Berechnung von Matrizen nach der Cramer-Methode. Cramers Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Matrixaktionen

Betrachten Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Unter Verwendung von Determinanten dritter Ordnung kann die Lösung eines solchen Systems in der gleichen Form geschrieben werden wie für ein System aus zwei Gleichungen, d. h.

(2.4)

wenn 0. Hier

Das ist Cramers Regel Lösen eines Systems aus drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten.

Beispiel 2.3. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Regel:

Lösung . Finden der Determinante der Hauptmatrix des Systems

Da 0, können Sie, um eine Lösung für das System zu finden, die Cramer-Regel anwenden, aber zunächst drei weitere Determinanten berechnen:

Untersuchung:

Daher ist die Lösung richtig gefunden. 

Cramers Regeln für lineare Systeme 2. und 3. Ordnung legen nahe, dass dieselben Regeln für lineare Systeme beliebiger Ordnung formuliert werden können. Findet wirklich statt

Satz von Cramer. Quadratisches System linearer Gleichungen mit einer von Null verschiedenen Determinante der Hauptmatrix des Systems (0) hat eine und nur eine Lösung, und diese Lösung wird durch die Formeln berechnet

(2.5)

Wo  – Hauptmatrixdeterminante,  ich – Matrixdeterminante, abgeleitet vom Hauptwort, ErsatzichSpalte für freie Mitglieder.

Beachten Sie, dass bei =0 die Cramer-Regel nicht anwendbar ist. Das bedeutet, dass das System entweder überhaupt keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen hat.

Nach der Formulierung des Satzes von Cramer stellt sich natürlich die Frage nach der Berechnung von Determinanten höherer Ordnung.

2.4. Determinanten n-ter Ordnung

Zusätzliches Nebenfach M ij Element A ij heißt die Determinante, die man durch Löschen aus dem Gegebenen erhält ich-te Zeile und J-te Spalte. Algebraische Addition A ij Element A ij heißt das Moll dieses Elements, genommen mit dem Vorzeichen (–1) ich + J, d.h. A ij = (–1) ich + J M ij .

Lassen Sie uns zum Beispiel Nebenkomplemente und algebraische Komplemente von Elementen finden A 23 und A 31 Determinanten

Wir bekommen



Mit dem Konzept des algebraischen Komplements können wir formulieren der DeterminantenentwicklungssatzN-te Reihenfolge nach Zeile oder Spalte.

Satz 2.1. MatrixdeterminanteAist gleich der Summe der Produkte aller Elemente einer Zeile (oder Spalte) und ihrer algebraischen Komplemente:

(2.6)

Dieser Satz liegt einer der Hauptmethoden zur Berechnung von Determinanten zugrunde, der sogenannten. Bestellreduzierungsmethode. Als Ergebnis der Erweiterung der Determinante N Ordnung in einer beliebigen Zeile oder Spalte erhalten wir n Determinanten ( N–1)-te Ordnung. Um weniger solcher Determinanten zu haben, empfiehlt es sich, die Zeile oder Spalte zu wählen, die die meisten Nullen enthält. In der Praxis wird die Erweiterungsformel für die Determinante normalerweise wie folgt geschrieben:

diese. algebraische Additionen werden explizit in Minor-Formen geschrieben.

Beispiele 2.4. Berechnen Sie die Determinanten, indem Sie sie zunächst in einer beliebigen Zeile oder Spalte erweitern. Wählen Sie in solchen Fällen normalerweise die Spalte oder Zeile mit den meisten Nullen. Die ausgewählte Zeile oder Spalte wird mit einem Pfeil markiert.



2.5. Grundlegende Eigenschaften von Determinanten

Wenn wir die Determinante in einer beliebigen Zeile oder Spalte erweitern, erhalten wir n Determinanten ( N–1)-te Ordnung. Dann ist jede dieser Determinanten ( N–1)-te Ordnung kann auch in eine Summe von Determinanten zerlegt werden ( N–2)te Ordnung. Wenn man diesen Prozess fortsetzt, kann man zu den Determinanten 1. Ordnung gelangen, d. h. zu den Elementen der Matrix, deren Determinante berechnet wird. Um die Determinanten 2. Ordnung zu berechnen, müssen Sie also die Summe von zwei Termen berechnen, für Determinanten 3. Ordnung die Summe von 6 Termen und für Determinanten 4. Ordnung 24 Terme. Die Anzahl der Terme nimmt mit zunehmender Ordnung der Determinante stark zu. Dies bedeutet, dass die Berechnung von Determinanten sehr hoher Ordnung zu einer ziemlich mühsamen Aufgabe wird, die sogar die Leistungsfähigkeit eines Computers übersteigt. Determinanten können jedoch auch auf andere Weise berechnet werden, indem die Eigenschaften von Determinanten verwendet werden.

Eigentum 1 . Die Determinante ändert sich nicht, wenn darin Zeilen und Spalten vertauscht werden, d. h. beim Transponieren einer Matrix:

Diese Eigenschaft gibt die Gleichheit von Zeilen und Spalten der Determinante an. Mit anderen Worten: Jede Aussage über die Spalten einer Determinante gilt auch für ihre Zeilen und umgekehrt.

Eigentum 2 . Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen (Spalten) vertauscht werden.

Folge . Wenn die Determinante zwei identische Zeilen (Spalten) hat, ist sie gleich Null.

Eigentum 3 . Der gemeinsame Faktor aller Elemente in einer beliebigen Zeile (Spalte) kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

Zum Beispiel,

Folge . Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) der Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

Eigentum 4 . Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer Zeile (Spalte) zu den Elementen einer anderen Zeile (Spalte) multipliziert mit einer bestimmten Zahl addiert werden.

Zum Beispiel,

Eigentum 5 . Die Determinante des Matrixprodukts ist gleich dem Produkt der Matrixdeterminanten:

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Dies beschleunigt den Lösungsprozess erheblich.

Mit der Methode von Cramer kann ein System aus so vielen linearen Gleichungen gelöst werden, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann die Methode von Cramer in der Lösung verwendet werden; wenn sie gleich Null ist, dann nicht. Darüber hinaus kann die Methode von Cramer verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Die aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengesetzte Determinante wird Determinante des Systems genannt und mit (Delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man, indem man die Koeffizienten an den entsprechenden Unbekannten durch freie Terme ersetzt:

;

Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, dann hat das lineare Gleichungssystem eine einzige Lösung und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner ist die Determinante des Systems, und der Zähler ist die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten durch die Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.

Beispiel 1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Entsprechend Satz von Cramer wir haben:

Also die Lösung von System (2):

Online-Rechner, Lösungsmethode nach Cramer.

Drei Fälle zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(Das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(Das System ist konsistent und unbestimmt)

** ,

diese. Die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(systeminkonsistent)

Also das System M lineare Gleichungen mit N Variablen wird aufgerufen unvereinbar wenn es keine Lösungen gibt, und gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, heißt bestimmt, und mehr als eine unsicher.

Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode

Lass das System

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

Wo
-

Systemkennung. Die übrigen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:

Beispiel 2

Daher ist das System eindeutig. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Daher ist (1; 0; -1) die einzige Lösung für das System.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Wenn es im linearen Gleichungssystem in einer oder mehreren Gleichungen keine Variablen gibt, dann sind in der Determinante die ihnen entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also ungleich Null, daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

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Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme mit der Cramer-Methode

Wie bereits erwähnt, ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen, wenn die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten für die Unbekannten ungleich Null sind. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Die Determinanten für die Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Bei Problemen zu linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen es neben den Buchstaben, die Variablen bezeichnen, auch andere Buchstaben gibt. Diese Buchstaben stehen für eine Zahl, meist eine reelle Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen bei der Ermittlung der allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene und Objekte. Das heißt, Sie haben ein neues Material oder Gerät erfunden und um seine Eigenschaften zu beschreiben, die unabhängig von der Größe oder Anzahl der Kopien gleich sind, müssen Sie ein System linearer Gleichungen lösen, in dem anstelle einiger Koeffizienten für Variablen Buchstaben stehen. Nach Beispielen muss man nicht lange suchen.

Das nächste Beispiel betrifft ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 8 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden

Um diesen Absatz zu beherrschen, müssen Sie in der Lage sein, die Qualifikationsmerkmale „zwei mal zwei“ und „drei mal drei“ zu öffnen. Wenn die Qualifikationen schlecht sind, studieren Sie bitte die Lektion Wie berechnet man die Determinante?

Wir betrachten zunächst die Cramer-Regel im Detail für ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten. Wofür? „Schließlich lässt sich das einfachste System mit der Schulmethode lösen, durch semesterweise Addition!

Tatsache ist, dass es, wenn auch manchmal, eine solche Aufgabe gibt – ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mithilfe der Cramer-Formeln zu lösen. Zweitens hilft Ihnen ein einfacheres Beispiel zu verstehen, wie Sie die Cramer-Regel für einen komplexeren Fall anwenden – ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Darüber hinaus gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, deren exakte Lösung nach der Cramer-Regel empfehlenswert ist!

Betrachten Sie das Gleichungssystem

Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante, so heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.

Gauß-Methode.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
Und

In der Praxis können die oben genannten Qualifikationsmerkmale auch mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.

Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,

Beispiel 7

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen

Lösung: Wir sehen, dass die Koeffizienten der Gleichung ziemlich groß sind, auf der rechten Seite stehen Dezimalbrüche mit Komma. Das Komma ist ein eher seltener Gast bei praktischen Aufgaben in der Mathematik; ich habe dieses System einem ökonometrischen Problem entnommen.

Wie löst man ein solches System? Sie können versuchen, eine Variable durch eine andere auszudrücken, aber in diesem Fall erhalten Sie sicherlich schreckliche Fantasiebrüche, mit denen die Arbeit äußerst umständlich ist, und das Design der Lösung wird einfach schrecklich aussehen. Sie können die zweite Gleichung mit 6 multiplizieren und Term für Term subtrahieren, aber hier erscheinen die gleichen Brüche.

Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen die Formeln von Cramer.

;

Antwort: ,

Beide Wurzeln haben unendlich viele Enden und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar üblich) ist.

Kommentare sind hier nicht erforderlich, da die Aufgabe nach vorgefertigten Formeln gelöst wird, es gibt jedoch eine Einschränkung. Wenn Sie diese Methode verwenden, obligatorisch Das Fragment der Aufgabe ist das folgende Fragment: „Das System hat also eine einzigartige Lösung“. Andernfalls könnte der Gutachter Sie für die Missachtung des Cramer-Theorems bestrafen.

Es wird nicht überflüssig sein, dies zu überprüfen, was bequem mit einem Taschenrechner durchzuführen ist: Wir ersetzen die Näherungswerte auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems. Als Ergebnis sollten mit einem kleinen Fehler Zahlen auf der rechten Seite erhalten werden.

Beispiel 8

Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feine Gestaltung und Antwort am Ende der Lektion).

Wir wenden uns der Betrachtung der Cramer-Regel für ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu:

Wir finden die Hauptdeterminante des Systems:

Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen:
, ,

Und schließlich wird die Antwort anhand der Formeln berechnet:

Wie Sie sehen, unterscheidet sich der Fall „drei mal drei“ grundsätzlich nicht vom Fall „zwei mal zwei“, die Spalte der freien Terme „wandert“ sequentiell von links nach rechts entlang der Spalten der Hauptdeterminante.

Beispiel 9

Lösen Sie das System mit den Formeln von Cramer.

Lösung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln.

Das System verfügt also über eine einzigartige Lösung.

Antwort: .

Eigentlich gibt es auch hier nichts Besonderes zu sagen, da die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.

Es kommt vor, dass als Ergebnis von Berechnungen „schlechte“ irreduzible Brüche erhalten werden, zum Beispiel: .
Ich empfehle den folgenden „Behandlungs“-Algorithmus. Wenn kein Computer zur Hand ist, machen wir Folgendes:

1) Möglicherweise liegt ein Fehler in den Berechnungen vor. Sobald Sie auf einen „schlechten“ Schuss stoßen, müssen Sie sofort prüfen, ob dies der Fall ist Ist die Bedingung korrekt umgeschrieben?. Wenn die Bedingung fehlerfrei neu geschrieben wird, müssen Sie die Determinanten mithilfe der Erweiterung in einer anderen Zeile (Spalte) neu berechnen.

2) Wenn bei der Prüfung keine Fehler festgestellt wurden, liegt höchstwahrscheinlich ein Tippfehler in der Bedingung der Aufgabe vor. Lösen Sie in diesem Fall die Aufgabe ruhig und SORGFÄLTIG bis zum Ende und dann Überprüfen Sie dies unbedingt und erstellen Sie es nach der Entscheidung in einer sauberen Kopie. Natürlich ist die Überprüfung einer Bruchantwort eine unangenehme Aufgabe, aber es wird ein entwaffnendes Argument für den Lehrer sein, der, nun ja, wirklich gerne ein Minus für jede schlechte Sache wie z. B. setzt. Wie man mit Brüchen umgeht, erfahren Sie ausführlich in der Antwort zu Beispiel 8.

Wenn Sie einen Computer zur Hand haben, verwenden Sie zur Überprüfung ein automatisiertes Programm, das gleich zu Beginn der Unterrichtsstunde kostenlos heruntergeladen werden kann. Am vorteilhaftesten ist es übrigens, wenn Sie das Programm gleich nutzen (noch bevor Sie mit der Lösung beginnen), dann sehen Sie sofort, bei welchem Zwischenschritt Sie einen Fehler gemacht haben! Derselbe Rechner berechnet automatisch die Lösung des Systems mithilfe der Matrixmethode.

Zweite Bemerkung. Hin und wieder gibt es Systeme in den Gleichungen, in denen einige Variablen fehlen, zum Beispiel:

Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten gibt es keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben:
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen in der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der sich die Null befindet, da deutlich weniger Berechnungen anfallen.

Beispiel 10

Lösen Sie das System mit den Formeln von Cramer.

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Abschlussbeispiel und Antwort am Ende der Lektion).

Für den Fall eines Systems aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden Cramers Formeln nach ähnlichen Prinzipien geschrieben. Ein Live-Beispiel können Sie in der Lektion „Determinanteneigenschaften“ sehen. Reduzieren der Ordnung der Determinante – fünf Determinanten 4. Ordnung sind durchaus lösbar. Obwohl die Aufgabe schon sehr an den Schuh eines Professors auf der Brust eines glücklichen Studenten erinnert.

Lösung des Systems mit der inversen Matrix

Die inverse Matrixmethode ist im Wesentlichen ein Sonderfall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).

Um diesen Abschnitt zu studieren, müssen Sie in der Lage sein, die Determinanten zu erweitern, die inverse Matrix zu finden und eine Matrixmultiplikation durchzuführen. Relevante Links werden im Verlauf der Erläuterung angegeben.

Beispiel 11

Lösen Sie das System mit der Matrixmethode

Lösung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, Wo

Bitte schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Matrizen an. Ich denke, jeder versteht, nach welchem Prinzip wir Elemente in Matrizen schreiben. Einziger Kommentar: Wenn in den Gleichungen einige Variablen fehlen würden, müssten an den entsprechenden Stellen in der Matrix Nullen eingesetzt werden.

Wir finden die inverse Matrix nach der Formel:
, wobei die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ist.

Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:

Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.

Aufmerksamkeit! Wenn , dann existiert die inverse Matrix nicht und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch die Eliminierung von Unbekannten (Gauss-Methode) gelöst.

Jetzt müssen Sie 9 Nebenfächer berechnen und diese in die Nebenfachmatrix eintragen

Referenz: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, in der sich das Element befindet. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet:

Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile und der dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der dritten Zeile und der zweiten Spalte befindet

Im Zuge der Lösung ist es besser, die Berechnung von Minderjährigen im Detail zu beschreiben, obwohl sie mit einer gewissen Erfahrung mündlich an die Berechnung mit Fehlern angepasst werden können.

Im ersten Teil haben wir uns mit theoretischem Material, der Substitutionsmethode sowie der Methode der Term-für-Term-Addition von Systemgleichungen befasst. Allen, die über diese Seite auf die Website gelangt sind, empfehle ich die Lektüre des ersten Teils. Vielleicht finden einige Besucher das Material zu einfach, aber im Zuge der Lösung linearer Gleichungssysteme habe ich eine Reihe sehr wichtiger Bemerkungen und Schlussfolgerungen zur Lösung mathematischer Probleme im Allgemeinen gemacht.

Und jetzt analysieren wir die Cramer-Regel sowie die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der inversen Matrix (Matrixmethode). Alle Materialien werden einfach, detailliert und klar präsentiert, sodass fast jeder Leser lernen kann, wie man Systeme mit den oben genannten Methoden löst.

Darüber hinaus gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, deren exakte Lösung nach der Cramer-Regel empfehlenswert ist!

Betrachten Sie das Gleichungssystem

Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante, so heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.

Gauß-Methode.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
Und

In der Praxis können die oben genannten Qualifikationsmerkmale auch mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.

Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,

Beispiel 7

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen

Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen die Formeln von Cramer.

;

Antwort: ,

Beide Wurzeln haben unendlich viele Enden und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar üblich) ist.

Beispiel 8

Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feine Gestaltung und Antwort am Ende der Lektion).

Wir wenden uns der Betrachtung der Cramer-Regel für ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu:

Wir finden die Hauptdeterminante des Systems:

Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen:
, ,

Und schließlich wird die Antwort anhand der Formeln berechnet:

Beispiel 9

Lösen Sie das System mit den Formeln von Cramer.

Lösung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln.

Das System verfügt also über eine einzigartige Lösung.

Antwort: .

Eigentlich gibt es auch hier nichts Besonderes zu sagen, da die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.

Zweite Bemerkung. Hin und wieder gibt es Systeme in den Gleichungen, in denen einige Variablen fehlen, zum Beispiel:

Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten gibt es keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben:
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen entsprechend der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der sich die Null befindet, da deutlich weniger Berechnungen anfallen.

Beispiel 10

Lösen Sie das System mit den Formeln von Cramer.

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Abschlussbeispiel und Antwort am Ende der Lektion).

Lösung des Systems mit der inversen Matrix

Die inverse Matrixmethode ist im Wesentlichen ein Sonderfall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).

Beispiel 11

Lösen Sie das System mit der Matrixmethode

Lösung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, Wo

Wir finden die inverse Matrix nach der Formel:
, wobei die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ist.

Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:

Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.

Jetzt müssen Sie 9 Nebenfächer berechnen und diese in die Nebenfachmatrix eintragen

Methoden Kramer Und Gauß eine der beliebtesten Lösungen SLAU. Darüber hinaus empfiehlt sich in manchen Fällen der Einsatz spezifischer Methoden. Die Sitzung ist beendet und jetzt ist es an der Zeit, sie von Grund auf zu wiederholen oder zu meistern. Heute befassen wir uns mit der Lösung nach der Cramer-Methode. Schließlich ist das Lösen eines Systems linearer Gleichungen mit der Methode von Cramer eine sehr nützliche Fähigkeit.

Systeme linearer algebraischer Gleichungen

Das System linearer algebraischer Gleichungen ist ein Gleichungssystem der Form:

Wert gesetzt X , bei dem die Gleichungen des Systems in Identitäten übergehen, heißt Lösung des Systems, A Und B sind reelle Koeffizienten. Ein einfaches System, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten besteht, kann im Kopf gelöst werden oder indem eine Variable durch die andere ausgedrückt wird. Aber es kann in SLAE viel mehr als zwei Variablen (x) geben, und einfache Schulmanipulationen sind hier unabdingbar. Was zu tun? Lösen Sie beispielsweise SLAE mit der Cramer-Methode!

Also lass das System sein N Gleichungen mit N Unbekannt.

Ein solches System kann in Matrixform umgeschrieben werden

Hier A ist die Hauptmatrix des Systems, X Und B bzw. Spaltenmatrizen unbekannter Variablen und freier Mitglieder.

SLAE-Lösung nach Cramers Methode

Wenn die Determinante der Hauptmatrix ungleich Null ist (die Matrix ist nichtsingulär), kann das System mit der Cramer-Methode gelöst werden.

Nach der Cramer-Methode wird die Lösung durch die Formeln gefunden:

Hier Delta ist die Determinante der Hauptmatrix und Delta x n-te – die Determinante, die aus der Determinante der Hauptmatrix durch Ersetzen der n-ten Spalte durch eine Spalte mit freien Termen erhalten wird.

Das ist der springende Punkt von Cramers Methode. Ersetzen Sie die durch die obigen Formeln ermittelten Werte X In das gewünschte System sind wir von der Richtigkeit (oder umgekehrt) unserer Entscheidung überzeugt. Damit Sie das Wesentliche schnell erfassen können, geben wir unten ein Beispiel für eine detaillierte Lösung von SLAE nach der Cramer-Methode:

Auch wenn es Ihnen beim ersten Mal nicht gelingt, lassen Sie sich nicht entmutigen! Mit ein wenig Übung werden Sie SLOWs wie Nüsse zum Platzen bringen. Darüber hinaus ist es jetzt absolut nicht mehr notwendig, über einem Notizbuch zu brüten, umständliche Berechnungen zu lösen und auf die Stange zu schreiben. Es ist einfach, SLAE mit der Cramer-Methode online zu lösen, indem man einfach die Koeffizienten in die fertige Form einsetzt. Auf dieser Seite können Sie beispielsweise den Online-Rechner zur Lösung der Cramer-Methode ausprobieren.

Und sollte sich das System als hartnäckig erweisen und nicht aufgeben, können Sie jederzeit unsere Autoren um Hilfe bitten, zum Beispiel beim Kauf eines Exposés. Wenn es mindestens 100 Unbekannte im System gibt, werden wir es auf jeden Fall richtig und pünktlich lösen!