Մատրիցների հաշվարկը Քրամերի մեթոդով. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Կրամերի մեթոդը: Մատրիցային գործողություններ

Դիտարկենք 3 հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով

Օգտագործելով երրորդ կարգի որոշիչները, նման համակարգի լուծումը կարող է գրվել նույն ձևով, ինչ երկու հավասարումների համակարգի համար, այսինքն.

(2.4)

եթե 0. Այստեղ

Դա է Կրամերի կանոն երեք անհայտներով երեք գծային հավասարումների համակարգ լուծելը.

Օրինակ 2.3.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը.

Լուծում . Համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը գտնելը

Քանի որ 0, ապա համակարգի լուծում գտնելու համար կարող եք կիրառել Կրամերի կանոնը, բայց նախ հաշվարկեք ևս երեք որոշիչ.

Փորձաքննություն:

Ուստի լուծումը ճիշտ է գտնված։ 

2-րդ և 3-րդ կարգի գծային համակարգերի համար ստացված Կրամերի կանոնները հուշում են, որ նույն կանոնները կարող են ձևակերպվել ցանկացած կարգի գծային համակարգերի համար։ Իրոք տեղի է ունենում

Կրամերի թեորեմ. Գծային հավասարումների քառակուսի համակարգ՝ համակարգի հիմնական մատրիցայի ոչ զրոյական որոշիչով (0) ունի մեկ և միայն մեկ լուծում, և այս լուծումը հաշվարկվում է բանաձևերով

(2.5)

Որտեղ  – հիմնական մատրիցային որոշիչ,  ես – մատրիցային որոշիչ, բխում է հիմնական, փոխարինողեսրդ սյունակի ազատ անդամների սյունակ.

Նկատի ունեցեք, որ եթե =0, ապա Քրամերի կանոնը կիրառելի չէ։ Սա նշանակում է, որ համակարգը կամ ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ ունի անսահման շատ լուծումներ։

Ձևակերպելով Քրամերի թեորեմը՝ բնականաբար հարց է առաջանում ավելի բարձր կարգի որոշիչները հաշվարկելու մասին։

2.4. n-րդ կարգի որոշիչները

Լրացուցիչ անչափահաս Մ ijտարր ա ijկոչվում է տրվածից ջնջելով ստացված որոշիչը ես-րդ գիծը և ժ-րդ սյունակ. Հանրահաշվական գումարում Ա ijտարր ա ijկոչվում է այս տարրի մինոր՝ վերցված (–1) նշանով։ ես + ժ, այսինքն. Ա ij = (–1) ես + ժ Մ ij .

Օրինակ, եկեք գտնենք տարրերի մանր և հանրահաշվական լրացումներ ա 23 և ա 31 որոշիչ

Մենք ստանում ենք



Օգտագործելով հանրահաշվական լրացում հասկացությունը՝ կարող ենք ձևակերպել որոշիչ ընդլայնման թեորեմn-րդ կարգը ըստ տողի կամ սյունակի.

Թեորեմ 2.1. Մատրիցային որոշիչԱհավասար է որոշ տողի (կամ սյունակի) բոլոր տարրերի և դրանց հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարին.

(2.6)

Այս թեորեմի հիմքում ընկած է դետերմինանտների հաշվարկման հիմնական մեթոդներից մեկը, այսպես կոչված. պատվերի կրճատման մեթոդ. Որոշիչի ընդլայնման արդյունքում nՑանկացած տողում կամ սյունակում մենք ստանում ենք n որոշիչ ( n–1)-րդ կարգ. Որպեսզի նման որոշիչները քիչ լինեն, խորհուրդ է տրվում ընտրել ամենաշատ զրո ունեցող տողը կամ սյունակը: Գործնականում որոշիչի ընդլայնման բանաձևը սովորաբար գրվում է հետևյալ կերպ.

