ფორმაგანტოლებათა ამ სისტემას აქვს ფორმა,
სად - სისტემის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების მატრიცა-სვეტი, - თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტი.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნითეწოდება უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტურებად. უცნობი ცვლადების მოცემული მნიშვნელობების მატრიცული განტოლება ასევე იქცევა იდენტურობაში.

თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას უწოდებენ ერთობლივი.

თუ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული; თუ არის ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ - გაურკვეველი.

თუ სისტემის ყველა განტოლების თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია , მაშინ სისტემას ეძახიან ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

თუ სისტემის განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთ SLAE-ებს დავარქმევთ. ელემენტარული. განტოლებათა ასეთ სისტემებს აქვთ უნიკალური ამონახსნები და ერთგვაროვანი სისტემის შემთხვევაში ყველა უცნობი ცვლადი ნულის ტოლია.

ასეთი SLAE-ის შესწავლა საშუალო სკოლაში დავიწყეთ. მათი ამოხსნისას ავიღეთ ერთი განტოლება, გამოვხატეთ ერთი უცნობი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩავანაცვლეთ დარჩენილ განტოლებებში, შემდეგ ავიღეთ შემდეგი განტოლება, გამოვხატეთ შემდეგი უცნობი ცვლადი და ჩავანაცვლეთ სხვა განტოლებებით და ა.შ. ან გამოიყენეს შეკრების მეთოდი, ანუ დაამატეს ორი ან მეტი განტოლება ზოგიერთი უცნობი ცვლადის აღმოსაფხვრელად. ამ მეთოდებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, რადგან ისინი არსებითად გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციებია.

წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი და გაუსის მეთოდი. მოდით დაალაგოთ ისინი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

დაგვჭირდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა

რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, ანუ .

მოდით იყოს სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და არის მატრიცების განმსაზღვრელი, რომლებიც მიიღება A-დან ჩანაცვლებით 1-ლი, მე-2, ..., მე-რსვეტი, შესაბამისად, თავისუფალი წევრების სვეტში:

ასეთი აღნიშვნით უცნობი ცვლადები გამოითვლება კრამერის მეთოდის ფორმულებით როგორც . ასე მოიძებნება წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი კრამერის მეთოდით.

მაგალითი.

კრამერის მეთოდი .

გამოსავალი.

სისტემის ძირითად მატრიცას აქვს ფორმა . გამოთვალეთ მისი განმსაზღვრელი (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

ვინაიდან სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი, სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით.

შეადგინეთ და გამოთვალეთ საჭირო დეტერმინანტები (განმსაზღვრელი მიიღება A მატრიცაში პირველი სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, განმსაზღვრელი - მეორე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით, - A მატრიცის მესამე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. ):

უცნობი ცვლადების პოვნა ფორმულების გამოყენებით :

პასუხი:

კრამერის მეთოდის მთავარი მინუსი (თუ შეიძლება მას მინუსად ვუწოდოთ) არის დეტერმინანტების გამოთვლის სირთულე, როდესაც სისტემის განტოლებათა რაოდენობა სამზე მეტია.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

მოდით, წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით იყოს მოცემული, სადაც A მატრიცას აქვს განზომილება n-ზე n-ზე და მისი განმსაზღვრელი არის არანულოვანი.

ვინაიდან , მაშინ მატრიცა A არის შექცევადი, ანუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა. თუ ტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ მარცხნივ, მაშინ მივიღებთ ფორმულას უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცის საპოვნელად. ასე მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი მატრიცული მეთოდით.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდი.

გამოსავალი.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით:

იმიტომ რომ

მაშინ SLAE შეიძლება ამოხსნას მატრიცული მეთოდით. ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით, ამ სისტემის გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მოდით ავაშენოთ ინვერსიული მატრიცა A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატების მატრიცის გამოყენებით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

რჩება გამოთვლა - უცნობი ცვლადების მატრიცა შებრუნებული მატრიცის გამრავლებით თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტზე (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

პასუხი:

ან სხვა აღნიშვნით x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

მატრიცული მეთოდით წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამონახსნების ძიების მთავარი პრობლემა არის შებრუნებული მატრიცის პოვნის სირთულე, განსაკუთრებით მესამეზე მაღალი რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნი n წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის n უცნობი ცვლადით
რომლის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან.

გაუსის მეთოდის არსიშედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული გამორიცხვაში: ჯერ x 1 გამოირიცხება სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდეგ x 2 გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან და ასე შემდეგ, სანამ მხოლოდ უცნობი ცვლადია. x n რჩება ბოლო განტოლებაში. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის სისტემის განტოლებების გარდაქმნის ასეთ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. გაუსის მეთოდის წინ სვლის დასრულების შემდეგ ბოლო განტოლებიდან მოიძებნება x n, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით გამოითვლება ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. პირველი განტოლებიდან მოიძებნება x 1. სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება საპირისპირო გაუსის მეთოდი.

მოდით მოკლედ აღვწეროთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით გამოვხატავთ x 1-ს და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დაამატეთ მეორე გამრავლებული, მეოთხეზე გამრავლებული მეორე და ასე შემდეგ, მეორეზე გამრავლებული დაუმატეთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც , მიღებული მნიშვნელობის x n-ის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს პირველიდან. განტოლება.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1. ამისათვის, მეორე და მესამე განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, გამრავლებული და შესაბამისად:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ x 2-ს მესამე განტოლებიდან, მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დავუმატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული:

ამაზე დასრულებულია გაუსის მეთოდის წინა კურსი, ვიწყებთ საპირისპირო კურსს.

