Уравнение в общите диференциали. Уравнения в общите диференциали Уравнение в общите диференциали от първи ред

Постановка на проблема в двумерен случай

Възстановяване на функция на няколко променливи от нейния пълен диференциал

9.1. Постановка на проблема в двумерен случай. 72

9.2. Описание на решението. 72

Това е едно от приложенията на криволинейния интеграл от втори род.

Даден е израз за общия диференциал на функция от две променливи:

Намиране на функция.

1. Тъй като не всеки израз на формата е пълен диференциал на някаква функция U(х,г), тогава е необходимо да се провери коректността на постановката на задачата, тоест да се провери необходимото и достатъчно условие за общия диференциал, който за функция от 2 променливи има формата . Това условие следва от еквивалентността на твърдения (2) и (3) в теоремата от предишния раздел. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава проблемът има решение, тоест функция U(х,г) могат да бъдат възстановени; ако условието не е изпълнено, тогава проблемът няма решение, тоест функцията не може да бъде възстановена.

2. Можете да намерите функция по нейния общ диференциал, например, като използвате криволинейна интегрална схема от втори вид, изчислявайки я от линия, свързваща фиксирана точка ( х 0 ,г 0) и променлива точка ( x;y) (Ориз. 18):

Така се получава, че криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал dU(х,г) е равно на разликата между стойностите на функцията U(х,г) в крайната и началната точка на линията на интегриране.

Знаейки сега този резултат, трябва да заместим вместо dUв криволинеен интегрален израз и изчислете интеграла по прекъсната линия ( ACB), като се вземе предвид неговата независимост от формата на линията на интегриране:

На ( AC): На ( SW) :

(1)

Така се получава формула, с помощта на която се възстановява функция на 2 променливи от общия й диференциал.

3. Възможно е да се възстанови функция от нейния пълен диференциал само до постоянен член, тъй като д(U+ const) = dU. Следователно в резултат на решаването на проблема получаваме набор от функции, които се различават една от друга с постоянен термин.

Примери (възстановяване на функция на две променливи от нейния общ диференциал)

1. Намерете U(х,г), Ако dU = (х 2 – г 2)dx – 2xydy.

Проверяваме условието на общия диференциал на функция от две променливи:

Условието на общия диференциал е изпълнено, следователно функцията U(х,г) могат да бъдат възстановени.

Проверка: правилно.

Отговор: U(х,г) = х 3 /3 – xy 2 + ° С.

2. Намерете функция, такава че

Проверяваме необходимите и достатъчни условия за общия диференциал на функция от три променливи: , , , ако изразът е даден.

В проблема, който се решава

всички условия на общия диференциал са изпълнени, следователно функцията може да бъде възстановена (проблемът е поставен правилно).

Ще възстановим функцията с помощта на криволинеен интеграл от втори вид, като го изчислим по определена линия, свързваща фиксирана точка и променлива точка , тъй като

(това равенство се извежда по същия начин, както в двумерния случай).

От друга страна, криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал не зависи от формата на линията на интегриране, така че е най-лесно да се изчисли по начупена линия, състояща се от сегменти, успоредни на координатните оси. В същото време като фиксирана точка можете просто да вземете точка със специфични числени координати, като следите само, че в тази точка и на цялата линия на интегриране е изпълнено условието за съществуване на криволинеен интеграл (т.е. функциите и да бъдат непрекъснати). Имайки предвид тази забележка, в тази задача можем да вземем фиксирана точка, например точката M 0 . Тогава на всяка от връзките на прекъснатата линия ще имаме

10.2. Изчисляване на повърхностен интеграл от първи род. 79

10.3. Някои приложения на повърхностния интеграл от първи род. 81

Показва как да разпознаете диференциално уравнение в общите диференциали. Дадени са методи за неговото решаване. Даден е пример за решаване на уравнение в общи диференциали по два начина.

Съдържание

Въведение

Диференциално уравнение от първи ред в общите диференциали е уравнение от формата:
(1) ,
където лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция U (x, y)от променливи x, y:
.
При което .

Ако такава функция U (x, y), тогава уравнението приема формата:
dU (x, y) = 0.
Неговият общ интеграл:
U (x, y) = C,
където C е константа.

Ако диференциалното уравнение от първи ред е написано по отношение на производната:
,
след това е лесно да го приведете във формата (1) . За да направите това, умножете уравнението по dx. Тогава . В резултат на това получаваме уравнение, изразено чрез диференциали:
(1) .

Свойство на диференциалното уравнение в общите диференциали

За да уравнението (1) е уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно да е изпълнено следното съотношение:
(2) .

Доказателство

Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от x и y. точка х 0, y0също принадлежи към тази област.

Нека докажем необходимостта от условие (2).
Нека лявата страна на уравнението (1) е диференциалът на някаква функция U (x, y):
.
Тогава
;
.
Тъй като втората производна не зависи от реда на диференциране, тогава
;
.
Оттук следва, че. Условие на необходимост (2) доказано.

Нека докажем достатъчността на условие (2).
Нека условието (2) :
(2) .
Нека покажем, че е възможно да се намери такава функция U (x, y)че неговият диференциал е:
.
Това означава, че има такава функция U (x, y), което удовлетворява уравненията:
(3) ;
(4) .
Нека намерим такава функция. Интегрираме уравнението (3) от x от x 0 към x, като приемем, че y е константа:
;
;
(5) .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа и приложете (2) :

.
Уравнението (4) ще бъде изпълнено, ако
.
Интегриране върху y от y 0 играчка :
;
;
.
Заместник в (5) :
(6) .
Така че намерихме функция, чийто диференциал е
.
Достатъчността е доказана.

Във формулата (6) , У (x0, y0)е константа - стойността на функцията U (x, y)в точка х 0, y0. Може да му се присвои произволна стойност.

Как да разпознаем диференциално уравнение в общите диференциали

Разгледайте диференциалното уравнение:
(1) .
За да определите дали това уравнение е в пълни диференциали, трябва да проверите условието (2) :
(2) .
Ако е валидно, тогава това е уравнение в общите диференциали. Ако не, тогава това не е уравнение в общите диференциали.

Пример

Проверете дали уравнението е в общи диференциали:
.

Тук
, .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа:


.
Разграничаване


.
Тъй като:
,
тогава даденото уравнение е в общи диференциали.

Методи за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Метод на последователна диференциална екстракция

Най-простият метод за решаване на уравнение в общи диференциали е методът на последователно извличане на диференциала. За да направим това, използваме формули за диференциране, написани в диференциална форма:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
В тези формули u и v са произволни изрази, съставени от произволна комбинация от променливи.

Пример 1

Решете уравнението:
.

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме:
(P1) .
Решаваме уравнението, като последователно маркираме диференциала.
;
;
;
;

.
Заместник в (P1):
;
.

Метод на последователно интегриране

В този метод търсим функцията U (x, y), удовлетворяващи уравненията:
(3) ;
(4) .

Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
.
Тук φ (y)е произволна функция на y, която трябва да бъде дефинирана. Това е константа на интеграцията. Заместваме в уравнението (4) :
.
Оттук:
.
Интегрирайки, намираме φ (y)и по този начин U (x, y).

Пример 2

Решете уравнението в общи диференциали:
.

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека въведем обозначението:
, .
Търся функция U (x, y), чийто диференциал е лявата страна на уравнението:
.
Тогава:
(3) ;
(4) .
Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
(P2)
.
Разграничете по отношение на y:

.
Заместник в (4) :
;
.
Ние интегрираме:
.
Заместник в (P2):

.
Общ интеграл на уравнението:
U (x, y) = const.
Комбинираме две константи в една.

Метод на интегриране по крива

Функцията U, дефинирана от отношението:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x0, y0)И (x, y):
(7) .
Тъй като
(8) ,
тогава интегралът зависи само от координатите на началната (x0, y0)и окончателно (x, y)точки и не зависи от формата на кривата. от (7) И (8) намираме:
(9) .
Тук x 0 и y 0 - постоянен. Следователно U (x0, y0)също е постоянен.

Пример за такова определение на U беше получен в доказателството:
(6) .
Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точката (x 0, y 0)към основния въпрос (x0, y). След това интегрирането се извършва по отсечка, успоредна на оста x от точката (x0, y)към основния въпрос (x, y) .

В по-общ случай трябва да се представи уравнението на кривата, свързваща точките (x 0, y 0)И (x, y)в параметрична форма:
х 1 = s(t1); г 1 = r(t1);
х 0 = s(t0); г 0 = r(t0);
x = s (T); y=r (T);
и интегрира върху t 1 от т 0 към t.

Най-простото интегриране е върху отсечката, свързваща точките (x 0, y 0)И (x, y). В такъв случай:
х 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; г 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
След заместването получаваме интеграла върху t от 0 преди 1 .
Този метод обаче води до доста тромави изчисления.

Препратки:
В.В. Степанов, Курс диференциални уравнения, ЛКИ, 2015г.

някои функции. Ако възстановим функцията от нейния пълен диференциал, тогава намираме общия интеграл на диференциалното уравнение. По-долу ще говорим за методът за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал.

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0ако условието е изпълнено.

защото пълен диференциал на функция U(x, y) = 0Това , което означава, че при условията, които казват, че .

Тогава, .

От първото уравнение на системата получаваме . Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим желаната функция U(x, y) = 0.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:

Тогава лявата страна на началния DE е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

защото е общият диференциал на функцията U(x, y) = 0, означава:

.

Интегриране над х 1-во уравнение на системата и диференцируемо по отношение на грезултат:

.

От второто уравнение на системата получаваме . означава:

Където СЪСе произволна константа.

По този начин и общият интеграл на даденото уравнение ще бъде .

Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал. Състои се във вземане на криволинейния интеграл на фиксирана точка (x0, y0)до точка с променливи координати (x, y): . В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е да се вземе като път на интегриране прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

Проверяваме изпълнението на условието:

Така лявата страна на DE е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Намираме тази функция чрез изчисляване на криволинейния интеграл на точката (1; 1) преди (x, y). Приемаме полилиния като интеграционен път: ще преминем през първия участък на полилинията по права линия y=1от точката (1, 1) преди (x, 1), като втори участък от пътя вземаме права отсечка от точката (x, 1)преди (x, y):

Така общото решение на DE изглежда така: .

Пример.

Нека дефинираме общото решение на DE.

Решение.

защото , тогава условието не е изпълнено, тогава лявата страна на DE няма да бъде общият диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).

Може да се случи, че лявата страна на диференциалното уравнение

е общият диференциал на някаква функция:

и следователно уравнение (7) приема формата .

Ако функцията е решение на уравнение (7), тогава и, следователно,

където е константа и обратно, ако някаква функция превръща крайното уравнение (8) в идентичност, тогава, диференцирайки получената идентичност, получаваме и следователно, където е произволна константа, е общ интеграл на оригинала уравнение.

Ако са дадени първоначалните стойности, тогава константата се определя от (8) и

е желаният частичен интеграл. Ако в точката , тогава уравнение (9) се определя като имплицитна функция на .

За да бъде лявата страна на уравнение (7) общият диференциал на някаква функция, е необходимо и достатъчно, че

Ако това условие, посочено от Ойлер, е изпълнено, тогава уравнение (7) лесно се интегрира. Наистина ли, . От друга страна, . следователно

При изчисляване на интеграла стойността се счита за константа, следователно е произволна функция на . За да определим функцията, диференцираме намерената функция по отношение на и, тъй като , получаваме

От това уравнение определяме и, интегрирайки, намираме .

Както е известно от курса на математическия анализ, дори е по-лесно да се дефинира функция чрез нейния пълен диференциал, като се вземе криволинейният интеграл на между някаква фиксирана точка и точка с променливи координати по протежение на всеки път:

Най-често като интеграционен път е удобно да се вземе прекъсната линия, съставена от две връзки, успоредни на координатните оси; в такъв случай

Пример. .

Лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция, тъй като

Следователно общият интеграл има формата

Можете да използвате друг метод за дефиниране на функция:

За начална точка избираме, например, началото на координатите, като път на интегриране - прекъсната линия. Тогава

и общият интеграл има формата

Което съвпада с предишния резултат, което води до общ знаменател.

В някои случаи, когато лявата страна на уравнение (7) не е пълен диференциал, е лесно да се намери функция, след умножение, чрез която лявата страна на уравнение (7) се превръща в пълен диференциал. Такава функция се нарича интегриращ фактор. Имайте предвид, че умножението с интегриращ коефициент може да доведе до появата на допълнителни частни решения, които превръщат този коефициент в нула.

Пример. .

Очевидно след умножаване по коефициент лявата страна се превръща в общ диференциал. Наистина, след умножаване по получаваме

или чрез интегриране, . Умножавайки по 2 и потенцирайки, ще имаме .

Разбира се, интегриращият фактор не винаги се избира толкова лесно. В общия случай, за да се намери интегриращият фактор, е необходимо да се избере поне едно конкретно решение на уравнението в частни производни, което не е идентично нула, или в разширена форма

което след разделяне на и прехвърляне на някои членове към другата част на равенството се свежда до формата

В общия случай интегрирането на това частично диференциално уравнение в никакъв случай не е по-проста задача от интегрирането на оригиналното уравнение, но в някои случаи изборът на конкретно решение на уравнение (11) не е труден.

В допълнение, ако приемем, че интегриращият фактор е функция само на един аргумент (например, той е функция само или само , или функция само от , или само и т.н.), можем лесно да интегрираме уравнение (11) и посочете условията, при които съществува интегриращ фактор на разглежданата форма. По този начин се отделят класове уравнения, за които лесно може да се намери интегриращият фактор.

Например, нека намерим условията, при които уравнението има интегриращ фактор, който зависи само от , т.е. . В този случай уравнение (11) се опростява и приема формата , откъдето, приемайки, че е непрекъсната функция на , получаваме

Ако е функция само на , тогава интегриращият фактор, зависещ само от , съществува и е равен на (12), в противен случай интегриращият фактор на формата не съществува.

Условието за съществуване на интегриращ фактор, зависещ само от, е изпълнено, например, за линейно уравнение или . Наистина, и следователно,. По същия начин могат да бъдат намерени условия за съществуване на интегриращи фактори от формата и т.н.

Пример.Има ли уравнението интегриращ фактор от формата ?

Нека обозначим . Уравнение (11) при приема формата , откъдето или

За съществуването на интегриращ фактор от дадена форма е необходимо и при предположението за непрекъснатост е достатъчно само . Следователно в този случай интегриращият фактор съществува и е равен на (13). Когато получим. Умножавайки оригиналното уравнение по , ние го привеждаме във формата

Интегрирайки, получаваме , а след потенциране ще имаме , или в полярни координати - семейство от логаритмични спирали.

Пример. Намерете формата на огледало, което отразява успоредно на дадена посока всички лъчи, излизащи от дадена точка.

Поставяме началото на координатите в дадена точка и насочваме абсцисната ос успоредно на посоката, зададена в условията на задачата. Оставете лъча да падне върху огледалото в точката. Да разгледаме разрез на огледалото с равнина, минаваща през абсцисната ос и точката . Нека начертаем допирателна към разглеждания участък от огледалната повърхност в точката . Тъй като ъгълът на падане на лъча е равен на ъгъла на отражение, триъгълникът е равнобедрен. следователно

Полученото хомогенно уравнение лесно се интегрира чрез промяна на променливи , но е още по-лесно, освободено от ирационалност в знаменателя, да се пренапише във формата . Това уравнение има очевиден интегриращ фактор , , , (семейство от параболи).

Тази задача е още по-лесна за решаване в координати и , където , докато уравнението за сечението на желаните повърхности приема формата .

Възможно е да се докаже съществуването на интегриращ фактор или, което е същото, съществуването на ненулево решение на частично диференциалното уравнение (11) в някаква област, ако функциите и имат непрекъснати производни и поне една от тях функциите не изчезват. Следователно методът на интегриращия фактор може да се разглежда като общ метод за интегриране на уравнения от формата , но поради трудността при намиране на интегриращия фактор, този метод най-често се използва в случаите, когато интегриращият фактор е очевиден.