դրանք. հանրահաշվական հավելումները գրվում են հստակորեն փոքրերի առումով:

Օրինակներ 2.4.Հաշվեք որոշիչները՝ նախ ընդլայնելով դրանք ցանկացած տողում կամ սյունակում: Սովորաբար նման դեպքերում ընտրեք ամենաշատ զրո ունեցող սյունակը կամ տողը: Ընտրված տողը կամ սյունակը կնշվի սլաքով:



2.5. Որոշիչների հիմնական հատկությունները

Ընդլայնելով որոշիչը ցանկացած տողում կամ սյունակում, մենք ստանում ենք n որոշիչ ( n–1)-րդ կարգ. Այնուհետև այս որոշիչներից յուրաքանչյուրը ( n–1)-րդ կարգը կարող է նաև բաժանվել որոշիչների գումարի ( n-2)-րդ կարգը. Շարունակելով այս գործընթացը՝ կարելի է հասնել 1-ին կարգի որոշիչներին, այսինքն. մատրիցայի այն տարրերին, որոնց որոշիչը հաշվարկվում է: Այսպիսով, 2-րդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու համար դուք պետք է հաշվարկեք երկու անդամի գումարը, 3-րդ կարգի որոշիչների համար՝ 6 անդամի գումարը, 4-րդ կարգի որոշիչների համար՝ 24 անդամ: Տերմինների թիվը կտրուկ կավելանա, քանի որ որոշիչի հերթականությունը մեծանում է: Սա նշանակում է, որ շատ բարձր կարգի որոշիչների հաշվարկը դառնում է բավականին աշխատատար խնդիր՝ նույնիսկ համակարգչի ուժերից վեր։ Այնուամենայնիվ, որոշիչները կարելի է հաշվարկել այլ կերպ՝ օգտագործելով որոշիչների հատկությունները:

Գույք 1 . Որոշիչը չի փոխվի, եթե տողերն ու սյունակները փոխանակվեն դրանում, այսինքն. մատրիցա փոխադրելիս:

Այս հատկությունը ցույց է տալիս որոշիչի տողերի և սյունակների հավասարությունը: Այլ կերպ ասած, որոշիչի սյունակների մասին ցանկացած պնդում ճշմարիտ է նրա տողերի համար և հակառակը։

Գույք 2 . Որոշիչը փոխում է նշանը, երբ երկու տողեր (սյունակներ) փոխանակվում են:

Հետևանք . Եթե որոշիչն ունի երկու նույնական տող (սյունակ), ապա այն հավասար է զրոյի։

Գույք 3 . Ցանկացած տողի (սյունակի) բոլոր տարրերի ընդհանուր գործակիցը կարող է հանվել որոշիչի նշանից..

Օրինակ,

Հետևանք . Եթե որոշիչի որոշ տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի..

Գույք 4 . Որոշիչը չի փոխվի, եթե մի շարքի (սյունակի) տարրերն ավելացվեն մեկ այլ տողի (սյունակի) տարրերին՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով։.

Օրինակ,

Գույք 5 . Մատրիցային արտադրյալի որոշիչը հավասար է մատրիցային որոշիչների արտադրյալին.

Կրամերի մեթոդը հիմնված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման որոշիչ գործոնների օգտագործման վրա։ Սա մեծապես արագացնում է լուծման գործընթացը:

Կրամերի մեթոդը կարող է օգտագործվել այնքան գծային հավասարումների համակարգ լուծելու համար, որքան անհայտներ կան յուրաքանչյուր հավասարման մեջ։ Եթե համակարգի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա լուծման մեջ կարող է օգտագործվել Կրամերի մեթոդը, եթե այն հավասար է զրոյի, ապա չի կարող։ Բացի այդ, Կրամերի մեթոդով կարելի է լուծել գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք ունեն յուրահատուկ լուծում։

Սահմանում. Որոշիչը, որը կազմված է անհայտների գործակիցներից, կոչվում է համակարգի որոշիչ և նշանակվում է (դելտա):

Որոշիչներ

ստացվում են համապատասխան անհայտների գործակիցները ազատ թվերով փոխարինելով.

;

Կրամերի թեորեմ. Եթե համակարգի որոշիչը զրոյական չէ, ապա գծային հավասարումների համակարգը ունի մեկ լուծում, իսկ անհայտը հավասար է որոշիչների հարաբերակցությանը: Հայտարարը համակարգի որոշիչն է, իսկ համարիչը այն որոշիչն է, որը ստացվում է համակարգի որոշիչից՝ գործակիցներն անհայտով փոխարինելով ազատ անդամներով։ Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած կարգի գծային հավասարումների համակարգին:

Օրինակ 1Լուծեք գծային հավասարումների համակարգը.

Համաձայն Կրամերի թեորեմմենք ունենք:

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2):

առցանց հաշվիչ, Քրամերի լուծման մեթոդ:

Երեք դեպք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեջ

Ինչպես երևում է Կրամերի թեորեմները, գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս կարող է առաջանալ երեք դեպք.