განტოლებათა სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ x 3:

მეორე განტოლებიდან ვიღებთ.

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ დარჩენილ უცნობ ცვლადს და ამით სრულდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

პასუხი:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

ზოგად შემთხვევაში, p სისტემის განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას n:

ასეთ SLAE-ებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, ჰქონდეთ ერთი გამოსავალი ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი. ეს განცხადება ასევე ეხება განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის კვადრატული და გადაგვარებული.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პოვნამდე აუცილებელია მისი თავსებადობის დადგენა. პასუხი კითხვაზე, როდის არის SLAE თავსებადი და როდის შეუთავსებელი, იძლევა კრონეკერ-კაპელის თეორემა:
იმისათვის, რომ p განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) თანმიმდევრული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს გაფართოებული მატრიცის რანგის, ანუ რანგი( A)=რანგი(T) .

მაგალითის სახით განვიხილოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის დასადგენად.

მაგალითი.

გაარკვიეთ აქვს თუ არა წრფივი განტოლებათა სისტემა გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი.

. გამოვიყენოთ არასრულწლოვანთა შემოსაზღვრების მეთოდი. მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. მოდით გადავხედოთ მის გარშემო არსებულ მესამე რიგის არასრულწლოვანებს:

ვინაიდან ყველა მოსაზღვრე მესამე რიგის მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მთავარი მატრიცის წოდება არის ორი.

თავის მხრივ, გაზრდილი მატრიცის წოდება უდრის სამს, ვინაიდან მესამე რიგის მინორი

განსხვავდება ნულიდან.

ამრიგად, Rang(A) , შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი:

გადაწყვეტის სისტემა არ არსებობს.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ სისტემის შეუსაბამობის დადგენა კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით.

მაგრამ როგორ მოვძებნოთ SLAE-ის გამოსავალი, თუ დადგინდა მისი თავსებადობა?

ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფცია და მატრიცის რანგის თეორემა.

A მატრიცის უმაღლესი რიგის მინორი, გარდა ნულისა, ეწოდება ძირითადი.

საბაზისო მინორის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი რიგი უდრის მატრიცის რანგს. არანულოვანი მატრიცისთვის A, შეიძლება იყოს რამდენიმე ძირითადი მინორი; ყოველთვის არის ერთი ძირითადი მინორი.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა .

ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები არის პირველი და მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტების ჯამი.

მეორე რიგის შემდეგი მცირე რაოდენობა ძირითადია, რადგან ისინი ნულოვანია

არასრულწლოვანთა არ არის ძირითადი, რადგან ისინი ნულის ტოლია.

მატრიცის რანგის თეორემა.

თუ p რიგის მატრიცის რანგი არის r, მაშინ მატრიცის მწკრივების (და სვეტების) ყველა ელემენტი, რომლებიც არ ქმნიან არჩეულ საფუძველს მინორი, წრფივად გამოხატულია მწკრივების (და სვეტების) შესაბამისი ელემენტების მიხედვით. ) რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს.

რას გვაძლევს მატრიცის რანგის თეორემა?

თუ კრონეკერ-კაპელის თეორემით დავადგინეთ სისტემის თავსებადობა, მაშინ ვირჩევთ სისტემის მთავარი მატრიცის ნებისმიერ ძირითად მინორს (მისი რიგი უდრის r) და გამოვრიცხავთ სისტემიდან ყველა განტოლებას, რომელიც არ არის შექმენით არჩეული ძირითადი მცირე. ამ გზით მიღებული SLAE იქნება თავდაპირველის ექვივალენტი, ვინაიდან გაუქმებული განტოლებები ჯერ კიდევ ზედმეტია (მატრიცის რანგის თეორემის მიხედვით, ისინი არის დარჩენილი განტოლებების წრფივი კომბინაცია).

შედეგად, სისტემის გადაჭარბებული განტოლებების გაუქმების შემდეგ შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

თუ მიღებულ სისტემაში r განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ ის იქნება განსაზღვრული და ერთადერთი ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მაგალითი.

.

გამოსავალი.

სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის ორს, ვინაიდან მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის ორს, რადგან მესამე რიგის ერთადერთი მინორი ნულის ტოლია

ხოლო ზემოთ განხილული მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. კრონეკერ-კაპელის თეორემაზე დაყრდნობით შეიძლება დავამტკიცოთ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის თავსებადობა, ვინაიდან რანგ(A)=Rank(T)=2 .

როგორც მინორის საფუძველს ვიღებთ . იგი იქმნება პირველი და მეორე განტოლების კოეფიციენტებით:


სისტემის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, ამიტომ მას გამოვრიცხავთ სისტემიდან მატრიცის რანგის თეორემაზე დაყრდნობით:


ამრიგად მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა. მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:


პასუხი:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

თუ R განტოლებების რაოდენობა მიღებულ SLAE-ში ნაკლებია n უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან ძირითად მინორს განტოლებების მარცხენა ნაწილებში, ხოლო დანარჩენ წევრებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა ნაწილებზე. სისტემის საპირისპირო ნიშნით.

განტოლებების მარცხენა მხარეს დარჩენილი უცნობი ცვლადები (არსებობს r) ეწოდება მთავარი.

უცნობ ცვლადებს (არის n - r), რომლებიც მთავრდება მარჯვენა მხარეს, ეწოდება უფასო.

ახლა ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები, ხოლო r მთავარი უცნობი ცვლადები გამოისახება თავისუფალი უცნობი ცვლადების სახით უნიკალური გზით. მათი გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს მიღებული SLAE-ის ამოხსნით კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა .

გამოსავალი.

იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი მოსაზღვრე არასრულწლოვანთა მეთოდით. ავიღოთ 1 1 = 1, როგორც პირველი რიგის მინორი. დავიწყოთ ამ მინორის ირგვლივ არანულოვანი მეორე რიგის მინორის ძებნა:


ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ მეორე რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ მესამე რიგის არანულოვანი მოსაზღვრე მინორის ძებნა:


ამრიგად, მთავარი მატრიცის წოდება არის სამი. გაძლიერებული მატრიცის წოდება ასევე უდრის სამს, ანუ სისტემა თანმიმდევრულია.

მესამე რიგის ნაპოვნი არანულოვანი მინორი მიიღება ძირითადში.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს:


სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ძირითად მინორში მონაწილე ტერმინებს, ხოლო დანარჩენს საპირისპირო ნიშნებით გადავცემთ მარჯვენა მხარეს:


ჩვენ ვაძლევთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს x 2 და x 5 თვითნებურ მნიშვნელობებს, ანუ ვიღებთ , სადაც არის თვითნებური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, SLAE იღებს ფორმას


წრფივი ალგებრული განტოლებების მიღებულ ელემენტარულ სისტემას ვხსნით კრამერის მეთოდით:


აქედან გამომდინარე,.

პასუხში არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ უფასო უცნობი ცვლადები.

პასუხი:

სად არის თვითნებური რიცხვები.

შეაჯამეთ.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, პირველ რიგში გავარკვევთ მის თავსებადობას კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით. თუ მთავარი მატრიცის რანგი არ არის გაფართოებული მატრიცის რანგის ტოლი, მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია.

თუ ძირითადი მატრიცის წოდება ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს და ვტოვებთ სისტემის განტოლებებს, რომლებიც არ მონაწილეობენ არჩეული ძირითადი მინორის ფორმირებაში.

თუ საბაზისო მინორის რიგი უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ SLAE-ს აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომლის პოვნაც ჩვენთვის ცნობილი ნებისმიერი მეთოდით შეიძლება.

თუ საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ ტერმინებს ვტოვებთ ძირითად უცნობი ცვლადებით სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს, დანარჩენ წევრებს გადავცემთ მარჯვენა მხარეს და ვანიჭებთ თვითნებურ მნიშვნელობებს. თავისუფალ უცნობ ცვლადებს. მიღებული წრფივი განტოლებათა სისტემიდან ჩვენ ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შესაძლებელია ნებისმიერი სახის წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემების ამოხსნა მათი წინასწარი გამოკვლევის გარეშე. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გამოტანას როგორც SLAE-ის თავსებადობის, ასევე შეუსაბამობის შესახებ და თუ გამოსავალი არსებობს, შესაძლებელს ხდის მის პოვნას.

გამოთვლითი მუშაობის თვალსაზრისით, სასურველია გაუსის მეთოდი.

მისი დეტალური აღწერა და გაანალიზებული მაგალითები იხილეთ სტატიაში გაუსის მეთოდი ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის ჩაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთობლივ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან სისტემებზე, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ჯერ ერთგვაროვან სისტემებს გავუმკლავდეთ.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა p წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა n უცნობი ცვლადებით არის ამ სისტემის (n – r) წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სიმრავლე, სადაც r არის სისტემის მთავარი მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი.

თუ ერთგვაროვანი SLAE-ის წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს დავნიშნავთ, როგორც X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) არის n განზომილების მატრიცების სვეტები. 1-ით), მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური მუდმივი კოეფიციენტებით С 1 , С 2 , …, С (n-r), ანუ .

რას ნიშნავს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ტერმინი (ოროსლაუ)?

მნიშვნელობა მარტივია: ფორმულა განსაზღვრავს ორიგინალური SLAE-ს ყველა შესაძლო გადაწყვეტას, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღებულია თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების ნებისმიერი ნაკრები C 1 , C 2 , ..., C (n-r), ჩვენ მიერ ფორმულის მიხედვით. მიიღებს ორიგინალური ერთგვაროვანი SLAE-ის ერთ-ერთ ხსნარს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიპოვით ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ამ ერთგვაროვანი SLAE-ის ყველა ამონახსნები, როგორც .

მოდით ვაჩვენოთ ხსნარების ფუნდამენტური სისტემის აგების პროცესი ერთგვაროვანი SLAE-სთვის.

ჩვენ ვირჩევთ წრფივი განტოლებათა ორიგინალური სისტემის ძირითად მინორს, გამოვრიცხავთ ყველა სხვა განტოლებას სისტემიდან და გადავიტანთ სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნებით ყველა ტერმინს, რომელიც შეიცავს თავისუფალ უცნობი ცვლადებს. მოდით, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცეთ მნიშვნელობები 1,0,0,…,0 და გამოვთვალოთ მთავარი უცნობი წრფივი განტოლებათა ელემენტარული სისტემის ნებისმიერი გზით ამოხსნით, მაგალითად, კრამერის მეთოდით. ამრიგად, მიიღება X (1) - ფუნდამენტური სისტემის პირველი ამონახსნი. თუ თავისუფალ უცნობებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,1,0,0,…,0 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (2) . Და ასე შემდეგ. თუ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,0,…,0,1 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (n-r) . ასე აშენდება ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მისი ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების არაჰომოგენური სისტემებისთვის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და წრფივი ალგებრული განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი .

გამოსავალი.

წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემების მთავარი მატრიცის რანგი ყოველთვის ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის. მოდი ვიპოვოთ მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა ფრინგის მეთოდით. როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ ელემენტს a 1 1 = 9 სისტემის მთავარი მატრიციდან. იპოვნეთ მეორე რიგის მოსაზღვრე არა-ნულოვანი მინორი:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. მოდით გავიაროთ მესამე რიგის არასრულწლოვანები, რომლებიც მას ესაზღვრება არა-ნულოვანი ერთის მოსაძებნად:

მესამე რიგის ყველა მოსაზღვრე მცირეწლოვანი ტოლია ნულის ტოლი, შესაბამისად, მთავარი და გაფართოებული მატრიცის წოდება არის ორი. ავიღოთ ძირითადი მინორი. სიცხადისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ სისტემის ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მას:

ორიგინალური SLAE-ის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, შესაბამისად, შეიძლება გამოირიცხოს:

ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ძირითად უცნობებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინებს გადავიტანთ თავისუფალი უცნობიებით მარჯვენა მხარეს:

მოდით ავაშენოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი ერთგვაროვანი სისტემისთვის. ამ SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისაგან, ვინაიდან თავდაპირველი SLAE შეიცავს ოთხ უცნობ ცვლადს და მისი ძირითადი მინორის რიგია ორი. X (1) საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, შემდეგ ვპოულობთ მთავარ უცნობებს განტოლებების სისტემიდან.
.

• სისტემები მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნაარის ასეთი რიცხვების ნაკრები ( x 1, x 2, ..., x n), რომლის ჩანაცვლებით სისტემის თითოეულ განტოლებაში მიიღება სწორი ტოლობა.
  სად a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nარის სისტემის კოეფიციენტები;
  b i, i = 1, …, m- თავისუფალი წევრები;
  x j, j = 1, …, n- უცნობი.
  ზემოაღნიშნული სისტემა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით: A X = B,
  
  
  
  
  სად ( ა|ბ) არის სისტემის მთავარი მატრიცა;
  ა- სისტემის გაფართოებული მატრიცა;
  X- უცნობის სვეტი;
  ბარის თავისუფალი წევრების სვეტი.
  თუ მატრიცა ბარ არის ნულოვანი მატრიცა ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას უწოდებენ არაჰომოგენურს.
  თუ მატრიცა ბ= ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი. ერთგვაროვან სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) გამოსავალი: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა გარკვეული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს უნიკალური ამონახსნები.
  წრფივი განტოლებათა განუსაზღვრელი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
• n წრფივი განტოლების სისტემები n უცნობით
  თუ უცნობის რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას, მაშინ მატრიცა არის კვადრატი. მატრიცის განმსაზღვრელს ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი და აღინიშნება სიმბოლო Δ.
  კრამერის მეთოდისისტემების გადასაჭრელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  კრამერის წესი.
  თუ წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემა თანმიმდევრული და განსაზღვრულია და ერთადერთი გამოსავალი გამოითვლება კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
  სადაც Δ i არის დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება Δ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელიდან შეცვლით მეე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე. .
• m წრფივი განტოლებების სისტემები n უცნობით
  კრონეკერ-კაპელის თეორემა.
  
  
  იმისათვის, რომ წრფივი განტოლებათა სისტემა იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლი იყოს სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის, წოდება (Α) = წოდება (Α|B).
  თუ რანგი(Α) ≠ რანგი(Α|B), მაშინ სისტემას აშკარად არ აქვს გადაწყვეტილებები.
  თუ წოდება (Α) = წოდება (Α|B), მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
  1) rang(Α) = n(უცნობების რაოდენობამდე) - გამოსავალი უნიკალურია და მისი მიღება შესაძლებელია კრამერის ფორმულებით;
  2) წოდება (Α)< n − უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია.
• გაუსის მეთოდიწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
  
  
  მოდით შევადგინოთ გაძლიერებული მატრიცა ( ა|ბ) კოეფიციენტების მოცემული სისტემის უცნობ და მარჯვენა ნაწილებზე.
  გაუსის მეთოდი ან უცნობის აღმოფხვრის მეთოდი მოიცავს გაზრდილი მატრიცის შემცირებას ( ა|ბ) მის მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით დიაგონალურ ფორმამდე (ზედა სამკუთხედის ფორმამდე). განტოლებათა სისტემას რომ დავუბრუნდეთ, ყველა უცნობი განისაზღვრება.
  სიმებიანი ელემენტარული გარდაქმნები მოიცავს შემდეგს:
  1) ორი ხაზის შეცვლა;
  2) სტრიქონის გამრავლება 0-ის გარდა სხვა რიცხვზე;
  3) სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება თვითნებური რიცხვით;
  4) ნულოვანი სტრიქონის გაუქმება.
  დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანილი გაფართოებული მატრიცა შეესაბამება მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ სისტემას, რომლის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს. .
• ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა.
  ერთგვაროვან სისტემას აქვს ფორმა:
  
  იგი შეესაბამება მატრიცის განტოლებას A X = 0.
  1) ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან r(A) = r(A|B), ყოველთვის არის ნულოვანი ამონახსნი (0, 0, ..., 0).
  2) იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია r = r(A)< n , რომელიც უდრის Δ = 0-ს.
  3) თუ რ< n , შემდეგ Δ = 0, მაშინ არის თავისუფალი უცნობი c 1 , c 2 , ..., c n-r, სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტილებები და მათგან უსაზღვროდ ბევრია.
  4) ზოგადი გადაწყვეტა Xზე რ< n შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით შემდეგნაირად:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  სად არის გადაწყვეტილებები X 1 , X 2 , …, X n-rქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.
  5) ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შეიძლება მივიღოთ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნით:
  
  ,
  თუ თანმიმდევრულად მივიღებთ პარამეტრების მნიშვნელობებს (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
  ზოგადი ამონახსნის დაშლა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის თვალსაზრისითარის ზოგადი ამონახსნის ჩანაწერი, როგორც ფუნდამენტური სისტემის კუთვნილი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.
  თეორემა. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას რომ ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია Δ ≠ 0.
  ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
  თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
  თეორემა. იმისათვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, ეს აუცილებელია და საკმარისია r(A)< n .
  მტკიცებულება:
  1) რმეტი არ შეიძლება ნ(მატრიცის რანგი არ აღემატება სვეტების ან მწკრივების რაოდენობას);
  2) რ< n , იმიტომ თუ r=n, შემდეგ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი Δ ≠ 0 და, კრამერის ფორმულების მიხედვით, არსებობს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, რაც ეწინააღმდეგება პირობას. ნიშნავს, r(A)< n .
  შედეგი. ერთგვაროვანი სისტემის შესაქმნელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობებს აქვს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ Δ = 0.

წრფივი განტოლებათა სისტემები. ლექცია 6

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

Ძირითადი ცნებები.

ხედვის სისტემა

დაურეკა სისტემა - წრფივი განტოლებები უცნობიებით.

ნომრები , , ეძახიან სისტემის კოეფიციენტები.

ნომრები ეძახიან სისტემის თავისუფალი წევრები, – სისტემის ცვლადები. მატრიცა

დაურეკა სისტემის მთავარი მატრიცადა მატრიცა

– გაფართოებული მატრიცული სისტემა. მატრიცები - სვეტები

და შესაბამისად სისტემის თავისუფალი წევრებისა და უცნობების მატრიცები. შემდეგ, მატრიცის სახით, განტოლებათა სისტემა შეიძლება დაიწეროს როგორც . სისტემური გადაწყვეტაეწოდება ცვლადების მნიშვნელობებს, რომელთა ჩანაცვლებისას სისტემის ყველა განტოლება იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლებად. სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცა-სვეტის სახით. მაშინ მატრიცული თანასწორობა მართალია.

განტოლებათა სისტემა ე.წ ერთობლივითუ მას ერთი გამოსავალი მაინც აქვს და შეუთავსებელითუ გამოსავალი არ აქვს.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს იმის გარკვევას, არის თუ არა ის თავსებადი და თუ თავსებადია, იპოვო მისი ზოგადი ამონახსნები.

სისტემა ე.წ ერთგვაროვანითუ მისი ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია. ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თავსებადია, რადგან მას აქვს გამოსავალი

კრონეკერ-კოპელის თეორემა.

პასუხი კითხვაზე წრფივი სისტემების ამონახსნების არსებობისა და მათი უნიკალურობის შესახებ საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ შემდეგი შედეგი, რომელიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც შემდეგი დებულებები წრფივი განტოლებების სისტემის შესახებ უცნობიებით.

(1)

თეორემა 2. წრფივი განტოლებების სისტემა (1) თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირითადი მატრიცის რანგი ტოლია გაფართოებულის რანგის (.

თეორემა 3. თუ წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის უცნობთა რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

თეორემა 4. თუ ერთობლივი სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

სისტემების ამოხსნის წესები.

3. იპოვეთ ძირითადი ცვლადების გამოხატულება თავისუფალის მიხედვით და მიიღეთ სისტემის ზოგადი ამონახსნები.

4. თავისუფალ ცვლადებზე თვითნებური მნიშვნელობების მინიჭებით, მიიღება ძირითადი ცვლადების ყველა მნიშვნელობა.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდები.

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი.

და, ანუ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით

სად , , .

გაამრავლეთ მატრიცის განტოლების ორივე მხარე მატრიცით

ვინაიდან , ვიღებთ , საიდანაც ვიღებთ თანასწორობას უცნობის საპოვნელად

მაგალითი 27.შებრუნებული მატრიცის მეთოდის გამოყენებით ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

გამოსავალი. აღნიშნეთ სისტემის მთავარი მატრიცით

.

მოდით , შემდეგ ვიპოვოთ გამოსავალი ფორმულით .

გამოვთვალოთ.

მას შემდეგ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. იპოვნეთ ყველა ალგებრული დამატება

, ,

, ,

, ,

, ,

ამგვარად

.

მოდით შევამოწმოთ

.

ინვერსიული მატრიცა სწორად არის ნაპოვნი. აქედან, ფორმულის გამოყენებით, ვპოულობთ ცვლადების მატრიცას.

.

მატრიცების მნიშვნელობების შედარებისას ვიღებთ პასუხს: .

კრამერის მეთოდი.

მოდით, მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობიებით

და, ანუ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. სისტემის ამოხსნას ვწერთ მატრიცის სახით ან

აღნიშნეთ

. . . . . . . . . . . . . . ,

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს უცნობის მნიშვნელობების საპოვნელად, რომლებსაც ე.წ კრამერის ფორმულები.

მაგალითი 28.ამოხსენით წრფივი განტოლებათა შემდეგი სისტემა კრამერის მეთოდით .

გამოსავალი. იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი

.

მას შემდეგ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

იპოვეთ დარჩენილი განმსაზღვრელი კრამერის ფორმულებისთვის

,

,

.

კრამერის ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ ცვლადების მნიშვნელობებს

გაუსის მეთოდი.

მეთოდი მოიცავს ცვლადების თანმიმდევრულ გამორიცხვას.

მოდით, მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობიებით.

გაუსის გადაწყვეტის პროცესი შედგება ორი ეტაპისგან:

პირველ ეტაპზე სისტემის გაფართოებული მატრიცა მცირდება ეტაპობრივ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით.

,

სადაც , რომელიც შეესაბამება სისტემას

ამის შემდეგ ცვლადები ითვლება თავისუფლად და თითოეულ განტოლებაში გადატანილია მარჯვენა მხარეს.

მეორე ეტაპზე ცვლადი გამოიხატება ბოლო განტოლებიდან, მიღებული მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია განტოლებაში. ამ განტოლებიდან

ცვლადი გამოხატულია. ეს პროცესი გრძელდება პირველ განტოლებამდე. შედეგი არის ძირითადი ცვლადების გამოხატულება თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით .

მაგალითი 29.ამოხსენით შემდეგი სისტემა გაუსის მეთოდით

გამოსავალი. მოდით, ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და დავიყვანოთ იგი საფეხურზე

.

იმიტომ რომ მეტია უცნობთა რაოდენობაზე, მაშინ სისტემა თავსებადია და აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. მოდით ჩამოვწეროთ ნაბიჯების მატრიცის სისტემა

ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება პირველი სამი სვეტისგან, არ არის ნულის ტოლი, ამიტომ მას მივიჩნევთ საბაზისო. ცვლადები

იქნება ძირითადი და ცვლადი უფასო. მოდით გადავიტანოთ იგი ყველა განტოლებაში მარცხენა მხარეს

ბოლო განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ

ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ბოლო მეორე განტოლებაში, მივიღებთ

სადაც . ცვლადების მნიშვნელობების ჩანაცვლებით და პირველ განტოლებაში ვპოულობთ . პასუხს ვწერთ შემდეგი ფორმით

თან ნუცნობი არის ფორმის სისტემა:

სად აიჯდა b i (i=1,…,m; b=1,…,n)არის რამდენიმე ცნობილი რიცხვი და x 1,…,x n- უცნობი ნომრები. კოეფიციენტების აღნიშვნაში აიჯინდექსი მეგანსაზღვრავს განტოლების რაოდენობას და მეორე ჯარის უცნობის რიცხვი, რომელზეც მდებარეობს ეს კოეფიციენტი.

ჰომოგენური სისტემა -როდესაც სისტემის ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), საპირისპირო სიტუაციაა ჰეტეროგენული სისტემა.

კვადრატული სისტემა -როდესაც ნომერი მგანტოლებები უდრის რიცხვს ნუცნობი.

სისტემური გადაწყვეტა- კომპლექტი ნნომრები c 1 , c 2 , ..., c n ,ისეთი, რომ ჩანაცვლება ყველა გ იიმის მაგივრად x iსისტემაში აქცევს ყველა თავის განტოლებას იდენტებად.

ერთობლივი სისტემა -როდესაც სისტემას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი და შეუთავსებელი სისტემაროდესაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ამ ტიპის ერთობლივ სისტემას (როგორც ზემოთ იყო მოცემული, იყოს (1)) შეიძლება ჰქონდეს ერთი ან მეტი გამოსავალი.

გადაწყვეტილებები c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)და c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)ერთობლივი სისტემა (1) ტიპის ნება სხვადასხვა, როდესაც თანასწორობიდან ერთიც კი არ არის დაკმაყოფილებული:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

(1) ტიპის ერთობლივი სისტემა ნება გარკვეულიროდესაც მას აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი; როდესაც სისტემას აქვს მინიმუმ 2 განსხვავებული გამოსავალი, ის ხდება განუსაზღვრელი. როდესაც უფრო მეტი განტოლებაა, ვიდრე უცნობი, სისტემა არის ხელახლა განსაზღვრული.

უცნობების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით:

მას ეძახიან სისტემის მატრიცა.

რიცხვები, რომლებიც განტოლების მარჯვენა მხარეს არიან, b 1,…,b mარიან თავისუფალი წევრები.

Აგრეგატი ნნომრები c 1,…,c nარის ამ სისტემის ამონახსნი, როდესაც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა ტოლობაში მასში რიცხვების ჩანაცვლების შემდეგ c 1,…,c nშესაბამისი უცნობის ნაცვლად x 1,…,x n.

წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნისას შეიძლება წარმოიშვას 3 ვარიანტი:

1. სისტემას აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი.

2. სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. Მაგალითად, . ამ სისტემის გამოსავალი იქნება ყველა წყვილი რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ნიშნით.

3. სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები. Მაგალითად, , თუ გამოსავალი არსებობს, მაშინ x 1 + x 2უდრის 0 და 1 ერთდროულად.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდები.

პირდაპირი მეთოდებიმიეცით ალგორითმი, რომლითაც მოიძებნება ზუსტი გამოსავალი SLAU(წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები). და თუ სიზუსტე იყო აბსოლუტური, ისინი იპოვნიდნენ მას. ნამდვილი ელექტრო კომპიუტერი, რა თქმა უნდა, მუშაობს შეცდომით, ამიტომ გამოსავალი სავარაუდო იქნება.

ბევრი პრაქტიკული პრობლემა მცირდება 1-ლი ხარისხის ალგებრული განტოლებების სისტემების ან, როგორც მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ, წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნაზე. ჩვენ ვისწავლით ნებისმიერი ასეთი სისტემის ამოხსნას, ისე, რომ არ მოვითხოვოთ, რომ განტოლებათა რაოდენობა ემთხვევა უცნობთა რაოდენობას.

ზოგადად, წრფივი განტოლებების სისტემა იწერება შემდეგნაირად:

აი ნომრები აიჯ– შანსები სისტემები, ბ ი – თავისუფალი წევრები, x i- სიმბოლოები უცნობი . ძალიან მოსახერხებელია მატრიცული აღნიშვნის შემოღება:- მთავარი სისტემის მატრიცა, – თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტი, – უცნობის მატრიცა-სვეტი. შემდეგ სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ=ბან უფრო დეტალურად:

თუ ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს, შეასრულეთ მატრიცის გამრავლება ჩვეულებრივი წესების მიხედვით და გაათანაბრეთ მიღებული სვეტის ელემენტები ელემენტებთან IN, მაშინ მივალთ სისტემის თავდაპირველ აღნიშვნამდე.

მაგალითი 14. ჩვენ ვწერთ წრფივი განტოლებების ერთსა და იმავე სისტემას ორი განსხვავებული გზით:

წრფივი განტოლებათა სისტემას ჩვეულებრივ უწოდებენ ერთობლივი თუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც და შეუთავსებელი, თუ არ არის გადაწყვეტილებები.

ჩვენს მაგალითში სისტემა თავსებადია, სვეტი არის მისი გამოსავალი:

ეს გამოსავალი ასევე შეიძლება დაიწეროს მატრიცების გარეშე: x=2, y=1 . განტოლებათა სისტემას დავარქმევთ გაურკვეველი , თუ მას აქვს ერთზე მეტი გამოსავალი და გარკვეული თუ გამოსავალი უნიკალურია.

მაგალითი 15. სისტემა განუსაზღვრელია. მაგალითად, არის მისი გადაწყვეტილებები. მკითხველს შეუძლია ამ სისტემის მრავალი სხვა გადაწყვეტის პოვნა.

მოდით ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებების სისტემები ჯერ კონკრეტულ შემთხვევაში. განტოლებათა სისტემა ოჰ=INჩვენ დავუძახებთ კრამეროვო თუ მისი მთავარი მატრიცა აარიან კვადრატული და არადეგენერატები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კრამერულ სისტემაში უცნობის რაოდენობა ემთხვევა განტოლებების რაოდენობას და .

თეორემა 6. (კრამერის წესი).წრფივი განტოლებების კრამერის სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც მოცემულია ფორმულებით:

სად არის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი, არის საიდან მიღებული დეტერმინანტი დჩანაცვლება მე- ე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტით.

კომენტარი.კრამერული სისტემები ასევე შეიძლება გადაიჭრას სხვა გზით, ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით. ჩვენ ვწერთ ასეთ სისტემას მატრიცის სახით: ᲜᲐᲯᲐᲮᲘ=IN. ვინაიდან , მაშინ არის შებრუნებული მატრიცა ა –1 . ჩვენ ვამრავლებთ მატრიცის ტოლობას ა –1 მარცხენა: ა –1 ოჰ=ა –1 IN. იმიტომ რომ ა –1 ოჰ=ყოფილი=X, შემდეგ იპოვება სისტემის გამოსავალი: X= ა –1 IN.გამოხსნის ამ მეთოდს დავარქმევთ მატრიცა . კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნავთ, რომ ის შესაფერისია მხოლოდ კრამერის სისტემებისთვის - სხვა შემთხვევებში, ინვერსიული მატრიცა არ არსებობს. მკითხველი იხილავს მატრიცული მეთოდისა და კრამერის მეთოდის გამოყენების გაანალიზებულ მაგალითებს ქვემოთ.

საბოლოოდ შევისწავლოთ ზოგადი შემთხვევა, სისტემა მწრფივი განტოლებები ნუცნობი. მის მოსაგვარებლად მიმართეთ გაუსის მეთოდი , რომელსაც დეტალურად განვიხილავთ.განტოლებათა თვითნებური სისტემისთვის ოჰ=INდაწერე გაფართოებული მატრიცა. ასე რომ, ჩვეულებრივია მატრიცის გამოძახება, რომელიც აღმოჩნდება თუ მთავარი მატრიცა ამარჯვნივ, დაამატეთ უფასო წევრების სვეტი IN:

როგორც რანგის გაანგარიშებისას, მწკრივების ელემენტარული გარდაქმნებისა და სვეტების პერმუტაციების დახმარებით, ჩვენს მატრიცას ტრაპეციულ ფორმამდე მივიყვანთ. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, შეიცვლება მატრიცის შესაბამისი განტოლებების სისტემა, მაგრამ შეიცვლება უდრის ორიგინალი (ᴛ.ᴇ. ექნება იგივე გადაწყვეტილებები). მართლაც, განტოლებების გადაწყობა ან დამატება არ შეცვლის ამონახსნებს. სვეტების გადაწყობა - ასევე: განტოლებები x 1+3x2+7x3=4 და x 1+7x3+3x2=4, რა თქმა უნდა, ექვივალენტები არიან. საჭიროა მხოლოდ ჩაწეროთ რომელი უცნობი სვეტი შეესაბამება. ჩვენ არ ვაწყობთ თავისუფალი წევრების სვეტს - ის ჩვეულებრივ გამოყოფილია სხვებისგან მატრიცაში წერტილოვანი ხაზით. მატრიცაში გამოჩენილი ნულოვანი რიგები შეიძლება გამოტოვდეს.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი.ჩვენ ვწერთ გაფართოებულ მატრიცას და მივყავართ ტრაპეციულ ფორმამდე. Ნიშანი ~ ახლა ნიშნავს არა მხოლოდ წოდებების დამთხვევას, არამედ განტოლებათა შესაბამისი სისტემების ეკვივალენტობას.

~ . ავხსნათ გადადგმული ნაბიჯები.

მოქმედება 1. 1-ლი სტრიქონი დაემატა მე-2 სტრიქონს, გავამრავლეთ იგი (–2). მე-3 და მე-4 სტრიქონებს დაუმატეს 1-ლი, გაამრავლეს (–3). ამ ოპერაციების მიზანია ნულების მიღება პირველ სვეტში, მთავარი დიაგონალის ქვემოთ.

მოქმედება 2.ვინაიდან დიაგონალზე (2,2) არის 0 მე-2 და მე-3 სვეტების გადაწყობა მომიწია. ამ პერმუტაციის დასამახსოვრებლად, ზემოთ დავწერეთ უცნობის სიმბოლოები.

მოქმედება 3.მე-3 სტრიქონს დაუმატეს მე-2, გაამრავლეს (–2). მე-4 სტრიქონს დაემატა მე-2 სტრიქონი. მიზანია მიიღოთ ნულები მეორე სვეტში, მთავარი დიაგონალის ქვემოთ.

მოქმედება 4.ნულოვანი ხაზები შეიძლება მოიხსნას.

ასე რომ, მატრიცა მცირდება ტრაპეციულ ფორმამდე. მისი წოდება რ=2 . უცნობი x 1, x 3- ძირითადი; x 2, x 4- უფასო. მოდით მივწეროთ თვითნებური მნიშვნელობები თავისუფალ უცნობებს:

x 2= a, x 4= ბ.

Აქ ა, ბარის ნებისმიერი ნომერი. ახლა ახალი სისტემის ბოლო განტოლებიდან

x 3+x4= –3

იპოვე x 3: x 3= –3 –ბ.აწევა, პირველი განტოლებიდან

x 1+3x3+2x2+4x4= 5

იპოვე x 1: x 1=5 –3(–3 –ბ)–2ა–4ბ= 14 –2ა–ბ.

ჩვენ ვწერთ ზოგად გადაწყვეტას:

x 1=14 –2ა–ბ, x2=a, x3=–3 –ბ, x4=ბ.

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ზოგადი ამოხსნა მატრიცა-სვეტის სახით:

კონკრეტული ღირებულებებისთვის ადა ბ, შენ შეგიძლია მიიღო კერძო გადაწყვეტილებები. მაგალითად, როდის ა=0,ბ=1 ვიღებთ: არის სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალი.

შენიშვნები.გაუსის მეთოდის ალგორითმში ვნახეთ (შემთხვევა 1), რომ განტოლებათა სისტემის შეუსაბამობა დაკავშირებულია ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგების შეუსაბამობასთან. წარმოგიდგენთ შემდეგ მნიშვნელოვან თეორემას მტკიცების გარეშე.

თეორემა 7 (კრონეკერ-კაპელი). წრფივი განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირითადი მატრიცის რანგი უდრის სისტემის გაფართოებული მატრიცის წოდებას.

წრფივი განტოლებათა სისტემები - ცნება და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები „წრფივი განტოლებათა სისტემები“ 2017, 2018 წ.

- წრფივი განტოლებების სისტემები

ისე, რომ მისი რიგები (ან სვეტები) წრფივად არის დამოკიდებული. მივცეთ სისტემა, რომელიც შეიცავს m წრფივ განტოლებებს n უცნობით: 5.1. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა. 5.2., - სისტემის მატრიცა - მისი გაფართოებული მატრიცა. - უფასო წევრების სვეტი. - უცნობის სვეტი. თუ... .

- P.1. წრფივი განტოლებათა სისტემის დაყვანა პრობლემამდე

არაწრფივი ოპტიმიზაცია (NNO) და პირიქით. ZNO ამოცანის გამოთქმა: იპოვნეთ (8.1) მინიმუმი ან მაქსიმუმი D ზოგიერთ უბანში. როგორც გვახსოვს ხალიჩიდან. ანალიზის დროს, ნაწილობრივი წარმოებულები უნდა გავაიგივოთ ნულთან. ამრიგად, ZNO (8.1) შემცირდა n არაწრფივი განტოლების SLE-მდე (8.2) (8.2). ....

- წრფივი განტოლებათა არაჰომოგენური სისტემები

ლექცია 15 განვიხილოთ არაერთგვაროვანი სისტემა (16) თუ ერთგვაროვანი სისტემის შესაბამისი კოეფიციენტები (7) უდრის არაერთგვაროვანი სისტემის შესაბამის კოეფიციენტებს (16), მაშინ ერთგვაროვან სისტემას (7) ეწოდება შესაბამისი არაჰომოგენური სისტემა (16). . თეორემა. თუ... [დაწვრილებით] .

-

7.1 წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემები. მოდით იყოს წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა (*) დავუშვათ, რომ რიცხვთა სიმრავლე არის ამ სისტემის ერთგვარი ამონახსნი. მაშინ რიცხვთა სიმრავლე ასევე გამოსავალია. ეს მოწმდება სისტემის განტოლებებში პირდაპირი ჩანაცვლებით.... .

- წრფივი განტოლებათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლის სტრუქტურა

ცხრილი 3 ბავშვის საავტომობილო განვითარების ეტაპები სტადიის ასაკი მოტორული განვითარების ინდიკატორები დაბადების დროის 4 თვემდე კონტროლის ფორმირება თავის პოზიციაზე და მისი თავისუფალი ორიენტაციის შესაძლებლობა სივრცეში 4-6 თვის დაუფლების საწყისი ... .

- წრფივი განტოლებების სისტემები (SLE). წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა. ელემენტარული SLE გარდაქმნები. ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები.

განმარტება 1. (1) ფორმის წრფივი განტოლებათა სისტემა, სადაც, ველი, ეწოდება m წრფივი განტოლებების სისტემას n უცნობიებით ველზე, არის უცნობის კოეფიციენტები, არის სისტემის თავისუფალი წევრები ( 1). განმარტება 2. მოწესრიგებული n-ka (), სადაც, ეწოდება წრფივი ... სისტემის ამოხსნა.