Հավասարում ընդհանուր դիֆերենցիալներում. Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում Առաջին կարգի ընդհանուր դիֆերենցիալների հավասարում

Խնդրի շարադրանք երկչափ դեպքում

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի վերականգնում դրա ընդհանուր դիֆերենցիալից

9.1. Խնդրի շարադրանք երկչափ դեպքում. 72

9.2. Լուծման նկարագրությունը. 72

Սա երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալի կիրառություններից մեկն է։

Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի արտահայտությունը տրված է.

Գտեք գործառույթը:

1. Քանի որ ձևի յուրաքանչյուր արտահայտություն չէ, որ ինչ-որ ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալ է U(x,y), այնուհետև անհրաժեշտ է ստուգել խնդրի դրույթի ճշգրտությունը, այսինքն՝ ստուգել ընդհանուր դիֆերենցիալի անհրաժեշտ և բավարար պայմանը, որը 2 փոփոխականի ֆունկցիայի համար ունի . Այս պայմանը բխում է նախորդ բաժնի թեորեմում (2) և (3) պնդումների համարժեքությունից։ Եթե ​​նշված պայմանը բավարարված է, ապա խնդիրն ունի լուծում, այսինքն՝ ֆունկցիա U(x,y) կարող է վերականգնվել; եթե պայմանը չի կատարվում, ապա խնդիրը լուծում չունի, այսինքն՝ ֆունկցիան չի կարող վերականգնվել։

2. Դուք կարող եք գտնել ֆունկցիա իր ընդհանուր դիֆերենցիալով, օրինակ՝ օգտագործելով երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալը՝ այն հաշվարկելով ֆիքսված կետը միացնող գծից ( x 0 ,y 0) և փոփոխական կետ ( x;y) (Բրինձ. 18):

Այսպիսով, ստացվում է, որ ընդհանուր դիֆերենցիալի երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալը dU(x,y) հավասար է ֆունկցիայի արժեքների տարբերությանը U(x,y) ինտեգրման գծի վերջի և սկզբնական կետերում:

Հիմա իմանալով այս արդյունքը, մենք պետք է փոխարինենք դրա փոխարեն dUվերածել կորագիծ ինտեգրալ արտահայտության և հաշվարկել ինտեգրալը կոտրված գծի երկայնքով ( ACB), հաշվի առնելով դրա անկախությունը ինտեգրացիոն գծի ձևից.

վրա ( AC): վրա ( SW) :

(1)

Այսպիսով, ստացվել է մի բանաձև, որի օգնությամբ նրա ընդհանուր դիֆերենցիալից վերականգնվում է 2 փոփոխականի ֆունկցիա։

3. Հնարավոր է վերականգնել ֆունկցիան իր ընդհանուր դիֆերենցիալից միայն մինչև հաստատուն անդամ, քանի որ դ(U+ const) = dU. Ուստի խնդրի լուծման արդյունքում ստանում ենք մի շարք ֆունկցիաներ, որոնք միմյանցից տարբերվում են հաստատուն տերմինով։

Օրինակներ (վերականգնում է երկու փոփոխականի ֆունկցիան իր ընդհանուր դիֆերենցիալից)

1. Գտեք U(x,y), Եթե dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Մենք ստուգում ենք երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի պայմանը.

Ընդհանուր դիֆերենցիալի պայմանը բավարարված է, հետևաբար՝ ֆունկցիան U(x,y) կարող է վերականգնվել։

Ստուգում` ճիշտ:

Պատասխան. U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + Գ.

2. Գտի՛ր այնպիսի ֆունկցիա, որ

Մենք ստուգում ենք անհրաժեշտ և բավարար պայմանները երեք փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի համար՝ , , , եթե տրված է արտահայտությունը։

Լուծվող խնդրի մեջ

Ընդհանուր դիֆերենցիալի բոլոր պայմանները բավարարված են, հետևաբար, գործառույթը կարող է վերականգնվել (խնդիրը ճիշտ է դրված):

Մենք կվերականգնենք ֆունկցիան՝ օգտագործելով երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալը՝ այն հաշվարկելով ֆիքսված կետը և փոփոխական կետը միացնող որոշակի գծի երկայնքով, քանի որ.

(այս հավասարությունը ստացվում է այնպես, ինչպես երկչափ դեպքում):

Մյուս կողմից, ընդհանուր դիֆերենցիալի երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման գծի ձևից, ուստի ամենահեշտն է այն հաշվարկել կոտրված գծի երկայնքով, որը բաղկացած է կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ հատվածներից: Միևնույն ժամանակ, որպես ֆիքսված կետ, դուք կարող եք պարզապես վերցնել մի կետ հատուկ թվային կոորդինատներով, վերահսկելով միայն այն, որ այս կետում և ամբողջ ինտեգրման գծում բավարարված է կորագիծ ինտեգրալի գոյության պայմանը (այսինքն. գործառույթները և լինեն շարունակական): Հաշվի առնելով այս դիտողությունը՝ այս խնդրի մեջ մենք կարող ենք ֆիքսված կետ վերցնել, օրինակ՝ M 0 կետը: Այնուհետև կոտրված գծի հղումներից յուրաքանչյուրի վրա կունենանք

10.2. Առաջին տեսակի մակերևույթի ինտեգրալի հաշվարկ: 79

10.3. Առաջին տեսակի մակերևութային ինտեգրալի որոշ կիրառություններ: 81

Ցույց է տալիս, թե ինչպես ճանաչել դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալներում: Տրված են դրա լուծման մեթոդները։ Տրված է ընդհանուր դիֆերենցիալներով հավասարումը երկու եղանակով լուծելու օրինակ.

Բովանդակություն

Ներածություն

Ընդհանուր դիֆերենցիալների առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի հավասարումն է.
(1) ,
որտեղ հավասարման ձախ կողմը որոշ U ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է (x, y) x, y փոփոխականներից.
.
Որտեղ.

Եթե ​​նման ֆունկցիա U (x, y), ապա հավասարումը ստանում է ձև.
dU (x, y) = 0.
Դրա ընդհանուր ինտեգրալը.
U (x, y) = C,
որտեղ C-ն հաստատուն է:

Եթե ​​առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրված է ածանցյալով.
,
ապա դա հեշտ է այն ձևի բերել (1) . Դա անելու համար հավասարումը բազմապատկեք dx-ով: Հետո . Արդյունքում մենք ստանում ենք դիֆերենցիալներով արտահայտված հավասարում.
(1) .

Դիֆերենցիալ հավասարման հատկությունը ընդհանուր դիֆերենցիալներում

Որպեսզի հավասարումը (1) ընդհանուր դիֆերենցիալների հավասարում է, անհրաժեշտ է և բավարար, որ բավարարվի հետևյալ կապը.
(2) .

Ապացույց

Այնուհետև, մենք ենթադրում ենք, որ ապացուցման մեջ օգտագործված բոլոր գործառույթները սահմանված են և ունեն համապատասխան ածանցյալներ x և y որոշ միջակայքում: կետ x 0, y0նույնպես պատկանում է այս տարածքին։

Եկեք ապացուցենք պայմանի անհրաժեշտությունը (2).
Թողեք հավասարման ձախ կողմը (1) որոշ U ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է (x, y):
.
Հետո
;
.
Քանի որ երկրորդ ածանցյալը կախված չէ տարբերակման կարգից, ուրեմն
;
.
Այստեղից հետևում է, որ. Անհրաժեշտության պայման (2) ապացուցված.

Եկեք ապացուցենք պայմանի բավարարությունը (2).
Թող պայմանը (2) :
(2) .
Ցույց տանք, որ հնարավոր է գտնել նման U ֆունկցիա (x, y)որ դրա դիֆերենցիալն է.
.
Սա նշանակում է, որ կա նման U ֆունկցիա (x, y), որը բավարարում է հավասարումները.
(3) ;
(4) .
Եկեք նման գործառույթ գտնենք. Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը (3) x-ով x-ից 0 x-ին՝ ենթադրելով, որ y-ը հաստատուն է՝
;
;
(5) .
Տարբերեք y-ի նկատմամբ՝ ենթադրելով, որ x-ը հաստատուն է և կիրառեք (2) :

.
Հավասարումը (4) կկատարվի, եթե
.
Ինտեգրում y-ի նկատմամբ y-ից 0 դեպի y:
;
;
.
Փոխարինել ներս (5) :
(6) .
Այսպիսով, մենք գտել ենք մի ֆունկցիա, որի դիֆերենցիալն է
.
Բավարարությունն ապացուցված է։

Բանաձեւում (6) , Ու (x0, y0)հաստատուն է՝ U ֆունկցիայի արժեքը (x, y) x կետում 0, y0. Այն կարող է վերագրվել ցանկացած արժեք:

Ինչպե՞ս ճանաչել դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալներում

Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումը.
(1) .
Որոշելու համար, թե արդյոք այս հավասարումը լրիվ դիֆերենցիալ է, դուք պետք է ստուգեք պայմանը (2) :
(2) .
Եթե ​​այն պահպանվում է, ապա սա ընդհանուր դիֆերենցիալների հավասարում է: Եթե ​​ոչ, ապա սա ընդհանուր դիֆերենցիալների հավասարում չէ:

Օրինակ

Ստուգեք, արդյոք հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալների մեջ է.
.