Առաջին դեպք. Գծային հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում

(համակարգը հետևողական է և հստակ)

Երկրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ

(համակարգը հետևողական է և անորոշ)

** ,

դրանք. անհայտների և ազատ անդամների գործակիցները համաչափ են։

Երրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի

(համակարգը անհամապատասխան է)

Այսպիսով, համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nփոփոխականները կոչվում են անհամատեղելիեթե լուծումներ չունի, և համատեղեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Հավասարումների միասնական համակարգ, որն ունի միայն մեկ լուծում, կոչվում է որոշակի, և մեկից ավելի անորոշ.

Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ

Թող համակարգը

Քրամերի թեորեմի հիման վրա

………….
,

Որտեղ
-

համակարգի նույնացուցիչ: Մնացած որոշիչները ստացվում են՝ սյունակը համապատասխան փոփոխականի (անհայտ) գործակիցներով փոխարինելով ազատ անդամներով.

Օրինակ 2

Հետևաբար, համակարգը որոշակի է: Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները

Քրամերի բանաձևերով մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, (1; 0; -1) համակարգի միակ լուծումն է:

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ Cramer լուծման մեթոդը։

Եթե մեկ կամ մի քանի հավասարումների գծային հավասարումների համակարգում փոփոխականներ չկան, ապա որոշիչում դրանց համապատասխանող տարրերը հավասար են զրոյի։ Սա հաջորդ օրինակն է։

Օրինակ 3Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Ուշադիր նայեք հավասարումների համակարգին և համակարգի որոշիչին և կրկնեք այն հարցի պատասխանը, թե որ դեպքերում են որոշիչի մեկ կամ մի քանի տարրերը հավասար զրոյի: Այսպիսով, որոշիչը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, համակարգը որոշակի է։ Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Քրամերի բանաձևերով մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2; -1; 1):

Էջի վերևում

Մենք միասին շարունակում ենք համակարգեր լուծել՝ օգտագործելով Cramer մեթոդը

Ինչպես արդեն նշվեց, եթե համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, իսկ անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, ապա համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Եկեք պատկերացնենք հետևյալ օրինակով.

Օրինակ 6Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, հետևաբար գծային հավասարումների համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է և որոշակի, կա՛մ անհետևողական, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Պարզաբանելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, հետևաբար՝ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։

Գծային հավասարումների համակարգերի խնդիրներում կան նաև այնպիսիք, որտեղ, բացի փոփոխականներ նշանակող տառերից, կան նաև այլ տառեր։ Այս տառերը նշանակում են ինչ-որ թիվ, առավել հաճախ իրական թիվ: Գործնականում նման հավասարումները և հավասարումների համակարգերը հանգեցնում են ցանկացած երևույթի և առարկայի ընդհանուր հատկությունները գտնելու խնդիրների: Այսինքն՝ դուք ինչ-որ նոր նյութ կամ սարք եք հորինել, և դրա հատկությունները նկարագրելու համար, որոնք սովորական են՝ անկախ պատճենների չափից կամ քանակից, պետք է լուծել գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ փոփոխականների որոշ գործակիցների փոխարեն տառեր կան։ Պետք չէ հեռուն փնտրել օրինակների համար:

Հաջորդ օրինակը նմանատիպ խնդրի համար է, մեծանում է միայն որոշ իրական թվեր նշող հավասարումների, փոփոխականների և տառերի թիվը:

Օրինակ 8Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Անհայտների համար որոշիչներ գտնելը

Այս պարբերությունը յուրացնելու համար դուք պետք է կարողանաք բացել «երկու առ երկու» և «երեքը երեք» որակավորումները։ Եթե որակավորումները վատ են, խնդրում ենք ուսումնասիրել դասը Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Մենք նախ մանրամասնորեն դիտարկում ենք Կրամերի կանոնը երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? «Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարելի է լուծել դպրոցական մեթոդով, կիսամյակային հավելումով։

Փաստն այն է, որ նույնիսկ եթե երբեմն, բայց կա այդպիսի խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք խորհուրդ է տրվում լուծել հենց Քրամերի կանոնի համաձայն։

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևերով.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում ստորակետով տասնորդական կոտորակներ են։ Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքներում, ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում դուք, անշուշտ, կստանաք սարսափելի շքեղ կոտորակներ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման ձևավորումը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, բայց այստեղ կհայտնվեն նույն կոտորակները:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերվում են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ առաջադրանքը լուծվում է ըստ պատրաստի բանաձևերի, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդը կիրառելիս՝ պարտադիրՀանձնարարության հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Այսպիսով, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմը չհարգելու համար:

Ավելորդ չի լինի ստուգել, ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով պետք է ստացվեն թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմում:

Օրինակ 8

Ձեր պատասխանն արտահայտեք սովորական ոչ պատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա անկախ լուծման օրինակ է (նուրբ դիզայնի օրինակ և պատասխան դասի վերջում):

Մենք դիմում ենք Քրամերի կանոնի քննարկմանը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե , ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, հարկավոր է օգտագործել Գաուսի մեթոդը։

Եթե , ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեք» գործը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկուսը երկու» գործից, ազատ տերմինների սյունակը հաջորդաբար «քայլում» է ձախից աջ հիմնական որոշիչի սյունակների երկայնքով:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին մեկնաբանելու ոչինչ չկա, քանի որ որոշումն ընդունված է պատրաստի բանաձևերով։ Բայց կան մի քանի նշում.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատելի կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես խորհուրդ եմ տալիս հետեւյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ձեռքի տակ համակարգիչ չկա, մենք անում ենք հետևյալը.

1) Հաշվարկներում կարող է սխալ լինել. Հենց որ հանդիպեք «վատ» կրակոցի, դուք պետք է անմիջապես ստուգեք՝ արդյոք պայմանը ճիշտ է վերագրված. Եթե պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա անհրաժեշտ է վերահաշվարկել որոշիչները՝ օգտագործելով մեկ այլ տողի (սյունակի) ընդլայնումը:

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, տառասխալ է կատարվել հանձնարարության պայմանում։ Այս դեպքում հանգիստ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ առաջադրանքը լուծեք մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմել մաքուր օրինակի վրա: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով, դե, իսկապես սիրում է մինուս դնել ցանկացած վատ բանի համար։ Ինչպես վարվել կոտորակների հետ, մանրամասն ներկայացված է Օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա այն ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, առավել ձեռնտու է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ), դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որում սխալ եք թույլ տվել: Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով մատրիցային մեթոդը։

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ուշադիր գրել հիմնական որոշիչը.
- բացակայող փոփոխականների փոխարեն դրվում են զրոներ:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել ըստ այն տողի (սյունակի), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա օրինակ է ինքնորոշման համար (վերջնական նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Դուք կարող եք կենդանի օրինակ տեսնել «Determinant Properties» դասում: Որոշիչի հերթականության կրճատում - 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Չնայած առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում բախտավոր ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Այս բաժինն ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել հակադարձ մատրիցը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրվեն, երբ բացատրությունը առաջանա:

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումՄենք գրում ենք համակարգը մատրիցային ձևով.
, Որտեղ

Խնդրում ենք նայեք հավասարումների համակարգին և մատրիցներին: Ինչ սկզբունքով ենք տարրեր գրում մատրիցների մեջ, կարծում եմ բոլորը հասկանում են։ Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայում էին հավասարումների մեջ, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ տեղադրվեին։

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը :

Նախ, եկեք զբաղվենք որոշիչով.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողով։

Ուշադրություն. Եթե , ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման միջոցով (Գաուսի մեթոդ):

Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք 9 անչափահաս և դրանք գրեք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը տողի համարն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, մինչդեռ, օրինակ, տարրը գտնվում է 3-րդ շարքում, 2-րդ սյունակում:

Լուծման ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարագրել անչափահասների հաշվարկը, չնայած որոշակի փորձի դեպքում դրանք կարող են ճշգրտվել՝ բանավոր սխալներով հաշվելու համար։

Առաջին մասում դիտարկեցինք որոշ տեսական նյութ, փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ տերմին գումարման եղանակը։ Բոլոր նրանց, ովքեր եկել են կայք այս էջի միջոցով, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ առաջին մասը: Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ընթացքում ես մի շարք շատ կարևոր դիտողություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:

Իսկ այժմ մենք կվերլուծենք Կրամերի կանոնը, ինչպես նաև հակադարձ մատրիցով գծային հավասարումների համակարգի լուծումը (մատրիցի մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հստակ, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը վերը նշված մեթոդներով:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևերով.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Օրինակ 8

Ձեր պատասխանն արտահայտեք սովորական ոչ պատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա անկախ լուծման օրինակ է (նուրբ դիզայնի օրինակ և պատասխան դասի վերջում):

Մենք դիմում ենք Քրամերի կանոնի քննարկմանը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա օրինակ է ինքնորոշման համար (վերջնական նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումՄենք գրում ենք համակարգը մատրիցային ձևով.
, Որտեղ

Նախ, եկեք զբաղվենք որոշիչով.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողով։

Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք 9 անչափահաս և դրանք գրեք անչափահասների մատրիցայում

Մեթոդներ ԿրամերըԵվ Գաուսյանամենահայտնի լուծումներից մեկը ՍԼԱՈՒ. Բացի այդ, որոշ դեպքերում նպատակահարմար է կիրառել կոնկրետ մեթոդներ։ Նիստը մոտ է, և այժմ ժամանակն է դրանք զրոյից կրկնելու կամ տիրապետելու: Այսօր մենք լուծում ենք Cramer մեթոդով: Ի վերջո, Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգ լուծելը շատ օգտակար հմտություն է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը ձևի հավասարումների համակարգ է.

Արժեքի հավաքածու x , որի դեպքում համակարգի հավասարումները վերածվում են ինքնության, կոչվում է համակարգի լուծում, ա Եվ բ իրական գործակիցներ են։ Երկու անհայտներով երկու հավասարումներից բաղկացած պարզ համակարգը կարող է լուծվել մտովի կամ մեկ փոփոխականը մյուսով արտահայտելով: Բայց SLAE-ում կարող է լինել շատ ավելի, քան երկու փոփոխական (x), և դպրոցական պարզ մանիպուլյացիաներն այստեղ անփոխարինելի են: Ինչ անել? Օրինակ, լուծել SLAE-ը Քրամերի մեթոդով:

Այսպիսով, թող համակարգը լինի n հետ հավասարումներ n անհայտ.

Նման համակարգը կարող է վերաշարադրվել մատրիցային տեսքով

Այստեղ Ա համակարգի հիմնական մատրիցն է, X Եվ Բ , համապատասխանաբար, անհայտ փոփոխականների և ազատ անդամների սյունակային մատրիցներ։

SLAE լուծում Քրամերի մեթոդով

Եթե հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի (մատրիցան ոչ եզակի է), ապա համակարգը կարող է լուծվել Cramer մեթոդով:

Ըստ Կրամերի մեթոդի, լուծումը հայտնաբերվում է բանաձևերով.

Այստեղ դելտա հիմնական մատրիցայի որոշիչն է, և դելտա x n-րդ - հիմնական մատրիցայի որոշիչից ստացված որոշիչը՝ n-րդ սյունակը ազատ անդամներով սյունակով փոխարինելով։

Սա է Քրամերի մեթոդի ամբողջ իմաստը: Վերոնշյալ բանաձևերով հայտնաբերված արժեքների փոխարինում x դեպի ցանկալի համակարգ, մենք համոզված ենք մեր որոշման ճիշտության մեջ (կամ հակառակը): Որպեսզի օգնենք ձեզ արագ հասկանալ էությունը, մենք ստորև ներկայացնում ենք SLAE-ի մանրամասն լուծման օրինակ Cramer մեթոդով.

Նույնիսկ եթե առաջին անգամ չհաջողվի, մի հուսահատվեք: Մի փոքր պրակտիկայի դեպքում դուք կսկսեք ընկույզների պես ԴԱՂԴԱՓՈԽԵԼ: Ավելին, այժմ բացարձակապես պետք չէ ծակոտկեն ծակել նոթատետրի վրա՝ լուծելով ծանր հաշվարկներ և գրել ձողի վրա։ Հեշտ է լուծել SLAE-ը Cramer մեթոդով առցանց՝ պարզապես գործակիցները փոխարինելով պատրաստի ձևով: Կարող եք փորձել Cramer մեթոդը լուծելու առցանց հաշվիչը, օրինակ, այս կայքում:

Իսկ եթե պարզվեց, որ համակարգը համառ է և չի հանձնվում, միշտ կարող եք օգնություն խնդրել մեր հեղինակներից, օրինակ՝ սինոփսիս գնելու համար։ Եթե համակարգում կա առնվազն 100 անհայտ, մենք անպայման կլուծենք այն ճիշտ և ճիշտ ժամանակին: