Calcul de matrices par la méthode de Cramer. Méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Actions sur les matrices

Considérons un système de 3 équations à trois inconnues

En utilisant des déterminants du 3ème ordre, la solution d'un tel système peut s'écrire sous la même forme que pour un système de deux équations, c'est-à-dire

(2.4)

si 0. Ici

C'est là La règle de Cramer résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 2.3. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :

Solution . Trouver le déterminant de la matrice principale du système

Depuis 0, pour trouver une solution au système, nous pouvons appliquer la règle de Cramer, mais nous calculons d’abord trois déterminants supplémentaires :

Examen:

La solution a donc été trouvée correctement. 

Les règles de Cramer obtenues pour les systèmes linéaires du 2e et du 3e ordre suggèrent que les mêmes règles peuvent être formulées pour les systèmes linéaires de n'importe quel ordre. Cela arrive vraiment

Théorème de Cramer. Système quadratique d'équations linéaires avec un déterminant non nul de la matrice principale du système (0) a une et une seule solution et cette solution est calculée à l'aide des formules

(2.5)

Où  – déterminant de la matrice principale,  je – déterminant matriciel, obtenu du principal, remplaçantjeème colonne colonne des membres libres.

Notez que si =0, alors la règle de Cramer ne s’applique pas. Cela signifie que le système n’a aucune solution ou qu’il possède une infinité de solutions.

Après avoir formulé le théorème de Cramer, la question se pose naturellement du calcul des déterminants d'ordres supérieurs.

2.4. Déterminants du nième ordre

Mineur supplémentaire M jeélément un je est un déterminant obtenu à partir d'une donnée en supprimant jeème ligne et jème colonne. Complément algébrique UN jeélément un je le mineur de cet élément pris avec le signe (–1) est appelé je + j, c'est à dire. UN je = (–1) je + j M je .

Par exemple, trouvons les mineurs et les compléments algébriques des éléments un 23 et un 31 qualifiés

On a



En utilisant la notion de complément algébrique on peut formuler théorème de développement déterminantn-ième ordre par ligne ou colonne.

Théorème 2.1. Déterminant matricielUNest égal à la somme des produits de tous les éléments d'une certaine ligne (ou colonne) par leurs compléments algébriques :

(2.6)

Ce théorème est à la base de l'une des principales méthodes de calcul des déterminants, dite. méthode de réduction de commande. En raison de l'expansion du déterminant nème ordre sur n’importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Pour avoir moins de déterminants de ce type, il est conseillé de sélectionner la ligne ou la colonne qui comporte le plus de zéros. En pratique, la formule de développement du déterminant s’écrit généralement sous la forme :

ceux. les ajouts algébriques sont écrits explicitement en termes de mineurs.

Exemples 2.4. Calculez les déterminants en les triant d’abord dans une ligne ou une colonne. En règle générale, dans de tels cas, sélectionnez la colonne ou la ligne contenant le plus de zéros. La ligne ou la colonne sélectionnée sera indiquée par une flèche.



2.5. Propriétés de base des déterminants

En développant le déterminant sur n'importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Alors chacun de ces déterminants ( n–1)ème ordre peut également être décomposé en une somme de déterminants ( n–2)ème ordre. En poursuivant ce processus, on peut atteindre les déterminants du 1er ordre, c'est-à-dire aux éléments de la matrice dont le déterminant est calculé. Ainsi, pour calculer les déterminants du 2ème ordre, vous devrez calculer la somme de deux termes, pour les déterminants du 3ème ordre - la somme de 6 termes, pour les déterminants du 4ème ordre - 24 termes. Le nombre de termes augmentera fortement à mesure que l’ordre du déterminant augmentera. Cela signifie que le calcul de déterminants d’ordres très élevés devient une tâche plutôt exigeante en main-d’œuvre, au-delà des capacités même d’un ordinateur. Cependant, les déterminants peuvent être calculés d’une autre manière, en utilisant leurs propriétés.

Propriété 1 . Le déterminant ne changera pas si les lignes et les colonnes qu'il contient sont permutées, c'est-à-dire lors de la transposition d'une matrice:

.

Cette propriété indique l'égalité des lignes et des colonnes du déterminant. En d’autres termes, toute affirmation concernant les colonnes d’un déterminant est également vraie pour ses lignes et vice versa.

Propriété 2 . Le déterminant change de signe lorsque deux lignes (colonnes) sont interverties.

Conséquence . Si le déterminant a deux lignes (colonnes) identiques, alors il est égal à zéro.

Propriété 3 . Le facteur commun de tous les éléments d'une ligne (colonne) peut être retiré du signe déterminant.

Par exemple,

Conséquence . Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) d'un déterminant sont égaux à zéro, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.

Propriété 4 . Le déterminant ne changera pas si les éléments d'une ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une autre ligne (colonne), multipliés par n'importe quel nombre.

Par exemple,

Propriété 5 . Le déterminant du produit des matrices est égal au produit des déterminants des matrices :

La méthode de Cramer est basée sur l'utilisation de déterminants dans la résolution de systèmes d'équations linéaires. Cela accélère considérablement le processus de résolution.

La méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre un système composé d'autant d'équations linéaires qu'il y a d'inconnues dans chaque équation. Si le déterminant du système n’est pas égal à zéro, alors la méthode de Cramer peut être utilisée dans la solution, mais s’il est égal à zéro, alors elle ne peut pas. De plus, la méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires ayant une solution unique.

Définition. Un déterminant constitué de coefficients pour inconnues est appelé déterminant du système et est noté (delta).

Déterminants

sont obtenus en remplaçant les coefficients des inconnues correspondantes par des termes libres :

;

.

Théorème de Cramer. Si le déterminant du système est différent de zéro, alors le système d'équations linéaires a une solution unique et l'inconnue est égale au rapport des déterminants. Le dénominateur contient le déterminant du système, et le numérateur contient le déterminant obtenu à partir du déterminant du système en remplaçant les coefficients de cette inconnue par des termes libres. Ce théorème est valable pour un système d'équations linéaires de tout ordre.

Exemple 1. Résoudre un système d'équations linéaires :

Selon Théorème de Cramer nous avons:

Donc, la solution du système (2) :

calculatrice en ligne, méthode de résolution de Cramer.

Trois cas lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires

Comme cela ressort clairement de Théorème de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires, trois cas peuvent se produire :

Premier cas : un système d'équations linéaires a une solution unique

(le système est cohérent et défini)

Deuxième cas : un système d'équations linéaires a un nombre infini de solutions

(le système est cohérent et incertain)

** ,

ceux. les coefficients des inconnues et des termes libres sont proportionnels.

Troisième cas : le système d'équations linéaires n'a pas de solutions

(le système est incohérent)

Donc le système méquations linéaires avec n appelées variables non conjoint, si elle n'a pas de solution unique, et articulation, s'il a au moins une solution. Un système simultané d’équations qui n’a qu’une seule solution s’appelle certain, et plus d'un – incertain.

Exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer

Que le système soit donné

.

Basé sur le théorème de Cramer

………….
,

Où
-

déterminant du système. On obtient les déterminants restants en remplaçant la colonne par les coefficients de la variable correspondante (inconnue) par des termes libres :

Exemple 2.

.

Le système est donc définitif. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

Ainsi, (1 ; 0 ; -1) est la seule solution du système.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Si dans un système d'équations linéaires il n'y a pas de variables dans une ou plusieurs équations, alors dans le déterminant les éléments correspondants sont égaux à zéro ! C'est l'exemple suivant.

Exemple 3. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

.

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Examinez attentivement le système d'équations et le déterminant du système et répétez la réponse à la question dans quels cas un ou plusieurs éléments du déterminant sont égaux à zéro. Ainsi, le déterminant n’est pas égal à zéro, donc le système est défini. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants des inconnues

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

La solution du système est donc (2 ; -1 ; 1).

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Haut de page

Nous continuons à résoudre ensemble des systèmes en utilisant la méthode de Cramer

Comme déjà mentionné, si le déterminant du système est égal à zéro et que les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, le système est incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Illustrons avec l’exemple suivant.

Exemple 6. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Le déterminant du système est égal à zéro, par conséquent, le système d'équations linéaires est soit incohérent et défini, soit incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Pour clarifier, nous calculons les déterminants pour les inconnues

Les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, donc le système est incohérent, c’est-à-dire qu’il n’a pas de solutions.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Dans les problèmes impliquant des systèmes d'équations linéaires, il existe également ceux où, en plus des lettres désignant des variables, il existe également d'autres lettres. Ces lettres représentent un nombre, le plus souvent réel. En pratique, de telles équations et systèmes d'équations sont conduits à des problèmes de recherche de propriétés générales de tout phénomène ou objet. Autrement dit, vous avez inventé un nouveau matériau ou dispositif, et pour décrire ses propriétés, qui sont communes quelle que soit la taille ou la quantité de l'échantillon, vous devez résoudre un système d'équations linéaires, où au lieu de certains coefficients pour les variables, il y a des lettres. Vous n’avez pas besoin de chercher bien loin des exemples.

L'exemple suivant concerne un problème similaire, seul le nombre d'équations, de variables et de lettres désignant un certain nombre réel augmente.

Exemple 8. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Trouver des déterminants pour les inconnues

Afin de maîtriser ce paragraphe, vous devez être capable de révéler les déterminants « deux par deux » et « trois par trois ». Si vous êtes mauvais avec les qualifications, veuillez étudier la leçon Comment calculer le déterminant ?

Tout d’abord, nous examinerons de plus près la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour quoi? – Après tout, le système le plus simple peut être résolu en utilisant la méthode scolaire, la méthode de l’addition terme par terme !

Le fait est que, bien que parfois, une telle tâche se produit : résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide des formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe : un système de trois équations à trois inconnues.

De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !

Considérons le système d'équations

Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, à droite il y a des fractions décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans les tâches pratiques en mathématiques, j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.

Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous vous retrouverez probablement avec des fractions fantaisistes terribles avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement terrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici aussi.

Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.

Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, puisque la tâche est résolue à l'aide de formules toutes faites. Il y a cependant une mise en garde. Lorsque vous utilisez cette méthode, obligatoire Un fragment de la conception de la tâche est le fragment suivant : "Cela signifie que le système a une solution unique". Sinon, le critique pourrait vous punir pour manque de respect envers le théorème de Cramer.

Il ne serait pas superflu de vérifier, ce qui peut être facilement effectué sur une calculatrice : on substitue des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui se trouvent du bon côté.

Exemple 8

Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues :

On retrouve le déterminant principal du système :

Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer n'aidera pas, vous devez utiliser la méthode de Gauss.

Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires :
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules :

Comme vous pouvez le constater, le cas « trois par trois » n'est fondamentalement pas différent du cas « deux par deux » : la colonne de termes libres « marche » séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.

Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de « mauvaises » fractions irréductibles, par exemple : .
Je recommande l’algorithme de « traitement » suivant. Si vous n'avez pas d'ordinateur à portée de main, procédez comme suit :

1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez une « mauvaise » fraction, vous devez immédiatement vérifier La condition est-elle réécrite correctement ?. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez alors recalculer les déterminants en utilisant le développement dans une autre ligne (colonne).

2) Si aucune erreur n'est identifiée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans les conditions de la tâche. Dans ce cas, travaillez calmement et ATTENTIVEMENT jusqu'au bout de la tâche, puis assurez-vous de vérifier et nous le dressons sur une feuille vierge après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui aime vraiment donner un moins à toute connerie comme . La façon de gérer les fractions est décrite en détail dans la réponse à l'exemple 8.

Si vous disposez d'un ordinateur, utilisez un programme automatisé pour vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. D'ailleurs, il est plus rentable d'utiliser le programme tout de suite (avant même de démarrer la solution) : vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire où vous avez commis une erreur ! La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système en utilisant la méthode matricielle.

Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans les équations desquels certaines variables manquent, par exemple :

Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et ATTENTIVEMENT le déterminant principal :
– des zéros sont placés à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros en fonction de la ligne (colonne) dans laquelle se trouve le zéro, car il y a sensiblement moins de calculs.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Pour le cas d’un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s’écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple réel dans la leçon Propriétés des déterminants. Réduire l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Même si la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d’un professeur sur la poitrine d’un étudiant chanceux.

Résoudre le système à l'aide d'une matrice inverse

La méthode matricielle inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle(Voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).

Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer des déterminants, de trouver l'inverse d'une matrice et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens pertinents seront fournis au fur et à mesure de la progression des explications.

Exemple 11

Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle

Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où

Veuillez regarder le système d'équations et de matrices. Je pense que tout le monde comprend le principe par lequel nous écrivons des éléments dans des matrices. Seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, il faudrait alors placer des zéros aux endroits correspondants dans la matrice.

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Examinons d’abord le déterminant :

Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.

Attention! Si , alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système en utilisant la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).

Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs.

Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément :

Autrement dit, un double indice indique que l'élément se trouve dans la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est dans la 3e ligne et la 2e colonne.

Au cours de la solution, il est préférable de décrire en détail le calcul des mineurs, même si avec une certaine expérience, vous pourrez vous habituer à les calculer oralement avec des erreurs.

Dans la première partie, nous avons examiné du matériel théorique, la méthode de substitution, ainsi que la méthode d'addition terme par terme des équations système. Je recommande à tous ceux qui ont accédé au site via cette page de lire la première partie. Peut-être que certains visiteurs trouveront le matériel trop simple, mais en train de résoudre des systèmes d'équations linéaires, j'ai fait un certain nombre de commentaires et de conclusions très importants concernant la solution de problèmes mathématiques en général.

Nous allons maintenant analyser la règle de Cramer, ainsi que résoudre un système d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse (méthode matricielle). Tous les documents sont présentés simplement, en détail et clairement ; presque tous les lecteurs pourront apprendre à résoudre des systèmes en utilisant les méthodes ci-dessus.

Tout d’abord, nous examinerons de plus près la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour quoi? – Après tout, le système le plus simple peut être résolu en utilisant la méthode scolaire, la méthode de l’addition terme par terme !

Le fait est que, bien que parfois, une telle tâche se produit : résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide des formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe : un système de trois équations à trois inconnues.

De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !

Considérons le système d'équations

Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, à droite il y a des fractions décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans les tâches pratiques en mathématiques, j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.

Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous vous retrouverez probablement avec des fractions fantaisistes terribles avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement terrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici aussi.

Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.

Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, puisque la tâche est résolue à l'aide de formules toutes faites. Il y a cependant une mise en garde. Lorsque vous utilisez cette méthode, obligatoire Un fragment de la conception de la tâche est le fragment suivant : "Cela signifie que le système a une solution unique". Sinon, le critique pourrait vous punir pour manque de respect envers le théorème de Cramer.

Il ne serait pas superflu de vérifier, ce qui peut être facilement effectué sur une calculatrice : on substitue des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui se trouvent du bon côté.

Exemple 8

Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues :

On retrouve le déterminant principal du système :

Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer n'aidera pas, vous devez utiliser la méthode de Gauss.

Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires :
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules :

Comme vous pouvez le constater, le cas « trois par trois » n'est fondamentalement pas différent du cas « deux par deux » : la colonne de termes libres « marche » séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.

Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de « mauvaises » fractions irréductibles, par exemple : .
Je recommande l’algorithme de « traitement » suivant. Si vous n'avez pas d'ordinateur à portée de main, procédez comme suit :

1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez une « mauvaise » fraction, vous devez immédiatement vérifier La condition est-elle réécrite correctement ?. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez alors recalculer les déterminants en utilisant le développement dans une autre ligne (colonne).

2) Si aucune erreur n'est identifiée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans les conditions de la tâche. Dans ce cas, travaillez calmement et ATTENTIVEMENT jusqu'au bout de la tâche, puis assurez-vous de vérifier et nous le dressons sur une feuille vierge après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui aime vraiment donner un moins à toute connerie comme . La façon de gérer les fractions est décrite en détail dans la réponse à l'exemple 8.

Si vous disposez d'un ordinateur, utilisez un programme automatisé pour vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. D'ailleurs, il est plus rentable d'utiliser le programme tout de suite (avant même de démarrer la solution) : vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire où vous avez commis une erreur ! La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système en utilisant la méthode matricielle.

Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans les équations desquels certaines variables manquent, par exemple :

Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et ATTENTIVEMENT le déterminant principal :
– des zéros sont placés à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros en fonction de la ligne (colonne) dans laquelle se trouve le zéro, car il y a sensiblement moins de calculs.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Pour le cas d’un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s’écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple réel dans la leçon Propriétés des déterminants. Réduire l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Même si la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d’un professeur sur la poitrine d’un étudiant chanceux.

Résoudre le système à l'aide d'une matrice inverse

La méthode matricielle inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle(Voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).

Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer des déterminants, de trouver l'inverse d'une matrice et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens pertinents seront fournis au fur et à mesure de la progression des explications.

Exemple 11

Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle

Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où

Veuillez regarder le système d'équations et de matrices. Je pense que tout le monde comprend le principe par lequel nous écrivons des éléments dans des matrices. Seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, il faudrait alors placer des zéros aux endroits correspondants dans la matrice.

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Examinons d’abord le déterminant :

Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.

Attention! Si , alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système en utilisant la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).

Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs.

Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément :

Autrement dit, un double indice indique que l'élément se trouve dans la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est dans la 3e ligne et la 2e colonne.

Méthodes Kramer Et Gauss- l'une des méthodes de résolution les plus populaires SLAU. De plus, dans certains cas, il est conseillé d’utiliser des méthodes spécifiques. La session est terminée et il est maintenant temps de les répéter ou de les maîtriser à partir de zéro. Aujourd’hui, nous allons examiner la solution en utilisant la méthode de Cramer. Après tout, résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de la méthode Cramer est une compétence très utile.

Systèmes d'équations algébriques linéaires

Un système d'équations algébriques linéaires est un système d'équations de la forme :

Ensemble de valeurs X , dans laquelle les équations du système se transforment en identités, est appelée une solution du système, un Et b sont de vrais coefficients. Un système simple composé de deux équations à deux inconnues peut être résolu mentalement ou en exprimant une variable par rapport à l’autre. Mais il peut y avoir bien plus de deux variables (x) dans un SLAE, et ici de simples manipulations scolaires ne suffisent pas. Ce qu'il faut faire? Par exemple, résolvez les SLAE en utilisant la méthode de Cramer !

Alors, laissez le système consister en n équations avec n inconnu.

Un tel système peut être réécrit sous forme matricielle

Ici UN – la matrice principale du système, X Et B , respectivement, les matrices de colonnes de variables inconnues et de termes libres.

Résolution des SLAE à l'aide de la méthode de Cramer

Si le déterminant de la matrice principale n'est pas égal à zéro (la matrice est non singulière), le système peut être résolu par la méthode de Cramer.

Selon la méthode de Cramer, la solution se trouve à l'aide des formules :

Ici delta est le déterminant de la matrice principale, et deltax nième – déterminant obtenu à partir du déterminant de la matrice principale en remplaçant la nième colonne par une colonne de termes libres.

C'est toute l'essence de la méthode Cramer. Remplacement des valeurs trouvées à l'aide des formules ci-dessus X dans le système souhaité, nous sommes convaincus de la justesse (ou vice versa) de notre solution. Pour vous aider à comprendre rapidement l’essentiel, nous donnons ci-dessous un exemple de solution détaillée de SLAE utilisant la méthode de Cramer :

Même si vous ne réussissez pas du premier coup, ne vous découragez pas ! Avec un peu de pratique, vous commencerez à casser des SLAU comme des noix. De plus, il n'est désormais absolument plus nécessaire de se pencher sur un cahier, de résoudre des calculs fastidieux et d'écrire le noyau. Vous pouvez facilement résoudre les SLAE en utilisant la méthode de Cramer en ligne, simplement en remplaçant les coefficients dans le formulaire final. Vous pouvez essayer un calculateur de solution en ligne utilisant la méthode de Cramer, par exemple, sur ce site Web.

Et si le système s'avère têtu et n'abandonne pas, vous pouvez toujours vous tourner vers nos auteurs pour obtenir de l'aide, par exemple pour acheter un synopsis. S'il y a au moins 100 inconnues dans le système, nous le résoudrons certainement correctement et à temps !