حساب المصفوفات بطريقة كرامر. طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية. إجراءات المصفوفة

اعتبر نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل

باستخدام محددات الدرجة الثالثة ، يمكن كتابة حل مثل هذا النظام بنفس الشكل كما هو الحال بالنسبة لنظام من معادلتين ، أي

(2.4)

إذا 0. هنا

إنها حكم كرامر حل نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل.

مثال 2.3.حل نظام معادلات خطية باستخدام قاعدة كرامر:

حل . إيجاد محدد المصفوفة الرئيسية للنظام

منذ 0 ، ثم لإيجاد حل للنظام ، يمكنك تطبيق قاعدة كرامر ، ولكن عليك أولاً حساب ثلاثة محددات أخرى:

فحص:

لذلك ، تم العثور على الحل بشكل صحيح. 

تشير قواعد كرامر التي تم الحصول عليها للأنظمة الخطية من الرتبتين الثانية والثالثة إلى أنه يمكن صياغة نفس القواعد للأنظمة الخطية من أي ترتيب. حقا يحدث

نظرية كرامر. نظام تربيعي من المعادلات الخطية مع محدد غير صفري للمصفوفة الرئيسية للنظام (0) له حل واحد فقط ، ويتم حساب هذا الحل بواسطة الصيغ

(2.5)

أين  – محدد المصفوفة الرئيسي,  أنا – محدد المصفوفة, مشتق من البديل الرئيسيأناالعمود عشر الأعضاء الحرة.

لاحظ أنه إذا كانت = 0 ، فإن قاعدة كرامر غير قابلة للتطبيق. هذا يعني أن النظام إما ليس لديه حلول على الإطلاق أو لديه عدد لا نهائي من الحلول.

بعد صياغة نظرية كرامر ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو حساب محددات الترتيب الأعلى.

2.4 محددات الترتيب التاسع

قاصر إضافي م اي جايعنصر أ اي جاييسمى المحدد الذي تم الحصول عليه من المعطى عن طريق الحذف أنا-الخط و يالعمود. الجمع الجبري أ اي جايعنصر أ اي جاييسمى الصغرى لهذا العنصر ، مأخوذ بعلامة (-1) أنا + ي، أي. أ اي جاي = (–1) أنا + ي م اي جاي .

على سبيل المثال ، لنجد العناصر الثانوية والمكملات الجبرية للعناصر أ 23 و أ 31 محددات

نحن نحصل



باستخدام مفهوم التكملة الجبرية ، يمكننا الصياغة نظرية التوسع المحددنالترتيب حسب الصف أو العمود.

نظرية 2.1. محدد المصفوفةأيساوي مجموع حاصل ضرب جميع العناصر في صف (أو عمود) ما ومكملاتها الجبرية:

(2.6)

هذه النظرية تكمن وراء إحدى الطرق الرئيسية لحساب المحددات ، ما يسمى. طريقة تخفيض الطلب. نتيجة لتوسيع المحدد نالترتيب في أي صف أو عمود ، نحصل على n محددات ( ن–1) الترتيب. من أجل الحصول على عدد أقل من المحددات ، يُنصح باختيار الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. في الممارسة العملية ، عادةً ما تتم كتابة صيغة التوسع للمُحدد على النحو التالي:

أولئك. تتم كتابة الإضافات الجبرية صراحة من حيث القصر.

أمثلة 2.4.احسب المحددات بتوسيعها أولاً في أي صف أو عمود. عادة في مثل هذه الحالات ، اختر العمود أو الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. سيتم تمييز الصف أو العمود المحدد بسهم.



2.5 الخصائص الأساسية للمحددات

بتوسيع المحدد في أي صف أو عمود ، نحصل على محددات n ( ن–1) الترتيب. ثم كل من هذه المحددات ( ن–1) - الترتيب الثالث يمكن أيضًا أن يتحلل إلى مجموع المحددات ( ن- 2) الترتيب. مع استمرار هذه العملية ، يمكن للمرء أن يصل إلى محددات الترتيب الأول ، أي لعناصر المصفوفة التي يتم حساب محدداتها. لذلك ، لحساب محددات الترتيب الثاني ، سيتعين عليك حساب مجموع فترتين ، لمحددات الترتيب الثالث - مجموع 6 شروط ، لمحددات الترتيب الرابع - 24 مصطلحًا. سيزداد عدد المصطلحات بشكل حاد مع زيادة ترتيب المحدد. هذا يعني أن حساب محددات الطلبات العالية جدًا يصبح مهمة شاقة إلى حد ما ، تتجاوز قوة الكمبيوتر. ومع ذلك ، يمكن حساب المحددات بطريقة أخرى ، باستخدام خصائص المحددات.

خاصية 1 . لن يتغير المحدد إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه ، أي عند نقل المصفوفة:

تشير هذه الخاصية إلى مساواة صفوف وأعمدة المحدد. بمعنى آخر ، أي بيان حول أعمدة المحدد يكون صحيحًا لصفوفه ، والعكس صحيح.

خاصية 2 . يتم تسجيل تغييرات المحدد عند تبادل صفين (عمودين).

عاقبة . إذا كان المحدد يحتوي على صفين متطابقين (أعمدة) ، فإنه يساوي صفرًا.

الملكية 3 . يمكن إخراج العامل المشترك لجميع العناصر في أي صف (عمود) من علامة المحدد.

على سبيل المثال،

عاقبة . إذا كانت جميع عناصر الصف (العمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا.

الملكية 4 . لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر صف واحد (عمود) إلى عناصر صف آخر (عمود) مضروبًا في بعض الأرقام.

على سبيل المثال،

الملكية 5 . محدد حاصل ضرب المصفوفة يساوي حاصل ضرب محددات المصفوفة:

تعتمد طريقة كرامر على استخدام المحددات في حل أنظمة المعادلات الخطية. هذا يسرع عملية الحل بشكل كبير.

يمكن استخدام طريقة كرامر لحل نظام من عدد من المعادلات الخطية حيث توجد مجاهيل في كل معادلة. إذا كان محدد النظام لا يساوي صفرًا ، فيمكن استخدام طريقة كرامر في الحل ؛ وإذا كانت تساوي صفرًا ، فلا يمكنها ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية التي لها حل فريد.

تعريف. المحدد ، المكون من معاملات المجهول ، يسمى محدد النظام ويشار إليه بـ (دلتا).

المحددات

يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المعاملات في المجهول المقابل بشروط مجانية:

;

نظرية كرامر. إذا كان محدد النظام غير صفري ، فإن نظام المعادلات الخطية له حل واحد ، والمجهول يساوي نسبة المحددات. المقام هو محدد النظام ، والبسط هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد النظام عن طريق استبدال المعاملات بالمجهول بشروط مجانية. تنطبق هذه النظرية على نظام المعادلات الخطية من أي ترتيب.

مثال 1حل نظام المعادلات الخطية:

وفق نظرية كرامرلدينا:

إذن حل النظام (2):

آلة حاسبة على الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

ثلاث حالات في حل أنظمة المعادلات الخطية

كما يبدو من نظريات كرامر، عند حل نظام المعادلات الخطية ، قد تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام متسق ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية له عدد لا نهائي من الحلول

(النظام متسق وغير محدد)

** ,

أولئك. معاملات المجهول والمصطلحات الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذا فإن النظام مالمعادلات الخطية مع نالمتغيرات تسمى غير متوافقإذا لم يكن لديها حلول ، و مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات المشترك الذي يحتوي على حل واحد فقط تأكيد، وأكثر من واحد غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر

دع النظام

بناء على نظرية كرامر

………….
,

أين
-

معرّف النظام. يتم الحصول على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بأعضاء أحرار:

مثال 2

لذلك ، فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب المحددات

من خلال صيغ كرامر نجد:

لذا ، (1 ؛ 0 ؛ -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

إذا لم تكن هناك متغيرات في نظام المعادلات الخطية في معادلة واحدة أو أكثر ، فعندئذٍ في المحدد ، تكون العناصر المقابلة لها مساوية للصفر! هذا هو المثال التالي.

مثال 3حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام:

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال في الحالات التي يكون فيها عنصر واحد أو أكثر من المحدد يساوي صفرًا. إذن ، المحدد لا يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب محددات المجهول

من خلال صيغ كرامر نجد:

إذن ، حل النظام هو (2 ؛ -1 ؛ 1).

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

أعلى الصفحة

نستمر في حل الأنظمة باستخدام طريقة كرامر معًا

كما ذكرنا سابقًا ، إذا كان محدد النظام يساوي صفرًا ، ولم تكن محددات المجهول مساوية للصفر ، فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول. دعنا نوضح بالمثال التالي.

مثال 6حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام:

محدد النظام يساوي صفرًا ، وبالتالي ، فإن نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ومحدّد ، أو غير متسق ، أي ليس له حلول. للتوضيح ، نحسب محددات المجهول

محددات المجهول لا تساوي الصفر ، وبالتالي فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

في المشاكل المتعلقة بأنظمة المعادلات الخطية ، توجد أيضًا تلك التي توجد فيها أحرف أخرى بالإضافة إلى الأحرف التي تشير إلى المتغيرات. تشير هذه الأحرف إلى بعض الأرقام ، وغالبًا ما تكون رقمًا حقيقيًا. في الممارسة العملية ، مثل هذه المعادلات وأنظمة المعادلات تؤدي إلى مشاكل للعثور على الخصائص العامة لأي ظواهر وكائنات. أي أنك اخترعت مادة أو جهازًا جديدًا ، ولوصف خصائصه الشائعة بغض النظر عن حجم أو عدد النسخ ، فأنت بحاجة إلى حل نظام من المعادلات الخطية ، حيث توجد أحرف بدلاً من بعض معاملات المتغيرات. ليس عليك البحث بعيدًا عن الأمثلة.

المثال التالي لمشكلة مماثلة ، فقط عدد المعادلات والمتغيرات والحروف التي تدل على بعض الأرقام الحقيقية تزداد.

المثال 8حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

حل. نجد محدد النظام:

البحث عن محددات المجهول

من أجل إتقان هذه الفقرة ، يجب أن تكون قادرًا على فتح المؤهلات "اثنان في اثنين" و "ثلاثة في ثلاثة". إذا كانت المؤهلات سيئة ، يرجى دراسة الدرس كيف تحسب المحدد؟

ننظر أولاً إلى قاعدة كرامر بالتفصيل لنظام من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ "بعد كل شيء ، يمكن حل أبسط نظام من خلال طريقة المدرسة ، عن طريق إضافة فصل تلو الآخر!

الحقيقة هي أنه حتى لو في بعض الأحيان ، ولكن هناك مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كرامر. ثانيًا ، سيساعدك مثال أبسط في فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر لحالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك أنظمة من المعادلات الخطية بمتغيرين ، يُنصح بحلها تمامًا وفقًا لقاعدة كرامر!

ضع في اعتبارك نظام المعادلات

في الخطوة الأولى ، نحسب المحدد ، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة جاوس.

إذا ، إذن النظام لديه حل فريد ، ولإيجاد الجذور علينا حساب محددين آخرين:
و

في الممارسة العملية ، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بالحرف اللاتيني.

تم العثور على جذور المعادلة بواسطة الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام معادلات خطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا ، وعلى الجانب الأيمن توجد كسور عشرية بفاصلة. الفاصلة ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات ؛ لقد أخذت هذا النظام من مشكلة اقتصادية قياسية.

كيف تحل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن أحد المتغيرات من حيث متغير آخر ، ولكن في هذه الحالة ستحصل بالتأكيد على كسور خيالية رهيبة ، والتي من غير الملائم للغاية العمل بها ، وسيبدو تصميم الحل سيئًا. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد في حد ، لكن نفس الكسور ستظهر هنا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات ، تأتي صيغ كرامر للإنقاذ.

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويتم العثور عليهما تقريبًا ، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمشاكل الاقتصاد القياسي.

التعليقات غير مطلوبة هنا ، نظرًا لأن المهمة يتم حلها وفقًا للصيغ الجاهزة ، ومع ذلك ، هناك تحذير واحد. عند استخدام هذه الطريقة ، إلزاميجزء المهمة هو الجزء التالي: "لذا فإن النظام لديه حل فريد". خلاف ذلك ، قد يعاقب المراجع على عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من الضروري التحقق من ذلك ، وهو أمر مناسب للتنفيذ على الآلة الحاسبة: نحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة من النظام. نتيجة لذلك ، مع وجود خطأ بسيط ، يجب الحصول على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن.

المثال 8

عبر عن إجابتك في كسور عادية غير فعلية. قم بإجراء شيك.

هذا مثال لحل مستقل (مثال على التصميم الجيد والإجابة في نهاية الدرس).

ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متسق (ليس له حلول). في هذه الحالة ، لن تساعد قاعدة كرامر ، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا ، يتم حساب الإجابة بواسطة الصيغ:

كما ترى ، لا تختلف حالة "ثلاثة في ثلاثة" بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين" ، عمود المصطلحات الحرة "يمشي" بالتسلسل من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

المثال 9

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع ، لا يوجد شيء مميز يمكن التعليق عليه هنا مرة أخرى ، بالنظر إلى حقيقة أن القرار يتم اتخاذه وفقًا للصيغ الجاهزة. لكن هناك بضع ملاحظات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات ، يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال ، على سبيل المثال:.
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن هناك جهاز كمبيوتر في متناول اليد ، فسنقوم بذلك:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تصادف لقطة "سيئة" ، يجب أن تتحقق على الفور مما إذا كان سيتم عرضها هو الشرط المعاد كتابته بشكل صحيح. إذا تمت إعادة كتابة الشرط بدون أخطاء ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسيع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم العثور على أخطاء نتيجة الفحص ، فمن المرجح أن يكون قد حدث خطأ إملائي في حالة المهمة. في هذه الحالة ، قم بحل المهمة بهدوء وحذر حتى النهاية ، ثم تأكد من التحققورسمها على نسخة نظيفة بعد القرار. بالطبع ، يعد التحقق من الإجابة الجزئية مهمة غير سارة ، لكنها ستكون حجة مزعجة للمعلم ، الذي ، حسنًا ، يحب حقًا وضع ناقص لأي شيء سيء مثل. تم توضيح كيفية التعامل مع الكسور بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول يدك ، فاستخدم برنامجًا آليًا للتحقق منه ، والذي يمكن تنزيله مجانًا في بداية الدرس. بالمناسبة ، من الأفضل استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل) ، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. من وقت لآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات الخاصة بها ، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير ، في الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات ، من المهم جدًا تدوين المحدد الرئيسي بشكل صحيح وحذر:
- يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة ، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يقع فيه الصفر ، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من العمليات الحسابية.

المثال 10

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

هذا مثال للقرار الذاتي (إنهاء العينة والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة نظام مكون من 4 معادلات ذات 4 مجاهيل ، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في درس الخصائص المحددة. تخفيض ترتيب المحددات - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل النظام باستخدام معكوس المصفوفة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(انظر المثال رقم 3 للدرس المحدد).

لدراسة هذا القسم ، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات ، وإيجاد معكوس المصفوفة وإجراء عملية ضرب المصفوفة. سيتم تقديم الروابط ذات الصلة أثناء تقدم التفسير.

المثال 11

حل النظام بطريقة المصفوفة

حل: نكتب النظام على شكل مصفوفة:
، أين

الرجاء النظر في نظام المعادلات والمصفوفات. بأي مبدأ نكتب العناصر في المصفوفات ، أعتقد أن الجميع يفهم. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة في المعادلات ، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نوجد معكوس المصفوفة بالصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولاً ، لنتعامل مع المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد بالسطر الأول.

انتباه! إذا ، فإن معكوس المصفوفة غير موجود ، ومن المستحيل حل النظام بطريقة المصفوفة. في هذه الحالة ، يتم حل النظام عن طريق إزالة المجهول (طريقة غاوس).

أنت الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القاصرين

مرجع:من المفيد معرفة معنى الأحرف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يوجد فيه العنصر:

أي أن الرمز المنخفض يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث ، بينما ، على سبيل المثال ، العنصر في الصف الثالث والعمود الثاني

في سياق الحل ، من الأفضل وصف حساب القاصرين بالتفصيل ، على الرغم من أنه مع وجود تجربة معينة ، يمكن تعديلهم للعد مع الأخطاء شفهياً.

في الجزء الأول ، درسنا بعض المواد النظرية ، وطريقة الاستبدال ، وكذلك طريقة إضافة معادلات النظام لكل مصطلح على حدة. لكل من جاء إلى الموقع من خلال هذه الصفحة أنصحك بقراءة الجزء الأول. ربما سيجد بعض الزائرين أن المادة بسيطة للغاية ، لكن أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، قدمت عددًا من الملاحظات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

والآن سنحلل قاعدة كرامر ، وكذلك حل نظام المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة ، بالتفصيل والوضوح ، سيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الأساليب المذكورة أعلاه.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك أنظمة من المعادلات الخطية بمتغيرين ، يُنصح بحلها تمامًا وفقًا لقاعدة كرامر!

ضع في اعتبارك نظام المعادلات

في الخطوة الأولى ، نحسب المحدد ، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة جاوس.

إذا ، إذن النظام لديه حل فريد ، ولإيجاد الجذور علينا حساب محددين آخرين:
و

في الممارسة العملية ، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بالحرف اللاتيني.

تم العثور على جذور المعادلة بواسطة الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام معادلات خطية

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات ، تأتي صيغ كرامر للإنقاذ.

;

إجابة: ,

المثال 8

عبر عن إجابتك في كسور عادية غير فعلية. قم بإجراء شيك.

هذا مثال لحل مستقل (مثال على التصميم الجيد والإجابة في نهاية الدرس).

ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا ، يتم حساب الإجابة بواسطة الصيغ:

المثال 9

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

الملاحظة الثانية. من وقت لآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات الخاصة بها ، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير ، في الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات ، من المهم جدًا تدوين المحدد الرئيسي بشكل صحيح وحذر:
- يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة ، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار في الصف (العمود) حيث يوجد الصفر ، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من العمليات الحسابية.

المثال 10

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

هذا مثال للقرار الذاتي (إنهاء العينة والإجابة في نهاية الدرس).

حل النظام باستخدام معكوس المصفوفة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(انظر المثال رقم 3 للدرس المحدد).

المثال 11

حل النظام بطريقة المصفوفة

حل: نكتب النظام على شكل مصفوفة:
، أين

نوجد معكوس المصفوفة بالصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولاً ، لنتعامل مع المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد بالسطر الأول.

أنت الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القاصرين

طُرق كرامرو غاوسيأحد أشهر الحلول SLAU. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الحالات ، من المستحسن استخدام طرق محددة. الجلسة مغلقة ، والآن حان الوقت لتكرارها أو إتقانها من الصفر. اليوم نتعامل مع الحل بطريقة كريمر. بعد كل شيء ، يعد حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر مهارة مفيدة للغاية.

نظم المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات الجبرية الخطية هو نظام المعادلات بالشكل:

مجموعة القيمة x ، حيث تتحول معادلات النظام إلى هويات ، يسمى حل النظام ، أ و ب هي معاملات حقيقية. يمكن حل نظام بسيط يتكون من معادلتين مع مجهولين عقليًا أو بالتعبير عن متغير واحد من حيث الآخر. ولكن يمكن أن يكون هناك أكثر من متغيرين (x) في SLAE ، ولا غنى عن التلاعب المدرسي البسيط هنا. ما يجب القيام به؟ على سبيل المثال ، حل SLAE بطريقة كرامر!

لذا دع النظام يكون ن معادلات مع ن مجهول.

يمكن إعادة كتابة هذا النظام في شكل مصفوفة

هنا أ هي المصفوفة الرئيسية للنظام ، X و ب ، على التوالي ، مصفوفات العمود لمتغيرات غير معروفة والأعضاء الأحرار.

حل SLAE بطريقة كرامر

إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر (المصفوفة غير أحادية) ، يمكن حل النظام باستخدام طريقة كرامر.

وفقًا لطريقة كرامر ، يتم العثور على الحل من خلال الصيغ:

هنا دلتا هو محدد المصفوفة الرئيسية ، و دلتا س n-th - المحدد الذي تم الحصول عليه من محدد المصفوفة الرئيسية عن طريق استبدال العمود n بعمود من المصطلحات الحرة.

هذا هو بيت القصيد من طريقة كرامر. استبدال القيم التي تم العثور عليها بواسطة الصيغ أعلاه x في النظام المطلوب ، نحن مقتنعون بصحة (أو العكس) قرارنا. لمساعدتك على فهم الجوهر بسرعة ، نقدم أدناه مثالاً لحل مفصل لـ SLAE بواسطة طريقة Cramer:

حتى لو لم تنجح في المرة الأولى ، فلا تثبط عزيمتك! مع القليل من الممارسة ، ستبدأ في الظهور بشكل بطيء مثل المكسرات. علاوة على ذلك ، ليس من الضروري على الإطلاق الآن إجراء مسام على دفتر ملاحظات وحل الحسابات المرهقة والكتابة على القضيب. من السهل حل SLAE بواسطة طريقة Cramer عبر الإنترنت ، فقط عن طريق استبدال المعاملات في الشكل النهائي. يمكنك تجربة الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لحل طريقة Cramer ، على سبيل المثال ، في هذا الموقع.

وإذا تبين أن النظام عنيد ولا يستسلم ، فيمكنك دائمًا أن تطلب من مؤلفينا المساعدة ، على سبيل المثال ، لشراء ملخص. إذا كان هناك ما لا يقل عن 100 مجهول في النظام ، فسنحلها بالتأكيد بشكل صحيح وفي الوقت المناسب!