Изчисляване на матрици по метода на Крамер. Метод на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения. Матрични действия

Да разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни

Използвайки детерминанти от трети ред, решението на такава система може да бъде написано в същата форма, както за система от две уравнения, т.е.

(2.4)

ако 0. Тук

то е Правилото на Крамър решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 2.3.Решете система от линейни уравнения, като използвате правилото на Крамър:

Решение . Намиране на детерминантата на основната матрица на системата

Тъй като 0, за да намерите решение на системата, можете да приложите правилото на Крамър, но първо изчислете още три детерминанти:

Преглед:

Следователно решението е намерено правилно. 

Правилата на Крамър, получени за линейни системи от 2-ри и 3-ти ред, предполагат, че същите правила могат да бъдат формулирани за линейни системи от всякакъв ред. Наистина се провежда

Теорема на Крамър. Квадратна система от линейни уравнения с ненулев детерминант на основната матрица на системата (0) има едно и само едно решение и това решение се изчислява по формулите

(2.5)

Където  – основна детерминанта на матрицата,  аз – матрична детерминанта, произлизащи от основния, заместващазth колона безплатни членове колона.

Имайте предвид, че ако =0, тогава правилото на Cramer не е приложимо. Това означава, че системата или няма никакви решения, или има безкрайно много решения.

След като формулирахме теоремата на Крамър, естествено възниква въпросът за изчисляване на детерминанти от по-висок порядък.

2.4. детерминанти от n-ти ред

Допълнителен минор М ijелемент а ijсе нарича детерминанта, получена от даденото чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона. Алгебрично събиране А ijелемент а ijсе нарича минор на този елемент, взет със знака (–1) аз + й, т.е. А ij = (–1) аз + й М ij .

Например, нека намерим второстепенни и алгебрични допълнения на елементи а 23 и а 31 детерминанти

Получаваме



Използвайки понятието алгебрично допълнение, можем да формулираме детерминантната теорема за разширениен-ти ред по ред или колона.

Теорема 2.1. Матрична детерминантаАе равно на сумата от продуктите на всички елементи на някакъв ред (или колона) и техните алгебрични допълнения:

(2.6)

Тази теорема е в основата на един от основните методи за изчисляване на детерминанти, т.нар. метод за намаляване на поръчката. В резултат на разширяването на определителя нти ред във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. За да има по-малко такива детерминанти, препоръчително е да изберете реда или колоната, които имат най-много нули. На практика формулата за разширяване на детерминантата обикновено се записва като:

тези. алгебричните допълнения се записват изрично в термините на минори.

Примери 2.4.Изчислете детерминантите, като първо ги разгънете във всеки ред или колона. Обикновено в такива случаи изберете колоната или реда, който има най-много нули. Избраният ред или колона ще бъдат отбелязани със стрелка.



2.5. Основни свойства на детерминантите

Разширявайки детерминантата във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. Тогава всяка от тези детерминанти ( н–1)-ти ред също може да се разложи на сума от детерминанти ( н–2) ред. Продължавайки този процес, може да се стигне до детерминантите от 1-ви ред, т.е. към елементите на матрицата, чиято детерминанта се изчислява. И така, за да изчислите детерминантите от 2-ри ред, ще трябва да изчислите сумата от два термина, за детерминантите от 3-ти ред - сумата от 6 термина, за детерминантите от 4-ти ред - 24 термина. Броят на членовете ще се увеличи рязко с увеличаване на реда на детерминантата. Това означава, че изчисляването на детерминанти от много високи порядки се превръща в доста трудоемка задача, която не е по силите дори на компютър. Детерминантите обаче могат да бъдат изчислени по друг начин, като се използват свойствата на детерминантите.

Имот 1 . Детерминантата няма да се промени, ако в нея се разменят редове и колони, т.е. при транспониране на матрица:

.

Това свойство показва равенството на редовете и колоните на детерминантата. С други думи, всяко твърдение за колоните на детерминанта е вярно за неговите редове и обратно.

Имот 2 . Детерминантата променя знака си, когато два реда (колони) се разменят.

Последица . Ако детерминантата има два еднакви реда (колони), тогава тя е равна на нула.

Имот 3 . Общият множител на всички елементи във всеки ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.

Например,

Последица . Ако всички елементи на някакъв ред (колона) на детерминантата са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

Имот 4 . Детерминантата няма да се промени, ако елементите на един ред (колона) се добавят към елементите на друг ред (колона), умножени по някакво число.

Например,

Имот 5 . Детерминантата на матричното произведение е равна на произведението на матричните детерминанти:

Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.

Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамер може да се използва в решението; ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.

Определение. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича детерминанта на системата и се означава с (делта).

Детерминанти

се получават чрез заместване на коефициентите при съответните неизвестни със свободни членове:

;

.

Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят е детерминантата на системата, а числителят е детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите с неизвестните със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.

Пример 1Решете системата от линейни уравнения:

Според Теорема на Крамърние имаме:

И така, решението на система (2):

онлайн калкулатор, метод на решение на Cramer.

Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Както се вижда от Теореми на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: системата от линейни уравнения има единствено решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: системата от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и неопределена)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(непоследователна система)

Така че системата млинейни уравнения с нпроменливи се нарича несъвместимиако няма решения и ставаако има поне едно решение. Съвместна система от уравнения, която има само едно решение, се нарича определени, и повече от един несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека системата

.

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

Където
-

системен идентификатор. Останалите детерминанти се получават чрез замяна на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни членове:

Пример 2

.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

По формулите на Крамер намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

Ако в системата от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните им елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

.

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

По формулите на Крамер намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

Най-горе на страницата

Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Крамер

Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите за неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.

Пример 6Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Детерминантите за неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

В задачи върху системи от линейни уравнения има и такива, в които освен буквите, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви означават някакво число, най-често реално число. На практика такива уравнения и системи от уравнения водят до проблеми за намиране на общите свойства на всякакви явления и обекти. Тоест вие сте изобретили някакъв нов материал или устройство и за да опишете неговите свойства, които са общи, независимо от размера или броя на копията, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.

Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи някакво реално число, се увеличава.

Пример 8Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Намиране на детерминанти за неизвестни

За да овладеете този параграф, трябва да можете да отворите квалификаторите "две по две" и "три по три". Ако квалификациите са лоши, моля, проучете урока Как да изчислим детерминантата?

Първо разглеждаме подробно правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? „В края на краищата най-простата система може да бъде решена по училищния метод, чрез добавяне на член по термин!

Факт е, че дори понякога, но има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинската буква.

Корените на уравнението се намират по формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: "така че системата има уникално решение". В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Изразете отговора си с обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример за самостоятелно решение (пример за фин дизайн и отговор в края на урока).

Обръщаме се към разглеждането на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне, трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят „три по три“ по същество не се различава от случая „два по два“, колоната от свободни термини последователно „ходи“ отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър.

, така че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, предвид факта, че решението се взема по готови формули. Но има няколко бележки.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за "лечение". Ако няма компютър под ръка, правим следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лош“ изстрел, трябва незабавно да проверите дали дали условието е пренаписано правилно. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширението в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са открити грешки, тогава най-вероятно е направена печатна грешка в условието на заданието. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО решете задачата докрай, а след това не забравяйте да проверитеи го съставя на чисто копие след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който наистина обича да поставя минус за всяко лошо нещо като. Как да се справяте с дроби е подробно описано в отговора за пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма, за да го проверите, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението), веднага ще видите междинната стъпка, на която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решаване (завършващ пример и отговор в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока за детерминантни свойства. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на професорска обувка върху гърдите на късметлия студент.

Решение на системата с помощта на обратната матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширите детерминантите, да намерите обратната матрица и да извършите матрично умножение. С напредването на обяснението ще бъдат дадени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с матричния метод

Решение: Записваме системата в матрична форма:
, Където

Моля, погледнете системата от уравнения и матриците. По какъв принцип записваме елементи в матрици, мисля, че всеки разбира. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава трябва да се поставят нули на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

Първо, нека се справим с детерминантата:

Тук детерминантата се разширява от първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата се решава чрез елиминиране на неизвестни (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона

В хода на решаването е по-добре да се опише подробно изчислението на непълнолетните, въпреки че с известен опит те могат да бъдат коригирани да броят с грешки устно.

В първата част разгледахме малко теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно добавяне на уравнения на системата. На всички, които са попаднали на сайта през тази страница, препоръчвам да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в хода на решаването на системи от линейни уравнения направих редица много важни забележки и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.

А сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решението на система от линейни уравнения с помощта на обратната матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно, почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо разглеждаме подробно правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? „В края на краищата най-простата система може да бъде решена по училищния метод, чрез добавяне на член по термин!

Факт е, че дори понякога, но има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинската буква.

Корените на уравнението се намират по формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: "така че системата има уникално решение". В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Изразете отговора си с обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример за самостоятелно решение (пример за фин дизайн и отговор в края на урока).

Обръщаме се към разглеждането на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне, трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят „три по три“ по същество не се различава от случая „два по два“, колоната от свободни термини последователно „ходи“ отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър.

, така че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, предвид факта, че решението се взема по готови формули. Но има няколко бележки.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за "лечение". Ако няма компютър под ръка, правим следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лош“ изстрел, трябва незабавно да проверите дали дали условието е пренаписано правилно. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширението в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са открити грешки, тогава най-вероятно е направена печатна грешка в условието на заданието. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО решете задачата докрай, а след това не забравяйте да проверитеи го съставя на чисто копие след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който наистина обича да поставя минус за всяко лошо нещо като. Как да се справяте с дроби е подробно описано в отговора за пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма, за да го проверите, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението), веднага ще видите междинната стъпка, на която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решаване (завършващ пример и отговор в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока за детерминантни свойства. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на професорска обувка върху гърдите на късметлия студент.

Решение на системата с помощта на обратната матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширите детерминантите, да намерите обратната матрица и да извършите матрично умножение. С напредването на обяснението ще бъдат дадени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с матричния метод

Решение: Записваме системата в матрична форма:
, Където

Моля, погледнете системата от уравнения и матриците. По какъв принцип записваме елементи в матрици, мисля, че всеки разбира. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава трябва да се поставят нули на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

Първо, нека се справим с детерминантата:

Тук детерминантата се разширява от първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата се решава чрез елиминиране на неизвестни (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона

Методи КрамерИ Гауседно от най-популярните решения СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес се занимаваме с решението по метода на Крамер. В крайна сметка решаването на система от линейни уравнения по метода на Крамър е много полезно умение.

Системи линейни алгебрични уравнения

Системата от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:

Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в тъждества, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена мислено или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (x) в SLAE и простите училищни манипулации са незаменими тук. Какво да правя? Например, решете SLAE по метода на Cramer!

Така че нека бъде системата н уравнения с н неизвестен.

Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма

Тук А е основната матрица на системата, х И б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.

Решение на SLAE по метода на Крамер

Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.

Според метода на Крамер решението се намира по формулите:

Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х n-та - детерминантата, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.

Това е целият смисъл на метода на Крамър. Заместване на стойностите, намерени от горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем бързо да разберете същността, по-долу даваме пример за подробно решение на SLAE по метода на Cramer:

Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да пукате БАВНО като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се ровите в тетрадка, да решавате тромави изчисления и да пишете на пръта. Лесно е да се реши SLAE по метода на Cramer онлайн, просто като се заменят коефициентите в готовата форма. Можете да опитате онлайн калкулатора за решаване на метода на Крамер, например, на този сайт.

И ако системата се окаже упорита и не се отказва, винаги можете да помолите нашите автори за помощ, например да закупите синопсис. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и точно навреме!