Հավասարումների համակարգ. Մանրամասն տեսություն օրինակներով (2020 թ.): Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակներ. լուծման մեթոդ Միատարր և անհամասեռ գծային հանրահաշվական համակարգերի ընդհանուր լուծում գրել լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների միջոցով

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը (SLAE) անկասկած գծային հանրահաշվի դասընթացի ամենակարևոր թեման է: Մաթեմատիկայի բոլոր ճյուղերից հսկայական թվով խնդիրներ վերցվում են գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը: Այս գործոնները բացատրում են այս հոդվածի ստեղծման պատճառը։ Հոդվածի նյութն ընտրված և կառուցված է այնպես, որ դրա օգնությամբ կարողանաք

• ընտրեք ձեր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու օպտիմալ մեթոդը,
• ուսումնասիրել ընտրված մեթոդի տեսությունը,
• լուծել ձեր գծային հավասարումների համակարգը՝ մանրամասն դիտարկելով բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումները։

Հոդվածի նյութի համառոտ նկարագրությունը.

Նախ, մենք տալիս ենք բոլոր անհրաժեշտ սահմանումները, հասկացությունները և ներկայացնում ենք որոշակի նշում:

Այնուհետև մենք դիտարկում ենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին և որոնք ունեն եզակի լուծում: Նախ՝ կենտրոնանանք Կրամերի մեթոդի վրա, երկրորդ՝ ցույց կտանք նման հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը, և երրորդ՝ կվերլուծենք Գաուսի մեթոդը (անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ)։ Տեսությունը համախմբելու համար մենք անպայման կլուծենք մի քանի SLAE տարբեր ձևերով:

Դրանից հետո մենք դիմում ենք ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծմանը, որոնցում հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների թվի հետ կամ համակարգի հիմնական մատրիցը այլասերված է։ Մենք ձևակերպում ենք Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը, որը թույլ է տալիս հաստատել SLAE-ների համատեղելիությունը։ Եկեք վերլուծենք համակարգերի լուծումը (դրանց համատեղելիության դեպքում)՝ օգտագործելով մատրիցայի հիմնական մինոր հասկացությունը։ Կդիտարկենք նաև Գաուսի մեթոդը և մանրամասն նկարագրելու ենք օրինակների լուծումները։

Անպայման կանգ առեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ և անհամասեռ համակարգերի ընդհանուր լուծման կառուցվածքի վրա: Եկեք տանք լուծումների հիմնարար համակարգի հայեցակարգը և ցույց տանք, թե ինչպես է SLAE-ի ընդհանուր լուծումը գրվում՝ օգտագործելով լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորները: Ավելի լավ հասկանալու համար տեսնենք մի քանի օրինակ։

Եզրափակելով, մենք դիտարկում ենք հավասարումների համակարգեր, որոնք վերածվում են գծայինի, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ, որոնց լուծման ժամանակ առաջանում են SLAE-ներ:

Էջի նավարկություն.

Սահմանումներ, հասկացություններ, նշանակումներ:

Մենք կդիտարկենք p գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր n անհայտ փոփոխականներով (p-ն կարող է հավասար լինել n-ի) ձևի

Անհայտ փոփոխականներ, - գործակիցներ (որոշ իրական կամ բարդ թվեր), - ազատ անդամներ (նաև իրական կամ բարդ թվեր):

SLAE-ի այս ձևը կոչվում է համակարգել.

IN մատրիցային ձևԱյս հավասարումների համակարգը ունի ձև.
Որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցան, - անհայտ փոփոխականների մատրիցա-սյունակ, - ազատ անդամների մատրիցա-սյունակ:

Եթե ​​A մատրիցին որպես (n + 1)-րդ սյունակ ավելացնենք ազատ անդամների մատրից-սյունակը, ապա կստանանք այսպես կոչված. ընդլայնված մատրիցագծային հավասարումների համակարգեր։ Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, իսկ ազատ անդամների սյունակը մնացած սյուներից բաժանվում է ուղղահայաց գծով, այսինքն.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ լուծելովկոչվում է անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք, որը համակարգի բոլոր հավասարումները վերածում է նույնականության: Անհայտ փոփոխականների տրված արժեքների մատրիցային հավասարումը նույնպես վերածվում է ինքնության:

Եթե ​​հավասարումների համակարգն ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղ.

Եթե ​​հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, ապա այն կոչվում է անհամատեղելի.

Եթե ​​SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, ապա այն կոչվում է որոշակի; եթե կան մեկից ավելի լուծումներ, ապա. անորոշ.

Եթե ​​համակարգի բոլոր հավասարումների ազատ անդամները հավասար են զրոյի , ապա համակարգը կոչվում է միատարրհակառակ դեպքում - տարասեռ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգերի լուծում.

Եթե ​​համակարգի հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ նրա հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա մենք այդպիսի SLAE-ներ կանվանենք. տարրական. Հավասարումների նման համակարգերն ունեն եզակի լուծում, իսկ միատարր համակարգի դեպքում բոլոր անհայտ փոփոխականները հավասար են զրոյի։

Նման SLAE-ն սկսել ենք ուսումնասիրել ավագ դպրոցում: Դրանք լուծելիս վերցրինք մեկ հավասարում, մեկ անհայտ փոփոխականն արտահայտեցինք մյուսներով և փոխարինեցինք մնացած հավասարումներով, այնուհետև վերցրեցինք հաջորդ հավասարումը, արտահայտեցինք հաջորդ անհայտ փոփոխականը և այն փոխարինեցինք այլ հավասարումներով և այլն։ Կամ օգտագործում էին գումարման մեթոդը, այսինքն՝ ավելացնում էին երկու կամ ավելի հավասարումներ՝ որոշ անհայտ փոփոխականներ վերացնելու համար։ Մենք մանրամասնորեն չենք անդրադառնա այս մեթոդներին, քանի որ դրանք ըստ էության Գաուսի մեթոդի փոփոխություններն են:

Գծային հավասարումների տարրական համակարգերի լուծման հիմնական մեթոդներն են Կրամերի մեթոդը, մատրիցային մեթոդը և Գաուսի մեթոդը։ Եկեք դասավորենք դրանք:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Քրամերի մեթոդով.

Եկեք լուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ

որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, այսինքն՝ .

Թող լինի համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը, և մատրիցների որոշիչներ են, որոնք ստացվում են A-ից՝ փոխարինելով 1-ին, 2-րդ, ..., n-րդսյունակ՝ համապատասխանաբար ազատ անդամների սյունակին.

Նման նշումով անհայտ փոփոխականները հաշվարկվում են Քրամերի մեթոդի բանաձևերով՝ որպես . Այսպես է գտնում գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը Կրամերի մեթոդով։

Օրինակ.

Կրամերի մեթոդ .

