المعادلة في مجموع الفروق. المعادلات في مجموع الفروق المعادلة في مجموع الفروق من الدرجة الأولى

بيان المشكلة في الحالة ثنائية الأبعاد

استرداد دالة من عدة متغيرات من مجموع فرقها

9.1 بيان المشكلة في الحالة ثنائية الأبعاد. 72

9.2. وصف الحل. 72

هذا هو أحد تطبيقات النوع الثاني من التكامل المنحني.

يتم إعطاء تعبير عن التفاضل الكلي لدالة لمتغيرين:

البحث عن وظيفة.

1. بما أنه ليس كل تعبير عن النموذج هو تفاضل كلي لبعض الوظائف يو(x,ذ) ، إذن من الضروري التحقق من صحة بيان المشكلة ، أي التحقق من الشرط الضروري والكافي للتفاضل الكلي ، والذي يكون له الشكل لوظيفة من متغيرين. يأتي هذا الشرط من معادلة العبارتين (2) و (3) في نظرية القسم السابق. إذا تم استيفاء الشرط المشار إليه ، فإن المشكلة لها حل ، أي وظيفة يو(x,ذ) يمكن استعادتها ؛ إذا لم يتم استيفاء الشرط ، فلن يكون هناك حل للمشكلة ، أي لا يمكن استعادة الوظيفة.

2. يمكنك العثور على دالة من خلال تفاضلها الإجمالي ، على سبيل المثال ، باستخدام تكامل منحني من النوع الثاني ، وحسابها من على طول خط يربط بين نقطة ثابتة ( x 0 ,ذ 0) ونقطة متغيرة ( س ؛ ذ) (أرز. 18):

وهكذا ، يتم الحصول على التكامل المنحني للنوع الثاني من التفاضل الكلي دو(x,ذ) يساوي الفرق بين قيم الدالة يو(x,ذ) في نقطتي النهاية والبداية لخط التكامل.

بمعرفة هذه النتيجة الآن ، علينا التعويض بدلاً من دوفي تعبير متكامل منحني الخط وحساب التكامل على طول خط مكسور ( ACB) ، مع مراعاة استقلالها عن شكل خط التكامل:

على ( تيار متردد): على ( جنوب غرب) :

(1)

وهكذا ، تم الحصول على صيغة ، بمساعدة دالة من متغيرين يتم استعادتها من تفاضلها الإجمالي.

3. من الممكن استعادة دالة من مجموع تفاضلها فقط إلى حد ثابت ، منذ ذلك الحين د(يو+ const) = دو. لذلك ، نتيجة لحل المشكلة ، نحصل على مجموعة من الوظائف التي تختلف عن بعضها البعض بمصطلح ثابت.

أمثلة (استعادة دالة متغيرين من تفاضلها الكلي)

1. البحث يو(x,ذ)، لو دو = (x 2 – ذ 2)dx – 2xydy.

نتحقق من حالة التفاضل الكلي لدالة متغيرين:

يتم استيفاء شرط التفاضل الكلي ، وبالتالي ، الوظيفة يو(x,ذ) يمكن استعادتها.

التحقق: صحيح.

إجابة: يو(x,ذ) = x 3 /3 – س ص 2 + ج.

2. البحث عن وظيفة من هذا القبيل

نتحقق من الشروط الضرورية والكافية للتفاضل الكلي لوظيفة من ثلاثة متغيرات: ، ، إذا تم إعطاء التعبير.

في حل المشكلة

تم استيفاء جميع شروط التفاضل الكلي ، وبالتالي ، يمكن استعادة الوظيفة (تم ضبط المشكلة بشكل صحيح).

سنعيد الوظيفة باستخدام تكامل منحني من النوع الثاني ، ونحسبه على طول خط معين يربط بين نقطة ثابتة ونقطة متغيرة ، منذ ذلك الحين

(هذه المساواة مشتقة بنفس الطريقة كما في الحالة ثنائية الأبعاد).

من ناحية أخرى ، لا يعتمد التكامل المنحني للنوع الثاني من التفاضل الكلي على شكل خط التكامل ، لذلك من الأسهل حسابه على طول خط متقطع يتكون من مقاطع موازية لمحاور الإحداثيات. في الوقت نفسه ، كنقطة ثابتة ، يمكنك ببساطة أخذ نقطة بإحداثيات عددية محددة ، ومراقبة ذلك فقط عند هذه النقطة وعلى خط التكامل بأكمله ، يتم استيفاء شرط وجود تكامل منحني (أي أن الوظائف ، وتكون مستمرة). مع وضع هذه الملاحظة في الاعتبار ، في هذه المسألة يمكننا أن نأخذ نقطة ثابتة ، على سبيل المثال ، النقطة M 0. ثم على كل من روابط الخط المكسور لدينا

10.2. حساب السطح لا يتجزأ من النوع الأول. 79

10.3. بعض تطبيقات السطح تكاملية من النوع الأول. 81

يوضح كيفية التعرف على المعادلة التفاضلية في مجموع الفروق. يتم إعطاء طرق لحلها. يتم إعطاء مثال لحل معادلة في مجموع الفروق بطريقتين.

محتوى

مقدمة

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى في مجموع الفروق هي معادلة من النموذج:
(1) ,
حيث يكون الجانب الأيسر من المعادلة هو التفاضل الكلي لبعض الدالة U (س ، ص)من المتغيرات س ، ص:
.
حيث .

إذا كانت هذه الوظيفة U (س ، ص)، ثم تأخذ المعادلة الشكل:
دو (س ، ص) = 0.
التكامل العام:
يو (س ، ص) = ج,
حيث C ثابت.

إذا تمت كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى من حيث المشتق:
,
ثم يسهل إحضاره إلى النموذج (1) . للقيام بذلك ، اضرب المعادلة في dx. ثم . نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة معبر عنها من حيث الفروق:
(1) .

خاصية المعادلة التفاضلية في مجموع الفروق

من أجل المعادلة (1) هي معادلة في مجموع الفروق ، فمن الضروري والكافي أن تتحقق العلاقة التالية:
(2) .

دليل

علاوة على ذلك ، نفترض أن جميع الوظائف المستخدمة في البرهان مُعرَّفة ولها مشتقات مقابلة في بعض نطاقات x و y. النقطة س 0 ، y0ينتمي أيضًا إلى هذه المنطقة.

دعونا نثبت ضرورة الشرط (2).
دع الجانب الأيسر من المعادلة (1) هو تفاضل بعض الوظائف يو (س ، ص):
.
ثم
;
.
بما أن المشتق الثاني لا يعتمد على ترتيب التفاضل ، إذن
;
.
ومن ثم يتبع ذلك. شرط الضرورة (2) ثبت.

لنثبت كفاية الشرط (2).
دع الشرط (2) :
(2) .
دعنا نظهر أنه من الممكن العثور على مثل هذه الوظيفة U (س ، ص)أن فارقها هو:
.
هذا يعني أن هناك مثل هذه الوظيفة U (س ، ص)التي تحقق المعادلات:
(3) ;
(4) .
دعونا نجد مثل هذه الوظيفة. نقوم بدمج المعادلة (3) بواسطة x من x 0 إلى x ، بافتراض أن y ثابت:
;
;
(5) .
اشتق بالنسبة إلى y ، بافتراض أن x ثابت وقابل للتطبيق (2) :

.
المعادلة (4) سيتم تنفيذه إذا
.
التكامل على y من y 0 لعبة :
;
;
.
استبدل في (5) :
(6) .
إذن ، وجدنا دالة يكون اشتقاقها
.
تم إثبات الكفاية.

في الصيغة (6) يو (× 0 ، ص 0)ثابت - قيمة الدالة U (س ، ص)عند النقطة س 0 ، y0. يمكن تعيين أي قيمة لها.

كيفية التعرف على المعادلة التفاضلية في مجموع الفروق

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية:
(1) .
لتحديد ما إذا كانت هذه المعادلة في تفاضلات كاملة ، تحتاج إلى التحقق من الحالة (2) :
(2) .
إذا كانت صحيحة ، فهذه معادلة في مجموع الفروق. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فهذه ليست معادلة في مجموع الفروق.

مثال

تحقق مما إذا كانت المعادلة في مجموع الفروق:
.

هنا
, .
اشتق فيما يتعلق بـ y ، بافتراض أن x ثابت:


.
التفريق


.
بسبب ال:
,
ثم المعادلة المعطاة في مجموع الفروق.

طرق حل المعادلات التفاضلية في مجموع الفروق

طريقة الاستخراج التفاضلي المتسلسل

إن أبسط طريقة لحل معادلة في مجموع الفروق هي طريقة الاستخراج المتتالي للمشتق. للقيام بذلك ، نستخدم صيغ التفاضل المكتوبة بصيغة تفاضلية:
du ± dv = d (ش ± الخامس);
v du + u dv = d (الأشعة فوق البنفسجية);
;
.
في هذه الصيغ ، u و v عبارة عن تعبيرات عشوائية تتكون من أي مجموعة من المتغيرات.

مثال 1

حل المعادلة:
.

وجدنا في وقت سابق أن هذه المعادلة في مجموع الفروق. دعونا نحولها:
(P1) .
نحل المعادلة عن طريق إبراز التفاضل تباعاً.
;
;
;
;

.
استبدل في (P1):
;
.

طريقة التكامل المتسلسل

في هذه الطريقة ، نبحث عن الوظيفة U (س ، ص)، تلبية المعادلات:
(3) ;
(4) .

نقوم بدمج المعادلة (3) في x ، بافتراض أن y ثابت:
.
هنا φ (ذ)هي وظيفة تعسفية لـ y المراد تعريفها. إنه ثابت التكامل. نعوض في المعادلة (4) :
.
من هنا:
.
بالتكامل نجد φ (ذ)وهكذا يو (س ، ص).

مثال 2

حل المعادلة في مجموع الفروق:
.

وجدنا في وقت سابق أن هذه المعادلة في مجموع الفروق. دعونا نقدم التدوين:
, .
أبحث عن وظيفة يو (س ، ص)، الذي يكون تفاضله هو الجانب الأيسر من المعادلة:
.
ثم:
(3) ;
(4) .
نقوم بدمج المعادلة (3) في x ، بافتراض أن y ثابت:
(ف 2)
.
اشتق فيما يتعلق بـ y:

.
استبدل في (4) :
;
.
ندمج:
.
استبدل في (ف 2):

.
التكامل العام للمعادلة:
يو (س ، ص) = ثوابت.
نجمع ثابتين في واحد.

طريقة التكامل على طول المنحنى

الوظيفة U التي تحددها العلاقة:
دو = ص (x، y) dx + q (x، y) dy,
من خلال دمج هذه المعادلة على طول المنحنى الذي يربط بين النقاط (× 0 ، ص 0)و (س ، ص):
(7) .
بسبب ال
(8) ,
ثم يعتمد التكامل فقط على إحداثيات البداية (× 0 ، ص 0)ونهائي (س ، ص)نقاط ولا تعتمد على شكل المنحنى. من (7) و (8) نجد:
(9) .
هنا x 0 و ذ 0 - دائم. لذلك يو (× 0 ، ص 0)هو أيضا ثابت.

تم الحصول على مثال لهذا التعريف لـ U في الدليل:
(6) .
هنا ، يتم تنفيذ التكامل أولاً على طول مقطع موازٍ للمحور y من النقطة (× 0 ، ص 0)الى حد، الى درجة (x0 ، ص). ثم يتم تنفيذ التكامل على طول مقطع موازٍ للمحور x من النقطة (x0 ، ص)الى حد، الى درجة (س ، ص) .

في حالة أكثر عمومية ، يحتاج المرء إلى تمثيل معادلة المنحنى الذي يربط بين النقاط (× 0 ، ص 0)و (س ، ص)في شكل حدودي:
x 1 = s (t1)؛ ذ 1 = ص (t1);
x 0 = s (t0)؛ ذ 0 = ص (t0);
س = ق (ر)؛ ص = ص (ر);
والتكامل على t 1 من ر 0 ل t.

أبسط تكامل هو الجزء الذي يربط بين النقاط (× 0 ، ص 0)و (س ، ص). في هذه الحالة:
x 1 \ u003d × 0 + (س - × 0) ر 1؛ ذ 1 \ u003d ص 0 + (ص - ص 0) ر 1;
ر 0 = 0 ؛ ر = 1 ;
dx 1 \ u003d (س - × 0) دت 1؛ دى 1 = (ص - ص 0) دت 1.
بعد التعويض ، نحصل على التكامل على t 0 قبل 1 .
ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة تؤدي إلى حسابات مرهقة إلى حد ما.

مراجع:
في. ستيبانوف ، دورة المعادلات التفاضلية ، LKI ، 2015.

بعض الوظائف. إذا استعدنا الدالة من مجموع تفاضلها ، فسنجد التكامل العام للمعادلة التفاضلية. أدناه سنتحدث عنه طريقة استرداد دالة من مجموع تفاضلها.

الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (س ، ص) = 0إذا تم استيفاء الشرط.

لأن مجموع التفاضل للدالة U (س ، ص) = 0هذا ، مما يعني أنه في ظل الظروف يقولون ذلك.

ثم، .

من المعادلة الأولى للنظام نحصل عليها . نجد الدالة باستخدام المعادلة الثانية للنظام:

وهكذا ، سوف نجد الوظيفة المطلوبة U (س ، ص) = 0.

مثال.

دعونا نجد الحل العام لـ DE .

حل.

في مثالنا. تم استيفاء الشرط للأسباب التالية:

إذن ، فإن الجانب الأيسر من الدالة DE الأولية هو التفاضل الكلي لوظيفة ما U (س ، ص) = 0. علينا إيجاد هذه الدالة.

لأن هو الفرق الكلي للوظيفة U (س ، ص) = 0، وسائل:

.

الاندماج xالمعادلة الأولى للنظام وقابلة للتفاضل فيما يتعلق ذنتيجة:

.

من المعادلة الثانية للنظام نحصل عليها. وسائل:

أين معثابت تعسفي.

وبالتالي ، فإن التكامل العام للمعادلة المعطاة سيكون .

هناك ثانية طريقة لحساب دالة من مجموع تفاضلها. وهو يتألف من أخذ التكامل المنحني لنقطة ثابتة (× 0 ، ص 0)إلى نقطة ذات إحداثيات متغيرة (س ، ص): . في هذه الحالة ، تكون قيمة التكامل مستقلة عن مسار التكامل. من الملائم أن تتخذ كمسار تكامل خطًا مقطوعًا تكون روابطه موازية لمحاور الإحداثيات.

مثال.

دعونا نجد الحل العام لـ DE .

حل.

نتحقق من استيفاء الشرط:

وبالتالي ، فإن الجانب الأيسر من DE هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (س ، ص) = 0. نجد هذه الدالة عن طريق حساب التكامل المنحني للنقطة (1; 1) قبل (س ، ص). نأخذ شكل متعدد الخطوط كمسار تكامل: سنمر بالقسم الأول من الخط المتعدد على طول خط مستقيم ص = 1من وجهة (1, 1) قبل (خ ، 1)، باعتباره القسم الثاني من المسار ، نأخذ مقطعًا مستقيمًا من النقطة (خ ، 1)قبل (س ، ص):

لذا يبدو الحل العام لـ DE كما يلي: .

مثال.

دعونا نحدد الحل العام لـ DE.

حل.

لأن ، ثم لم يتم استيفاء الشرط ، فلن يكون الجانب الأيسر من DE هو التفاضل الكلي للدالة وتحتاج إلى استخدام طريقة الحل الثانية (هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية ذات متغيرات قابلة للفصل).

قد يحدث أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية

هو الفرق الكلي لبعض الوظائف:

ومن ثم تأخذ المعادلة (7) الشكل.

إذا كانت الدالة هي حل المعادلة (7) ، إذن ،

أين هو ثابت ، والعكس صحيح ، إذا حولت بعض الوظائف المعادلة النهائية (8) إلى هوية ، عندئذٍ ، عند التمييز بين الهوية الناتجة ، نحصل ، وبالتالي ، حيث يكون الثابت التعسفي ، هو تكامل عام للأصل معادلة.

إذا تم تقديم القيم الأولية ، فسيتم تحديد الثابت من (8) و

هو التكامل الجزئي المطلوب. إذا كانت عند هذه النقطة ، فإن المعادلة (9) تعرف بأنها دالة ضمنية لـ.

لكي يكون الجانب الأيسر من المعادلة (7) هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف ، فمن الضروري والكافي ذلك

إذا تم استيفاء هذا الشرط ، الذي أشار إليه أويلر ، فسيتم دمج المعادلة (7) بسهولة. حقًا، . على الجانب الآخر، . لذلك،

عند حساب التكامل ، تعتبر القيمة ثابتة ، وبالتالي فهي دالة عشوائية لـ. لتحديد الوظيفة ، نفرق بين الوظيفة التي تم العثور عليها فيما يتعلق ، ومنذ ذلك الحين نحصل عليها

من هذه المعادلة نحدد و نتكامل و نجد.

كما هو معروف من مسار التحليل الرياضي ، من الأسهل تحديد دالة من خلال تفاضلها الكلي عن طريق أخذ التكامل المنحني بين نقطة ثابتة ونقطة ذات إحداثيات متغيرة على طول أي مسار:

في أغلب الأحيان ، كمسار تكامل ، من الملائم أن تأخذ خطًا متقطعًا يتكون من رابطين موازيين لمحاور الإحداثيات ؛ في هذه الحالة

مثال. .

الجانب الأيسر من المعادلة هو مجموع التفاضل لبعض الوظائف ، منذ ذلك الحين

لذلك ، التكامل العام له الشكل

يمكنك استخدام طريقة أخرى لتعريف دالة:

بالنسبة لنقطة البداية ، نختار ، على سبيل المثال ، أصل الإحداثيات ، كمسار التكامل - خط متقطع. ثم

والتكامل العام له الشكل

الذي يتزامن مع النتيجة السابقة ، مما يؤدي إلى قاسم مشترك.

في بعض الحالات ، عندما لا يكون الجانب الأيسر من المعادلة (7) تفاضلًا كليًا ، فمن السهل العثور على دالة ، بعد الضرب يتحول الجانب الأيسر من المعادلة (7) إلى تفاضل كلي. تسمى هذه الوظيفة عامل التكامل. لاحظ أن الضرب بواسطة عامل تكامل يمكن أن يؤدي إلى ظهور حلول خاصة إضافية تحول هذا العامل إلى الصفر.

مثال. .

من الواضح أنه بعد الضرب في عامل ما ، يتحول الجانب الأيسر إلى تفاضل كلي. في الواقع ، بعد الضرب في نحصل عليه

أو بدمج. بالضرب في 2 والتحسين ، سيكون لدينا.

بالطبع ، لا يتم اختيار عامل التكامل دائمًا بهذه السهولة. في الحالة العامة ، للعثور على عامل التكامل ، من الضروري اختيار حل معين واحد على الأقل للمعادلة في مشتقات جزئية ليست متطابقة الصفر ، أو في شكل موسع

والتي ، بعد قسمة بعض المصطلحات ونقلها إلى الجزء الآخر من المساواة ، يتم تقليلها إلى الشكل

في الحالة العامة ، فإن دمج هذه المعادلة التفاضلية الجزئية ليس بأي حال من الأحوال مهمة أبسط من تكامل المعادلة الأصلية ، ولكن في بعض الحالات ، اختيار حل معين للمعادلة (11) ليس بالأمر الصعب.

بالإضافة إلى ذلك ، بافتراض أن عامل التكامل هو دالة لوحدة واحدة فقط (على سبيل المثال ، إنها دالة فقط أو فقط ، أو دالة فقط ، أو فقط ، وما إلى ذلك) ، يمكننا بسهولة دمج المعادلة (11) و الإشارة إلى الظروف التي يوجد فيها عامل تكامل للشكل قيد الدراسة. وبالتالي ، يتم تحديد فئات المعادلات التي يمكن بسهولة العثور على عامل التكامل لها.

على سبيل المثال ، لنجد الشروط التي بموجبها يكون للمعادلة عامل تكامل يعتمد فقط على ، أي . في هذه الحالة ، يتم تبسيط المعادلة (11) وتأخذ الشكل ، ومن هنا ، بافتراض أنها دالة مستمرة لـ ، نحصل عليها

إذا كانت دالة لـ فقط ، فعندئذٍ يعتمد عامل التكامل فقط على ، موجود ويساوي (12) ، وإلا فإن عامل التكامل في النموذج غير موجود.

يتم استيفاء شرط وجود عامل تكامل يعتمد فقط على ، على سبيل المثال ، لمعادلة خطية أو. في الواقع ، وبالتالي ،. وبالمثل ، يمكن العثور على شروط لوجود عوامل تكامل من الشكل وما إلى ذلك.

مثال.هل للمعادلة عامل تكامل في الصورة؟

دعنا نشير. تأخذ المعادلة (11) في الشكل ، من أين أو

من أجل وجود عامل تكامل لشكل معين ، من الضروري ، وفي ظل افتراض الاستمرارية ، يكفي ذلك فقط. في هذه الحالة ، فإن عامل التكامل موجود ويساوي (13). عندما نصل . بضرب المعادلة الأصلية في ، نضعها في الصورة

نحصل على التكامل ، وبعد التقوية سيكون لدينا ، أو في الإحداثيات القطبية - عائلة من اللوالب اللوغاريتمية.

مثال. أوجد شكل المرآة الذي يعكس بالتوازي مع اتجاه معين كل الأشعة الخارجة من نقطة معينة.

نضع أصل الإحداثيات في نقطة معينة ونوجه محور الإحداثي الموازي للاتجاه المحدد في ظروف المشكلة. دع الشعاع يسقط على المرآة عند هذه النقطة. ضع في اعتبارك قسمًا من المرآة بواسطة مستوى يمر عبر محور الإحداثي والنقطة. دعونا نرسم ظلًا للقسم المدروس من سطح المرآة عند هذه النقطة. نظرًا لأن زاوية سقوط الحزمة تساوي زاوية الانعكاس ، فإن المثلث متساوي الساقين. لذلك،

يتم دمج المعادلة المتجانسة الناتجة بسهولة عن طريق تغيير المتغيرات ، ولكن من الأسهل إعادة كتابتها بالصيغة ، بعد تحريرها من اللاعقلانية في المقام. هذه المعادلة لها عامل تكامل واضح (عائلة من القطع المكافئ).

هذه المشكلة أسهل في حلها في الإحداثيات ، وأين ، بينما تأخذ المعادلة الخاصة بقسم الأسطح المرغوبة الشكل.

من الممكن إثبات وجود عامل تكامل ، أو ، ما هو نفسه ، وجود حل غير صفري للمعادلة التفاضلية الجزئية (11) في بعض المجالات ، إذا كانت الدوال لها مشتقات مستمرة وواحد على الأقل من هذه وظائف لا تتلاشى. لذلك ، يمكن اعتبار طريقة عامل التكامل كطريقة عامة لدمج معادلات النموذج ، ومع ذلك ، نظرًا لصعوبة العثور على عامل التكامل ، غالبًا ما تستخدم هذه الطريقة في الحالات التي يكون فيها عامل التكامل واضحًا.