Sistem persamaan. Teori terperinci dengan contoh (2020). Contoh sistem persamaan linier: metode penyelesaian Menulis penyelesaian umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar penyelesaian
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi merupakan topik terpenting dalam mata kuliah aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor inilah yang menjelaskan alasan pembuatan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa
- pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
- mempelajari teori metode yang dipilih,
- selesaikan sistem persamaan linear Anda, setelah mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh dan masalah umum.
Deskripsi singkat tentang materi artikel.
Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep yang diperlukan, dan memperkenalkan beberapa notasi.
Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, mari kita fokus pada metode Cramer, kedua, kami akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kami akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan berbagai cara.
Setelah itu, kita melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, atau matriks utama sistem mengalami degenerasi. Mari kita merumuskan teorema Kronecker - Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (dalam hal kompatibilitasnya) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.
Pastikan untuk memikirkan struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah, yang penyelesaiannya menimbulkan SLAE.
Navigasi halaman.
Definisi, konsep, sebutan.
Kita akan membahas sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk
Variabel tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - anggota bebas (juga bilangan real atau kompleks).
Bentuk SLAE ini disebut koordinat.
DI DALAM bentuk matriks sistem persamaan ini berbentuk ,
Di mana 
- matriks utama sistem, - kolom matriks variabel yang tidak diketahui, - kolom matriks anggota bebas.
Jika kita menambahkan matriks A sebagai kolom ke (n + 1) kolom matriks suku bebas, maka kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu, 
Dengan menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui , yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai-nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga berubah menjadi identitas.
Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.
Jika sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut tidak kompatibel.
Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka - tidak pasti.
Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol 
, maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Penyelesaian sistem dasar persamaan aljabar linier.
Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka kita menyebutnya SLAE. dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.
Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah. Saat menyelesaikannya, kita mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke persamaan yang tersisa, lalu mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel berikutnya yang tidak diketahui dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.
Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Cramer.
Mari kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier 
yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .
Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan 
adalah determinan matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas: 
Dengan notasi seperti itu, variabel yang tidak diketahui dihitung dengan rumus metode Cramer sebagai 
. Beginilah cara penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ditemukan dengan metode Cramer.
Contoh.
Metode Cramer 
.
Larutan.
Matriks utama sistem berbentuk 
. Hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel): 
Karena determinan matriks utama sistem berbeda dari nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.
Menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan 
(determinan diperoleh dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom anggota bebas, determinan - dengan mengganti kolom kedua dengan kolom anggota bebas, - dengan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom anggota bebas ): 
Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus 
:
Menjawab:
Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan sistem lebih dari tiga.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks (menggunakan matriks invers).
Misalkan sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.
Karena , maka matriks A dapat dibalik, yaitu terdapat matriks invers . Jika kita mengalikan kedua bagian persamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapatkan rumus untuk mencari matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui. Jadi kita mendapatkan solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks.
Contoh.
Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode matriks.
Larutan.
Kami menulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks: 
Karena
maka SLAE dapat diselesaikan dengan metode matriks. Dengan menggunakan matriks invers, solusi sistem ini dapat dicari sebagai 
.
Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel): 
Tetap menghitung - matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers 
pada kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel): 
Menjawab:
atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks adalah sulitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi yang ordenya lebih tinggi dari matriks ketiga.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gauss.
Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui 
determinan matriks utamanya bukan nol.
Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berturut-turut variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui. x n tetap berada di persamaan terakhir. Proses mentransformasikan persamaan sistem untuk menghilangkan variabel-variabel yang tidak diketahui secara berturut-turut disebut metode Gauss langsung. Setelah proses maju metode Gaussian selesai, x n ditemukan dari persamaan terakhir, x n-1 dihitung dari persamaan kedua dari belakang menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemukan dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut membalikkan metode Gauss.
Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.
Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua. Caranya, tambahkan persamaan pertama yang dikalikan ke persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama yang dikalikan ke persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama yang dikalikan ke persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kita bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Caranya, tambahkan bilangan kedua yang dikalikan dengan persamaan ketiga sistem, tambahkan bilangan kedua yang dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan bilangan kedua yang dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
. Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita lanjutkan ke penghapusan x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita melanjutkan metode Gauss secara langsung sampai sistemnya terbentuk 
Mulai saat ini, kita memulai kebalikan dari metode Gauss: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai yang diperoleh x n kita menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita menemukan x 1 dari persamaan pertama persamaan.
Contoh.
Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode Gaussian.
Larutan.
Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke kedua bagian persamaan kedua dan ketiga, kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Sekarang kita kecualikan x 2 dari persamaan ketiga dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanannya ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan: 
Ini menyelesaikan kursus maju metode Gauss, dan memulai kursus sebaliknya.
Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan, kita menemukan x 3: 
Dari persamaan kedua kita peroleh.
Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan ini melengkapi kebalikan dari metode Gauss.
Menjawab:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Dalam kasus umum, jumlah persamaan sistem p tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui n:
SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan berdegenerasi.
Teorema Kronecker-Capelli.
Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak kompatibel, diberikan Teorema Kronecker – Capelli:
agar sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n ) agar kompatibel, pangkat matriks utama sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu, Pangkat( A)=Peringkat(T) .
Mari kita perhatikan penerapan teorema Kronecker-Cappelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linear sebagai contoh.
Contoh.
Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki 
solusi.
Larutan.
. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua 
berbeda dari nol. Mari kita bahas anak di bawah umur tingkat ketiga yang mengelilinginya: 
Karena semua minor orde ketiga yang berbatasan sama dengan nol, maka pangkat matriks utama adalah dua.
Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperbesar 
sama dengan tiga, karena minor dari orde ketiga 
berbeda dari nol.
Dengan demikian, Rang(A) , oleh karena itu, menurut teorema Kronecker-Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.
Menjawab:
Tidak ada sistem solusi.
Jadi, kita telah belajar untuk menetapkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorema Kronecker-Capelli.
Tetapi bagaimana menemukan solusi SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?
Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.
Minor orde tertinggi dari matriks A, selain nol, disebut dasar.
Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang bukan nol, terdapat beberapa minor dasar; selalu ada satu minor dasar.
Misalnya, perhatikan matriks 
.
Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.
Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol 
Anak di bawah umur 
tidak mendasar, karena sama dengan nol.
Teorema pangkat matriks.
Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n adalah r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam elemen-elemen yang bersesuaian pada baris (dan kolom). ) yang menjadi dasar minor.
Apa yang diberikan teorema pangkat matriks kepada kita?
Jika, dengan teorema Kronecker-Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih minor dasar apa pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor dasar yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).
Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang berlebihan, ada dua kasus yang mungkin terjadi.
Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan solusi satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Contoh.
.
Larutan.
Peringkat matriks utama sistem 
sama dengan dua, karena minor orde kedua 
berbeda dari nol. Peringkat matriks yang diperluas 
juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor pada orde ketiga sama dengan nol 
dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker-Capelli, seseorang dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2 .
Sebagai basis minor, kami ambil . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua: 
Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan minor dasar, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks: 
Jadi kita telah memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan dengan metode Cramer: 
Menjawab:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jika jumlah persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui n, maka suku-suku yang membentuk minor dasar kita tinggalkan di ruas kiri persamaan, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. dari sistem yang bertanda kebalikannya.
Variabel yang tidak diketahui (ada r) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.
Variabel yang tidak diketahui (ada n - r) yang berada di ruas kanan disebut bebas.
Sekarang kita asumsikan bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai yang berubah-ubah, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan dinyatakan dalam variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Mari kita ambil contoh.
Contoh.
Menyelesaikan Sistem Persamaan Aljabar Linier 
.
Larutan.
Temukan pangkat matriks utama sistem 
dengan metode anak di bawah umur yang berbatasan. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor orde pertama yang bukan nol. Mari kita mulai mencari minor orde kedua bukan nol yang mengelilingi minor ini: 
Jadi kami menemukan minor bukan nol dari orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga: 
Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperbesar juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.
Minor bukan nol yang ditemukan dari orde ketiga akan diambil sebagai minor dasar.
Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor: 
Kami meninggalkan suku-suku yang berpartisipasi dalam minor dasar di sisi kiri persamaan sistem, dan memindahkan sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan: 
Kami memberikan variabel gratis yang tidak diketahui x 2 dan x 5 nilai sewenang-wenang, yaitu kami ambil 
, di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE mengambil bentuk 
Kami memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier yang diperoleh dengan metode Cramer: 
Karena itu, .
Dalam jawabannya, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.
Menjawab:
Dimana angka sembarang.
Meringkaskan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, pertama-tama kita mencari kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten.
Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks diperluas, maka kita memilih minor dasar dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan minor dasar yang dipilih.
Jika orde basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.
Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka kita tinggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui di sisi kiri persamaan sistem, pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan tetapkan nilai arbitrer ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan, kita mencari variabel-variabel utama yang tidak diketahui dengan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.
Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Dengan menggunakan metode Gauss, seseorang dapat menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa penyelidikan awal untuk kesesuaiannya. Proses eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan inkonsistensi SLAE, dan jika ada solusi, hal itu memungkinkan untuk menemukannya.
Dari sudut pandang pekerjaan komputasi, metode Gaussian lebih disukai.
Lihat penjelasan rinci dan contoh analisisnya di artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Mencatat solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.
Pada bagian ini, kita akan fokus pada sistem gabungan persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.
Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.
Sistem keputusan mendasar Sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui adalah himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.
Jika kita menetapkan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah kolom matriks berdimensi n oleh 1 ) , maka solusi umum sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta sembarang С 1 , С 2 , …, С (n-r), yaitu, .
Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?
Artinya sederhana: rumusnya menentukan semua solusi yang mungkin untuk SLAE asli, dengan kata lain, mengambil himpunan nilai konstanta sembarang C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , sesuai dengan rumus kita akan mendapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.
Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat menetapkan semua solusi SLAE homogen ini sebagai .
Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi untuk SLAE homogen.
Kami memilih minor dasar dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem, dan memindahkan ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda berlawanan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui. Mari kita beri nilai 1,0,0,…,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, dengan metode Cramer. Dengan demikian, akan diperoleh X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, maka kita mendapatkan X (2) . Dan seterusnya. Jika kita memberikan nilai 0,0,…,0,1 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, maka kita mendapatkan X (n-r) . Beginilah sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .
Untuk sistem persamaan aljabar linier tak homogen, solusi umumnya direpresentasikan sebagai
Mari kita lihat contohnya.
Contoh.
Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen 
.
Larutan.
Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan metode fringing minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Temukan minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua: 
Ditemukan minor orde kedua, selain nol. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol: 
Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas adalah dua. Mari kita ambil minor dasar. Untuk lebih jelasnya, kami perhatikan elemen-elemen sistem yang membentuknya: 
Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan minor dasar, oleh karena itu dapat dikecualikan: 
Kita tinggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan pindahkan suku-suku yang tidak diketahui bebasnya ke ruas kanan:
Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde minor dasarnya adalah dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 ke variabel bebas yang tidak diketahui, lalu kita cari yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan 
.
- Sistem M persamaan linear dengan N tidak dikenal.
Memecahkan sistem persamaan linear adalah sekumpulan angka ( x 1 , x 2 , …, xn), dengan mensubstitusikan yang mana ke dalam setiap persamaan sistem, diperoleh persamaan yang benar.
Di mana a ij , saya = 1, …, m; j = 1, …, n adalah koefisien sistem;
b saya , saya = 1, …, m- anggota gratis;
x j , j = 1, …, n- tidak dikenal.
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: SEBUAH X = B,
Di mana ( A|B) adalah matriks utama sistem;
A— matriks yang diperluas dari sistem;
X— kolom yang tidak diketahui;
B adalah kolom anggota gratis.
Jika matriks B bukan matriks nol ∅, maka sistem persamaan linier ini disebut tidak homogen.
Jika matriks B= ∅, maka sistem persamaan linear ini disebut homogen. Sistem homogen selalu mempunyai solusi nol (trivial): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., xn \u003d 0.
Sistem gabungan persamaan linear adalah sistem persamaan linear yang mempunyai solusi.
Sistem persamaan linear yang tidak konsisten adalah sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian.
Sistem persamaan linear tertentu adalah sistem persamaan linear yang mempunyai solusi unik.
Sistem persamaan linear tak tentu adalah sistem persamaan linear yang mempunyai jumlah solusi tak terhingga. - Sistem n persamaan linear dengan n yang tidak diketahui
Jika banyaknya persamaan yang tidak diketahui sama dengan banyaknya persamaan, maka matriksnya berbentuk persegi. Penentu matriks disebut determinan utama sistem persamaan linier dan dilambangkan dengan simbol Δ.
Metode Cramer untuk memecahkan sistem N persamaan linear dengan N tidak dikenal.
aturan Cramer.
Jika determinan utama suatu sistem persamaan linier tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut konsisten dan terdefinisi, dan satu-satunya solusi dihitung menggunakan rumus Cramer:
dimana Δ i adalah determinan yang diperoleh dari determinan utama sistem Δ dengan cara mengganti Saya kolom ke kolom anggota bebas. . - Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui
Teorema Kronecker-Cappelli.
Agar sistem persamaan linier ini konsisten, pangkat matriks sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem, peringkat(Α) = peringkat(Α|B).
Jika berbunyi(Α) ≠ berbunyi(Α|B), maka sistem jelas tidak memiliki solusi.
Jika peringkat(Α) = peringkat(Α|B), maka dua kasus mungkin terjadi:
1) berbunyi(Α) = n(untuk jumlah yang tidak diketahui) - solusinya unik dan dapat diperoleh dengan rumus Cramer;
2) peringkat(Α)< n − ada banyak solusi yang tak terhingga. - metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Mari kita buat matriks yang diperbesar ( A|B) dari sistem koefisien yang diberikan pada sisi yang tidak diketahui dan sisi kanan.
Metode Gaussian atau metode eliminasi yang tidak diketahui terdiri dari reduksi matriks yang diperbesar ( A|B) dengan bantuan transformasi dasar pada baris-barisnya ke bentuk diagonal (ke bentuk segitiga atas). Kembali ke sistem persamaan, semua hal yang tidak diketahui ditentukan.
Transformasi dasar pada string meliputi hal berikut:
1) menukar dua baris;
2) mengalikan suatu string dengan angka selain 0;
3) menambahkan string lain ke string dikalikan dengan angka arbitrer;
4) membuang string nol.
Matriks yang diperluas direduksi menjadi bentuk diagonal sesuai dengan sistem linier yang setara dengan sistem tertentu, yang penyelesaiannya tidak menimbulkan kesulitan. . - Sistem persamaan linear homogen.
Sistem homogen memiliki bentuk:
itu sesuai dengan persamaan matriks SEBUAH X = 0.
1) Sistem homogen selalu konsisten, karena r(A) = r(A|B), selalu ada solusi nol (0, 0, …, 0).
2) Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup r = r(A)< n , yang setara dengan Δ = 0.
3) Jika R< n , maka Δ = 0, maka ada yang tidak diketahui gratis c 1 , c 2 , …, c n-r, sistem memiliki solusi nontrivial, dan jumlahnya tak terhingga banyaknya.
4) Solusi umum X pada R< n dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
dimana solusinya X 1 , X 2 , …, X n-r membentuk sistem solusi yang mendasar.
5) Solusi dasar sistem dapat diperoleh dari solusi umum sistem homogen:
,
jika kita asumsikan secara berurutan nilai parameternya adalah (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Penguraian solusi umum ke dalam sistem dasar solusi adalah catatan solusi umum sebagai kombinasi linier dari solusi-solusi yang termasuk dalam sistem fundamental.
Dalil. Agar suatu sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup bahwa Δ ≠ 0.
Jadi, jika determinannya adalah Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.
Jika Δ ≠ 0, maka sistem persamaan linier homogen mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga.
Dalil. Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, hal itu perlu dan cukup r(A)< n .
Bukti:
1) R tidak bisa lebih N(peringkat matriks tidak melebihi jumlah kolom atau baris);
2) R< n , Karena Jika r=n, maka determinan utama sistem Δ ≠ 0, dan menurut rumus Cramer, terdapat solusi sepele yang unik x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, yang bertentangan dengan kondisi tersebut. Cara, r(A)< n .
Konsekuensi. Agar sistemnya homogen N persamaan linear dengan N yang tidak diketahui memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup bahwa Δ = 0.
Sistem persamaan linear. Kuliah 6
Sistem persamaan linear.
Konsep dasar.
sistem tampilan
ditelepon sistem - persamaan linear dengan yang tidak diketahui.
Angka , , disebut koefisien sistem.
Nomor dipanggil anggota bebas dari sistem, – variabel sistem. Matriks
ditelepon matriks utama sistem, dan matriks
– sistem matriks diperluas. Matriks - kolom
Dan demikian pula matriks anggota bebas dan sistem yang tidak diketahui. Kemudian, dalam bentuk matriks, sistem persamaannya dapat dituliskan sebagai . Solusi sistem disebut nilai-nilai variabel, ketika disubstitusikan, semua persamaan sistem berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya. Solusi apa pun dari sistem dapat direpresentasikan sebagai kolom matriks. Maka persamaan matriksnya benar.
Sistem persamaan disebut persendian jika memiliki setidaknya satu solusi dan tidak kompatibel jika tidak ada solusinya.
Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier berarti mencari tahu apakah sistem tersebut kompatibel dan, jika kompatibel, mencari solusi umumnya.
Sistem itu disebut homogen jika semua suku bebasnya sama dengan nol. Sistem homogen selalu kompatibel karena mempunyai solusi
Teorema Kronecker-Kopelli.
Jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi sistem linier dan keunikannya memungkinkan kita memperoleh hasil sebagai berikut, yang dapat dirumuskan sebagai pernyataan berikut tentang sistem persamaan linier yang tidak diketahui
(1)
Teorema 2. Sistem persamaan linear (1) konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas (.
Teorema 3. Jika pangkat matriks utama suatu sistem persamaan linier gabungan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.
Teorema 4. Jika pangkat matriks utama suatu sistem gabungan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.
Aturan untuk memecahkan sistem.
3. Temukan ekspresi variabel utama dalam variabel bebas dan dapatkan solusi umum sistem.
4. Dengan memberikan nilai sembarang pada variabel bebas, diperoleh semua nilai variabel utama.
Metode penyelesaian sistem persamaan linear.
Metode matriks terbalik.
dan , yaitu, sistem mempunyai solusi unik. Kami menulis sistem dalam bentuk matriks
Di mana 
,
,
.
Kalikan kedua ruas persamaan matriks di sebelah kiri dengan matriksnya
Karena , kita memperoleh , yang darinya kita memperoleh persamaan untuk menemukan hal yang tidak diketahui
Contoh 27. Dengan menggunakan metode matriks terbalik, selesaikan sistem persamaan linear 
Larutan. Dilambangkan dengan matriks utama sistem
.
Misalkan , kemudian kita cari penyelesaiannya dengan rumus .
Mari kita hitung.
Sejak , maka sistem mempunyai solusi unik. Temukan semua penjumlahan aljabar
,
,
,
,
,
,
,
,
Dengan demikian
.
Mari kita periksa
.
Matriks invers ditemukan dengan benar. Dari sini, dengan menggunakan rumus , kita mencari matriks variabel .
.
Membandingkan nilai-nilai matriks, kita memperoleh jawabannya: .
metode Cramer.
Biarkan sistem persamaan linear dengan yang tidak diketahui diberikan
dan , yaitu, sistem mempunyai solusi unik. Kami menulis solusi sistem dalam bentuk matriks atau
Menunjukkan
. . . . . . . . . . . . . . ,
Jadi, kita memperoleh rumus untuk mencari nilai yang tidak diketahui, yang disebut rumus Cramer.
Contoh 28. Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode Cramer 
.
Larutan. Temukan determinan matriks utama sistem
.
Sejak itu, sistem mempunyai solusi unik.
Temukan determinan yang tersisa untuk rumus Cramer
,
,
.
Dengan menggunakan rumus Cramer, kita mencari nilai variabel
metode Gauss.
Metode ini terdiri dari pengecualian variabel secara berurutan.
Biarkan sistem persamaan linear dengan yang tidak diketahui diberikan.
Proses solusi Gaussian terdiri dari dua langkah:
Pada tahap pertama, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar
,
dimana , yang sesuai dengan sistem
Setelah itu variabelnya 
dianggap bebas dan di setiap persamaan dipindahkan ke ruas kanan.
Pada tahap kedua, variabel dari persamaan terakhir dinyatakan, nilai yang dihasilkan disubstitusikan ke dalam persamaan. Dari persamaan ini
variabel dinyatakan. Proses ini berlanjut hingga persamaan pertama. Hasilnya adalah ekspresi variabel utama dalam bentuk variabel bebas 
.
Contoh 29. Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan metode Gaussian
Larutan. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan kurangi menjadi bentuk langkah
.
Karena 
lebih besar dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut kompatibel dan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Mari kita tuliskan sistem untuk matriks langkah
Penentu matriks perluasan sistem ini, yang terdiri dari tiga kolom pertama, tidak sama dengan nol, jadi kami menganggapnya sebagai matriks dasar. Variabel
Akan menjadi dasar dan variabelnya akan bebas. Mari kita pindahkan semua persamaan ke ruas kiri
Dari persamaan terakhir kami nyatakan
Mengganti nilai ini ke persamaan kedua dari belakang, kita mendapatkan
Di mana 
. Mengganti nilai-nilai variabel dan ke dalam persamaan pertama, kita temukan 
. Kami menulis jawabannya dalam bentuk berikut
DENGAN N tidak diketahui adalah sistem yang berbentuk:
Di mana aij Dan b saya (i=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…,xn- nomor tak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks Saya menentukan nomor persamaan, dan yang kedua J adalah bilangan yang tidak diketahui di mana koefisien ini berada.
Sistem homogen - ketika semua anggota bebas sistem sama dengan nol ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), situasi sebaliknya adalah sistem heterogen.
Sistem persegi - ketika nomornya M persamaan sama dengan angka N tidak dikenal.
Solusi Sistem- mengatur N angka c 1 , c 2 , …, cn , sedemikian rupa sehingga substitusi semuanya c saya alih-alih x saya menjadi suatu sistem mengubah semua persamaannya menjadi identitas.
Sistem gabungan - ketika sistem memiliki setidaknya satu solusi, dan sistem yang tidak kompatibel ketika sistem tidak memiliki solusi.
Sistem gabungan semacam ini (seperti yang diberikan di atas, biarlah (1)) dapat memiliki satu atau lebih solusi.
Solusi c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Dan c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistem gabungan tipe (1) akan bermacam-macam, ketika 1 persamaan pun tidak terpenuhi:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
Sistem gabungan tipe (1) akan yakin ketika hanya mempunyai satu solusi; ketika suatu sistem memiliki setidaknya 2 solusi berbeda, maka menjadi kurang ditentukan. Jika terdapat lebih banyak persamaan daripada persamaan yang tidak diketahui, maka sistemnya adalah didefinisikan ulang.
Koefisien untuk hal yang tidak diketahui ditulis sebagai matriks:
Itu disebut matriks sistem.
Angka-angka yang ada di sisi kanan persamaan, b 1 ,…,b m adalah anggota gratis.
Agregat N angka c 1 ,…,c n adalah solusi untuk sistem ini ketika semua persamaan sistem berubah menjadi persamaan setelah mengganti angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih hal-hal yang tidak diketahui terkait x 1 ,…,xn.
Saat menyelesaikan sistem persamaan linear, 3 pilihan mungkin muncul:
1. Sistem hanya mempunyai satu solusi.
2. Sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya, . Penyelesaian sistem ini adalah semua pasangan bilangan yang berbeda tandanya.
3. Sistem tidak memiliki solusi. Misalnya, , jika ada solusi, maka x 1 + x 2 sama dengan 0 dan 1 secara bersamaan.
Metode penyelesaian sistem persamaan linear.
Metode Langsung berikan algoritma yang dapat digunakan untuk menemukan solusi eksak SLAU(sistem persamaan aljabar linier). Dan jika akurasinya mutlak, mereka pasti sudah menemukannya. Komputer listrik asli, tentu saja, bekerja dengan kesalahan, jadi solusinya hanya perkiraan.
Banyak masalah praktis yang direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan aljabar derajat 1 atau, biasa disebut, sistem persamaan linier. Kita akan belajar menyelesaikan sistem seperti itu, bahkan tanpa mengharuskan jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui.
Secara umum sistem persamaan linear ditulis sebagai berikut:
Berikut angka-angkanya aij– kemungkinan sistem, b saya – anggota gratis, x saya- simbol tidak dikenal . Sangat mudah untuk memperkenalkan notasi matriks: - utama matriks sistem, – matriks-kolom suku bebas, – matriks-kolom suku bebas. Maka sistemnya dapat ditulis sebagai berikut: KAPAK=B atau, lebih detailnya:
Jika, di sisi kiri persamaan ini, lakukan perkalian matriks sesuai aturan biasa dan samakan elemen kolom yang dihasilkan dengan elemen DI DALAM, maka kita akan sampai pada notasi sistem aslinya.
Contoh 14. Kami menulis sistem persamaan linear yang sama dengan dua cara berbeda:
Sistem persamaan linear biasa disebut persendian , jika ia memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak kompatibel, jika tidak ada solusi.
Dalam contoh kita, sistemnya kompatibel, kolom adalah solusinya:
Solusi ini juga dapat ditulis tanpa matriks: X=2,y=1 . Kita akan menyebutnya sistem persamaan tidak pasti , jika memiliki lebih dari satu solusi, dan yakin jika solusinya unik.
Contoh 15. Sistemnya tidak dapat ditentukan. Misalnya saja solusinya. Pembaca dapat menemukan banyak solusi lain untuk sistem ini.
Mari kita pelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linear terlebih dahulu dalam kasus tertentu. Sistem persamaan OH=DI DALAM kami akan menelepon Kramerovo , jika matriks utamanya A berbentuk persegi dan tidak merosot. Dengan kata lain, dalam sistem Cramerian, jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan dan .
Teorema 6. (Aturan Cramer). Sistem persamaan linear Cramer memiliki solusi unik yang diberikan oleh rumus:
dimana adalah determinan dari matriks utama, adalah determinan yang diperoleh D penggantian Saya Kolom -th dengan kolom anggota gratis.
Komentar. Sistem Cramer juga dapat diselesaikan dengan cara lain, menggunakan matriks invers. Kami menulis sistem seperti itu dalam bentuk matriks: KAPAK=DI DALAM. Karena , maka terdapat matriks invers A –1 . Kami mengalikan persamaan matriks dengan A –1 kiri: A –1 OH=A –1 DI DALAM. Karena A –1 OH=MANTAN=X, maka solusi sistem ditemukan: X= A –1 DI DALAM.Kami akan menyebut metode solusi ini matriks . Kami tekankan sekali lagi bahwa ini hanya cocok untuk sistem Cramer - dalam kasus lain, matriks invers tidak ada. Pembaca akan menemukan contoh analisis penerapan metode matriks dan metode Cramer di bawah ini.
Mari kita pelajari kasus umumnya, yaitu sistem M persamaan linear dengan N tidak dikenal. Untuk mengatasinya, terapkan metode Gauss , yang akan kita pertimbangkan secara rinci Untuk sistem persamaan arbitrer OH=DI DALAM menulis diperpanjang matriks. Ini adalah kebiasaan untuk menyebut matriks yang akan berubah menjadi matriks utama A di sebelah kanan, tambahkan kolom anggota gratis DI DALAM:
Seperti dalam perhitungan pangkat, dengan bantuan transformasi dasar baris dan permutasi kolom, kita akan membawa matriks kita ke bentuk trapesium. Dalam hal ini, tentu saja, sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks akan berubah, tetapi akan berubah sama saja dengan asli (ᴛ.ᴇ. akan memiliki solusi yang sama). Memang benar, menata ulang atau menambahkan persamaan tidak akan mengubah penyelesaiannya. Menata Ulang Kolom - Juga: Persamaan x 1+3x2+7x3=4 Dan x 1+7x3+3x2=4, tentu saja setara. Anda hanya perlu menuliskan kolom yang tidak diketahui mana yang sesuai. Kami tidak mengatur ulang kolom anggota bebas - biasanya dipisahkan dari kolom lain dengan garis putus-putus dalam matriks. Baris nol yang muncul dalam matriks dapat dihilangkan.
Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan:
Larutan. Kami menulis matriks yang diperluas dan membawanya ke bentuk trapesium. Tanda ~ sekarang tidak hanya berarti kebetulan peringkat, tetapi juga kesetaraan sistem persamaan yang bersesuaian.
~ . Mari kita jelaskan langkah-langkah yang diambil.
Tindakan 1. Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan (–2). Pada baris ke-3 dan ke-4 mereka menambahkan baris pertama, mengalikannya dengan (–3). Tujuan dari operasi ini adalah untuk mendapatkan angka nol pada kolom pertama, di bawah diagonal utama.
Tindakan 2. Karena pada diagonal tempat (2,2) terdapat 0 , saya harus mengatur ulang kolom ke-2 dan ke-3. Untuk mengingat permutasi ini, kami menulis simbol-simbol yang tidak diketahui di atas.
Tindakan 3. Ke baris ke-3 mereka menambahkan baris ke-2, mengalikannya dengan (–2). Baris ke-2 ditambahkan ke baris ke-4. Tujuannya adalah mendapatkan angka nol pada kolom kedua, di bawah diagonal utama.
Tindakan 4. Garis nol dapat dihilangkan.
Jadi, matriksnya direduksi menjadi bentuk trapesium. Pangkatnya R=2 . Tidak dikenal x 1, x 3- dasar; x 2, x 4- bebas. Mari kita berikan nilai arbitrer pada hal-hal yang tidak diketahui secara gratis:
x 2= sebuah, x 4= B.
Di Sini a, b adalah nomor berapa pun. Sekarang dari persamaan terakhir sistem baru
x 3+x4= –3
menemukan x 3: x 3= –3 –B. Bangkit, dari persamaan pertama
x 1+3x 3+2x 2+4x4= 5
menemukan x 1: x 1=5 –3(–3 –B)–2a–4b= 14 –2a–B.
Kami menuliskan solusi umum:
x 1=14 –2a–b, x2=a,x3=–3 –b,x4=B.
Anda dapat menuliskan solusi umum dalam bentuk kolom-matriks:
Untuk nilai tertentu A Dan B, Anda bisa mendapatkan pribadi solusi. Misalnya kapan A=0,b=1 kita peroleh: adalah salah satu solusi dari sistem.
Perkataan. Dalam algoritma metode Gauss, kita telah melihat (kasus 1), bahwa ketidakkonsistenan sistem persamaan disebabkan oleh ketidaksesuaian barisan matriks utama dan matriks yang diperluas. Kami menyajikan teorema penting berikut tanpa bukti.
Teorema 7 (Kronecker-Capelli). Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks perluasan sistem tersebut.
Sistem persamaan linear - konsep dan jenis. Klasifikasi dan ciri-ciri kategori “Sistem persamaan linear” 2017, 2018.
Sehingga baris (atau kolomnya) bergantung linier. Misalkan suatu sistem yang berisi m persamaan linear dengan n yang tidak diketahui diberikan: 5.1. Mari kita perkenalkan notasi berikut. 5.2., - matriks sistem - matriks yang diperluas. - kolom anggota gratis. - kolom yang tidak diketahui. Jika... .
optimasi non-linier (NNO) dan sebaliknya. Pernyataan soal ZNO: Temukan (8.1) minimum atau maksimum di suatu area D. Seperti yang kita ingat dari matras. analisis, kita harus menyamakan turunan parsial dengan nol. Jadi, ZNO (8.1) direduksi menjadi SLE (8.2) (8.2) dari n persamaan nonlinier. ... .
Kuliah 15 Perhatikan sistem tak homogen (16) Jika koefisien-koefisien yang bersesuaian dari sistem homogen (7) sama dengan koefisien-koefisien yang bersesuaian dari sistem tak homogen (16), maka sistem homogen (7) disebut sistem tak homogen yang bersesuaian (16) . Dalil. Jika... [baca lebih lanjut] .
7.1 Sistem persamaan linear homogen. Misalkan diberikan sistem persamaan linier yang homogen (*) Misalkan himpunan bilangan merupakan suatu solusi untuk sistem ini. Maka himpunan angka juga merupakan solusi. Hal ini dibuktikan dengan substitusi langsung ke dalam persamaan sistem.... .
Tabel 3 Tahapan Perkembangan Motorik Anak Tahapan Usia Indikator Perkembangan Motorik Saat Lahir Sampai 4 Bulan Pembentukan Kontrol Posisi Kepala dan Kemungkinan Orientasi Bebasnya Dalam Ruang 4-6 Bulan Penguasaan Awal ... .
Definisi 1. Sistem persamaan linier berbentuk (1) , dimana medan disebut sistem persamaan linier m dengan n variabel yang tidak diketahui di lapangan, adalah koefisien dari variabel yang tidak diketahui, adalah anggota bebas sistem ( 1). Definisi 2. N-ka() terurut, dimana, disebut penyelesaian sistem linier ... .
