Équation en différentiels totaux. Équations en différentielles totales Équations en différentielles totales du premier ordre

Énoncé du problème dans le cas bidimensionnel

Reconstruire une fonction de plusieurs variables à partir de sa différentielle totale

9.1. Énoncé du problème dans le cas bidimensionnel. 72

9.2. Description de la solution. 72

C'est une des applications d'une intégrale curviligne du deuxième type.

L'expression de la différentielle totale d'une fonction de deux variables est donnée :

Trouvez la fonction.

1. Puisque toutes les expressions de la forme ne sont pas une différentielle complète d'une fonction U(X,oui), alors il est nécessaire de vérifier l'exactitude de l'énoncé du problème, c'est-à-dire de vérifier la condition nécessaire et suffisante pour la différentielle totale, qui pour une fonction de 2 variables a la forme . Cette condition découle de l’équivalence des affirmations (2) et (3) dans le théorème de la section précédente. Si la condition indiquée est remplie, alors le problème a une solution, c'est-à-dire une fonction U(X,oui) peut être restauré ; si la condition n'est pas remplie, le problème n'a pas de solution, c'est-à-dire que la fonction ne peut pas être restaurée.

2. Vous pouvez trouver une fonction à partir de sa différentielle totale, par exemple en utilisant une intégrale curviligne du deuxième type, en la calculant le long d'une ligne reliant un point fixe ( X 0 ,oui 0) et point variable ( x;y) (Riz. 18):

Ainsi, on obtient que l’intégrale curviligne du deuxième type du différentiel total dU(X,oui) est égal à la différence entre les valeurs de la fonction U(X,oui) aux points de fin et de départ de la ligne d'intégration.

Connaissant ce résultat maintenant, nous devons substituer dU dans l'expression intégrale curviligne et calculez l'intégrale le long de la ligne brisée ( PBR), compte tenu de son indépendance par rapport à la forme de la ligne d’intégration :

sur ( A.C.): sur ( NE) :

(1)

Ainsi, une formule a été obtenue à l'aide de laquelle une fonction de 2 variables est restituée à partir de son différentiel total.

3. Il n'est possible de restituer une fonction à partir de sa différentielle totale que jusqu'à un terme constant, puisque d(U+ const) = dU. Par conséquent, en résolvant le problème, nous obtenons un ensemble de fonctions qui diffèrent les unes des autres par un terme constant.

Exemples (reconstruction d'une fonction de deux variables à partir de sa différentielle totale)

1. Trouver U(X,oui), Si dU = (X 2 – oui 2)dx – 2xydy.

On vérifie la condition de la différentielle totale d'une fonction de deux variables :

La condition différentielle complète est satisfaite, ce qui signifie que la fonction U(X,oui) peut être restauré.

Vérifiez : – correct.

Répondre: U(X,oui) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Trouvez une fonction telle que

On vérifie les conditions nécessaires et suffisantes pour la différentielle complète d'une fonction de trois variables : , , , si l'expression est donnée.

Dans le problème en cours de résolution

toutes les conditions pour un différentiel complet sont remplies, la fonction peut donc être restaurée (le problème est formulé correctement).

Nous restituerons la fonction à l'aide d'une intégrale curviligne du deuxième type, en la calculant le long d'une certaine ligne reliant un point fixe et un point variable, puisque

(cette égalité est dérivée de la même manière que dans le cas bidimensionnel).

En revanche, une intégrale curviligne du deuxième type à partir d'une différentielle totale ne dépend pas de la forme de la ligne d'intégration, il est donc plus simple de la calculer le long d'une ligne brisée constituée de segments parallèles aux axes de coordonnées. Dans ce cas, comme point fixe, vous pouvez simplement prendre un point avec des coordonnées numériques spécifiques, en surveillant uniquement qu'en ce point et sur toute la ligne d'intégration la condition d'existence d'une intégrale curviligne est remplie (c'est-à-dire que les fonctions , et sont continues). Compte tenu de cette remarque, dans ce problème on peut prendre par exemple le point M 0 comme point fixe. Ensuite sur chacun des liens de la ligne brisée nous aurons

10.2. Calcul de l'intégrale de surface du premier type. 79

10.3. Quelques applications de l'intégrale de surface du premier type. 81

Montre comment reconnaître une équation différentielle dans les différentiels totaux. Des méthodes pour le résoudre sont données. Un exemple de résolution d'une équation aux différentielles totales de deux manières est donné.

Contenu

Introduction

Une équation différentielle du premier ordre en différentielles totales est une équation de la forme :
(1) ,
où le côté gauche de l'équation est la différentielle totale d'une fonction U (x, y)à partir des variables x, y :
.
Dans lequel .

Si une telle fonction U est trouvée (x, y), alors l'équation prend la forme :
dU (x, y) = 0.
Son intégrale générale est :
U (x, y) = C,
où C est une constante.

Si une équation différentielle du premier ordre s’écrit en fonction de sa dérivée :
,
alors il est facile de le mettre en forme (1) . Pour ce faire, multipliez l'équation par dx. Alors . En conséquence, nous obtenons une équation exprimée en termes de différentielles :
(1) .

Propriété d'une équation différentielle en différentielles totales

Pour que l'équation (1) était une équation aux différentielles totales, il est nécessaire et suffisant que la relation soit vraie :
(2) .

Preuve

Nous supposons en outre que toutes les fonctions utilisées dans la preuve sont définies et ont des dérivées correspondantes dans une certaine plage de valeurs des variables x et y. Pointx 0 , oui 0 appartient également à ce domaine.

Montrons la nécessité de la condition (2).
Soit le côté gauche de l'équation (1) est la différentielle d'une fonction U (x, y):
.
Alors
;
.
Puisque la dérivée seconde ne dépend pas de l’ordre de différenciation, alors
;
.
Il s'ensuit que. Condition de nécessité (2) éprouvé.

Montrons la suffisance de la condition (2).
Que la condition soit satisfaite (2) :
(2) .
Montrons qu'il est possible de trouver une telle fonction U (x, y) que son différentiel est :
.
Cela signifie qu'il existe une telle fonction U (x, y), qui satisfait les équations :
(3) ;
(4) .
Trouvons une telle fonction. Intégrons l'équation (3) par x à partir de x 0 à x, en supposant que y est une constante :
;
;
(5) .
Nous différencions par rapport à y, en supposant que x est une constante et appliquons (2) :

.
L'équation (4) sera exécuté si
.
Intégrer sur y à partir de y 0 jouet:
;
;
.
Remplacer dans (5) :
(6) .
Nous avons donc trouvé une fonction dont le différentiel
.
La suffisance a été prouvée.

Dans la formule (6) ,U (x 0 , oui 0) est une constante - la valeur de la fonction U (x, y) au point x 0 , oui 0. On peut lui attribuer n’importe quelle valeur.

Comment reconnaître une équation différentielle dans les différentiels totaux

Considérons l'équation différentielle :
(1) .
Pour déterminer si cette équation est en différentiels totaux, vous devez vérifier la condition (2) :
(2) .
Si cela est vrai, alors cette équation est en différentielles totales. Sinon, il ne s’agit pas d’une équation différentielle totale.

Exemple

Vérifiez si l'équation est en différentiels totaux :
.

Ici
, .
On différencie par rapport à y, en considérant x constant :


.
Différencions


.
Parce que le:
,
alors l'équation donnée est en différentielles totales.

Méthodes de résolution d'équations différentielles dans les différentielles totales

Méthode d'extraction différentielle séquentielle

La méthode la plus simple pour résoudre une équation en différentielles totales est la méthode d’isolement séquentiel du différentiel. Pour ce faire, nous utilisons des formules de différenciation écrites sous forme différentielle :
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Dans ces formules, u et v sont des expressions arbitraires constituées de n'importe quelle combinaison de variables.

Exemple 1

Résous l'équation:
.

Nous avons constaté précédemment que cette équation est en différentiels totaux. Transformons-le :
(P1) .
Nous résolvons l'équation en isolant séquentiellement le différentiel.
;
;
;
;

.
Remplacer dans (P1):
;
.

Méthode d'intégration successive

Dans cette méthode on recherche la fonction U (x, y), satisfaisant les équations :
(3) ;
(4) .

Intégrons l'équation (3) en x, en considérant y constant :
.
Ici φ (o)- une fonction arbitraire de y qu'il faut déterminer. C'est la constante de l'intégration. Remplacer dans l'équation (4) :
.
D'ici:
.
En intégrant, on trouve φ (o) et donc U (x, y).

Exemple 2

Résolvez l'équation en différentielles totales :
.

Nous avons constaté précédemment que cette équation est en différentiels totaux. Introduisons la notation suivante :
, .
À la recherche de la fonction U (x, y), dont la différentielle est le côté gauche de l'équation :
.
Alors:
(3) ;
(4) .
Intégrons l'équation (3) en x, en considérant y constant :
(P2)
.
Différencier par rapport à y :

.
Remplaçons (4) :
;
.
Intégrons :
.
Remplaçons (P2):

.
Intégrale générale de l'équation :
U (x, y) = const.
Nous combinons deux constantes en une seule.

Méthode d'intégration le long d'une courbe

Fonction U définie par la relation :
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
peut être trouvé en intégrant cette équation le long de la courbe reliant les points (x 0 , oui 0) Et (x, y):
(7) .
Parce que le
(8) ,
alors l'intégrale ne dépend que des coordonnées de l'initiale (x 0 , oui 0) et finale (x, y) points et ne dépend pas de la forme de la courbe. Depuis (7) Et (8) nous trouvons:
(9) .
Ici x 0 Andy 0 - permanent. Donc U (x 0 , oui 0)- également constant.

Un exemple d'une telle définition de U a été obtenu dans la preuve :
(6) .
Ici, l'intégration est effectuée d'abord le long d'un segment parallèle à l'axe y à partir du point (x 0 , oui 0 ) jusqu'au point (x 0 , oui). Ensuite l'intégration est effectuée le long d'un segment parallèle à l'axe des x à partir du point (x 0 , oui) jusqu'au point (x, y) .

Plus généralement, il faut représenter l'équation d'une courbe reliant les points (x 0 , oui 0 ) Et (x, y) sous forme paramétrique :
X 1 = s(t1); oui 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); oui 0 = r(t0);
x = s (t); y = r (t);
et intégrer sur t 1 de t 0 à t.

Le moyen le plus simple d'effectuer l'intégration consiste à utiliser les points de connexion d'un segment. (x 0 , oui 0 ) Et (x, y). Dans ce cas:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; oui 1 = oui 0 + (oui - oui 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) rét 1; mourir 1 = (y - y 0) dt 1.
Après substitution, on obtient l'intégrale sur t de 0 avant 1 .
Cette méthode conduit cependant à des calculs assez lourds.

Les références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015.

certaines fonctions. Si l'on restitue une fonction à partir de sa différentielle totale, on retrouvera l'intégrale générale de l'équation différentielle. Ci-dessous, nous parlerons de méthode de restauration d'une fonction à partir de son différentiel total.

Le côté gauche d'une équation différentielle est la différentielle totale d'une fonction U(x, y) = 0, si la condition est remplie.

Parce que fonction différentielle complète U(x, y) = 0 Ce , ce qui signifie que lorsque la condition est remplie, il est indiqué que .

Alors, .

De la première équation du système on obtient . On trouve la fonction en utilisant la deuxième équation du système :

De cette façon, nous trouverons la fonction recherchée U(x, y) = 0.

Exemple.

Trouvons la solution générale du DE .

Solution.

Dans notre exemple. La condition est remplie car :

Ensuite, le côté gauche de l’équation différentielle initiale est la différentielle totale d’une fonction U(x, y) = 0. Nous devons trouver cette fonction.

Parce que est la différentielle totale de la fonction U(x, y) = 0, Moyens:

.

Nous intégrons par X 1ère équation du système et dériver par rapport à oui résultat:

.

A partir de la 2ème équation du système on obtient . Moyens:

Où AVEC- constante arbitraire.

Ainsi, l’intégrale générale de l’équation donnée sera .

Il y en a un deuxième méthode de calcul d'une fonction à partir de son différentiel total. Elle consiste à prendre la droite intégrale d'un point fixe (x 0 , oui 0) vers un point à coordonnées variables (x, y): . Dans ce cas, la valeur de l’intégrale est indépendante du chemin d’intégration. Il est pratique de prendre comme chemin d'intégration une ligne brisée dont les liens sont parallèles aux axes de coordonnées.

Exemple.

Trouvons la solution générale du DE .

Solution.

Nous vérifions le respect de la condition :

Ainsi, le côté gauche de l’équation différentielle est la différentielle complète d’une fonction U(x, y) = 0. Trouvons cette fonction en calculant l'intégrale curviligne du point (1; 1) avant (x, y). Comme chemin d'intégration, nous prenons une ligne brisée : la première section de la ligne brisée est passée le long d'une ligne droite y = 1 du point (1, 1) avant (x, 1), la deuxième section du chemin prend un segment de droite à partir du point (x, 1) avant (x, y):

Ainsi, la solution générale de la télécommande ressemble à ceci : .

Exemple.

Déterminons la solution générale du DE.

Solution.

Parce que , ce qui signifie que la condition n'est pas remplie, alors le côté gauche de l'équation différentielle ne sera pas une différentielle complète de la fonction et vous devez utiliser la deuxième méthode de solution (cette équation est une équation différentielle à variables séparables).

Il peut arriver que le côté gauche de l'équation différentielle

est la différentielle totale d'une fonction :

et par conséquent, l'équation (7) prend la forme .

Si la fonction est une solution de l’équation (7), alors , et, par conséquent,

où est une constante, et vice versa, si une fonction transforme l'équation finie (8) en une identité, alors, en différenciant l'identité résultante, nous obtenons , et donc, , où est une constante arbitraire, est l'intégrale générale de l'original équation.

Si des valeurs initiales sont données, alors la constante est déterminée à partir de (8) et

est l'intégrale partielle souhaitée. Si au point , alors l'équation (9) est définie comme une fonction implicite de .

Pour que le côté gauche de l'équation (7) soit une différentielle complète d'une fonction, il est nécessaire et suffisant que

Si cette condition spécifiée par Euler est satisfaite, alors l'équation (7) peut être facilement intégrée. Vraiment, . D'un autre côté, . Ainsi,

Lors du calcul de l'intégrale, la quantité est considérée comme une constante, c'est donc une fonction arbitraire de . Pour déterminer la fonction, on différencie la fonction trouvée par rapport à et, puisque , on obtient

À partir de cette équation, nous déterminons et, en intégrant, trouvons .

Comme on le sait au cours de l'analyse mathématique, il est encore plus simple de déterminer une fonction par sa différentielle totale, en prenant l'intégrale curviligne de entre un certain point fixe et un point à coordonnées variables le long de n'importe quel chemin :

Le plus souvent, comme chemin d'intégration, il convient de prendre une ligne brisée composée de deux maillons parallèles aux axes de coordonnées ; dans ce cas

Exemple. .

Le côté gauche de l’équation est la différentielle totale d’une fonction, puisque

L’intégrale générale a donc la forme

Une autre méthode de définition d'une fonction peut être utilisée :

On choisit par exemple l'origine des coordonnées comme point de départ, et une ligne brisée comme chemin d'intégration. Alors

et l'intégrale générale a la forme

Ce qui coïncide avec le résultat précédent, conduisant à un dénominateur commun.

Dans certains cas, lorsque le côté gauche de l'équation (7) n'est pas une différentielle complète, il est facile de sélectionner une fonction, après multiplication, par laquelle le côté gauche de l'équation (7) se transforme en une différentielle complète. Cette fonction est appelée facteur d'intégration. Notez que la multiplication par un facteur intégrateur peut conduire à l'apparition de solutions partielles inutiles qui ramènent ce facteur à zéro.

Exemple. .

Évidemment, après multiplication par un facteur, le côté gauche se transforme en différentiel total. En effet, après avoir multiplié par on obtient

ou, en intégrant, . En multipliant par 2 et en potentialisant, nous avons .

Bien entendu, le facteur intégrateur ne se choisit pas toujours aussi facilement. Dans le cas général, pour trouver le facteur intégrateur, il faut sélectionner au moins une solution partielle de l'équation aux dérivées partielles, ou sous forme développée, qui n'est pas identiquement nulle.

qui, après avoir divisé et transféré certains termes à une autre partie de l'égalité, se réduit à la forme

Dans le cas général, l'intégration de cette équation aux dérivées partielles n'est en aucun cas une tâche plus simple que l'intégration de l'équation d'origine, mais dans certains cas, sélectionner une solution particulière à l'équation (11) n'est pas difficile.

De plus, étant donné que le facteur intégrateur est fonction d'un seul argument (par exemple, il est fonction de seulement ou seulement , ou fonction de seulement , ou seulement , etc.), on peut facilement intégrer l'équation (11) et indiquer les conditions dans lesquelles existe un facteur intégrateur du type considéré. Cela identifie les classes d'équations pour lesquelles le facteur d'intégration peut être facilement trouvé.

Par exemple, trouvons les conditions dans lesquelles l’équation a un facteur d’intégration qui ne dépend que de , c’est-à-dire . Dans ce cas, l'équation (11) se simplifie et prend la forme , d'où, en considérant comme fonction continue de , on obtient

Si est fonction uniquement de , alors un facteur intégrateur dépendant uniquement de , existe et est égal à (12), sinon un facteur intégrateur de la forme n'existe pas.

La condition d'existence d'un facteur intégrateur dépendant uniquement de est remplie, par exemple, pour une équation linéaire ou . En effet, et donc . Les conditions d'existence des facteurs intégrateurs de la forme, etc., peuvent être trouvées de manière tout à fait similaire.

Exemple. L'équation a-t-elle un facteur intégrateur de la forme ?

Notons . L'équation (11) à prend la forme , d'où ou

Pour l'existence d'un facteur intégrateur d'un type donné, il faut et, sous l'hypothèse de continuité, suffisant qu'il soit uniquement une fonction. Dans ce cas donc, le facteur intégrateur existe et est égal à (13). Quand nous recevons. En multipliant l'équation originale par , on la réduit à la forme

En intégrant, on obtient , et après potentialisation on aura , ou en coordonnées polaires - une famille de spirales logarithmiques.

Exemple. Trouver la forme d'un miroir qui réfléchit parallèlement à une direction donnée tous les rayons émanant d'un point donné.

Plaçons l'origine des coordonnées en un point donné et dirigeons l'axe des abscisses parallèlement à la direction spécifiée dans les conditions du problème. Laissez le faisceau tomber sur le miroir au point . Considérons une section du miroir par un plan passant par l'axe des abscisses et le point . Traçons une tangente à la section de la surface du miroir considérée au point . Puisque l’angle d’incidence du rayon est égal à l’angle de réflexion, le triangle est isocèle. Ainsi,

L'équation homogène résultante est facilement intégrée en changeant les variables, mais il est encore plus facile, libérée de l'irrationalité du dénominateur, de la réécrire sous la forme . Cette équation a un facteur d'intégration évident , , , (famille des paraboles).

Ce problème peut être résolu encore plus simplement en coordonnées et , où , et l'équation de la section des surfaces requises prend la forme .

Il est possible de prouver l'existence d'un facteur d'intégration, ou, ce qui revient au même, l'existence d'une solution non nulle de l'équation aux dérivées partielles (11) dans un certain domaine si les fonctions et ont des dérivées continues et au moins une de celles-ci. les fonctions ne disparaissent pas. Par conséquent, la méthode du facteur d'intégration peut être considérée comme une méthode générale d'intégration d'équations de la forme , cependant, en raison de la difficulté de trouver le facteur d'intégration, cette méthode est le plus souvent utilisée dans les cas où le facteur d'intégration est évident.