Perhitungan matriks dengan metode Cramer. Metode Cramer untuk memecahkan sistem persamaan linear. Tindakan Matriks

Pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Dengan menggunakan determinan orde ketiga, solusi dari sistem tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang sama dengan sistem dua persamaan, yaitu

(2.4)

jika 0. Di Sini

Dia aturan Cramer memecahkan sistem tiga persamaan linear dalam tiga yang tidak diketahui.

Contoh 2.3. Selesaikan sistem persamaan linier menggunakan aturan Cramer:

Larutan . Menemukan determinan matriks utama sistem

Sejak 0, maka untuk menemukan solusi sistem, Anda dapat menerapkan aturan Cramer, tetapi pertama-tama hitung tiga determinan lagi:

Penyelidikan:

Oleh karena itu, solusinya ditemukan dengan benar. 

Aturan Cramer diperoleh untuk sistem linier orde 2 dan 3 menunjukkan bahwa aturan yang sama dapat dirumuskan untuk sistem linier orde apa pun. Benar-benar terjadi

teorema Cramer. Sistem kuadrat persamaan linier dengan determinan bukan nol dari matriks utama sistem (0) memiliki satu dan hanya satu solusi, dan solusi ini dihitung dengan rumus

(2.5)

Di mana  – penentu matriks utama,  Saya – penentu matriks, berasal dari utama, penggantiSayath kolom anggota bebas kolom.

Perhatikan bahwa jika =0, maka aturan Cramer tidak berlaku. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki solusi sama sekali atau memiliki banyak solusi tak terhingga.

Setelah merumuskan teorema Cramer, pertanyaan yang muncul secara alami adalah menghitung determinan tingkat tinggi.

2.4. determinan urutan ke-n

Tambahan di bawah umur M aku j elemen A aku j disebut determinan yang diperoleh dari yang diberikan dengan menghapus Saya baris -th dan J kolom -th. tambahan aljabar A aku j elemen A aku j disebut minor dari elemen ini, diambil dengan tanda (–1) Saya + J, yaitu A aku j = (–1) Saya + J M aku j .

Sebagai contoh, mari kita temukan minor dan pelengkap aljabar dari elemen A 23 dan A 31 penentu

Kita mendapatkan



Menggunakan konsep pelengkap aljabar, kita dapat merumuskan teorema ekspansi determinanNurutan -th dengan baris atau kolom.

Teorema 2.1. Penentu matriksAsama dengan jumlah produk dari semua elemen dari beberapa baris (atau kolom) dan pelengkap aljabarnya:

(2.6)

Teorema ini mendasari salah satu metode utama untuk menghitung determinan, yang disebut. metode pengurangan pesanan. Sebagai hasil dari perluasan determinan N urutan ke dalam setiap baris atau kolom, kita mendapatkan n determinan ( N–1) urutan ke-th. Untuk memiliki determinan yang lebih sedikit, disarankan untuk memilih baris atau kolom yang memiliki angka nol paling banyak. Dalam prakteknya, rumus perluasan untuk determinan biasanya ditulis sebagai:

itu. penambahan aljabar ditulis secara eksplisit dalam hal anak di bawah umur.

Contoh 2.4. Hitung determinan dengan terlebih dahulu memperluasnya di baris atau kolom mana pun. Biasanya dalam kasus seperti itu, pilih kolom atau baris yang memiliki angka nol paling banyak. Baris atau kolom yang dipilih akan ditandai dengan panah.



2.5. Sifat dasar determinan

Memperluas determinan di setiap baris atau kolom, kita mendapatkan n determinan ( N–1) urutan ke-th. Kemudian masing-masing determinan ini ( N Urutan –1)-th juga dapat didekomposisi menjadi jumlah determinan ( N–2) urutan ke-. Melanjutkan proses ini, seseorang dapat mencapai determinan orde pertama, yaitu ke elemen-elemen matriks yang determinannya sedang dihitung. Jadi, untuk menghitung determinan orde ke-2, Anda harus menghitung jumlah dari dua suku, untuk determinan orde ke-3 - jumlah dari 6 suku, untuk determinan orde ke-4 - 24 suku. Jumlah suku akan meningkat tajam seiring dengan bertambahnya urutan determinan. Ini berarti bahwa perhitungan determinan dengan orde yang sangat tinggi menjadi tugas yang agak melelahkan, bahkan di luar kemampuan komputer. Namun, determinan dapat dihitung dengan cara lain, menggunakan sifat-sifat determinan.

Properti 1 . Penentu tidak akan berubah jika baris dan kolom ditukar di dalamnya, mis. saat mentranspos matriks:

Properti ini menunjukkan persamaan baris dan kolom determinan. Dengan kata lain, setiap pernyataan tentang kolom determinan benar untuk barisnya, dan sebaliknya.

Properti 2 . Tanda perubahan determinan ketika dua baris (kolom) dipertukarkan.

Konsekuensi . Jika determinan memiliki dua baris (kolom) yang identik, maka itu sama dengan nol.

Properti 3 . Faktor persekutuan dari semua elemen dalam sembarang baris (kolom) dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

Misalnya,

Konsekuensi . Jika semua elemen dari beberapa baris (kolom) determinan sama dengan nol, maka determinan itu sendiri sama dengan nol.

Properti 4 . Penentu tidak akan berubah jika elemen dari satu baris (kolom) ditambahkan ke elemen dari baris (kolom) lainnya dikalikan dengan beberapa angka.

Misalnya,

Properti 5 . Determinan produk matriks sama dengan produk determinan matriks:

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Ini sangat mempercepat proses penyelesaian.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaiannya, jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Penentu

diperoleh dengan mengganti koefisien pada yang tidak diketahui yang sesuai dengan suku bebas:

;

teorema Cramer. Jika determinan sistem bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinan. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linear orde apapun.

Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan linear:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi dari sistem (2):

kalkulator online, metode solusi Cramer.

Tiga kasus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang terlihat dari teorema Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terhingga

(sistem ini konsisten dan tak tentu)

** ,

itu. koefisien dari yang tidak diketahui dan suku bebas adalah proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya M persamaan linier dengan N variabel disebut tidak kompatibel jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem persamaan gabungan yang hanya memiliki satu penyelesaian disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Cramer

Biarkan sistem

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

Di mana
-

pengidentifikasi sistem. Penentu yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:

Contoh 2

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Dengan rumus Cramer kami menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem tersebut.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan unsur-unsur yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh berikutnya.

Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan linier dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem tersebut dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, jadi sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kami menemukan:

Jadi, solusi dari sistem tersebut adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Kami terus menyelesaikan sistem menggunakan metode Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6 Selesaikan sistem persamaan linier dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Penentu sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Penentu untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Dalam soal-soal sistem persamaan linier, ada juga soal yang selain huruf yang menunjukkan variabel, juga ada huruf lain. Huruf-huruf ini mewakili beberapa angka, paling sering angka sebenarnya. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menimbulkan masalah untuk menemukan sifat umum dari fenomena dan objek apa pun. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk mendeskripsikan propertinya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel ada huruf. Anda tidak perlu jauh-jauh mencari contohnya.

Contoh berikutnya adalah untuk masalah serupa, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 8 Selesaikan sistem persamaan linier dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Untuk menguasai paragraf ini, Anda harus bisa membuka kualifikasi "dua kali dua" dan "tiga kali tiga". Jika kualifikasi buruk, silakan pelajari pelajarannya Bagaimana cara menghitung determinan?

Kami pertama-tama mempertimbangkan aturan Cramer secara rinci untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? “Lagipula, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, dengan penambahan suku demi suku!

Faktanya adalah meskipun kadang-kadang, tetapi ada tugas seperti itu - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan secara tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita lihat koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak jarang dalam tugas-tugas praktis dalam matematika, saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba untuk menyatakan satu variabel dalam variabel lain, tetapi dalam hal ini Anda pasti akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk dikerjakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangkan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Menjawab: ,

Kedua akar tersebut memiliki ekor yang tak terhingga dan kira-kira ditemukan, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk masalah ekonometrika.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan rumus yang sudah jadi, namun ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Fragmen tugas adalah fragmen berikut: "jadi sistem memiliki solusi unik". Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang mudah dilakukan dengan kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan di sisi kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, angka yang ada di sisi kanan harus diperoleh.

Contoh 8

Nyatakan jawaban Anda dalam pecahan biasa yang tidak wajar. Buat cek.

Ini adalah contoh solusi independen (contoh desain bagus dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami menemukan penentu utama sistem:

Jika , maka sistem tersebut memiliki banyak solusi tak terhingga atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem tersebut memiliki solusi unik, dan untuk mencari akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir, jawabannya dihitung dengan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga kali tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua kali dua", kolom suku bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Ayo selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Menjawab: .

Sebenarnya tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.

Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma "perawatan" berikut. Jika tidak ada komputer, kami melakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Segera setelah Anda menemukan bidikan yang "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah adalah kondisi ditulis ulang dengan benar. Jika kondisinya ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinan menggunakan perluasan di baris (kolom) lain.

2) Jika tidak ada kesalahan yang ditemukan sebagai hasil pemeriksaan, kemungkinan besar salah ketik dalam kondisi penugasan. Dalam hal ini, selesaikan tugas dengan tenang dan HATI-HATI sampai akhir, lalu pastikan untuk memeriksa dan menggambarnya pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk hal buruk seperti itu. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Ngomong-ngomong, paling menguntungkan untuk menggunakan program ini segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda membuat kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya:

Di sini di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan penentu utama dengan benar dan HATI-HATI:
– nol menggantikan variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana nol berada, karena perhitungannya terasa lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk pengambilan keputusan sendiri (sampel penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsung dalam pelajaran Properti Penentu. Mengurangi urutan determinan - lima determinan orde 4 cukup dapat dipecahkan. Meski tugasnya sudah sangat mengingatkan pada sepatu profesor di dada seorang siswa yang beruntung.

Solusi dari sistem menggunakan invers matriks

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, mencari invers matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan saat penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem tersebut dengan metode matriks

Larutan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Silakan lihat sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kita menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kami menemukan matriks invers dengan rumus:
, dimana adalah matriks transposisi pelengkap aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .

Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:

Di sini determinannya diperluas dengan baris pertama.

Perhatian! Jika , maka invers matriks tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Referensi: Penting untuk mengetahui arti subskrip ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris tempat elemen berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen tersebut berada di baris pertama, kolom ketiga, sedangkan, misalnya, elemen tersebut berada di baris ke-3, kolom ke-2

Dalam penyelesaiannya, lebih baik menjelaskan perhitungan anak di bawah umur secara detail, meskipun dengan pengalaman tertentu, mereka dapat disesuaikan untuk menghitung dengan kesalahan secara lisan.

Pada bagian pertama, kami mempertimbangkan beberapa materi teoretis, metode substitusi, serta metode penjumlahan suku demi suku dari persamaan sistem. Kepada semua orang yang datang ke situs melalui halaman ini, saya sarankan Anda membaca bagian pertama. Mungkin beberapa pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, tetapi dalam kursus penyelesaian sistem persamaan linier, saya membuat sejumlah catatan dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta solusi dari sistem persamaan linier menggunakan matriks invers (metode matriks). Semua materi disajikan dengan sederhana, detail dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan cara-cara di atas.

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan secara tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Menjawab: ,

Kedua akar tersebut memiliki ekor yang tak terhingga dan kira-kira ditemukan, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk masalah ekonometrika.

Contoh 8

Nyatakan jawaban Anda dalam pecahan biasa yang tidak wajar. Buat cek.

Ini adalah contoh solusi independen (contoh desain bagus dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami menemukan penentu utama sistem:

Jika , maka sistem tersebut memiliki banyak solusi tak terhingga atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem tersebut memiliki solusi unik, dan untuk mencari akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir, jawabannya dihitung dengan rumus:

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Ayo selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Menjawab: .

Sebenarnya tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya:

Di sini di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan penentu utama dengan benar dan HATI-HATI:
– nol menggantikan variabel yang hilang.
Omong-omong, adalah rasional untuk membuka determinan dengan nol pada baris (kolom) di mana nol berada, karena perhitungannya terasa lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk pengambilan keputusan sendiri (sampel penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Solusi dari sistem menggunakan invers matriks

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, mencari invers matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan saat penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem tersebut dengan metode matriks

Larutan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Kami menemukan matriks invers dengan rumus:
, dimana adalah matriks transposisi pelengkap aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .

Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:

Di sini determinannya diperluas dengan baris pertama.

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Metode Kramer Dan Gaussian salah satu solusi paling populer SLAU. Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode tertentu. Sesi sudah dekat, dan sekarang saatnya mengulang atau menguasainya dari awal. Hari ini kita berurusan dengan solusi dengan metode Cramer. Lagi pula, menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode Cramer adalah keterampilan yang sangat berguna.

Sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan aljabar linier adalah sistem persamaan yang berbentuk:

Kumpulan nilai X , di mana persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut solusi dari sistem, A Dan B adalah koefisien nyata. Sebuah sistem sederhana yang terdiri dari dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui dapat diselesaikan secara mental atau dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lainnya. Tapi bisa ada lebih dari dua variabel (x) di SLAE, dan manipulasi sekolah sederhana sangat diperlukan di sini. Apa yang harus dilakukan? Misalnya, selesaikan SLAE dengan metode Cramer!

Jadi biarlah sistemnya N persamaan dengan N tidak dikenal.

Sistem seperti itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

Di Sini A adalah matriks utama dari sistem, X Dan B , masing-masing, matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui dan anggota bebas.

Solusi SLAE dengan metode Cramer

Jika determinan matriks utama tidak sama dengan nol (matriks nonsingular), sistem dapat diselesaikan menggunakan metode Cramer.

Menurut metode Cramer, solusinya ditemukan dengan rumus:

Di Sini delta adalah determinan dari matriks utama, dan delta x ke-n - determinan yang diperoleh dari determinan matriks utama dengan mengganti kolom ke-n dengan kolom suku bebas.

Inilah inti dari metode Cramer. Mengganti nilai yang ditemukan oleh rumus di atas X ke dalam sistem yang diinginkan, kami yakin akan kebenaran (atau sebaliknya) solusi kami. Untuk membantu Anda memahami esensi dengan cepat, kami memberikan contoh solusi terperinci SLAE dengan metode Cramer di bawah ini:

Bahkan jika Anda tidak berhasil pertama kali, jangan berkecil hati! Dengan sedikit latihan, Anda akan mulai melontarkan SLOW seperti orang gila. Selain itu, sekarang sama sekali tidak perlu mempelajari buku catatan, menyelesaikan perhitungan yang rumit dan menulis di batang. Sangat mudah untuk menyelesaikan SLAE dengan metode Cramer secara online, hanya dengan mensubstitusikan koefisien ke dalam bentuk jadi. Anda dapat mencoba kalkulator online untuk menyelesaikan metode Cramer, misalnya di situs ini.

Dan jika sistem ternyata keras kepala dan tidak menyerah, Anda selalu dapat meminta bantuan penulis kami, misalnya untuk membeli sinopsis. Jika setidaknya ada 100 hal yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan benar dan tepat waktu!