Այստեղ
, .
Տարբերեք y-ի նկատմամբ՝ ենթադրելով, որ x-ը հաստատուն է.


.
Տարբերակող


.
Քանի որ:
,
ապա տրված հավասարումը գտնվում է ընդհանուր դիֆերենցիալներում:

Ընդհանուր դիֆերենցիալներում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ

Հերթական դիֆերենցիալ արդյունահանման մեթոդ

Ընդհանուր դիֆերենցիալներով հավասարումը լուծելու ամենապարզ մեթոդը դիֆերենցիալի հաջորդական արդյունահանման մեթոդն է: Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք դիֆերենցիալ ձևով գրված տարբերակման բանաձևեր.
du ± dv = դ (u±v);
v du + u dv = դ (ուլտրամանուշակագույն);
;
.
Այս բանաձևերում u և v կամայական արտահայտություններ են, որոնք կազմված են փոփոխականների ցանկացած համակցությունից։

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը.
.

Ավելի վաղ մենք պարզեցինք, որ այս հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալների մեջ է: Եկեք փոխակերպենք այն.
(P1) .
Մենք լուծում ենք հավասարումը` հաջորդաբար ընդգծելով դիֆերենցիալը:
;
;
;
;

.
Փոխարինել ներս (P1):
;
.

Հերթական ինտեգրման մեթոդ

Այս մեթոդում մենք փնտրում ենք U ֆունկցիան (x, y), բավարարելով հավասարումները.
(3) ;
(4) .

Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը (3) x-ում, ենթադրելով, որ y-ն հաստատուն է.
.
Այստեղ φ (y) y-ի կամայական ֆունկցիան է, որը պետք է սահմանվի: Դա ինտեգրման հաստատուն է։ Մենք փոխարինում ենք հավասարման մեջ (4) :
.
Այստեղից.
.
Ինտեգրվելով՝ մենք գտնում ենք φ (y)և այսպիսով U (x, y).

Օրինակ 2

Լուծեք հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալներով.
.

Ավելի վաղ մենք պարզեցինք, որ այս հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալների մեջ է: Ներկայացնենք նշումը.
, .
Փնտրում եմ գործառույթ U (x, y), որի դիֆերենցիալը հավասարման ձախ կողմն է.
.
Ապա.
(3) ;
(4) .
Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը (3) x-ում, ենթադրելով, որ y-ն հաստատուն է.
(P2)
.
Տարբերել y-ի նկատմամբ.

.
Փոխարինել ներս (4) :
;
.
Մենք ինտեգրում ենք.
.
Փոխարինել ներս (P2):

.
Հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ.
U (x, y) = կոնստ.
Մենք միավորում ենք երկու հաստատուն մեկի մեջ:

Կորի երկայնքով ինտեգրման մեթոդ

U ֆունկցիան սահմանված է հարաբերությամբ.
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
կարելի է գտնել՝ միավորելով այս հավասարումը կետերը միացնող կորի երկայնքով (x0, y0)Եվ (x, y):
(7) .
Քանի որ
(8) ,
ապա ինտեգրալը կախված է միայն սկզբնականի կոորդինատներից (x0, y0)և վերջնական (x, y)միավոր է և կախված չէ կորի ձևից: Սկսած (7) Եվ (8) մենք գտնում ենք.
(9) .
Այստեղ x 0 և y 0 - մշտական. Ուստի Ու (x0, y0)նույնպես հաստատուն է.

U-ի նման սահմանման օրինակը ստացվել է ապացույցում.
(6) .
Այստեղ ինտեգրումը նախ կատարվում է կետից y առանցքին զուգահեռ հատվածի երկայնքով (x 0, y 0)դեպի կետ (x0, y). Այնուհետև ինտեգրումը կատարվում է կետից x առանցքին զուգահեռ հատվածի երկայնքով (x0, y)դեպի կետ (x, y) .

Ավելի ընդհանուր դեպքում անհրաժեշտ է ներկայացնել կետերը միացնող կորի հավասարումը (x 0, y 0)Եվ (x, y)պարամետրային ձևով.
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
և ինտեգրվել տ 1 տ–ից 0 դեպի տ.

Ամենապարզ ինտեգրումը կետերը միացնող հատվածի վրա է (x 0, y 0)Եվ (x, y). Այս դեպքում:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) տ 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
տ 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; դի 1 = (y - y 0) dt 1.
Փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք t-ի ինտեգրալը 0 նախքան 1 .
Այս մեթոդը, սակայն, հանգեցնում է բավականին ծանր հաշվարկների։

Հղումներ:
Վ.Վ. Ստեփանով, Դիֆերենցիալ հավասարումների դասընթաց, LKI, 2015 թ.

որոշ գործառույթներ. Եթե ​​ֆունկցիան վերականգնենք նրա ընդհանուր դիֆերենցիալից, ապա կգտնենք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը։ Ստորև կխոսենք դրա մասին ֆունկցիան իր ընդհանուր դիֆերենցիալից վերականգնելու մեթոդը.

Դիֆերենցիալ հավասարման ձախ կողմը որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է U(x, y) = 0պայմանը բավարարելու դեպքում.

Որովհետեւ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ U(x, y) = 0Սա , ինչը նշանակում է , որ այն պայմաններում են ասում .

Հետո, .

Համակարգի առաջին հավասարումից մենք ստանում ենք . Մենք գտնում ենք ֆունկցիան՝ օգտագործելով համակարգի երկրորդ հավասարումը.

Այսպիսով, մենք կգտնենք ցանկալի գործառույթը U(x, y) = 0.

Օրինակ.

Եկեք գտնենք DE-ի ընդհանուր լուծումը .

Լուծում.

Մեր օրինակում. Պայմանը բավարարված է, քանի որ.

Այնուհետև սկզբնական DE-ի ձախ կողմը որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է U(x, y) = 0. Մենք պետք է գտնենք այս գործառույթը:

Որովհետեւ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է U(x, y) = 0, Նշանակում է.

.

Ինտեգրումը ավարտվել է xՀամակարգի 1-ին հավասարումը և տարբերվող yարդյունք:

.

Համակարգի 2-րդ հավասարումից ստանում ենք . Նշանակում է՝

Որտեղ ՀԵՏկամայական հաստատուն է:

Այսպիսով, և տրված հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը կլինի .

Կա երկրորդ ֆունկցիան իր ընդհանուր դիֆերենցիալից հաշվարկելու մեթոդ. Այն բաղկացած է ֆիքսված կետի կորագիծ ինտեգրալից (x0, y0)դեպի փոփոխական կոորդինատներով կետ (x, y): . Այս դեպքում ինտեգրալի արժեքը անկախ է ինտեգրման ուղուց: Հարմար է որպես ինտեգրման ուղի վերցնել կոտրված գիծը, որի կապերը զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին։

Օրինակ.

Եկեք գտնենք DE-ի ընդհանուր լուծումը .

Լուծում.

Մենք ստուգում ենք պայմանի կատարումը.

Այսպիսով, DE-ի ձախ կողմը որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է U(x, y) = 0. Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիան՝ հաշվարկելով կետի կորագիծ ինտեգրալը (1; 1) նախքան (x, y). Որպես ինտեգրման ուղի մենք վերցնում ենք պոլիգիծը. մենք կանցնենք պոլիգծի առաջին հատվածով ուղիղ գծով y=1կետից (1, 1) նախքան (x, 1), որպես ճանապարհի երկրորդ հատված՝ մենք ուղիղ գծի հատված ենք վերցնում կետից (x, 1)նախքան (x, y):

Այսպիսով, DE-ի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է. .

Օրինակ.

Եկեք սահմանենք DE-ի ընդհանուր լուծումը:

Լուծում.

Որովհետեւ , ապա պայմանը չի բավարարվում, ապա DE-ի ձախ կողմը չի լինի ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը, և դուք պետք է օգտագործեք լուծման երկրորդ մեթոդը (այս հավասարումը դիֆերենցիալ հավասարում է բաժանելի փոփոխականներով):

Կարող է պատահել, որ դիֆերենցիալ հավասարման ձախ կողմը

որոշ ֆունկցիաների ընդհանուր դիֆերենցիալն է.

և հետևաբար (7) հավասարումը ստանում է ձև:

Եթե ​​ֆունկցիան լուծում է (7), ապա և, հետևաբար,

որտեղ հաստատուն է, և հակառակը, եթե ինչ-որ ֆունկցիա վերջնական հավասարումը (8) վերածում է նույնականության, ապա, տարբերակելով ստացված ինքնությունը, մենք ստանում ենք, և, հետևաբար, որտեղ կա կամայական հաստատուն, բնօրինակի ընդհանուր ինտեգրալն է։ հավասարումը։

Եթե ​​տրված են սկզբնական արժեքները, ապա հաստատունը որոշվում է (8) և

ցանկալի մասնակի ինտեգրալն է։ Եթե ​​կետում, ապա (9) հավասարումը սահմանում է որպես անուղղակի ֆունկցիա:

Որպեսզի (7) հավասարման ձախ կողմը լինի որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ

Եթե ​​Էյլերի կողմից նշված այս պայմանը բավարարված է, ապա (7) հավասարումը հեշտությամբ ինտեգրվում է: Իսկապես, . Մյուս կողմից, . Հետևաբար,

Ինտեգրալը հաշվարկելիս արժեքը դիտվում է որպես հաստատուն, հետևաբար այն կամայական ֆունկցիա է: Ֆունկցիան որոշելու համար գտնված ֆունկցիան տարբերում ենք և, քանի որ, ստանում ենք

Այս հավասարումից մենք որոշում ենք և, ինտեգրվելով, գտնում ենք.

Ինչպես հայտնի է մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքից, նույնիսկ ավելի հեշտ է ֆունկցիա սահմանել իր ընդհանուր դիֆերենցիալով՝ հաշվի առնելով կորագիծ ինտեգրալը ինչ-որ ֆիքսված կետի և փոփոխական կոորդինատներով կետի միջև ցանկացած ճանապարհի վրա.

Ամենից հաճախ, որպես ինտեգրման ուղի, հարմար է վերցնել կոտրված գիծ, ​​որը կազմված է կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ երկու հղումներից. այս դեպքում

Օրինակ. .

Հավասարման ձախ կողմը որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է, քանի որ

Ուստի ընդհանուր ինտեգրալն ունի ձև

Ֆունկցիան սահմանելու համար կարող եք օգտագործել մեկ այլ մեթոդ.

Ելակետի համար մենք ընտրում ենք, օրինակ, կոորդինատների ծագումը, որպես ինտեգրման ուղի՝ կոտրված գիծ: Հետո

իսկ ընդհանուր ինտեգրալն ունի ձև

Ինչը համընկնում է նախորդ արդյունքի հետ՝ հանգեցնելով ընդհանուր հայտարարի.

Որոշ դեպքերում, երբ (7) հավասարման ձախ կողմը լրիվ դիֆերենցիալ չէ, հեշտ է գտնել մի ֆունկցիա, որով բազմապատկելուց հետո (7) հավասարման ձախ կողմը վերածվում է ընդհանուր դիֆերենցիալի: Նման ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրող գործոն. Նկատի ունեցեք, որ ինտեգրող գործակցով բազմապատկումը կարող է հանգեցնել լրացուցիչ կոնկրետ լուծումների ի հայտ գալուն, որոնք այս գործակիցը դարձնում են զրո:

Օրինակ. .

Ակնհայտ է, որ գործակցով բազմապատկելուց հետո ձախ կողմը վերածվում է ընդհանուր դիֆերենցիալի։ Իսկապես, բազմապատկելուց հետո մենք ստանում ենք

կամ, ինտեգրելով, . Բազմապատկելով 2-ով և հզորացնելով՝ կունենանք .

Իհարկե, ինտեգրող գործոնը միշտ չէ, որ այդքան հեշտ է ընտրվում։ Ընդհանուր դեպքում, ինտեգրող գործոնը գտնելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հավասարման առնվազն մեկ կոնկրետ լուծում մասնակի ածանցյալներով, որը նույնական զրոյական չէ կամ ընդլայնված տեսքով:

որը բաժանելուց և որոշ անդամներ հավասարության մյուս մասին փոխանցելուց հետո վերածվում է ձևի

Ընդհանուր դեպքում, այս մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրումը ոչ մի կերպ ավելի պարզ խնդիր չէ, քան սկզբնական հավասարումը, բայց որոշ դեպքերում (11) հավասարման որոշակի լուծման ընտրությունը դժվար չէ:

