Système d'équations. Théorie détaillée avec exemples (2020). Exemples de systèmes d'équations linéaires : méthode de résolution Écriture d'une solution générale de systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes à l'aide de vecteurs du système de solution fondamental

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important d'un cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes dans toutes les branches des mathématiques se résument à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

choisissez la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
étudier la théorie de la méthode choisie,
résolvez votre système d'équations linéaires en considérant des solutions détaillées à des exemples et des problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d’abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale, dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous examinerons les systèmes d'équations qui peuvent être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que divers problèmes dans la solution desquels se posent les SLAE.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - la matrice principale du système, - une matrice colonnes de variables inconnues, - une matrice colonnes de termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations d'un système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces SLAE seront appelés élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE au lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à partir d'une matrice à partir d'additions algébriques d'éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste à éliminer séquentiellement les variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue x n dans la dernière équation. Ce processus de transformation des équations du système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Nous avons donc appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Le mineur d’ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures ; il y a toujours une base mineure.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :

La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :

C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :

Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors sur les côtés gauches des équations, nous laissons les termes qui forment la base mineure et nous transférons les termes restants vers les côtés droits du équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :

C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :

Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :

Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :

Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme

Résolvons le système élémentaire d’équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :

Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode que nous connaissons.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur cohérence. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Voir sa description détaillée et ses exemples analysés dans l'article Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires générales.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices en colonnes de dimension n par 1) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule spécifie toutes les solutions possibles du SLAE original, c'est-à-dire en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), en utilisant la formule que nous allons obtenir une des solutions du SLAE homogène original.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,...,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,…,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène original, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs 0,0,...,0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons . Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues du côté droit des équations, et on transfère les termes à inconnues libres du côté droit :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE consiste en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Systèmes méquations linéaires avec n inconnu.
Résoudre un système d'équations linéaires- c'est un tel ensemble de nombres ( x 1 , x 2 , …, x n), lorsqu'elle est substituée dans chacune des équations du système, l'égalité correcte est obtenue.
Où une ij , je = 1, …, m; j = 1, …, n— les coefficients du système ;
b je , je = 1, …, m- les membres gratuits ;
x j , j = 1, …, n- inconnu.
Le système ci-dessus peut s’écrire sous forme matricielle : UNE X = B,

Où ( UN|B) est la matrice principale du système ;
UN— matrice du système étendu ;
X— colonne d'inconnues ;
B— colonne de membres gratuits.
Si matrice B n'est pas une matrice nulle ∅, alors ce système d'équations linéaires est dit inhomogène.
Si matrice B= ∅, alors ce système d'équations linéaires est dit homogène. Un système homogène a toujours une solution nulle (triviale) : x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Système conjoint d'équations linéaires est un système d'équations linéaires qui a une solution.
Système incohérent d'équations linéaires est un système insoluble d’équations linéaires.
Un certain système d'équations linéaires est un système d'équations linéaires qui a une solution unique.
Système indéfini d'équations linéaires est un système d'équations linéaires avec un nombre infini de solutions.
Systèmes de n équations linéaires à n inconnues
Si le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations, alors la matrice est carrée. Le déterminant d'une matrice est appelé déterminant principal d'un système d'équations linéaires et est désigné par le symbole Δ.
Méthode Cramer pour résoudre des systèmes néquations linéaires avec n inconnu.
La règle de Cramer.
Si le déterminant principal d'un système d'équations linéaires n'est pas égal à zéro, alors le système est cohérent et défini, et la seule solution est calculée à l'aide des formules de Cramer :
où Δ i sont des déterminants obtenus à partir du déterminant principal du système Δ en remplaçant jeème colonne à la colonne des membres libres. .
Systèmes de m équations linéaires à n inconnues
Théorème de Kronecker-Capelli.

Pour qu'un système donné d'équations linéaires soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice système soit égal au rang de la matrice étendue du système, rang(Α) = rang(Α|B).
Si rang(Α) ≠ rang(Α|B), alors le système n'a évidemment pas de solutions.
Si rang(Α) = rang(Α|B), alors deux cas sont possibles :
1) rang(Α) = n(nombre d'inconnues) - la solution est unique et peut être obtenue à l'aide des formules de Cramer ;
2) rang(Α)< n - il existe une infinité de solutions.
Méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

Créons une matrice étendue ( UN|B) d'un système donné à partir des coefficients des inconnues et des membres droits.
La méthode gaussienne ou méthode d'élimination des inconnues consiste à réduire la matrice étendue ( UN|B) en utilisant des transformations élémentaires sur ses lignes vers une forme diagonale (vers la forme triangulaire supérieure). En revenant au système d'équations, toutes les inconnues sont déterminées.
Les transformations élémentaires sur les chaînes sont les suivantes :
1) échangez deux lignes ;
2) multiplier une chaîne par un nombre autre que 0 ;
3) ajouter une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire ;
4) jeter une ligne zéro.
Une matrice étendue réduite à la forme diagonale correspond à un système linéaire équivalent à celui donné, dont la solution ne pose pas de difficultés. .
Système d'équations linéaires homogènes.
Un système homogène a la forme :

cela correspond à l'équation matricielle Un X = 0.
1) Un système homogène est toujours cohérent, puisque r(UNE) = r(UNE|B), il existe toujours une solution nulle (0, 0, …, 0).
2) Pour qu'un système homogène ait une solution non nulle, il faut et suffisant que r = r(UNE)< n , ce qui équivaut à Δ = 0.
3) Si r< n , alors évidemment Δ = 0, alors des inconnues libres apparaissent c 1 , c 2 , …, c n-r, le système a des solutions non triviales, et il en existe une infinité.
4) Solution générale Xà r< n peut s’écrire sous forme matricielle comme suit :
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
où sont les solutions X 1, X 2, …, Xn-r former un système fondamental de solutions.
5) Le système fondamental de solutions peut être obtenu à partir de la solution générale d'un système homogène :

,
si nous définissons séquentiellement les valeurs des paramètres égales à (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Extension de la solution générale en termes de système fondamental de solutions est un enregistrement d'une solution générale sous la forme d'une combinaison linéaire de solutions appartenant au système fondamental.
Théorème. Pour qu'un système d'équations linéaires homogènes ait une solution non nulle, il faut et suffisant que Δ ≠ 0.
Ainsi, si le déterminant Δ ≠ 0, alors le système a une solution unique.
Si Δ ≠ 0, alors le système d'équations linéaires homogènes a un nombre infini de solutions.
Théorème. Pour qu’un système homogène ait une solution non nulle, il faut et il suffit que r(UNE)< n .
Preuve:
1) r il ne peut pas y en avoir plus n(le rang de la matrice ne dépasse pas le nombre de colonnes ou de lignes) ;
2) r< n , parce que Si r = n, alors le déterminant principal du système Δ ≠ 0, et, d’après les formules de Cramer, il existe une unique solution triviale x 1 = x 2 = … = x n = 0, ce qui contredit la condition. Moyens, r(UNE)< n .
Conséquence. Pour avoir un système homogène néquations linéaires avec n les inconnues avaient une solution non nulle, il faut et suffisant que Δ = 0.

Systèmes d'équations linéaires. Conférence 6.

Systèmes d'équations linéaires.

Concepts de base.

Voir le système

appelé système - équations linéaires à inconnues.

Les nombres , , sont appelés coefficients du système.

Les numéros sont appelés membres libres du système, – variables système. Matrice

appelé matrice principale du système, et la matrice

– système matriciel étendu. Matrices - colonnes

Et en conséquence matrices de termes libres et inconnues du système. Ensuite, sous forme matricielle, le système d’équations peut s’écrire . Solution système s'appelle les valeurs des variables, lors de leur substitution, toutes les équations du système se transforment en égalités numériques correctes. Toute solution du système peut être représentée sous forme de colonne-matrice. Alors l’égalité matricielle est vraie.

Le système d'équations s'appelle articulation s'il a au moins une solution et non conjoint s'il n'y a pas de solution.

Résoudre un système d’équations linéaires signifie découvrir s’il est cohérent et, si oui, trouver sa solution générale.

Le système s'appelle homogène si tous ses termes libres sont égaux à zéro. Un système homogène est toujours cohérent, car il a une solution

Théorème de Kronecker-Copelli.

La réponse à la question de l'existence de solutions aux systèmes linéaires et de leur unicité permet d'obtenir le résultat suivant, qui peut être formulé sous la forme des énoncés suivants concernant un système d'équations linéaires à inconnues

(1)

Théorème 2. Le système d'équations linéaires (1) est cohérent si et seulement si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue (.

Théorème 3. Si le rang de la matrice principale d’un système simultané d’équations linéaires est égal au nombre d’inconnues, alors le système a une solution unique.

Théorème 4. Si le rang de la matrice principale d’un système joint est inférieur au nombre d’inconnues, alors le système possède un nombre infini de solutions.

Règles de résolution de systèmes.

3. Trouver l'expression des variables principales en termes de variables libres et obtenir la solution générale du système.

4. En attribuant des valeurs arbitraires aux variables libres, toutes les valeurs des variables principales sont obtenues.

Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires.

Méthode matricielle inverse.

et , c'est-à-dire que le système a une solution unique. Écrivons le système sous forme matricielle

Où , , .

Multiplions les deux côtés de l'équation matricielle de gauche par la matrice

Puisque , on obtient , d'où on obtient l'égalité pour trouver les inconnues

Exemple 27. Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de la matrice inverse

Solution. Notons par la matrice principale du système

Laissez-nous alors trouver la solution en utilisant la formule.

Calculons.

Depuis , le système a une solution unique. Trouvons tous les compléments algébriques

, ,

Ainsi

Allons vérifier

La matrice inverse a été trouvée correctement. De là, en utilisant la formule, on trouve la matrice des variables.

En comparant les valeurs des matrices, on obtient la réponse : .

Méthode de Cramer.

Soit un système d'équations linéaires à inconnues

et , c'est-à-dire que le système a une solution unique. Écrivons la solution du système sous forme matricielle ou

Notons

. . . . . . . . . . . . . . ,

Ainsi, on obtient des formules pour trouver les valeurs des inconnues, qui sont appelées Formules Cramer.

Exemple 28. Résolvez le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode Cramer .

Solution. Trouvons le déterminant de la matrice principale du système

Depuis , le système a une solution unique.

Trouvons les déterminants restants des formules de Cramer

En utilisant les formules de Cramer on trouve les valeurs des variables

Méthode Gauss.

La méthode consiste à éliminer séquentiellement des variables.

Soit un système d'équations linéaires à inconnues.

Le processus de résolution gaussienne comprend deux étapes :

Dans un premier temps, la matrice étendue du système est réduite, à l'aide de transformations élémentaires, à une forme pas à pas

où , auquel correspond le système

Après cela, les variables sont considérés comme libres et sont transférés du côté droit de chaque équation.

Lors de la deuxième étape, la variable est exprimée à partir de la dernière équation et la valeur résultante est substituée dans l'équation. De cette équation

la variable est exprimée. Ce processus se poursuit jusqu'à la première équation. Le résultat est une expression des variables principales à travers des variables libres .

Exemple 29. Résolvez le système suivant en utilisant la méthode de Gauss

Solution. Écrivons la matrice étendue du système et mettons-la sous forme étape par étape

Parce que supérieur au nombre d’inconnues, alors le système est cohérent et possède un nombre infini de solutions. Écrivons le système pour la matrice d'étapes

Le déterminant de la matrice étendue de ce système, composée des trois premières colonnes, n’est pas égal à zéro, nous le considérons donc comme basique. Variables

Ils seront basiques et la variable sera gratuite. Déplaçons-le dans toutes les équations vers la gauche

De la dernière équation que nous exprimons

En substituant cette valeur dans l'avant-dernière seconde équation, nous obtenons

où . En substituant les valeurs des variables et dans la première équation, on trouve . Écrivons la réponse sous la forme suivante

AVEC n inconnu est un système de la forme :

Où un ij Et b je (i=1,…,m; b=1,…,n)- quelques numéros connus, et x 1 ,…,xn- des numéros inconnus. Dans la désignation des coefficients un ij indice je détermine le numéro de l'équation, et le deuxième j- le numéro de l'inconnue auquel se situe ce coefficient.

Système homogène - lorsque tous les termes libres du système sont égaux à zéro ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), la situation inverse est système hétérogène.

Système carré - quand le numéro m les équations sont égales au nombre n inconnu.

Solution système- totalité n Nombres c 1, c 2, …, c n, de telle sorte que la substitution de tous c je au lieu de x je en système transforme toutes ses équations en identités.

Système commun - lorsque le système a au moins 1 solution, et système non coopératif quand le système n'a pas de solutions.

Un système commun de ce type (comme indiqué ci-dessus, soit (1)) peut avoir une ou plusieurs solutions.

Solutions c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Et c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) les systèmes d'assemblage de type (1) seront divers, quand même 1 des égalités n'est pas satisfaite :

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Un système commun de type (1) sera certain quand elle n'a qu'une solution ; lorsqu'un système a au moins 2 solutions différentes, cela devient sous-déterminé. Lorsqu’il y a plus d’équations que d’inconnues, le système est redéfini.

Les coefficients des inconnues s'écrivent sous forme de matrice :

On l'appelle matrice du système.

Les nombres qui apparaissent du côté droit des équations sont b 1 ,…,bm sont membres gratuits.

Totalité n Nombres c 1 ,…,cn est une solution de ce système lorsque toutes les équations du système deviennent égales après y avoir substitué des nombres c 1 ,…,cn au lieu des inconnues correspondantes x 1 ,…,xn.

Lors de la résolution d'un système d'équations linéaires, 3 options peuvent se présenter :

1. Le système n’a qu’une seule solution.

2. Le système possède un nombre infini de solutions. Par exemple, . La solution à ce système sera toutes les paires de nombres de signe différent.

3. Le système n’a pas de solutions. Par exemple. . si une solution existait, alors x1 + x2 serait égal à 0 et 1 à la fois.

Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires.

Méthodes directes donner un algorithme par lequel la solution exacte est trouvée SLAU(systèmes d'équations algébriques linéaires). Et si l’exactitude avait été absolue, ils l’auraient trouvée. Bien entendu, un véritable ordinateur électrique fonctionne avec une erreur, la solution sera donc approximative.

De nombreux problèmes pratiques se résument à la résolution de systèmes d'équations algébriques du 1er degré ou, comme on les appelle habituellement, de systèmes d'équations linéaires. Nous apprendrons à résoudre de tels systèmes sans même exiger que le nombre d’équations coïncide avec le nombre d’inconnues.

En général, le système d'équations linéaires s'écrit comme suit :

Voici les chiffres un ij– chances les systèmes, b je – membres libres, x je– les symboles inconnu . Il est très pratique d’introduire la notation matricielle : – principal matrice du système, – matrice-colonne de termes libres, – matrice-colonne d'inconnues. Le système peut alors s’écrire ainsi : HACHE=B ou, plus en détail :

Si sur le côté gauche de cette égalité nous effectuons une multiplication matricielle selon les règles habituelles et assimilons les éléments de la colonne résultante aux éléments DANS, nous arriverons ensuite à l'enregistrement original du système.

Exemple 14. Écrivons le même système d'équations linéaires de deux manières différentes :

Un système d'équations linéaires est généralement appelé articulation , s'il a au moins une solution, et incompatible, s'il n'y a pas de solutions.

Dans notre exemple, le système est cohérent, la colonne est sa solution :

Cette solution peut être écrite sans matrices : X=2, oui=1 . Nous appellerons le système d'équations incertain , au cas où il aurait plus d'une solution, et certain, s'il n'y a qu'une seule solution.

Exemple 15. Le système est incertain. Par exemple, ses solutions. Le lecteur peut trouver bien d’autres solutions à ce système.

Apprenons d'abord à résoudre des systèmes d'équations linéaires dans un cas particulier. Système d'équations OH=DANS nous appellerons celui de Kramer , si sa matrice principale UN– carré et non dégénéré. En d'autres termes, dans le système de Cramer, le nombre d'inconnues coïncide avec le nombre d'équations et .

Théorème 6. (règle de Cramer). Le système Cramer d'équations linéaires a une solution unique donnée par les formules :

où est le déterminant de la matrice principale, est le déterminant obtenu à partir de D remplacement je-ième colonne avec une colonne de termes libres.

Commentaire. Les systèmes de Cramer peuvent être résolus d'une autre manière, en utilisant une matrice inverse. Écrivons ce système sous forme matricielle : HACHE=DANS. Puisque , alors il existe une matrice inverse UN –1 . Multipliez l'égalité de la matrice par UN –1 gauche: UN –1 OH=UN –1 DANS. Parce que UN –1 OH=EX=X, alors la solution du système est trouvée : X= UN –1 DANS Nous appellerons cette méthode de solution matrice . Soulignons encore une fois qu'elle ne convient qu'aux systèmes Cramer – dans les autres cas la matrice inverse n'existe pas. Le lecteur trouvera ci-dessous des exemples détaillés d’utilisation de la méthode matricielle et de la méthode Cramer.

Etudions enfin le cas général - le système méquations linéaires avec n inconnu. Pour le résoudre, utilisez Méthode gaussienne , que nous examinerons en détail. Pour un système d'équations arbitraire OH=DANS nous l'écrirons étendu matrice. C'est le nom usuel de la matrice qui sera obtenue si la matrice principale UN ajouter une colonne de membres gratuits à droite DANS:

Comme pour le calcul du rang, en utilisant des transformations élémentaires de lignes et des permutations de colonnes, nous réduirons notre matrice à une forme trapézoïdale. Dans ce cas, bien entendu, le système d'équations correspondant à la matrice changera, mais ce sera est équivalent celui d'origine (ᴛ.ᴇ. aura les mêmes solutions). En fait, réorganiser ou ajouter des équations ne changera pas les solutions. Réorganiser les colonnes - aussi : les équations x1+3x2+7x3=4 Et x1+7x3+3x2=4, bien sûr, ils sont équivalents. Il vous suffit de noter à quelle inconnue correspond la colonne donnée. Nous ne réorganisons pas la colonne des termes libres - elle est généralement séparée des autres dans la matrice par une ligne pointillée. Les lignes nulles qui apparaissent dans la matrice n'ont pas besoin d'être écrites.

Exemple 1. Résolvez le système d'équations :

Solution.Écrivons la matrice étendue et réduisons-la à une forme trapézoïdale. Signe ~ signifiera désormais non seulement la coïncidence des rangs, mais aussi l'équivalence des systèmes d'équations correspondants.

~ . Expliquons les actions réalisées.

Action 1. La 1ère ligne a été ajoutée à la 2ème ligne en la multipliant par (–2). La 1ère ligne a été ajoutée aux 3ème et 4ème lignes, en la multipliant par (–3). Le but de ces opérations est d'obtenir des zéros dans la première colonne, en dessous de la diagonale principale.

Action 2. Puisqu'à la diagonale (2,2) il y a 0 , j'ai dû réorganiser les 2ème et 3ème colonnes. Pour mémoriser cette permutation, nous avons écrit dessus les symboles des inconnues.

Action 3. La 2ème ligne a été ajoutée à la 3ème ligne en la multipliant par (–2). Une 2ème ligne a été ajoutée à la 4ème ligne. Le but est d’obtenir des zéros dans la deuxième colonne, en dessous de la diagonale principale.

Action 4. Les lignes zéro peuvent être supprimées.

Ainsi, la matrice est réduite à une forme trapézoïdale. Son rang r=2 . Inconnu x1, x3- basique; x2, x4- gratuit. Donnons aux inconnues libres des valeurs arbitraires :

x2= un, x 4= b.

Ici un B peut être n’importe quel nombre. Maintenant à partir de la dernière équation du nouveau système

x3+x4= –3

nous trouvons x3 : x3= –3 –b. S'élever, dès la première équation

x1+3x3+2x 2+4x4= 5

nous trouvons x1 : x1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.

Nous écrivons la solution générale :

x1=14 –2a–b,x2=une,x3=–3 –b, x4=b.

Vous pouvez écrire la solution générale sous forme de colonne-matrice :

Pour des valeurs spécifiques un Et b, vous pouvez recevoir privé solutions. Par exemple, quand un=0, b=1 on obtient : – une des solutions du système.

Remarques. Dans l'algorithme de la méthode gaussienne, nous avons vu (cas 1), que l'incompatibilité du système d'équations est associée à la divergence dans les rangs des matrices principales et étendues. Présentons le théorème important suivant sans preuve.

Théorème 7 (Kronecker – Capelli). Un système d'équations linéaires est cohérent si et seulement si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue du système.

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