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցն ունի ձև . Հաշվեք դրա որոշիչը (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Քանի որ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով։

Կազմել և հաշվարկել անհրաժեշտ որոշիչները (որոշիչը ստացվում է A մատրիցի առաջին սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով, որոշիչը՝ երկրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով, - Ա մատրիցի երրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով. ):

Բանաձևերի միջոցով գտնել անհայտ փոփոխականներ :

Պատասխան.

Քրամերի մեթոդի հիմնական թերությունը (եթե այն կարելի է անվանել թերություն) որոշիչները հաշվարկելու բարդությունն է, երբ համակարգի հավասարումների թիվը երեքից ավելի է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (օգտագործելով հակադարձ մատրիցը):

Թող գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը տրվի մատրիցային ձևով, որտեղ A մատրիցը ունի n չափս n-ով, և դրա որոշիչը զրոյական չէ:

Քանի որ , ուրեմն A մատրիցը շրջելի է, այսինքն՝ կա հակադարձ մատրիցա։ Եթե ​​հավասարության երկու մասերը բազմապատկենք ձախ կողմում, ապա կստանանք անհայտ փոփոխականների սյունակային մատրիցը գտնելու բանաձև։ Այսպիսով, մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդով:

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը մատրիցային մեթոդ.

Լուծում.

Եկեք վերագրենք հավասարումների համակարգը մատրիցային ձևով.

Որովհետեւ

ապա SLAE-ը կարող է լուծվել մատրիցային մեթոդով: Օգտագործելով հակադարձ մատրիցը, այս համակարգի լուծումը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ .

Եկեք կառուցենք հակադարձ մատրիցա՝ օգտագործելով A մատրիցի տարրերի հանրահաշվական լրացումների մատրիցը (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Մնում է հաշվարկել՝ անհայտ փոփոխականների մատրիցը՝ հակադարձ մատրիցը բազմապատկելով ազատ անդամների մատրիցա-սյունակի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը).

Պատասխան.

կամ մեկ այլ նշումով x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1:

Մատրիցային մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումներ գտնելու հիմնական խնդիրը հակադարձ մատրիցը գտնելու բարդությունն է, հատկապես երրորդից բարձր կարգի քառակուսի մատրիցների համար։

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով։

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծում գտնենք n անհայտ փոփոխականներով n գծային հավասարումների համակարգի համար
որի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից։

Գաուսի մեթոդի էությունըբաղկացած է անհայտ փոփոխականների հաջորդական բացառումից. նախ x 1-ը բացառվում է համակարգի բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից, ապա x 2-ը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից և այլն, մինչև միայն անհայտ փոփոխականը։ x n-ը մնում է վերջին հավասարման մեջ: Անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման համար համակարգի հավասարումների վերափոխման նման գործընթացը կոչվում է ուղղակի Գաուսի մեթոդ. Գաուսի մեթոդի առաջընթացի ավարտից հետո x n-ը հայտնաբերվում է վերջին հավասարումից, x n-1-ը հաշվարկվում է նախավերջին հավասարումից՝ օգտագործելով այս արժեքը, և այսպես շարունակ, x 1-ը՝ առաջին հավասարումից: Անհայտ փոփոխականների հաշվարկման գործընթացը համակարգի վերջին հավասարումից առաջինին անցնելիս կոչվում է հակադարձ Գաուսի մեթոդ.

Եկեք համառոտ նկարագրենք անհայտ փոփոխականների վերացման ալգորիթմը:

Մենք կենթադրենք, որ, քանի որ մենք միշտ կարող ենք հասնել դրան՝ վերադասավորելով համակարգի հավասարումները: x 1 անհայտ փոփոխականը բացառում ենք համակարգի բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։ Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարմանը ավելացրեք առաջին բազմապատկած հավասարումը, երրորդին ավելացրեք առաջինը բազմապատկած, և այսպես շարունակ, առաջինը բազմապատկածը ավելացրեք n-րդ հավասարմանը: Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ, ա .

Մենք նույն արդյունքին կհասնեինք, եթե համակարգի առաջին հավասարման այլ անհայտ փոփոխականներով արտահայտեինք x 1 և ստացված արտահայտությունը փոխարինեինք մնացած բոլոր հավասարումներով: Այսպիսով, x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։

Հաջորդը, մենք գործում ենք նույն կերպ, բայց միայն արդյունքում ստացված համակարգի մի մասով, որը նշված է նկարում

Դա անելու համար համակարգի երրորդ հավասարմանը ավելացրեք երկրորդը բազմապատկած, չորրորդ հավասարմանը ավելացրեք երկրորդը բազմապատկած, և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը ավելացրեք երկրորդը բազմապատկած: Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ, ա . Այսպիսով, x 2 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից։

Հաջորդը, մենք անցնում ենք անհայտ x 3-ի վերացմանը, մինչդեռ նույն կերպ վարվում ենք նկարում նշված համակարգի մասի հետ:

Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքը, մինչև համակարգը ձևավորվի

Այս պահից սկսում ենք Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը. վերջին հավասարումից մենք հաշվում ենք x n, քանի որ ստացված x n արժեքով մենք գտնում ենք x n-1 նախավերջին հավասարումից և այսպես շարունակ՝ առաջինից գտնում ենք x 1: հավասարումը։

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդ.

Լուծում.

Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից բացառենք x 1 անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար երկրորդ և երրորդ հավասարումների երկու մասերին ավելացնում ենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով և բազմապատկելով.

Այժմ մենք երրորդ հավասարումից բացառում ենք x 2-ը` դրա ձախ և աջ մասերին ավելացնելով երկրորդ հավասարման ձախ և աջ մասերը` բազմապատկելով.

Դրա վրա ավարտվում է Գաուսի մեթոդի առաջընթացը, մենք սկսում ենք հակառակ ընթացքը:

Ստացված հավասարումների համակարգի վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 3.

Երկրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք.

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք մնացած անհայտ փոփոխականը և սա ավարտում է Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը:

Պատասխան.

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1:

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում.

Ընդհանուր դեպքում p համակարգի հավասարումների թիվը չի համընկնում n անհայտ փոփոխականների թվի հետ.

Նման SLAE-ները կարող են չունենալ լուծումներ, ունենալ մեկ լուծում կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Այս պնդումը վերաբերում է նաև հավասարումների համակարգերին, որոնց հիմնական մատրիցը քառակուսի և այլասերված է:

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ.

Նախքան գծային հավասարումների համակարգի լուծում գտնելը, անհրաժեշտ է հաստատել դրա համատեղելիությունը: Հարցի պատասխանը, թե երբ է SLAE-ն համատեղելի, իսկ երբ՝ անհամատեղելի, տալիս է Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ:
Որպեսզի n անհայտ ունեցող p հավասարումների համակարգը (p-ն կարող է հավասար լինել n-ին) համատեղելի լինի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, այսինքն՝ Rank( Ա)=Վարկանիշ (T) .

Որպես օրինակ դիտարկենք Կրոնեկեր-Կապելլի թեորեմի կիրառումը գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը որոշելու համար։

Օրինակ.

Պարզեք, արդյոք գծային հավասարումների համակարգը ունի լուծումներ։

Լուծում.

. Եկեք օգտագործենք անչափահասներին սահմանազատելու մեթոդը։ Երկրորդ կարգի անչափահաս տարբերվում է զրոյից: Եկեք անդրադառնանք դրա շուրջ երրորդ կարգի անչափահասներին.

Քանի որ բոլոր սահմանակից երրորդ կարգի անչափահասները հավասար են զրոյի, հիմնական մատրիցայի աստիճանը երկու է:

Իր հերթին, ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար է երեքի, քանի որ երրորդ կարգի անչափահաս է

տարբերվում է զրոյից:

Այսպիսով, Rang(A) , հետևաբար, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ գծային հավասարումների սկզբնական համակարգը անհամապատասխան է:

Պատասխան.

Լուծման համակարգ չկա.

Այսպիսով, մենք սովորեցինք հաստատել համակարգի անհամապատասխանությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը:

Բայց ինչպե՞ս գտնել SLAE-ի լուծումը, եթե հաստատվի դրա համատեղելիությունը:

Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է մատրիցի հիմնական մինորի հայեցակարգը և մատրիցի աստիճանի թեորեմը:

A մատրիցի ամենաբարձր կարգի մինորը, բացի զրոյից, կոչվում է հիմնական.

Հիմնական մինորի սահմանումից բխում է, որ դրա կարգը հավասար է մատրիցայի աստիճանին։ Ոչ զրոյական A մատրիցի համար կարող են լինել մի քանի հիմնական մինորներ, միշտ կա մեկ հիմնական փոքր:

Օրինակ, հաշվի առեք մատրիցը .

Այս մատրիցայի բոլոր երրորդ կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, քանի որ այս մատրիցայի երրորդ շարքի տարրերը առաջին և երկրորդ շարքերի համապատասխան տարրերի գումարն են։

Երկրորդ կարգի հետևյալ անչափահասները հիմնական են, քանի որ դրանք զրոյական չեն

Անչափահասներ հիմնական չեն, քանի որ հավասար են զրոյի։

Մատրիցային աստիճանի թեորեմ.

Եթե ​​p-ի n-ով կարգի մատրիցայի աստիճանը r է, ապա մատրիցի տողերի (և սյունակների) բոլոր տարրերը, որոնք չեն կազմում ընտրված հիմնական մինորը, գծային կերպով արտահայտվում են տողերի (և սյունակների) համապատասխան տարրերով: ) որոնք հիմք են հանդիսանում անչափահաս:

Ի՞նչ է մեզ տալիս մատրիցային աստիճանի թեորեմը:

Եթե ​​Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմով մենք հաստատել ենք համակարգի համատեղելիությունը, ապա մենք ընտրում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի ցանկացած հիմնական մինոր (նրա կարգը հավասար է r-ի), և համակարգից բացառում ենք բոլոր հավասարումները, որոնք չեն ձևավորել ընտրված հիմնական փոքրը: Այս կերպ ստացված SLAE-ը համարժեք կլինի սկզբնականին, քանի որ հեռացված հավասարումները դեռ ավելորդ են (ըստ մատրիցային աստիճանի թեորեմի՝ դրանք մնացած հավասարումների գծային համակցությունն են)։

Արդյունքում, համակարգի չափից դուրս հավասարումները դեն նետելուց հետո հնարավոր է երկու դեպք.

Եթե ​​ստացված համակարգում r հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա այն կլինի որոշակի, և միակ լուծումը կարելի է գտնել Կրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Օրինակ.

.

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի, քանի որ երկրորդ կարգի անչափահաս է տարբերվում է զրոյից: Ընդլայնված մատրիցային աստիճան նույնպես հավասար է երկուսի, քանի որ երրորդ կարգի միակ մինորը հավասար է զրոյի

իսկ վերը դիտարկված երկրորդ կարգի մինորը տարբերվում է զրոյից: Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի հիման վրա կարելի է հաստատել գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի համատեղելիությունը, քանի որ Rank(A)=Rank(T)=2:

Որպես հիմք անչափահաս, մենք վերցնում ենք . Այն ձևավորվում է առաջին և երկրորդ հավասարումների գործակիցներով.


Համակարգի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական մինորի ձևավորմանը, ուստի մենք այն բացառում ենք համակարգից՝ հիմնված մատրիցային աստիճանի թեորեմի վրա.


Այսպիսով մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգ։ Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով.


Պատասխան.

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Եթե ​​ստացված SLAE-ում r հավասարումների թիվը փոքր է n անհայտ փոփոխականների թվից, ապա մենք թողնում ենք հիմնական մինորը կազմող անդամները հավասարումների ձախ մասերում, իսկ մնացած անդամները փոխանցում հավասարումների աջ մասերին: համակարգի հակառակ նշանով.

Հավասարումների ձախ կողմում մնացած անհայտ փոփոխականները (կան r) կոչվում են. հիմնական.

Անհայտ փոփոխականները (կան n - r), որոնք ավարտվել են աջ կողմում, կոչվում են անվճար.

Այժմ մենք ենթադրում ենք, որ ազատ անհայտ փոփոխականները կարող են ընդունել կամայական արժեքներ, մինչդեռ r հիմնական անհայտ փոփոխականները կարտահայտվեն ազատ անհայտ փոփոխականների տեսքով յուրովի։ Նրանց արտահայտությունը կարելի է գտնել՝ լուծելով ստացված SLAE-ը Քրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Օրինակ բերենք.

Օրինակ.

Լուծել գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը .

Լուծում.

Գտեք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը սահմանամերձ անչափահասների մեթոդով։ Եկեք վերցնենք 1 1 = 1 որպես ոչ զրոյական առաջին կարգի մինոր: Եկեք սկսենք որոնել ոչ զրոյական երկրորդ կարգի մինոր, որը շրջապատում է այս փոքրը.


Այսպիսով, մենք գտանք երկրորդ կարգի ոչ զրոյական մինոր: Սկսենք որոնել երրորդ կարգի ոչ զրոյական սահմանային փոքր.


Այսպիսով, հիմնական մատրիցայի աստիճանը երեքն է: Ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը նույնպես հավասար է երեքի, այսինքն՝ համակարգը հետևողական է:

Երրորդ կարգի հայտնաբերված ոչ զրոյական մինորը կընդունվի որպես հիմնական։

Հստակության համար մենք ցույց ենք տալիս այն տարրերը, որոնք կազմում են աննշան հիմքը.


Հիմնական մինորին մասնակցող տերմինները թողնում ենք համակարգի հավասարումների ձախ կողմում, իսկ մնացածը հակառակ նշաններով տեղափոխում ենք աջ կողմեր.


Ազատ անհայտ փոփոխականներին տալիս ենք x 2 և x 5 կամայական արժեքներ, այսինքն՝ վերցնում ենք , որտեղ կան կամայական թվեր։ Այս դեպքում SLAE-ն ընդունում է ձևը


Գծային հանրահաշվական հավասարումների ստացված տարրական համակարգը լուծում ենք Քրամերի մեթոդով.


Հետևաբար, .

Պատասխանում մի մոռացեք նշել անվճար անհայտ փոփոխականներ։

Պատասխան.

Որտեղ են կամայական թվերը:

Ամփոփել.

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու համար մենք նախ պարզում ենք դրա համատեղելիությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը: Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար չէ ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը անհամապատասխան է:

Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք ընտրում ենք հիմնական մինորը և մերժում ենք համակարգի հավասարումները, որոնք չեն մասնակցում ընտրված հիմնական փոքրի ձևավորմանը:

Եթե ​​հիմնական մինորի կարգը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել մեզ հայտնի ցանկացած մեթոդով։

Եթե ​​հիմնական մինորի հերթականությունը փոքր է անհայտ փոփոխականների թվից, ապա մենք տերմինները թողնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականների հետ համակարգի հավասարումների ձախ կողմում, մնացած անդամները փոխանցում աջ կողմերը և նշանակում կամայական արժեքներ։ ազատ անհայտ փոփոխականներին: Ստացված գծային հավասարումների համակարգից մենք գտնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականները Կրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ.

Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը՝ կարելի է լուծել ցանկացած տեսակի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր՝ առանց դրանց համատեղելիության նախնական հետազոտության: Անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման գործընթացը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել SLAE-ի և՛ համատեղելիության, և՛ անհամապատասխանության մասին, իսկ լուծման առկայության դեպքում այն ​​հնարավոր է դարձնում գտնել այն:

Հաշվողական աշխատանքի տեսանկյունից նախընտրելի է Գաուսի մեթոդը։

Տե՛ս դրա մանրամասն նկարագրությունը և վերլուծված օրինակները հոդվածում Գաուսի մեթոդ ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար։

Միատարր և անհամասեռ գծային հանրահաշվական համակարգերի ընդհանուր լուծումների գրանցում լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների միջոցով:

Այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համատեղ միատարր և անհամասեռ համակարգերի վրա, որոնք ունեն անսահման թվով լուծումներ:

Նախ անդրադառնանք միատարր համակարգերին:

Հիմնարար որոշումների համակարգ P գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգը n անհայտ փոփոխականներով իրենից ներկայացնում է այս համակարգի (n – r) գծային անկախ լուծումների բազմություն, որտեղ r-ը համակարգի հիմնական մատրիցայի հիմնական մինորի կարգն է։

Եթե ​​միատարր SLAE-ի գծային անկախ լուծումները նշանակենք որպես X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) n չափման մատրիցային սյունակներ են: 1-ով), ապա այս միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների գծային համակցություն С 1 , С 2 , …, С (n-r) կամայական հաստատուն գործակիցներով, այսինքն՝ .

Ի՞նչ է նշանակում գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի (օրոսլաու) ընդհանուր լուծում տերմինը:

Իմաստը պարզ է. բանաձևը սահմանում է սկզբնական SLAE-ի բոլոր հնարավոր լուծումները, այլ կերպ ասած՝ վերցնելով կամայական հաստատունների արժեքների ցանկացած հավաքածու C 1 , C 2 , ..., C (n-r), ըստ բանաձևի կստանա սկզբնական համասեռ SLAE-ի լուծումներից մեկը:

Այսպիսով, եթե մենք գտնենք լուծումների հիմնարար համակարգ, ապա մենք կարող ենք այս միատարր SLAE-ի բոլոր լուծումները սահմանել որպես .

Եկեք ցույց տանք համասեռ SLAE-ի համար լուծումների հիմնարար համակարգի կառուցման գործընթացը:

Մենք ընտրում ենք գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի հիմնական մինորը, համակարգից բացառում ենք մնացած բոլոր հավասարումները և հակառակ նշաններով համակարգի հավասարումների աջ կողմ ենք փոխանցում անվճար անհայտ փոփոխականներ պարունակող բոլոր տերմինները: Եկեք ազատ անհայտ փոփոխականներին տանք 1,0,0,…,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները՝ լուծելով ստացված գծային հավասարումների տարրական համակարգը ցանկացած ձևով, օրինակ՝ Cramer մեթոդով։ Այսպիսով, կստացվի X (1)՝ հիմնարար համակարգի առաջին լուծումը։ Եթե ​​անվճար անհայտներին տանք 0,1,0,0,…,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները, ապա կստանանք X (2): Եվ այսպես շարունակ։ Եթե ​​ազատ անհայտ փոփոխականներին տանք 0,0,…,0,1 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները, ապա կստանանք X (n-r): Այսպես կկառուցվի համասեռ SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգը և դրա ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել ձևով.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգերի համար ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ.

Գտե՛ք լուծումների հիմնարար համակարգը և գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը .

Լուծում.

Գծային հավասարումների միատարր համակարգերի հիմնական մատրիցայի աստիճանը միշտ հավասար է ընդլայնված մատրիցի աստիճանին։ Եկեք գտնենք հիմնական մատրիցայի դասակարգումը անչափահասների ֆրինգինգի մեթոդով: Որպես առաջին կարգի ոչ զրոյական մինոր, մենք վերցնում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի a 1 1 = 9 տարրը: Գտե՛ք երկրորդ կարգի սահմանակից ոչ զրոյական մինորը.

Գտնվում է երկրորդ կարգի մինոր՝ զրոյից տարբեր: Եկեք անցնենք երրորդ կարգի անչափահասների միջով, որոնք սահմանակից են դրան՝ փնտրելով ոչ զրոյական մեկը.

Երրորդ կարգի բոլոր սահմանակից անչափահասները հավասար են զրոյի, հետևաբար, հիմնական և ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը երկու է: Վերցնենք հիմնական մինորը. Պարզության համար մենք նշում ենք համակարգի այն տարրերը, որոնք կազմում են այն.

Բնօրինակ SLAE-ի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական փոքրի ձևավորմանը, հետևաբար, այն կարելի է բացառել.

Հիմնական անհայտները պարունակող անդամները թողնում ենք հավասարումների աջ կողմերում, իսկ ազատ անհայտներով տերմինները տեղափոխում ենք աջ կողմեր.

Եկեք կառուցենք գծային հավասարումների սկզբնական միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ: Այս SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է երկու լուծումից, քանի որ սկզբնական SLAE-ը պարունակում է չորս անհայտ փոփոխականներ, և նրա հիմնական փոքրերի կարգը երկու է: X (1) գտնելու համար մենք ազատ անհայտ փոփոխականներին տալիս ենք արժեքներ x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, այնուհետև մենք գտնում ենք հիմնական անհայտները հավասարումների համակարգից:
.