Բացի այդ, ենթադրելով, որ ինտեգրող գործոնը միայն մեկ արգումենտի ֆունկցիա է (օրինակ, այն միայն կամ միայն , կամ ֆունկցիա է միայն , կամ միայն և այլն), մենք կարող ենք հեշտությամբ ինտեգրել հավասարումը (11) և նշեք այն պայմանները, որոնցում առկա է դիտարկվող ձևի ինտեգրող գործոնը: Այսպիսով, առանձնացվում են հավասարումների դասեր, որոնց համար հեշտությամբ կարելի է գտնել ինտեգրող գործոնը։

Օրինակ, եկեք գտնենք այն պայմանները, որոնց դեպքում հավասարումն ունի ինտեգրող գործոն, որը կախված է միայն , այսինքն. . Այս դեպքում հավասարումը (11) պարզեցված է և ստանում է ձև, որտեղից, ենթադրելով, որ այն անընդմեջ ֆունկցիա է, մենք ստանում ենք.

Եթե ​​միայն ֆունկցիան է, ապա ինտեգրող գործոնը կախված է միայն ,-ից, գոյություն ունի և հավասար է (12-ին), հակառակ դեպքում ձևի ինտեգրող գործոնը գոյություն չունի:

Միայն կախված ինտեգրող գործոնի գոյության պայմանը բավարարվում է, օրինակ, գծային հավասարման կամ . Իսկապես, և, հետևաբար, . Նմանապես կարելի է գտնել ձևի ինտեգրող գործոնների գոյության պայմաններ և այլն։

Օրինակ.Արդյո՞ք հավասարումը ունի ձևի ինտեգրող գործակից:

Նշենք. Հավասարումը (11) at-ն ունի , որտեղից կամ

Տվյալ ձևի ինտեգրող գործոնի առկայության համար անհրաժեշտ է և, շարունակականության ենթադրությամբ, բավարար է միայն . Այս դեպքում, հետևաբար, ինտեգրող գործոնը գոյություն ունի և հավասար է (13): Երբ մենք ստանում ենք. Բազմապատկելով սկզբնական հավասարումը , այն բերում ենք ձևի

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք , և հզորացումից հետո կունենանք , կամ բևեռային կոորդինատներում՝ լոգարիթմական պարույրների ընտանիք։

Օրինակ. Գտե՛ք հայելու այն ձևը, որը արտացոլում է տվյալ կետից ելնող բոլոր ճառագայթները։

Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղադրում ենք տվյալ կետում և աբսցիսայի առանցքը ուղղում ենք խնդրի պայմաններում նշված ուղղությանը։ Թող ճառագայթը ընկնի հայելու վրա կետում: Դիտարկենք հայելու մի հատվածը աբսցիսայի առանցքով և կետով անցնող հարթությամբ: Եկեք շոշափենք կետում հայելու մակերեսի դիտարկված հատվածին: Քանի որ ճառագայթի անկման անկյունը հավասար է անդրադարձման անկյունին, եռանկյունը հավասարաչափ է: Հետևաբար,

Ստացված միատարր հավասարումը հեշտությամբ ինտեգրվում է փոփոխականների փոփոխությամբ, բայց նույնիսկ ավելի հեշտ է, ազատվելով հայտարարի իռացիոնալությունից, այն վերաշարադրել ձևով: Այս հավասարումն ունի ակնհայտ ինտեգրող գործոն , , , (պարաբոլաների ընտանիք):

Այս խնդիրը նույնիսկ ավելի հեշտ է լուծել կոորդինատներով և որտեղ, մինչդեռ ցանկալի մակերեսների հատվածի հավասարումը ձև է ստանում:

Հնարավոր է ապացուցել ինտեգրող գործոնի առկայությունը, կամ, նույնը, մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման (11) ոչ զրոյական լուծման առկայությունը որոշ տիրույթում, եթե ֆունկցիաները և ունեն շարունակական ածանցյալներ և դրանցից առնվազն մեկը։ գործառույթները չեն անհետանում. Հետևաբար, ինտեգրող գործոնի մեթոդը կարելի է համարել ձևի հավասարումների ինտեգրման ընդհանուր մեթոդ, սակայն ինտեգրող գործակիցը գտնելու դժվարության պատճառով այս մեթոդն առավել հաճախ օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ինտեգրող գործոնն ակնհայտ է: