Система от уравнения. Подробна теория с примери (2020). Примери за системи от линейни уравнения: метод на решение Написване на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на основната система от решения

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изучаване на теорията на избрания метод,
решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими дефиниции, концепции и въвеждаме някои обозначения.

След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това преминаваме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Нека формулираме теоремата на Кронекер - Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисния минор на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни задачи, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да е равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на SLAE се нарича координирам.

IN матрична форматази система от уравнения има формата,
Където - основната матрица на системата, - колоната на матрицата на неизвестните променливи, - колоната на матрицата на свободните членове.

Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната му матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такъв SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Cramer като . Така се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Съставете и изчислете необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез заместване на първата колона в матрица А с колона от свободни членове, детерминантата - чрез заместване на втората колона с колона от свободни членове, - чрез заместване на третата колона на матрица А с колона от свободни членове ):

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляване на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , тогава матрицата A е обратима, т.е. има обратна матрица . Ако умножим двете части на равенството по отляво, тогава получаваме формула за намиране на матрицата на колоната на неизвестни променливи. Така че получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Пренаписваме системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица в колоната на матрицата на безплатните членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения чрез матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, като се използва тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му части лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по:

С това предният ход на метода на Гаус е завършен, започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теорема на Кронекер-Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога е несъвместим, дава Теорема на Кронекер–Капели:
за система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), за да бъде последователна, е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред около него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е две.

От своя страна, рангът на увеличената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Следователно Rang(A) , съгласно теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Няма система за решение.

И така, научихме се да установяваме непоследователността на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.

Но как да намерим решението на SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базисния минор на матрица и теоремата за ранга на матрица.

Извиква се минор от най-висок порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От дефиницията на базисния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е r, тогава всички елементи на редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които формират основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранга на матрицата?

Ако чрез теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме всеки основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след отхвърляне на излишните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от третия ред е равен на нула

и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Kronecker-Capelli може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основен минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:

Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:

Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамър:

Отговор:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ако броят на уравненията r в резултантния SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, които формират основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които са се оказали от дясната страна Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничещите непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор:

Така че намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:

По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Намереният ненулев минор от трети ред ще бъде взет като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:

Членовете, участващи в основния минор, оставяме от лявата страна на уравненията на системата, а останалите с противоположни знаци прехвърляме в десните страни:

Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата

Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер:

Следователно, .

В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения от общ вид, първо намираме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава оставяме членовете с основните неизвестни променливи от лявата страна на уравненията на системата, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

С помощта на метода на Гаус могат да се решават системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без тяхното предварително изследване за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа методът на Гаус е за предпочитане.

Вижте подробното му описание и анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колони на матрици с размерност n чрез 1 ) , тогава общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата уточнява всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , съгласно формулата, която ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И така нататък. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена фундаменталната система от решения на хомогенната СЛАУ и нейното общо решение може да се запише във вида .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на периферните второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничния ненулев минор от втори ред:

Намира се минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е две. Нека вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

системи млинейни уравнения с ннеизвестен.
Решаване на система от линейни уравненияе такъв набор от числа ( x 1, x 2, …, x n), замествайки което във всяко от уравненията на системата, се получава правилното равенство.
Където a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nса коефициентите на системата;
b i , i = 1, …, m- безплатни членове;
x j , j = 1, …, n- неизвестен.
Горната система може да бъде написана в матрична форма: A X = B,

Където ( А|б) е основната матрица на системата;
А— разширена матрица на системата;
х— колона неизвестни;
бе колона от безплатни членове.
Ако матрицата бне е нулева матрица ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича нехомогенна.
Ако матрицата б= ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича хомогенна. Една хомогенна система винаги има нулево (тривиално) решение: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Съвместна система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има решение.
Несъгласувана система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която няма решение.
Определена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има уникално решение.
Неопределена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има безкраен брой решения.
Системи от n линейни уравнения с n неизвестни
Ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията, тогава матрицата е квадратна. Матричната детерминанта се нарича основна детерминанта на системата от линейни уравнения и се обозначава със символа Δ.
Метод на Крамерза решаване на системи нлинейни уравнения с ннеизвестен.
Правилото на Крамър.
Ако основният детерминант на система от линейни уравнения не е равен на нула, тогава системата е последователна и дефинирана и единственото решение се изчислява с помощта на формулите на Крамер:
където Δ i са детерминантите, получени от основния детерминант на системата Δ чрез замяна азта колона към колоната на безплатните членове. .
Системи от m линейни уравнения с n неизвестни
Теорема на Кронекер-Капели.

За да бъде последователна тази система от линейни уравнения, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица на системата, ранг (Α) = ранг (Α|B).
Ако ранг(Α) ≠ ранг(Α|B), тогава системата очевидно няма решения.
Ако ранг (Α) = ранг (Α|B), тогава са възможни два случая:
1) ранг(Α) = n(до броя на неизвестните) - решението е единствено и се получава по формулите на Крамер;
2) ранг (Α)< n − има безкрайно много решения.
Метод на Гаусза решаване на системи от линейни уравнения

Нека съставим разширената матрица ( А|б) на дадената система от коефициенти в неизвестната и дясната част.
Методът на Гаус или методът за елиминиране на неизвестни се състои в намаляване на разширената матрица ( А|б) с помощта на елементарни трансформации над неговите редове до диагонална форма (към горна триъгълна форма). Връщайки се към системата от уравнения, всички неизвестни са определени.
Елементарните трансформации на низове включват следното:
1) размяна на два реда;
2) умножаване на низ с число, различно от 0;
3) добавяне към низа на друг низ, умножен по произволно число;
4) изхвърляне на нулев низ.
Разширена матрица, приведена до диагонална форма, съответства на линейна система, еквивалентна на дадената, чието решение не създава затруднения. .
Система от еднородни линейни уравнения.
Хомогенната система има формата:

то съответства на матричното уравнение A X = 0.
1) Хомогенната система винаги е последователна, тъй като r(A) = r(A|B), винаги има нулево решение (0, 0, …, 0).
2) За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо и достатъчно, че r = r(A)< n , което е еквивалентно на Δ = 0.
3) Ако r< n , тогава Δ = 0, тогава има свободни неизвестни c 1 , c 2 , …, c n-r, системата има нетривиални решения и има безкрайно много от тях.
4) Общо решение хпри r< n може да се запише в матрична форма, както следва:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
къде са решенията X 1 , X 2 , …, X n-rформират фундаментална система от решения.
5) Фундаменталната система от решения може да се получи от общото решение на хомогенната система:

,
ако последователно приемем, че стойностите на параметрите са (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Декомпозиция на общото решение по отношение на фундаменталната система от решенияе запис на общото решение като линейна комбинация от решения, принадлежащи към фундаменталната система.
Теорема. За да има система от линейни хомогенни уравнения ненулево решение, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.
Така че, ако детерминантата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение.
Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни еднородни уравнения има безкраен брой решения.
Теорема. За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо и достатъчно, че r(A)< n .
Доказателство:
1) rне може да бъде повече н(рангът на матрицата не надвишава броя на колоните или редовете);
2) r< n , защото Ако r=n, тогава главният детерминант на системата Δ ≠ 0 и според формулите на Крамер има единствено тривиално решение x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, което противоречи на условието. означава, r(A)< n .
Последица. За хомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестни има ненулево решение, необходимо и достатъчно е Δ = 0.

Системи линейни уравнения. Лекция 6

Системи линейни уравнения.

Основни понятия.

система за преглед

Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.

Числата , , се наричат системни коефициенти.

Извикват се номера безплатни членове на системата, – системни променливи. Матрица

Наречен основната матрица на системата, и матрицата

– разширена матрична система. Матрици - колони

И съответно матрици на свободни членове и неизвестни на системата. Тогава, в матрична форма, системата от уравнения може да бъде записана като . Системно решениесе наричат стойностите на променливите, при заместването на които всички уравнения на системата се превръщат в истински числени равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено като матрица-колона. Тогава матричното равенство е вярно.

Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решение.

Да се реши система от линейни уравнения означава да се установи дали тя е съвместима и ако е съвместима, да се намери нейното общо решение.

Системата се нарича хомогененако всички негови свободни членове са равни на нула. Една хомогенна система винаги е съвместима, защото има решение

Теоремата на Кронекер-Копели.

Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран като следните твърдения за система от линейни уравнения с неизвестни

(1)

Теорема 2. Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената (.

Теорема 3. Ако рангът на основната матрица на обща система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.

Теорема 4. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.

Правила за решаване на системи.

3. Намерете израза на главните променливи през свободните и получете общото решение на системата.

4. Чрез даване на произволни стойности на свободни променливи се получават всички стойности на основните променливи.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Метод на обратната матрица.

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме системата в матрична форма

Където , , .

Умножете двете страни на матричното уравнение отляво по матрицата

Тъй като , получаваме , от което получаваме равенство за намиране на неизвестни

Пример 27.Използвайки метода на обратната матрица, решете системата от линейни уравнения

Решение. Означаваме с главната матрица на системата

Нека , тогава намираме решението по формулата .

Нека изчислим.

Тъй като , тогава системата има уникално решение. Намерете всички алгебрични допълнения

, ,

По този начин

Да проверим

Обратната матрица е намерена правилно. От тук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.

Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора: .

Методът на Крамер.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме решението на системата в матрична форма или

Обозначете

. . . . . . . . . . . . . . ,

Така получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестните, които се наричат Формули на Крамер.

Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение. Намерете детерминантата на основната матрица на системата

Тъй като , тогава системата има уникално решение.

Намерете останалите детерминанти за формулите на Крамър

Използвайки формулите на Cramer, намираме стойностите на променливите

Метод на Гаус.

Методът се състои в последователно изключване на променливи.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни.

Процесът на решаване на Гаус се състои от две стъпки:

На първия етап разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации

където , което съответства на системата

След това променливите се считат за свободни и във всяко уравнение се прехвърлят в дясната страна.

На втория етап променливата се изразява от последното уравнение, получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение

променливата е изразена. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на главните променливи по отношение на свободните променливи .

Пример 29.Решете следната система, като използвате метода на Гаус

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и я редуцираме до стъпкова форма

защото е по-голямо от броя на неизвестните, тогава системата е съвместима и има безкраен брой решения. Нека напишем системата за стъпковата матрица

Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, затова я считаме за основна. Променливи

Ще бъде основен и променливата ще бъде безплатна. Нека го преместим във всички уравнения наляво

От последното уравнение изразяваме

Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме

където . Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, намираме . Пишем отговора в следната форма

СЪС ннеизвестна е система от вида:

Където aijИ b i (i=1,…,m; b=1,…,n)са някои известни числа и x 1 ,…,x n- непознати числа. В означенията на коефициентите aijиндекс азопределя номера на уравнението, а второто йе числото на неизвестното, при което се намира този коефициент.

Хомогенна система -когато всички свободни членове на системата са равни на нула ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), обратната ситуация е разнородна система.

Квадратна система -когато числото муравнения е равно на числото ннеизвестен.

Системно решение- комплект нчисла c 1 , c 2 , …, c n ,такава, че заместването на всички c iвместо x iв система превръща всички свои уравнения в идентичности.

Ставна система -когато системата има поне едно решение и несъвместима системакогато системата няма решения.

Съвместна система от този вид (както е дадено по-горе, нека бъде (1)) може да има едно или повече решения.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)И c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)съвместна система от тип (1) ще различни, когато дори 1 от равенствата не е изпълнено:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Съвместна система от тип (1) ще определеникогато има само едно решение; когато една система има поне 2 различни решения, става недоопределен. Когато има повече уравнения отколкото неизвестни, системата е такава предефиниран.

Коефициентите за неизвестните се записват като матрица:

Нарича се системна матрица.

Числата, които са от дясната страна на уравненията, b 1 ,…,b mса безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nе решение на тази система, когато всички уравнения на системата се превръщат в равенство след заместване на числа в тях c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

При решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат 3 варианта:

1. Системата има само едно решение.

2. Системата има безкраен брой решения. Например, . Решението на тази система ще бъде всички двойки числа, които се различават по знак.

3. Системата няма решения. Например, , ако съществува решение, тогава x 1 + x 2е равно на 0 и 1 едновременно.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Директни методидайте алгоритъм, чрез който се намира точното решение СЛАУ(системи линейни алгебрични уравнения). И ако точността беше абсолютна, щяха да я открият. Истински електрически компютър, разбира се, работи с грешка, така че решението ще бъде приблизително.

Много практически задачи се свеждат до решаване на системи от алгебрични уравнения от 1-ва степен или, както обикновено се наричат, системи от линейни уравнения. Ще се научим да решаваме такива системи, без дори да изискваме броят на уравненията да съвпада с броя на неизвестните.

Най-общо системата от линейни уравнения се записва по следния начин:

Ето и числата aij– коефициенти системи, b i – безплатни членове, x i- символи неизвестен . Много е удобно да се въведе матрична нотация: - основен матрица на системата, – матрица-колона от свободни членове, – матрица-колона от неизвестни. Тогава системата може да се напише по следния начин: БРАВИЛА=били по-подробно:

Ако от лявата страна на това равенство извършите матрично умножение по обичайните правила и приравните елементите на получената колона на елементите IN, тогава ще стигнем до оригиналната системна нотация.

Пример 14. Записваме една и съща система от линейни уравнения по два различни начина:

Системата от линейни уравнения обикновено се нарича става , ако има поне едно решение, и несъвместим, ако няма решения.

В нашия пример системата е съвместима, колоната е нейното решение:

Това решение може да се напише и без матрици: х=2,г=1 . Ще наречем системата от уравнения несигурен , ако има повече от едно решение, и определени ако решението е уникално.

Пример 15. Системата е неопределена. Например, са неговите решения. Читателят може да намери много други решения на тази система.

Нека се научим как да решаваме системи от линейни уравнения първо в конкретен случай. Системата от уравнения ОХ=INще се обадим Крамерово , ако основната му матрица Аса квадратни и неизродени. С други думи, в системата на Крамериан броят на неизвестните съвпада с броя на уравненията и .

Теорема 6. (Правило на Крамър).Системата от линейни уравнения на Крамер има уникално решение, дадено от формулите:

където е детерминантата на основната матрица, е детерминантата, получена от дзамяна аз-та колона с колона свободни членове.

Коментирайте.Системите на Cramer могат да бъдат решени и по друг начин, като се използва обратната матрица. Записваме такава система в матрична форма: БРАВИЛА=IN. Тъй като , тогава има обратна матрица А –1 . Умножаваме равенството на матрицата по А –1 наляво: А –1 ОХ=А –1 IN. защото А –1 ОХ=EX=х, тогава се намира решението на системата: х= А –1 IN.Ще наричаме този метод на решение матрица . Още веднъж подчертаваме, че е подходящ само за системи на Cramer - в други случаи обратната матрица не съществува. Анализираните примери за прилагане на матричния метод и метода на Крамер читателят ще намери по-долу.

Нека най-накрая да проучим общия случай, системата млинейни уравнения с ннеизвестен. За да го разрешите, приложете Метод на Гаус , които ще разгледаме подробно.За произволна система от уравнения ОХ=INизписвам удължен матрица. Така че е обичайно да се нарича матрицата, която ще се окаже, ако основната матрица Авдясно добавете колона с безплатни членове IN:

Както при изчисляването на ранга, с помощта на елементарни трансформации на редове и пермутации на колони, ние ще доведем нашата матрица до трапецовидна форма. В този случай, разбира се, системата от уравнения, съответстваща на матрицата, ще се промени, но ще бъде е равносилно на оригинал (ᴛ.ᴇ. ще има същите решения). Наистина пренареждането или добавянето на уравнения няма да промени решенията. Пренареждане на колони - също: Уравнения х 1+3x2+7x3=4 И х 1+7x3+3x2=4, са, разбира се, еквивалентни. Необходимо е само да се запише на коя неизвестна колона отговаря. Ние не пренареждаме колоната със свободни членове - тя обикновено е отделена от останалите с пунктирана линия в матрицата. Нулевите редове, появяващи се в матрицата, могат да бъдат пропуснати.

Пример 1. Решете системата от уравнения:

Решение.Изписваме разширената матрица и я привеждаме в трапецовидна форма. Знак ~ сега ще означава не само съвпадението на ранговете, но и еквивалентността на съответните системи от уравнения.

~ . Нека обясним предприетите стъпки.

Действие 1. Първият ред беше добавен към втория ред, умножавайки го по (–2). Към 3-ти и 4-ти ред те добавиха 1-ви, умножавайки го по (–3). Целта на тези операции е да се получат нули в първата колона, под главния диагонал.

Действие 2.Тъй като на диагоналното място (2,2) има 0 , трябваше да пренаредя 2-ра и 3-та колона. За да запомним тази пермутация, написахме символите на неизвестните отгоре.

Действие 3.Към третия ред добавиха втория, умножавайки го по (–2). Вторият ред беше добавен към 4-тия ред. Целта е да получите нули във втората колона, под главния диагонал.

Действие 4.Нулевите линии могат да бъдат премахнати.

И така, матрицата се редуцира до трапецовидна форма. Нейният ранг r=2 . неизвестен х 1, х 3- основен; х 2, х 4- Безплатно. Нека присвоим произволни стойности на свободните неизвестни:

х 2= а, х 4= b.

Тук а, бса всякакви числа. Сега от последното уравнение на новата система

х 3+x4= –3

намирам x 3: x 3= –3 –b.Издигане нагоре, от първото уравнение

х 1+3x 3+2x 2+4x4= 5

намирам x 1: x 1=5 –3(–3 –б)–2а–4б= 14 –2а–b.

Записваме общото решение:

х 1=14 –2а–b, x2=a,x3=–3 –b,x4=b.

Можете да напишете общото решение под формата на матрица-колона:

За конкретни стойности аИ b, можеш да получиш частен решения. Например, когато а=0,б=1 получаваме: е едно от решенията на системата.

Забележки.В алгоритъма на метода на Гаус видяхме (случай 1), че несъгласуваността на системата от уравнения е свързана с несъответствието на ранговете на основната и разширената матрици. Представяме следната важна теорема без доказателство.

Теорема 7 (Кронекер-Капели). Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата.

Системи линейни уравнения – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Системи линейни уравнения" 2017, 2018г.

- СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Така че неговите редове (или колони) са линейно зависими. Нека е дадена система, съдържаща m линейни уравнения с n неизвестни: 5.1. Нека въведем следната нотация. 5.2., - матрицата на системата - нейната разширена матрица. - колона с безплатни членове. - колона неизвестни. Ако...

- P.1. Свеждане на система от линейни уравнения до задача

нелинейна оптимизация (NNO) и обратно. Постановка на задачата от ЗНО: Намерете (8.1) минимум или максимум в някаква област D. Както помним от мат. анализ, трябва да се приравнят частните производни на нула. Така ZNO (8.1) беше редуциран до SLE (8.2) (8.2) от n нелинейни уравнения. ... .

- Нееднородни системи линейни уравнения

Лекция 15 Да разгледаме нехомогенна система (16) Ако съответните коефициенти на хомогенна система (7) са равни на съответните коефициенти на нехомогенна система (16), тогава хомогенната система (7) се нарича съответстваща нехомогенна система (16) . Теорема. Ако... [прочетете повече] .

7.1. Хомогенни системи линейни уравнения. Нека е дадена хомогенна система от линейни уравнения (*) Да предположим, че набор от числа е някакъв вид решение на тази система. Тогава наборът от числа също е решение. Това се проверява чрез директно заместване в уравненията на системата.... .

- Структурата на решението на системата от линейни уравнения

Таблица 3 Етапи на двигателно развитие на дете Етап Възраст Индикатори за двигателно развитие време на раждане до 4 месеца Формиране на контрол върху позицията на главата и възможността за нейната свободна ориентация в пространството 4-6 месеца овладяване на първоначалния ... .

- Системи линейни уравнения (SLE). Решение на система от линейни уравнения. Елементарни SLE трансформации. Елементарни матрични трансформации.

Определение 1. Система от линейни уравнения от вида (1) , където полето се нарича система от m линейни уравнения с n неизвестни над полето, са коефициентите на неизвестните, са свободните членове на системата ( 1). Определение 2. Подредена n-ка (), където, се нарича решение на система от линейни ... .