Gleichung in totalen Differentialen. Gleichungen in Gesamtdifferentialen Gleichung in Gesamtdifferentialen erster Ordnung

Problemstellung im zweidimensionalen Fall

Wiederherstellung einer Funktion mehrerer Variablen aus ihrem Gesamtdifferential

9.1. Problemstellung im zweidimensionalen Fall. 72

9.2. Beschreibung der Lösung. 72

Dies ist eine der Anwendungen des krummlinigen Integrals zweiter Art.

Gegeben ist ein Ausdruck für das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen:

Funktion finden.

1. Da nicht jeder Ausdruck der Form ein totales Differential einer Funktion ist U(X,j), dann ist es notwendig, die Richtigkeit der Problemstellung zu überprüfen, also die notwendige und hinreichende Bedingung für das Gesamtdifferential zu überprüfen, das für eine Funktion von 2 Variablen die Form hat. Diese Bedingung ergibt sich aus der Äquivalenz der Aussagen (2) und (3) im Satz des vorherigen Abschnitts. Wenn die angegebene Bedingung erfüllt ist, hat das Problem eine Lösung, also eine Funktion U(X,j) kann wiederhergestellt werden; Ist die Bedingung nicht erfüllt, gibt es für das Problem keine Lösung, d. h. die Funktion kann nicht wiederhergestellt werden.

2. Sie können eine Funktion anhand ihres Gesamtdifferentials finden, indem Sie beispielsweise ein krummliniges Integral zweiter Art verwenden und es entlang einer Linie berechnen, die einen festen Punkt verbindet ( X 0 ,j 0) und variabler Punkt ( x;y) (Reis. 18):

Somit erhält man das krummlinige Integral der zweiten Art des Gesamtdifferentials du(X,j) ist gleich der Differenz zwischen den Werten der Funktion U(X,j) an den End- und Startpunkten der Integrationslinie.

Da wir nun dieses Ergebnis kennen, müssen wir ersetzen statt du in einen krummlinigen Integralausdruck umwandeln und das Integral entlang einer gestrichelten Linie berechnen ( ACB), unter Berücksichtigung seiner Unabhängigkeit von der Form der Integrationslinie:

An ( Wechselstrom): An ( SW) :

(1)

Somit wurde eine Formel erhalten, mit deren Hilfe eine Funktion von 2 Variablen aus ihrem Gesamtdifferential wiederhergestellt wird.

3. Die Wiederherstellung einer Funktion aus ihrem totalen Differential ist nur bis zu einem konstanten Term möglich, da D(U+ const) = du. Als Ergebnis der Lösung des Problems erhalten wir daher eine Menge von Funktionen, die sich durch einen konstanten Term voneinander unterscheiden.

Beispiele (Wiederherstellen einer Funktion zweier Variablen aus ihrem Gesamtdifferential)

1. Finden U(X,j), Wenn du = (X 2 – j 2)dx – 2xydy.

Wir überprüfen die Bedingung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen:

Die Bedingung des Gesamtdifferentials ist also erfüllt, also die Funktion U(X,j) kann wiederhergestellt werden.

Überprüfung: richtig.

Antwort: U(X,j) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Finden Sie eine solche Funktion

Wir prüfen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Gesamtdifferential einer Funktion dreier Variablen: , , , wenn der Ausdruck gegeben ist.

Im Problem, das gelöst wird

Alle Bedingungen des Gesamtdifferentials sind erfüllt, daher kann die Funktion wiederhergestellt werden (das Problem ist richtig eingestellt).

Wir werden die Funktion mithilfe eines krummlinigen Integrals zweiter Art wiederherstellen und es entlang einer bestimmten Linie berechnen, die einen festen Punkt und einen variablen Punkt verbindet

(Diese Gleichheit wird auf die gleiche Weise wie im zweidimensionalen Fall abgeleitet).

Andererseits hängt das krummlinige Integral der zweiten Art des Gesamtdifferentials nicht von der Form der Integrationslinie ab, daher ist es am einfachsten, es entlang einer gestrichelten Linie zu berechnen, die aus Segmenten parallel zu den Koordinatenachsen besteht. Gleichzeitig kann man als Fixpunkt einfach einen Punkt mit bestimmten numerischen Koordinaten nehmen und nur darauf achten, dass an diesem Punkt und auf der gesamten Integrationslinie die Bedingung für die Existenz eines krummlinigen Integrals erfüllt ist (d. h. das die Funktionen und stetig sein). Mit dieser Bemerkung im Hinterkopf können wir in diesem Problem einen Fixpunkt nehmen, zum Beispiel den Punkt M 0 . Dann haben wir auf jedem der Links eine gestrichelte Linie

10.2. Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art. 79

10.3. Einige Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art. 81

Zeigt, wie man eine Differentialgleichung in Gesamtdifferentialen erkennt. Methoden zu seiner Lösung werden angegeben. Es wird ein Beispiel für die Lösung einer Gleichung in totalen Differentialen auf zwei Arten gegeben.

Inhalt

Einführung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung in Gesamtdifferentialen ist eine Gleichung der Form:
(1) ,
wobei die linke Seite der Gleichung das Gesamtdifferential einer Funktion U ist (x, y) aus Variablen x, y :
.
Dabei .

Wenn eine solche Funktion U (x, y), dann hat die Gleichung die Form:
du (x, y) = 0.
Sein allgemeines Integral:
U (x, y) = C,
wobei C eine Konstante ist.

Wenn die Differentialgleichung erster Ordnung als Ableitung geschrieben wird:
,
dann ist es einfach, es in die Form zu bringen (1) . Multiplizieren Sie dazu die Gleichung mit dx. Dann . Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die als Differentialgleichung ausgedrückt wird:
(1) .

Eigenschaft einer Differentialgleichung in totalen Differentialen

Damit die Gleichung stimmt (1) eine Gleichung in totalen Differentialen ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgende Beziehung erfüllt ist:
(2) .

Nachweisen

Darüber hinaus gehen wir davon aus, dass alle im Beweis verwendeten Funktionen definiert sind und entsprechende Ableitungen in einem bestimmten Bereich von x und y haben. Punkt x 0 , y0 gehört ebenfalls zu diesem Bereich.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung (2).
Lassen Sie die linke Seite der Gleichung (1) ist das Differential einer Funktion U (x, y):
.
Dann
;
.
Da die zweite Ableitung nicht von der Reihenfolge der Differenzierung abhängt
;
.
Daraus folgt daraus. Notwendigkeitsbedingung (2) bewiesen.

Beweisen wir die Hinlänglichkeit der Bedingung (2).
Lassen Sie den Zustand (2) :
(2) .
Zeigen wir, dass es möglich ist, eine solche Funktion U zu finden (x, y) dass sein Differential ist:
.
Das bedeutet, dass es eine solche Funktion U gibt (x, y), was die Gleichungen erfüllt:
(3) ;
(4) .
Suchen wir eine solche Funktion. Wir integrieren die Gleichung (3) um x von x 0 zu x , vorausgesetzt, dass y eine Konstante ist:
;
;
(5) .
Differenzieren Sie nach y unter der Annahme, dass x eine Konstante ist, und wenden Sie an (2) :

.
Die gleichung (4) wird ausgeführt, wenn
.
Integration über y von y 0 zu y:
;
;
.
Einwechseln (5) :
(6) .
Wir haben also eine Funktion gefunden, deren Differential ist
.
Die Ausreichendheit wurde nachgewiesen.

In der Formel (6) , U (x0, y0) ist eine Konstante - der Wert der Funktion U (x, y) am Punkt x 0 , y0. Es kann ein beliebiger Wert zugewiesen werden.

Wie erkennt man eine Differentialgleichung in totalen Differentialgleichungen?

Betrachten Sie die Differentialgleichung:
(1) .
Um festzustellen, ob diese Gleichung vollständig differenziell ist, müssen Sie die Bedingung überprüfen (2) :
(2) .
Wenn dies zutrifft, handelt es sich um eine Gleichung in totalen Differentialen. Wenn nicht, dann handelt es sich nicht um eine Gleichung in totalen Differentialen.

Beispiel

Überprüfen Sie, ob die Gleichung in totalen Differentialen vorliegt:
.

Hier
, .
Differenzieren Sie nach y unter der Annahme, dass x konstant ist:


.
Differenzieren


.
Weil das:
,
dann besteht die gegebene Gleichung aus totalen Differentialen.

Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen in totalen Differentialgleichungen

Sequentielle Differentialextraktionsmethode

Die einfachste Methode zum Lösen einer Gleichung in totalen Differentialen ist die Methode der sukzessiven Extraktion des Differentials. Dazu verwenden wir Differenzierungsformeln in Differentialform:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
In diesen Formeln sind u und v beliebige Ausdrücke, die aus einer beliebigen Kombination von Variablen bestehen.

Beispiel 1

Löse die Gleichung:
.

Zuvor haben wir herausgefunden, dass es sich bei dieser Gleichung um totale Differentiale handelt. Lassen Sie es uns umwandeln:
(P1) .
Wir lösen die Gleichung, indem wir nacheinander das Differential hervorheben.
;
;
;
;

.
Einwechseln (P1):
;
.

Sequentielle Integrationsmethode

Bei dieser Methode suchen wir nach der Funktion U (x, y), die die Gleichungen erfüllen:
(3) ;
(4) .

Wir integrieren die Gleichung (3) in x, vorausgesetzt y ist konstant:
.
Hier φ (y) ist eine zu definierende beliebige Funktion von y. Es ist eine Konstante der Integration. Wir ersetzen in die Gleichung (4) :
.
Von hier:
.
Durch Integrieren finden wir φ (y) und damit U (x, y).

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung in totalen Differentialen:
.

Zuvor haben wir herausgefunden, dass es sich bei dieser Gleichung um totale Differentiale handelt. Lassen Sie uns die Notation einführen:
, .
Auf der Suche nach Funktion U (x, y), dessen Differential die linke Seite der Gleichung ist:
.
Dann:
(3) ;
(4) .
Wir integrieren die Gleichung (3) in x, vorausgesetzt y ist konstant:
(P2)
.
Differenzieren nach y:

.
Einwechseln (4) :
;
.
Wir integrieren:
.
Einwechseln (P2):

.
Allgemeines Integral der Gleichung:
U (x, y) = const.
Wir kombinieren zwei Konstanten zu einer.

Methode der Integration entlang einer Kurve

Die Funktion U definiert durch die Beziehung:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
kann gefunden werden, indem diese Gleichung entlang der Kurve integriert wird, die die Punkte verbindet (x0, y0) Und (x, y):
(7) .
Weil das
(8) ,
dann hängt das Integral nur von den Koordinaten des Anfangs ab (x0, y0) und endgültig (x, y) Punkte und hängt nicht von der Form der Kurve ab. Aus (7) Und (8) wir finden:
(9) .
Hier x 0 Andy 0 - dauerhaft. Deshalb U (x0, y0) ist auch konstant.

Ein Beispiel für eine solche Definition von U wurde im Beweis erhalten:
(6) .
Hier erfolgt die Integration zunächst entlang eines Segments parallel zur y-Achse vom Punkt aus (x 0 , y 0 ) auf den Punkt (x0, y). Dann wird die Integration entlang eines Segments parallel zur x-Achse vom Punkt aus durchgeführt (x0, y) auf den Punkt (x, y) .

In einem allgemeineren Fall muss man die Gleichung der Kurve darstellen, die die Punkte verbindet (x 0 , y 0 ) Und (x, y) in parametrischer Form:
X 1 = s(t1); j 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); j 0 = r(t0);
x = s (T); y=r (T);
und über t integrieren 1 von t 0 zu t.

Die einfachste Integration erfolgt über das Segment, das die Punkte verbindet (x 0 , y 0 ) Und (x, y). In diesem Fall:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; j 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Nach der Substitution erhalten wir das Integral über t von 0 Vor 1 .
Diese Methode führt jedoch zu recht umständlichen Berechnungen.

Verweise:
V.V. Stepanov, Kurs für Differentialgleichungen, LKI, 2015.

einige Funktionen. Wenn wir die Funktion aus ihrem totalen Differential wiederherstellen, dann finden wir das allgemeine Integral der Differentialgleichung. Im Folgenden werden wir darüber sprechen die Methode zur Wiederherstellung einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential.

Die linke Seite der Differentialgleichung ist das Gesamtdifferential einer Funktion U(x, y) = 0 wenn die Bedingung erfüllt ist.

Weil totales Differential einer Funktion U(x, y) = 0 Das , was bedeutet, dass unter den Bedingungen, unter denen sie das sagen.

Dann, .

Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir . Wir finden die Funktion mithilfe der zweiten Gleichung des Systems:

So finden wir die gewünschte Funktion U(x, y) = 0.

Beispiel.

Finden wir die allgemeine Lösung des DE .

Lösung.

In unserem Beispiel. Die Bedingung ist erfüllt, weil:

Dann ist die linke Seite des anfänglichen DE das Gesamtdifferential einer Funktion U(x, y) = 0. Wir müssen diese Funktion finden.

Weil ist das totale Differential der Funktion U(x, y) = 0, Bedeutet:

.

Integration vorbei X 1. Gleichung des Systems und differenzierbar nach j Ergebnis:

.

Aus der 2. Gleichung des Systems erhalten wir . Bedeutet:

Wo MIT ist eine beliebige Konstante.

Somit wird das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung sein .

Es gibt eine Sekunde Methode zur Berechnung einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential. Es besteht darin, das krummlinige Integral eines Fixpunkts zu bilden (x0, y0) zu einem Punkt mit variablen Koordinaten (x, y): . In diesem Fall ist der Wert des Integrals unabhängig vom Integrationsweg. Es ist zweckmäßig, als Integrationspfad eine gestrichelte Linie zu verwenden, deren Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Beispiel.

Finden wir die allgemeine Lösung des DE .

Lösung.

Wir prüfen die Erfüllung der Bedingung:

Somit ist die linke Seite von DE das totale Differential einer Funktion U(x, y) = 0. Wir finden diese Funktion, indem wir das krummlinige Integral des Punktes berechnen (1; 1) Vor (x, y). Als Integrationspfad nehmen wir eine Polylinie: Wir durchlaufen den ersten Abschnitt der Polylinie entlang einer Geraden y=1 von diesem Punkt (1, 1) Vor (x, 1) Als zweiten Abschnitt des Pfades nehmen wir ein gerades Liniensegment vom Punkt (x, 1) Vor (x, y):

Die allgemeine Lösung der DE sieht also so aus: .

Beispiel.

Definieren wir die allgemeine Lösung von DE.

Lösung.

Weil , dann ist die Bedingung nicht erfüllt, dann ist die linke Seite von DE nicht das Gesamtdifferential der Funktion und Sie müssen die zweite Lösungsmethode verwenden (diese Gleichung ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen).

Es kann vorkommen, dass die linke Seite der Differentialgleichung

ist das totale Differential einer Funktion:

und daher nimmt Gleichung (7) die Form an.

Wenn die Funktion eine Lösung der Gleichung (7) ist, dann , und daher

wobei eine Konstante ist und umgekehrt, wenn eine Funktion die endgültige Gleichung (8) in eine Identität umwandelt, dann erhalten wir durch Differenzieren der resultierenden Identität , und daher ist , wo eine beliebige Konstante ist, ein allgemeines Integral des Originals Gleichung.

Sind die Anfangswerte gegeben, dann wird die Konstante aus (8) und bestimmt

ist das gewünschte Partialintegral. Wenn am Punkt, dann definiert Gleichung (9) als implizite Funktion von.

Damit die linke Seite von Gleichung (7) das totale Differential einer Funktion ist, ist es notwendig und ausreichend, dass dies der Fall ist

Wenn diese von Euler angegebene Bedingung erfüllt ist, lässt sich Gleichung (7) leicht integrieren. Wirklich, . Andererseits, . Somit,

Bei der Berechnung des Integrals wird der Wert als Konstante betrachtet, es handelt sich also um eine beliebige Funktion von . Um die Funktion zu bestimmen, differenzieren wir die gefundene Funktion nach und erhalten, da wir erhalten

Aus dieser Gleichung ermitteln wir und finden durch Integration .

Wie aus der mathematischen Analyse bekannt ist, ist es noch einfacher, eine Funktion durch ihr Gesamtdifferential zu definieren, indem man das krummlinige Integral zwischen einem festen Punkt und einem Punkt mit variablen Koordinaten entlang eines beliebigen Pfads bildet:

Als Integrationspfad ist es am häufigsten, eine gestrichelte Linie zu verwenden, die aus zwei Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen besteht. in diesem Fall

Beispiel. .

Die linke Seite der Gleichung ist das Gesamtdifferential einer Funktion, da

Daher hat das allgemeine Integral die Form

Sie können eine andere Methode zum Definieren einer Funktion verwenden:

Als Ausgangspunkt wählen wir beispielsweise den Koordinatenursprung, als Integrationspfad eine gestrichelte Linie. Dann

und das allgemeine Integral hat die Form

Was mit dem vorherigen Ergebnis übereinstimmt und zu einem gemeinsamen Nenner führt.

In einigen Fällen, wenn die linke Seite von Gleichung (7) kein totales Differential ist, ist es leicht, eine Funktion zu finden, nach der Multiplikation mit der sich die linke Seite von Gleichung (7) in ein totales Differential verwandelt. Eine solche Funktion heißt integrierender Faktor. Beachten Sie, dass die Multiplikation mit einem Integrationsfaktor zum Auftreten besonders spezieller Lösungen führen kann, die diesen Faktor auf Null setzen.

Beispiel. .

Offensichtlich ergibt sich nach der Multiplikation mit einem Faktor aus der linken Seite ein totales Differential. Tatsächlich erhalten wir nach der Multiplikation mit

oder, durch Integration, . Durch Multiplikation mit 2 und Potenzierung erhalten wir .

Natürlich ist der Integrationsfaktor nicht immer so einfach zu wählen. Im allgemeinen Fall ist es zum Ermitteln des Integrationsfaktors erforderlich, mindestens eine bestimmte Lösung der Gleichung in partiellen Ableitungen zu wählen, die nicht identisch Null ist, oder in erweiterter Form

die nach Division durch und Übertragung einiger Terme auf den anderen Teil der Gleichheit auf die Form reduziert wird

Im allgemeinen Fall ist die Integration dieser partiellen Differentialgleichung keineswegs einfacher als die Integration der ursprünglichen Gleichung, in manchen Fällen ist die Auswahl einer bestimmten Lösung für Gleichung (11) jedoch nicht schwierig.

Unter der Annahme, dass der Integrationsfaktor eine Funktion nur eines Arguments ist (z. B. eine Funktion von only oder only oder eine Funktion von only oder only usw.), können wir Gleichung (11) und leicht integrieren Geben Sie die Bedingungen an, unter denen ein integrierender Faktor der betrachteten Form existiert. Somit werden Gleichungsklassen herausgegriffen, für die der Integrationsfaktor leicht gefunden werden kann.

Suchen wir zum Beispiel nach den Bedingungen, unter denen die Gleichung einen Integrationsfaktor hat, der nur von abhängt, d. h. . In diesem Fall wird Gleichung (11) vereinfacht und nimmt die Form an, woraus wir unter der Annahme, dass es sich um eine stetige Funktion von handelt, erhalten

Wenn nur eine Funktion von ist, dann existiert der integrierende Faktor, der nur von abhängt, und ist gleich (12), andernfalls existiert der integrierende Faktor der Form nicht.

Die Bedingung für die Existenz eines integrierenden Faktors, der nur davon abhängt, ist beispielsweise für eine lineare Gleichung oder erfüllt. In der Tat, und deshalb . Ganz ähnlich lassen sich Bedingungen für die Existenz integrierender Faktoren der Form etc. finden.

Beispiel. Hat die Gleichung einen integrierenden Faktor der Form?

Bezeichnen wir. Gleichung (11) hat die Form , woher oder

Für die Existenz eines integrierenden Faktors einer gegebenen Form ist es notwendig und unter der Annahme der Kontinuität ausreichend, dass nur . In diesem Fall existiert also der integrierende Faktor und ist gleich (13). Wenn wir bekommen . Indem wir die ursprüngliche Gleichung mit multiplizieren, bringen wir sie in die Form

Durch Integrieren erhalten wir , und nach der Potenzierung erhalten wir , oder in Polarkoordinaten – eine Familie logarithmischer Spiralen.

Beispiel. Finden Sie die Form eines Spiegels, der alle von einem bestimmten Punkt ausgehenden Strahlen parallel zu einer bestimmten Richtung reflektiert.

Wir platzieren den Koordinatenursprung an einem bestimmten Punkt und richten die Abszissenachse parallel zu der in den Problembedingungen angegebenen Richtung aus. Lassen Sie den Strahl an der Stelle auf den Spiegel fallen. Betrachten Sie einen Schnitt durch den Spiegel durch eine Ebene, die durch die Abszissenachse und den Punkt verläuft. Zeichnen wir im Punkt eine Tangente an den betrachteten Abschnitt der Spiegelfläche. Da der Einfallswinkel des Strahls gleich dem Reflexionswinkel ist, ist das Dreieck gleichschenklig. Somit,

Die resultierende homogene Gleichung lässt sich leicht durch eine Änderung der Variablen integrieren, aber es ist noch einfacher, sie, befreit von der Irrationalität im Nenner, in die Form umzuschreiben. Diese Gleichung hat einen offensichtlichen Integrationsfaktor (eine Familie von Parabeln).

Dieses Problem lässt sich noch einfacher in Koordinaten lösen, wobei die Gleichung für den Abschnitt der gewünschten Flächen die Form annimmt.

Es ist möglich, die Existenz eines integrierenden Faktors oder, was dasselbe ist, die Existenz einer von Null verschiedenen Lösung der partiellen Differentialgleichung (11) in einem bestimmten Bereich zu beweisen, wenn die Funktionen und stetige Ableitungen haben und mindestens eine davon Funktionen verschwinden nicht. Daher kann die Methode des integrierenden Faktors als allgemeine Methode zum Integrieren von Gleichungen der Form betrachtet werden. Aufgrund der Schwierigkeit, den integrierenden Faktor zu finden, wird diese Methode jedoch am häufigsten in Fällen verwendet, in denen der integrierende Faktor offensichtlich ist.