• Համակարգեր մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ.
  Գծային հավասարումների համակարգի լուծումթվերի այդպիսի հավաքածու է ( x 1, x 2, …, x n), որը փոխարինելով համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ՝ ստացվում է ճիշտ հավասարություն։
  Որտեղ a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, nհամակարգի գործակիցներն են.
  b i, i = 1, …, m- անվճար անդամներ;
  x j, j = 1, …, n- անհայտ:
  Վերոնշյալ համակարգը կարելի է գրել մատրիցային ձևով. A X = B,
  
  
  
  
  Որտեղ ( Ա|Բ) համակարգի հիմնական մատրիցն է.
  Ա- համակարգի ընդլայնված մատրիցա;
  X- անհայտների սյունակ;
  Բազատ անդամների սյունակ է։
  Եթե ​​մատրիցը Բ∅ զրոյական մատրից չէ, ապա գծային հավասարումների այս համակարգը կոչվում է անհամասեռ:
  Եթե ​​մատրիցը Բ= ∅, ապա գծային հավասարումների այս համակարգը կոչվում է միատարր: Միատարր համակարգը միշտ ունի զրոյական (չնչին) լուծում. x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Գծային հավասարումների միասնական համակարգգծային հավասարումների համակարգ է, որն ունի լուծում։
  Գծային հավասարումների անհամապատասխան համակարգգծային հավասարումների համակարգ է, որը լուծում չունի։
  Գծային հավասարումների որոշակի համակարգգծային հավասարումների համակարգ է, որն ունի յուրահատուկ լուծում։
  Գծային հավասարումների անորոշ համակարգգծային հավասարումների համակարգ է, որն ունի անսահման թվով լուծումներ։
• N գծային հավասարումների համակարգեր n անհայտով
  Եթե ​​անհայտների թիվը հավասար է հավասարումների թվին, ապա մատրիցը քառակուսի է: Մատրիցային որոշիչը կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի հիմնական որոշիչ և նշանակվում Δ նշանով։
  Կրամերի մեթոդհամակարգերի լուծման համար nհետ գծային հավասարումներ nանհայտ.
  Կրամերի կանոն.
  Եթե ​​գծային հավասարումների համակարգի հիմնական որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա համակարգը հետևողական է և սահմանված, և միակ լուծումը հաշվարկվում է Քրամերի բանաձևերով.
  որտեղ Δ i-ն այն որոշիչներն են, որոնք ստացվում են Δ համակարգի հիմնական որոշիչից՝ փոխարինելով ես-րդ սյունակը դեպի ազատ անդամների սյունակ: .
• m գծային հավասարումների համակարգեր n անհայտներով
  Կրոնեկեր-Կապելլի թեորեմ.
  
  
  Որպեսզի գծային հավասարումների այս համակարգը համահունչ լինի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, աստիճան (Ա) = աստիճան (Ա|B).
  Եթե rang(Α) ≠ rang(Α|B), ապա համակարգն ակնհայտորեն լուծումներ չունի։
  Եթե աստիճան (Ա) = աստիճան (Ա|B), ապա հնարավոր է երկու դեպք.
  1) rang(Α) = n(անհայտների քանակին) - լուծումը եզակի է և կարելի է ստանալ Քրամերի բանաձևերով.
  2) աստիճան (Ա)< n - կան անսահման շատ լուծումներ:
• Գաուսի մեթոդգծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար
  
  
  Եկեք կազմենք ընդլայնված մատրիցը ( Ա|Բ) գործակիցների տրված համակարգի անհայտ և աջ մասերում:
  Գաուսի մեթոդը կամ անհայտների վերացման մեթոդը բաղկացած է ընդլայնված մատրիցի կրճատումից ( Ա|Բ) իր տողերի վրայով տարրական փոխակերպումների օգնությամբ դեպի շեղանկյուն ձև (դեպի վերին եռանկյունաձև): Վերադառնալով հավասարումների համակարգին, որոշվում են բոլոր անհայտները։
  Լարերի վրա տարրական փոխակերպումները ներառում են հետևյալը.
  1) երկու տողերի փոխանակում.
  2) տողը 0-ից տարբեր թվով բազմապատկելը.
  3) տողի վրա ավելացնելով մեկ այլ տող՝ բազմապատկված կամայական թվով.
  4) զրոյական տողից հրաժարվելը.
  Ընդլայնված մատրիցը, որը վերածվել է անկյունագծային ձևի, համապատասխանում է տվյալին համարժեք գծային համակարգին, որի լուծումը դժվարություններ չի առաջացնում։ .
• Միատարր գծային հավասարումների համակարգ.
  Միասեռ համակարգը ունի ձև.
  
  այն համապատասխանում է մատրիցային հավասարմանը A X = 0.
  1) Միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, քանի որ r(A) = r(A|B), միշտ կա զրոյական լուծում (0, 0, …, 0):
  2) Որպեսզի միատարր համակարգն ունենա ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ և բավարար է, որ r = r(A)< n , որը համարժեք է Δ = 0-ի:
  3) Եթե r< n , ապա Δ = 0, ապա կան ազատ անհայտներ c 1 , c 2 , …, c n-r, համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծումներ, և դրանք անսահման շատ են։
  4) Ընդհանուր լուծում Xժամը r< n կարելի է գրել մատրիցային ձևով հետևյալ կերպ.
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  որտեղ են լուծումները X 1, X 2, …, X n-rձևավորել լուծումների հիմնարար համակարգ.
  5) Լուծումների հիմնարար համակարգը կարելի է ստանալ համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումից.
  
  ,
  եթե մենք հաջորդաբար ընդունենք պարամետրերի արժեքները (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1):
  Ընդհանուր լուծման տարրալուծումը լուծումների հիմնարար համակարգի առումովընդհանուր լուծման գրառումն է՝ որպես հիմնարար համակարգին պատկանող լուծումների գծային համակցություն։
  Թեորեմ. Որպեսզի գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունենա ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ և բավարար է, որ Δ ≠ 0:
  Այսպիսով, եթե որոշիչը Δ ≠ 0 է, ապա համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։
  Եթե ​​Δ ≠ 0, ապա գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։
  Թեորեմ. Որպեսզի միատարր համակարգն ունենա ոչ զրոյական լուծում, դա անհրաժեշտ և բավարար է r(A)< n .
  Ապացույց:
  1) rավելին չի կարող լինել n(մատրիցի դասակարգումը չի գերազանցում սյունակների կամ տողերի քանակը);
  2) r< n , որովհետեւ Եթե r=n, ապա համակարգի գլխավոր որոշիչը Δ ≠ 0, և, ըստ Քրամերի բանաձևերի, գոյություն ունի եզակի տրիվիալ լուծում. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, որը հակասում է պայմանին։ Նշանակում է, r(A)< n .
  Հետևանք. Միատարր համակարգի համար nհետ գծային հավասարումներ nանհայտներն ունի ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ և բավարար է, որ Δ = 0:

Գծային հավասարումների համակարգեր. Դասախոսություն 6

Գծային հավասարումների համակարգեր.

Հիմնական հասկացություններ.

դիտման համակարգ

կանչեց համակարգ - գծային հավասարումներ անհայտներով.

Թվերը, , կոչվում են համակարգի գործակիցները.

Թվերը կոչվում են համակարգի ազատ անդամներ, – համակարգի փոփոխականներ. Մատրիցա

կանչեց համակարգի հիմնական մատրիցըև մատրիցան

– ընդլայնված մատրիցային համակարգ. Մատրիցներ - սյունակներ

Եվ համապատասխանաբար համակարգի ազատ անդամների և անհայտների մատրիցներ. Այնուհետև, մատրիցային ձևով, հավասարումների համակարգը կարող է գրվել որպես . Համակարգային լուծումկոչվում է փոփոխականների արժեքներ, որոնք փոխարինելիս համակարգի բոլոր հավասարումները վերածվում են իրական թվային հավասարումների։ Համակարգի ցանկացած լուծում կարող է ներկայացվել որպես մատրիցա-սյունակ: Այդ դեպքում մատրիցային հավասարությունը ճշմարիտ է:

Հավասարումների համակարգը կոչվում է համատեղեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում և անհամատեղելիեթե լուծում չունի.

Գծային հավասարումների համակարգը լուծել նշանակում է պարզել՝ արդյոք այն համատեղելի է, և եթե համատեղելի է, գտնել դրա ընդհանուր լուծումը։

Համակարգը կոչվում է միատարրեթե նրա բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի։ Միատարր համակարգը միշտ էլ համատեղելի է, քանի որ լուծում ունի

Կրոնեկեր-Կոպելի թեորեմը.

Գծային համակարգերի լուծումների առկայության և դրանց եզակիության հարցի պատասխանը թույլ է տալիս ստանալ հետևյալ արդյունքը, որը կարելի է ձևակերպել որպես հետևյալ պնդումները անհայտներով գծային հավասարումների համակարգի մասին.

(1)

Թեորեմ 2. Գծային հավասարումների համակարգը (1) հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնվածի աստիճանին (.

Թեորեմ 3. Եթե ​​գծային հավասարումների միացյալ համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է անհայտների թվին, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում:

Թեորեմ 4. Եթե ​​համատեղ համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը փոքր է անհայտների թվից, ապա համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ:

Համակարգերի լուծման կանոններ.

3. Գտի՛ր հիմնական փոփոխականների արտահայտությունը ազատների մասով և ստացի՛ր համակարգի ընդհանուր լուծումը։

4. Ազատ փոփոխականներին կամայական արժեքներ տալով՝ ստացվում են հիմնական փոփոխականների բոլոր արժեքները։

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ.

Հակադարձ մատրիցային մեթոդ.

և, այսինքն, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում: Համակարգը գրում ենք մատրիցային տեսքով

Որտեղ , , .

Ձախ կողմում գտնվող մատրիցային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք մատրիցով

Քանի որ , մենք ստանում ենք , որից ստանում ենք հավասարություն անհայտներ գտնելու համար

Օրինակ 27.Օգտագործելով հակադարձ մատրիցային մեթոդը, լուծեք գծային հավասարումների համակարգը

Լուծում. Նշեք համակարգի հիմնական մատրիցով

.

Թող , ապա լուծումը գտնում ենք բանաձեւով .

Եկեք հաշվարկենք.

Այդ ժամանակից ի վեր համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում. Գտեք բոլոր հանրահաշվական հավելումները

, ,

, ,

, ,

, ,

Այսպիսով

.

Եկեք ստուգենք

.

Հակադարձ մատրիցը ճիշտ է գտնվել: Այստեղից, օգտագործելով բանաձևը, մենք գտնում ենք փոփոխականների մատրիցը:

.

Համեմատելով մատրիցների արժեքները՝ ստանում ենք պատասխանը.

Կրամերի մեթոդը.

Թող տրվի անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ

և, այսինքն, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում: Համակարգի լուծումը գրում ենք մատրիցային կամ

Նշանակել

. . . . . . . . . . . . . . ,

Այսպիսով, մենք ստանում ենք անհայտների արժեքները գտնելու բանաձևեր, որոնք կոչվում են Կրամերի բանաձեւերը.

Օրինակ 28.Քրամերի մեթոդով լուծե՛ք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը .

Լուծում. Գտե՛ք համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը

.

Այդ ժամանակվանից ի վեր համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում.

Գտեք Քրամերի բանաձևերի մնացած որոշիչները

,

,

.

Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք փոփոխականների արժեքները

Գաուսի մեթոդ.

Մեթոդը բաղկացած է փոփոխականների հաջորդական բացառմամբ:

Թող տրվի անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ:

Գաուսի լուծման գործընթացը բաղկացած է երկու քայլից.

Առաջին փուլում տարրական փոխակերպումների օգնությամբ համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածվում է աստիճանական ձևի.

,

որտեղ , որը համապատասխանում է համակարգին

Դրանից հետո փոփոխականները համարվում են ազատ և յուրաքանչյուր հավասարման մեջ տեղափոխվում են աջ կողմ:

Երկրորդ փուլում փոփոխականն արտահայտվում է վերջին հավասարումից, ստացված արժեքը փոխարինվում է հավասարման մեջ: Այս հավասարումից

փոփոխականն արտահայտված է. Այս գործընթացը շարունակվում է մինչև առաջին հավասարումը: Արդյունքը հիմնական փոփոխականների արտահայտությունն է ազատ փոփոխականների առումով .

Օրինակ 29.Գաուսի մեթոդով լուծել հետևյալ համակարգը

Լուծում. Եկեք դուրս գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և նվազեցնենք այն քայլային ձևի

.

Որովհետեւ ավելի մեծ է, քան անհայտների թիվը, ապա համակարգը համատեղելի է և ունի անսահման թվով լուծումներ։ Եկեք գրենք քայլի մատրիցայի համակարգը

Առաջին երեք սյունակներից կազմված այս համակարգի ընդլայնված մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ուստի այն համարում ենք հիմնական։ Փոփոխականներ

Լինելու է հիմնական, իսկ փոփոխականը՝ անվճար: Եկեք այն բոլոր հավասարումներով տեղափոխենք ձախ կողմ

Վերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք

Այս արժեքը փոխարինելով նախավերջին երկրորդ հավասարման մեջ՝ ստանում ենք

որտեղ . Փոխարինելով փոփոխականների արժեքները և առաջին հավասարման մեջ՝ մենք գտնում ենք . Պատասխանը գրում ենք հետևյալ ձևով

ՀԵՏ nանհայտը ձևի համակարգ է.

Որտեղ այժԵվ b i (i=1,…,m; b=1,…,n)որոշ հայտնի թվեր են, և x 1,…,x n- անհայտ թվեր. Գործակիցների նշման մեջ այժցուցանիշը եսորոշում է հավասարման թիվը, իսկ երկրորդը ժանհայտի թիվն է, որի վրա գտնվում է այս գործակիցը:

Միատարր համակարգ -երբ համակարգի բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), հակառակ իրավիճակն է տարասեռ համակարգ.

Քառակուսի համակարգ -երբ համարը մհավասարումները հավասար են թվին nանհայտ.

Համակարգի լուծում- հավաքածու nթվեր c 1, c 2, …, c n,այնպիսին, որ բոլորի փոխարինումը գ iփոխարեն x iհամակարգի մեջ իր բոլոր հավասարումները վերածում է ինքնությունների:

Համատեղ համակարգ -երբ համակարգն ունի առնվազն մեկ լուծում, և անհամատեղելի համակարգերբ համակարգը լուծումներ չունի։

Այս տեսակի համատեղ համակարգը (ինչպես վերը նշված է, թող լինի (1)) կարող է ունենալ մեկ կամ մի քանի լուծում:

Լուծումներ c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)Եվ c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)(1) տիպի համատեղ համակարգ կամք բազմազան, երբ հավասարություններից նույնիսկ 1-ը չի բավարարվում.

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Համատեղ համակարգ (1) տիպի կամք որոշակիերբ այն ունի միայն մեկ լուծում. երբ համակարգն ունի առնվազն 2 տարբեր լուծում, այն դառնում է թերորոշված. Երբ կան ավելի շատ հավասարումներ, քան անհայտներ, համակարգը կա վերասահմանված.

Անհայտների գործակիցները գրվում են մատրիցով.

Այն կոչվում է համակարգի մատրիցա.

Այն թվերը, որոնք գտնվում են հավասարումների աջ կողմում, b 1,…,b mեն ազատ անդամներ.

Ագրեգատ nթվեր c 1,…,c nայս համակարգի լուծումն է, երբ համակարգի բոլոր հավասարումները վերածվում են հավասարության՝ դրանցում թվերը փոխարինելուց հետո c 1,…,c nհամապատասխան անհայտների փոխարեն x 1,…,x n.

Գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս կարող է առաջանալ 3 տարբերակ.

1. Համակարգն ունի միայն մեկ լուծում.

2. Համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Օրինակ, . Այս համակարգի լուծումը կլինի բոլոր զույգ թվերը, որոնք տարբերվում են նշանով:

3. Համակարգը լուծումներ չունի։ Օրինակ, , եթե լուծում կա, ապա x 1 + x 2հավասար է 0-ի և 1-ի միաժամանակ:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ.

Ուղղակի մեթոդներտալ ալգորիթմ, որով կգտնվի ճշգրիտ լուծումը ՍԼԱՈՒ(գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր): Իսկ եթե ճշտությունը բացարձակ լիներ, կգտնեին։ Իրական էլեկտրական համակարգիչը, իհարկե, աշխատում է սխալմամբ, ուստի լուծումը մոտավոր կլինի։

Շատ գործնական խնդիրներ կրճատվում են 1-ին աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի կամ, ինչպես սովորաբար կոչվում են, գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը։ Մենք կսովորենք լուծել ցանկացած նման համակարգ՝ առանց նույնիսկ պահանջելու, որ հավասարումների թիվը համընկնի անհայտների թվի հետ։

Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումների համակարգը գրված է հետևյալ կերպ.

Ահա թվերը այժ– հավանականություն համակարգեր, բ i – ազատ անդամներ, x i- խորհրդանիշներ անհայտ . Շատ հարմար է ներմուծել մատրիցային նշում. հիմնական համակարգի մատրիցա, – ազատ տերմինների մատրիցա–սյունակ, – անհայտների մատրիցա–սյունակ։ Այնուհետև համակարգը կարող է գրվել հետևյալ կերպ. ԿԱՑԻՆ=Բկամ, ավելի մանրամասն.

Եթե ​​այս հավասարության ձախ կողմում կատարեք մատրիցային բազմապատկում սովորական կանոնների համաձայն և ստացված սյունակի տարրերը հավասարեցրեք տարրերին. IN, ապա մենք կհասնենք սկզբնական համակարգի նշումին:

Օրինակ 14. Մենք գրում ենք գծային հավասարումների նույն համակարգը երկու տարբեր ձևերով.

Գծային հավասարումների համակարգը սովորաբար կոչվում է համատեղ , եթե ունի գոնե մեկ լուծում, և անհամատեղելի, եթե լուծումներ չկան.

Մեր օրինակում համակարգը համատեղելի է, սյունակը դրա լուծումն է.

Այս լուծումը կարող է գրվել նաև առանց մատրիցների. x=2, y=1 . Մենք կանվանենք հավասարումների համակարգ անորոշ , եթե ունի մեկից ավելի լուծումներ, և որոշակի եթե լուծումը եզակի է.

Օրինակ 15. Համակարգն անորոշ է. Օրինակ՝ դրա լուծումներն են։ Ընթերցողը կարող է գտնել այս համակարգի բազմաթիվ այլ լուծումներ:

Եկեք սովորենք, թե ինչպես լուծել գծային հավասարումների համակարգերը նախ կոնկրետ դեպքում: Հավասարումների համակարգը Օհ=INմենք կկանչենք Կրամերովո , եթե դրա հիմնական մատրիցը Աքառակուսի են և ոչ այլասերված: Այլ կերպ ասած, Կրամերյան համակարգում անհայտների թիվը համընկնում է հավասարումների թվի և .

Թեորեմ 6. (Կրամերի կանոն).Գծային հավասարումների Cramer համակարգը ունի եզակի լուծում, որը տրված է բանաձևերով.

որտեղ է հիմնական մատրիցայի որոշիչը, որտեղից ստացվում է որոշիչը Դփոխարինում ես-րդ սյունակ՝ ազատ անդամների սյունակով:

Մեկնաբանություն.Կրամերային համակարգերը կարող են լուծվել նաև այլ կերպ՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը։ Նման համակարգը գրում ենք մատրիցային ձևով. ԿԱՑԻՆ=IN. Քանի որ , ուրեմն կա հակադարձ մատրիցա Ա –1 . Մենք բազմապատկում ենք մատրիցային հավասարությունը Ա –1 ձախ: Ա –1 Օհ=Ա –1 IN. Որովհետեւ Ա –1 Օհ=EX=X, ապա գտնված է համակարգի լուծումը. X= Ա –1 IN.Մենք կանվանենք լուծման այս մեթոդը մատրիցա . Մենք ևս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ այն հարմար է միայն Cramer համակարգերի համար, այլ դեպքերում հակադարձ մատրիցա գոյություն չունի: Ընթերցողը ստորև կգտնի մատրիցային մեթոդի և Կրամերի մեթոդի կիրառման վերլուծված օրինակները։

Վերջապես ուսումնասիրենք ընդհանուր դեպքը, համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ. Այն լուծելու համար դիմեք Գաուսի մեթոդ , որը մենք մանրամասն կքննարկենք Հավասարումների կամայական համակարգի համար Օհ=INդուրս գրել երկարացված մատրիցա. Այսպիսով, ընդունված է անվանել մատրիցա, որը կստացվի, եթե հիմնական մատրիցը Աաջ կողմում ավելացրեք անվճար անդամների սյունակ IN:

Ինչպես աստիճանի հաշվարկում, տողերի տարրական փոխակերպումների և սյուների փոխարկումների օգնությամբ մենք մեր մատրիցը կբերենք տրապեզոիդային ձևի: Այս դեպքում, իհարկե, մատրիցին համապատասխան հավասարումների համակարգը կփոխվի, բայց կփոխվի հավասարազոր է բնօրինակը (ᴛ.ᴇ. կունենա նույն լուծումները): Իրոք, հավասարումների վերադասավորումը կամ գումարումը լուծումները չեն փոխի: Սյունակների վերադասավորում - Նաև՝ հավասարումներ x 1+3x2+7x3=4 Եվ x 1+7x3+3x2=4, իհարկե համարժեք են։ Պետք է միայն գրել, թե որ անհայտ սյունակին է համապատասխանում։ Մենք չենք վերադասավորում ազատ անդամների սյունակը. այն սովորաբար բաժանվում է մյուսներից մատրիցայի կետագծով: Մատրիցայում հայտնված զրոյական տողերը կարող են բաց թողնել:

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Լուծում.Մենք դուրս ենք գրում ընդլայնված մատրիցը և բերում այն ​​trapezoidal ձևի: Նշան ~ այժմ կնշանակի ոչ միայն շարքերի համընկնում, այլ նաև հավասարումների համապատասխան համակարգերի համարժեքություն։

~ . Բացատրենք ձեռնարկված քայլերը.

Գործողություն 1. 2-րդ տողին ավելացվեց 1-ին տողը՝ այն բազմապատկելով (–2). 3-րդ և 4-րդ տողերին ավելացրել են 1-ինը՝ բազմապատկելով այն (–3). Այս գործողությունների նպատակը առաջին սյունակում զրոներ ստանալն է՝ հիմնական անկյունագծից ներքեւ։

Գործողություն 2.Քանի որ անկյունագծային տեղում (2,2) կա 0 , ես ստիպված էի վերադասավորել 2-րդ և 3-րդ սյունակները։ Այս փոխարկումը հիշելու համար մենք վերևում գրել ենք անհայտների խորհրդանիշները:

Գործողություն 3. 3-րդ տողին ավելացրել են 2-րդը՝ բազմապատկելով այն (–2). 4-րդ տողին ավելացվել է 2-րդ տողը. Նպատակը երկրորդ սյունակում զրոներ ստանալն է՝ հիմնական անկյունագծից ներքեւ։

Գործողություն 4.Զրոյական գծերը կարող են հեռացվել:

Այսպիսով, մատրիցը վերածվում է trapezoidal ձևի: Նրա կոչումը r=2 . Անհայտ x 1, x 3- հիմնական; x 2, x 4- անվճար. Եկեք կամայական արժեքներ վերագրենք անվճար անհայտներին.

x 2= ա, x 4= բ.

Այստեղ ա, բցանկացած թվեր են: Հիմա նոր համակարգի վերջին հավասարումից

x 3+x4= –3

գտնել x 3: x 3= –3 –բ.Բարձրանալը, առաջին հավասարումից

x 1+3x3+2x2+4x4= 5

գտնել x 1: x 1=5 –3(–3 –բ)–2 ա–4բ= 14 –2 ա–բ.

Մենք գրում ենք ընդհանուր լուծումը.

x 1=14 –2 ա–բ, x2=a, x3=–3 –b, x4=բ.

Ընդհանուր լուծումը կարող եք գրել մատրիցա-սյունակի տեսքով.

Հատուկ արժեքների համար աԵվ բ, կարող եք ստանալ մասնավոր լուծումներ։ Օրինակ, երբ ա=0, բ=1 մենք ստանում ենք. համակարգի լուծումներից մեկն է:

Դիտողություններ.Գաուսի մեթոդի ալգորիթմում մենք տեսել ենք (գործ 1), որ հավասարումների համակարգի անհամապատասխանությունը կապված է հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերի անհամապատասխանության հետ։ Առանց ապացույցի ներկայացնում ենք հետևյալ կարևոր թեորեմը.

Թեորեմ 7 (Կրոնեկեր-Կապելլի). Գծային հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին:

Գծային հավասարումների համակարգեր - հայեցակարգ և տեսակներ. «Գծային հավասարումների համակարգեր» կատեգորիայի դասակարգումը և առանձնահատկությունները 2017, 2018 թ.

- ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Որպեսզի նրա տողերը (կամ սյունակները) գծային կախված լինեն: Տրվենք n անհայտ ունեցող m գծային հավասարումներ պարունակող համակարգ՝ 5.1. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. 5.2., - համակարգի մատրիցը - նրա ընդլայնված մատրիցը: - անվճար անդամների սյունակ: - անհայտների սյունակ: Եթե...

- Պ.1. Գծային հավասարումների համակարգի վերացումը խնդրի

ոչ գծային օպտիմալացում (NNO) և հակառակը: ZNO խնդրի ձևակերպում. Գտեք (8.1) նվազագույնը կամ առավելագույնը D որոշ տարածքում: Ինչպես հիշում ենք գորգից: վերլուծություն, պետք է հավասարեցնել մասնակի ածանցյալները զրոյի: Այսպիսով, ZNO (8.1) կրճատվել է SLE (8.2) (8.2) n ոչ գծային հավասարումների: ....

- Գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգեր

Դասախոսություն 15 Դիտարկենք անհամասեռ համակարգը (16) Եթե համասեռ համակարգի (7) համապատասխան գործակիցները հավասար են անհամասեռ համակարգի (16) համապատասխան գործակիցներին, ապա միատարր համակարգը (7) կոչվում է համապատասխան անհամասեռ համակարգ (16): . Թեորեմ. Եթե... [կարդալ ավելին] .

-

7.1 Գծային հավասարումների համասեռ համակարգեր. Թող տրվի գծային հավասարումների միատարր համակարգ (*) Ենթադրենք, որ թվերի բազմությունը այս համակարգի ինչ-որ լուծում է: Ապա լուծում է նաև թվերի բազմությունը։ Սա հաստատվում է համակարգի հավասարումների մեջ ուղղակի փոխարինմամբ.... .

- Գծային հավասարումների համակարգի լուծումների բազմության կառուցվածքը

Աղյուսակ 3 Երեխայի շարժիչի զարգացման փուլերը Փուլային տարիքը Շարժիչային զարգացման ցուցիչները ծննդյան ժամանակի մինչև 4 ամիս Գլխի դիրքի նկատմամբ վերահսկողության ձևավորում և տարածության մեջ դրա ազատ կողմնորոշման հնարավորությունը 4-6 ամիս տիրապետելով սկզբնական ... .

- Գծային հավասարումների համակարգեր (SLE). Գծային հավասարումների համակարգի լուծում. Տարրական SLE փոխակերպումներ. Տարրական մատրիցային փոխակերպումներ.

Սահմանում 1. (1) ձևի գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ դաշտը կոչվում է m գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ n անհայտ է դաշտում, անհայտների գործակիցներն են, համակարգի ազատ անդամներն են ( 1). Սահմանում 2. Կարգավորված n-ka (), որտեղ, կոչվում է գծային ... համակարգի լուծում: