Persamaan dalam diferensial total. Persamaan dalam diferensial total Persamaan dalam diferensial total orde pertama

Pernyataan masalah dalam kasus dua dimensi

Pemulihan fungsi beberapa variabel dari diferensial totalnya

9.1. Pernyataan masalah dalam kasus dua dimensi. 72

9.2. Deskripsi solusi. 72

Ini adalah salah satu penerapan integral lengkung jenis kedua.

Ekspresi untuk diferensial total dari fungsi dua variabel diberikan:

Temukan fungsi.

1. Karena tidak setiap ekspresi bentuk merupakan diferensial total dari suatu fungsi AS(X,y), maka perlu untuk memeriksa kebenaran pernyataan masalah, yaitu memeriksa kondisi perlu dan cukup untuk diferensial total, yang untuk fungsi 2 variabel berbentuk . Kondisi ini mengikuti persamaan pernyataan (2) dan (3) pada teorema bagian sebelumnya. Jika kondisi yang ditunjukkan terpenuhi, maka masalahnya memiliki solusi, yaitu sebuah fungsi AS(X,y) dapat dipulihkan; jika kondisi tidak terpenuhi, maka masalahnya tidak ada solusinya, yaitu fungsi tidak dapat dipulihkan.

2. Anda dapat menemukan fungsi dengan diferensial totalnya, misalnya, menggunakan integral lengkung jenis kedua, menghitungnya dari sepanjang garis yang menghubungkan titik tetap ( X 0 ,y 0) dan titik variabel ( x;y) (Beras. 18):

Dengan demikian, diperoleh integral lengkung jenis kedua dari diferensial total dU(X,y) sama dengan selisih antara nilai fungsi AS(X,y) di titik akhir dan titik awal garis integrasi.

Mengetahui sekarang hasil ini, kita perlu menggantinya dU menjadi ekspresi integral lengkung dan hitung integral sepanjang garis putus-putus ( ACB), dengan mempertimbangkan independensinya dari bentuk garis integrasi:

pada ( AC): pada ( SW) :

(1)

Dengan demikian, sebuah rumus telah diperoleh, dengan bantuan fungsi 2 variabel dipulihkan dari diferensial totalnya.

3. Dimungkinkan untuk memulihkan suatu fungsi dari diferensial totalnya hanya hingga suku konstan, karena D(AS+ konst) = dU. Oleh karena itu, sebagai hasil dari pemecahan masalah, kami memperoleh sekumpulan fungsi yang berbeda satu sama lain dengan suku konstanta.

Contoh (memulihkan fungsi dua variabel dari diferensial totalnya)

1. Temukan AS(X,y), Jika dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Kami memeriksa kondisi diferensial total fungsi dua variabel:

Kondisi diferensial total terpenuhi, oleh karena itu, fungsinya AS(X,y) dapat dipulihkan.

Verifikasi: benar.

Menjawab: AS(X,y) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Temukan fungsi sehingga

Kami memeriksa kondisi yang diperlukan dan cukup untuk diferensial total fungsi dari tiga variabel: , , , jika ekspresi diberikan.

Dalam masalah yang sedang dipecahkan

semua kondisi diferensial total terpenuhi, oleh karena itu, fungsi dapat dipulihkan (masalah diatur dengan benar).

Kami akan memulihkan fungsi menggunakan integral lengkung jenis kedua, menghitungnya di sepanjang garis tertentu yang menghubungkan titik tetap dan titik variabel , karena

(kesetaraan ini diperoleh dengan cara yang sama seperti dalam kasus dua dimensi).

Di sisi lain, integral lengkung jenis kedua diferensial total tidak bergantung pada bentuk garis integrasi, sehingga paling mudah untuk menghitungnya sepanjang garis putus-putus yang terdiri dari segmen-segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat. Pada saat yang sama, sebagai titik tetap, Anda cukup mengambil titik dengan koordinat numerik tertentu, hanya memantau bahwa pada titik ini dan pada seluruh garis integrasi, kondisi keberadaan integral lengkung terpenuhi (yaitu, bahwa fungsi , dan kontinu). Dengan mengingat hal ini, dalam soal ini kita dapat mengambil titik tetap, misalnya titik M 0 . Kemudian pada masing-masing tautan dari garis putus-putus yang akan kita miliki

10.2. Perhitungan integral permukaan jenis pertama. 79

10.3. Beberapa aplikasi integral permukaan jenis pertama. 81

Menunjukkan cara mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total. Metode untuk solusinya diberikan. Contoh memecahkan persamaan dalam diferensial total dalam dua cara diberikan.

Isi

Perkenalan

Persamaan diferensial orde pertama dalam diferensial total adalah persamaan dengan bentuk:
(1) ,
di mana sisi kiri persamaan adalah diferensial total dari beberapa fungsi U (x, y) dari variabel x, y :
.
Di mana .

Jika seperti fungsi U (x, y), maka persamaannya berbentuk:
dU (x, y) = 0.
Integral umumnya:
AS (x, y) = C,
dimana C adalah konstanta.

Jika persamaan diferensial orde pertama ditulis dalam turunannya:
,
maka mudah untuk membawanya ke formulir (1) . Untuk melakukannya, kalikan persamaan dengan dx. Kemudian . Sebagai hasilnya, kami memperoleh persamaan yang dinyatakan dalam bentuk diferensial:
(1) .

Sifat persamaan diferensial dalam diferensial total

Agar persamaan (1) adalah persamaan dalam diferensial total, perlu dan cukup bahwa hubungan berikut dipenuhi:
(2) .

Bukti

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa semua fungsi yang digunakan dalam pembuktian terdefinisi dan memiliki turunan yang bersesuaian dalam beberapa rentang x dan y. titik x 0 , y0 juga milik daerah ini.

Mari kita buktikan perlunya kondisi (2).
Membiarkan sisi kiri persamaan (1) adalah diferensial dari beberapa fungsi U (x, y):
.
Kemudian
;
.
Karena turunan kedua tidak bergantung pada urutan turunan, maka
;
.
Oleh karena itu berikut bahwa . Kondisi kebutuhan (2) terbukti.

Mari kita buktikan kecukupan kondisi (2).
Biarkan kondisinya (2) :
(2) .
Mari kita tunjukkan bahwa adalah mungkin untuk menemukan fungsi U (x, y) bahwa diferensialnya adalah:
.
Artinya ada fungsi U (x, y), yang memenuhi persamaan:
(3) ;
(4) .
Mari kita temukan fungsi seperti itu. Kami mengintegrasikan persamaan (3) oleh x dari x 0 ke x , dengan asumsi bahwa y adalah konstanta:
;
;
(5) .
Diferensialkan terhadap y, asumsikan bahwa x adalah konstanta dan terapkan (2) :

.
Persamaan (4) akan dijalankan jika
.
Mengintegrasikan lebih dari y dari y 0 untuk y :
;
;
.
Pengganti di (5) :
(6) .
Jadi kami telah menemukan fungsi yang diferensialnya
.
Kecukupan telah terbukti.

Dalam rumus (6) , U (x0, y0) adalah konstanta - nilai fungsi U (x, y) di titik x 0 , y0. Itu dapat diberi nilai apa pun.

Bagaimana mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total

Pertimbangkan persamaan diferensial:
(1) .
Untuk menentukan apakah persamaan ini dalam diferensial penuh, Anda perlu memeriksa kondisinya (2) :
(2) .
Jika berlaku, maka ini adalah persamaan dalam diferensial total. Jika tidak, maka ini bukan persamaan dalam diferensial total.

Contoh

Periksa apakah persamaan dalam diferensial total:
.

Di Sini
, .
Diferensialkan terhadap y, dengan menganggap x konstan:


.
Membedakan


.
Karena:
,
maka persamaan yang diberikan dalam diferensial total.

Metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total

Metode Ekstraksi Diferensial Berurutan

Metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan dalam diferensial total adalah metode ekstraksi diferensial berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus diferensiasi yang ditulis dalam bentuk diferensial:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Dalam rumus ini, u dan v adalah ekspresi arbitrer yang dibuat dari kombinasi variabel apa pun.

Contoh 1

Selesaikan persamaan:
.

Sebelumnya kami menemukan bahwa persamaan ini dalam diferensial total. Mari kita ubah:
(P1) .
Kami memecahkan persamaan dengan menyoroti diferensial secara berurutan.
;
;
;
;

.
Pengganti di (P1):
;
.

Metode integrasi berurutan

Dalam metode ini, kami mencari fungsi U (x, y), memenuhi persamaan:
(3) ;
(4) .

Kami mengintegrasikan persamaan (3) di x, dengan asumsi y adalah konstan:
.
Di sini φ (y) adalah fungsi arbitrer dari y yang akan didefinisikan. Ini adalah konstanta integrasi. Kita substitusikan ke dalam persamaan (4) :
.
Dari sini:
.
Mengintegrasikan, kami menemukan φ (y) dan dengan demikian U (x, y).

Contoh 2

Selesaikan persamaan dalam diferensial total:
.

Sebelumnya kami menemukan bahwa persamaan ini dalam diferensial total. Mari kita perkenalkan notasi:
, .
Mencari Fungsi U (x, y), yang diferensialnya ruas kiri persamaan:
.
Kemudian:
(3) ;
(4) .
Kami mengintegrasikan persamaan (3) di x, dengan asumsi y adalah konstan:
(P2)
.
Diferensialkan terhadap y :

.
Pengganti di (4) :
;
.
Kami mengintegrasikan:
.
Pengganti di (P2):

.
Integral umum dari persamaan:
AS (x, y) = konstanta.
Kami menggabungkan dua konstanta menjadi satu.

Metode integrasi sepanjang kurva

Fungsi U didefinisikan oleh relasi:
dU=p (x, y) dx + q (x, y) dy,
dapat ditemukan dengan mengintegrasikan persamaan ini sepanjang kurva yang menghubungkan titik-titik (x0, y0) Dan (x, y):
(7) .
Karena
(8) ,
maka integral hanya bergantung pada koordinat awal (x0, y0) dan terakhir (x, y) titik dan tidak bergantung pada bentuk kurva. Dari (7) Dan (8) kami menemukan:
(9) .
Di sini x 0 dan y 0 - permanen. Oleh karena itu U (x0, y0) juga konstan.

Contoh definisi U seperti itu diperoleh dalam bukti:
(6) .
Di sini, integrasi dilakukan terlebih dahulu sepanjang segmen yang sejajar dengan sumbu y dari titik tersebut (x 0 , y 0 ) ke titik (x0, y). Kemudian integrasi dilakukan sepanjang segmen yang sejajar dengan sumbu x dari titik tersebut (x0, y) ke titik (x, y) .

Dalam kasus yang lebih umum, seseorang perlu merepresentasikan persamaan kurva yang menghubungkan titik-titik tersebut (x 0 , y 0 ) Dan (x, y) dalam bentuk parametrik:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (T); y=r (T);
dan mengintegrasikan lebih dari t 1 dari T 0 ke t.

Integrasi yang paling sederhana adalah melalui segmen yang menghubungkan titik-titik tersebut (x 0 , y 0 ) Dan (x, y). Pada kasus ini:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Setelah substitusi, kita mendapatkan integral dari t 0 sebelum 1 .
Metode ini, bagaimanapun, menyebabkan perhitungan yang agak rumit.

Referensi:
V.V. Stepanov, Kursus Persamaan Diferensial, LKI, 2015.

beberapa fungsi. Jika kita mengembalikan fungsi dari diferensial totalnya, maka kita menemukan integral umum dari persamaan diferensial tersebut. Di bawah ini akan kita bicarakan metode pemulihan fungsi dari total diferensial.

Sisi kiri persamaan diferensial adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0 jika kondisi terpenuhi.

Karena diferensial total suatu fungsi U(x, y) = 0 Ini , yang berarti bahwa dalam kondisi mereka mengatakan bahwa .

Kemudian, .

Dari persamaan pertama sistem, kita peroleh . Kami menemukan fungsinya menggunakan persamaan kedua dari sistem:

Dengan demikian, kita akan menemukan fungsi yang diinginkan U(x, y) = 0.

Contoh.

Mari kita temukan solusi umum DE .

Larutan.

Dalam contoh kita. Syarat terpenuhi karena :

Kemudian, sisi kiri DE awal adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0. Kita perlu menemukan fungsi ini.

Karena adalah diferensial total dari fungsi U(x, y) = 0, Cara:

.

Mengintegrasikan lebih X Persamaan 1 dari sistem dan dapat dibedakan terhadap y hasil:

.

Dari persamaan ke-2 sistem diperoleh . Cara:

Di mana DENGAN adalah konstanta arbitrer.

Jadi, integral umum dari persamaan yang diberikan adalah .

Ada yang kedua metode untuk menghitung fungsi dari total diferensial. Ini terdiri dari mengambil integral lengkung dari titik tetap (x0, y0) ke titik dengan koordinat variabel (x, y): . Dalam hal ini, nilai integral tidak bergantung pada jalur integrasi. Lebih mudah untuk mengambil sebagai jalur integrasi garis putus-putus yang tautannya sejajar dengan sumbu koordinat.

Contoh.

Mari kita temukan solusi umum DE .

Larutan.

Kami memeriksa pemenuhan kondisi:

Jadi, sisi kiri DE adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0. Kami menemukan fungsi ini dengan menghitung integral lengkung titik (1; 1) sebelum (x, y). Kami mengambil polyline sebagai jalur integrasi: kami akan melewati bagian pertama dari polyline di sepanjang garis lurus y=1 dari titik (1, 1) sebelum (x, 1), sebagai bagian kedua dari jalan kita mengambil garis lurus dari titik tersebut (x, 1) sebelum (x, y):

Jadi solusi umum DE terlihat seperti ini: .

Contoh.

Mari kita definisikan solusi umum DE .

Larutan.

Karena , maka syaratnya tidak terpenuhi, maka sisi kiri DE tidak akan menjadi diferensial total dari fungsi tersebut dan Anda perlu menggunakan metode penyelesaian kedua (persamaan ini adalah persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan).

Mungkin saja terjadi ruas kiri persamaan diferensial

adalah diferensial total dari beberapa fungsi:

dan karenanya persamaan (7) berbentuk .

Jika fungsinya adalah solusi persamaan (7), maka , dan, oleh karena itu,

dimana konstanta, dan sebaliknya, jika beberapa fungsi mengubah persamaan akhir (8) menjadi identitas, kemudian, dengan membedakan identitas yang dihasilkan, kita dapatkan , dan oleh karena itu, , dimana konstanta arbitrer, adalah integral umum dari aslinya persamaan.

Jika nilai awal diberikan, maka konstanta ditentukan dari (8) dan

adalah integral parsial yang diinginkan. Jika pada titik , maka persamaan (9) didefinisikan sebagai fungsi implisit dari .

Agar sisi kiri persamaan (7) menjadi diferensial total dari beberapa fungsi , itu perlu dan cukup

Jika kondisi ini, ditunjukkan oleh Euler, terpenuhi, maka persamaan (7) mudah diintegrasikan. Benar-benar, . Di sisi lain, . Karena itu,

Saat menghitung integral, nilainya dianggap sebagai konstanta, oleh karena itu merupakan fungsi arbitrer dari . Untuk menentukan fungsinya, kita diferensiasikan fungsi yang ditemukan terhadap dan, karena , kita dapatkan

Dari persamaan ini, kami menentukan dan, mengintegrasikan, menemukan .

Seperti diketahui dari kursus analisis matematis, lebih mudah untuk mendefinisikan suatu fungsi dengan diferensial totalnya dengan mengambil integral lengkung antara beberapa titik tetap dan titik dengan koordinat variabel di sepanjang jalur apa pun:

Paling sering, sebagai jalur integrasi, lebih mudah untuk mengambil garis putus-putus yang terdiri dari dua tautan yang sejajar dengan sumbu koordinat; pada kasus ini

Contoh. .

Sisi kiri persamaan adalah diferensial total dari beberapa fungsi, karena

Oleh karena itu, integral umum memiliki bentuk

Anda dapat menggunakan metode lain untuk mendefinisikan suatu fungsi:

Untuk titik awal, kami memilih, misalnya, asal koordinat, sebagai jalur integrasi - garis putus-putus. Kemudian

dan integral umum memiliki bentuk

Yang bertepatan dengan hasil sebelumnya, yang mengarah ke penyebut yang sama.

Dalam beberapa kasus, ketika sisi kiri persamaan (7) bukan diferensial total, mudah untuk menemukan fungsi , setelah dikalikan dengan sisi kiri persamaan (7) berubah menjadi diferensial total . Fungsi seperti itu disebut faktor pengintegrasian. Perhatikan bahwa perkalian dengan faktor integral dapat menyebabkan munculnya solusi ekstra khusus yang mengubah faktor ini menjadi nol.

Contoh. .

Jelas, setelah dikalikan dengan sebuah faktor, ruas kiri berubah menjadi diferensial total. Memang, setelah dikalikan dengan kita dapatkan

atau, dengan mengintegrasikan, . Mengalikan dengan 2 dan mempotensiasi, kita akan mendapatkan .

Tentu saja, faktor pengintegrasian tidak selalu dipilih dengan mudah. Dalam kasus umum, untuk menemukan faktor integral, perlu untuk memilih setidaknya satu solusi khusus dari persamaan dalam turunan parsial yang tidak identik dengan nol, atau dalam bentuk yang diperluas

yang, setelah membagi dengan dan memindahkan beberapa suku ke bagian persamaan yang lain, direduksi menjadi bentuk

Dalam kasus umum, mengintegrasikan persamaan diferensial parsial ini sama sekali bukan tugas yang lebih sederhana daripada mengintegrasikan persamaan asli, tetapi dalam beberapa kasus pemilihan solusi khusus untuk persamaan (11) tidaklah sulit.

Selain itu, dengan mengasumsikan bahwa faktor integrasi adalah fungsi dari hanya satu argumen (misalnya, merupakan fungsi dari only atau only , atau fungsi dari only , atau only , dll.), kita dapat dengan mudah mengintegrasikan persamaan (11) dan menunjukkan kondisi di mana faktor pengintegrasian dari bentuk yang dipertimbangkan ada. Dengan demikian, kelas persamaan dipilih yang faktor integrasinya dapat dengan mudah ditemukan.

Sebagai contoh, mari kita cari kondisi di mana persamaan tersebut memiliki faktor integral yang hanya bergantung pada , yaitu. . Dalam hal ini, persamaan (11) disederhanakan dan mengambil bentuk , dimana, dengan asumsi bahwa itu adalah fungsi kontinu dari , kita peroleh

Jika adalah fungsi hanya dari , maka faktor integral yang bergantung hanya pada , ada dan sama dengan (12), jika tidak, faktor integral bentuk tidak ada.

Syarat keberadaan faktor integral yang hanya bergantung pada terpenuhi, misalnya untuk persamaan linier atau . Memang, dan, oleh karena itu, . Sama halnya, syarat-syarat untuk keberadaan faktor-faktor pengintegrasi bentuk dan lain-lain dapat ditemukan.

Contoh. Apakah persamaan tersebut memiliki bentuk faktor integral ?

Mari kita menunjukkan . Persamaan (11) di mengambil bentuk , dari mana atau

Untuk keberadaan suatu faktor pengintegrasi dari suatu bentuk tertentu, adalah perlu dan, dengan asumsi kesinambungan, cukup bahwa hanya . Oleh karena itu, dalam hal ini, faktor pengintegrasian ada dan sama dengan (13). Ketika kita mendapatkan . Mengalikan persamaan asli dengan , kami membawanya ke formulir

Mengintegrasikan, kita dapatkan , dan setelah potensiasi kita akan memiliki , atau dalam koordinat kutub - keluarga spiral logaritmik.

Contoh. Temukan bentuk cermin yang memantulkan sejajar dengan arah tertentu semua sinar yang muncul dari titik tertentu.

Kami menempatkan asal koordinat pada titik tertentu dan mengarahkan sumbu absis sejajar dengan arah yang ditentukan dalam kondisi masalah. Biarkan sinar jatuh pada cermin di titik tersebut. Pertimbangkan bagian dari cermin dengan sebuah bidang yang melewati sumbu absis dan titik . Mari kita menggambar garis singgung ke bagian yang ditinjau dari permukaan cermin pada titik tersebut. Karena sudut datang sinar sama dengan sudut pantul, maka segitiga tersebut adalah sama kaki. Karena itu,

Persamaan homogen yang dihasilkan mudah diintegrasikan dengan perubahan variabel , tetapi lebih mudah lagi, terbebas dari irasionalitas penyebutnya, untuk menuliskannya kembali dalam bentuk . Persamaan ini memiliki faktor integral yang jelas , , , (keluarga parabola).

Masalah ini bahkan lebih mudah dipecahkan dalam koordinat dan , dimana , sedangkan persamaan untuk bagian permukaan yang diinginkan mengambil bentuk .

Dimungkinkan untuk membuktikan keberadaan faktor integrasi, atau, yang sama, keberadaan solusi bukan nol dari persamaan diferensial parsial (11) dalam beberapa domain, jika fungsi dan memiliki turunan kontinu dan setidaknya salah satu dari ini fungsi tidak hilang. Oleh karena itu, metode faktor integral dapat dianggap sebagai metode umum untuk mengintegrasikan persamaan bentuk , namun, karena sulitnya menemukan faktor integral, metode ini paling sering digunakan dalam kasus di mana faktor integralnya jelas.