نظام المعادلات. نظرية مفصلة مع أمثلة (2020). أمثلة على أنظمة المعادلات الخطية: طريقة الحل كتابة حل عام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول
حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) هو بلا شك أهم موضوع في مقرر الجبر الخطي. يتم تقليل عدد كبير من المسائل من جميع فروع الرياضيات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. توضح هذه العوامل سبب إنشاء هذه المقالة. يتم تحديد مادة المقالة وتنظيمها بحيث يمكنك مساعدتها
- اختر الطريقة المثلى لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ،
- دراسة نظرية الطريقة المختارة ،
- حل نظام المعادلات الخطية ، بعد النظر بالتفصيل في حلول الأمثلة والمشكلات النموذجية.
وصف موجز لمادة المقال.
أولاً ، نقدم جميع التعريفات والمفاهيم الضرورية ونقدم بعض الرموز.
بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة والتي لها حل فريد. أولاً ، دعنا نركز على طريقة كرامر ، وثانيًا ، سنعرض طريقة المصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات ، وثالثًا ، سنحلل طريقة غاوس (طريقة الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة). لتوحيد النظرية ، سنقوم بالتأكيد بحل العديد من SLAEs بطرق مختلفة.
بعد ذلك ننتقل إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، حيث لا يتطابق عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة أو تتدهور المصفوفة الرئيسية للنظام. نقوم بصياغة نظرية Kronecker-Capelli ، والتي تسمح لنا بإثبات توافق SLAEs. دعونا نحلل حل الأنظمة (في حالة توافقها) باستخدام مفهوم الأساس الثانوي للمصفوفة. سننظر أيضًا في طريقة Gauss وسنصف بالتفصيل حلول الأمثلة.
تأكد من التركيز على بنية الحل العام للأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية. دعونا نعطي مفهوم النظام الأساسي للحلول ونبين كيف تتم كتابة الحل العام لـ SLAE باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول. لفهم أفضل ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
في الختام ، نحن نأخذ في الاعتبار أنظمة المعادلات التي يتم اختصارها إلى المعادلات الخطية ، وكذلك المشكلات المختلفة ، التي تنشأ في حل SLAEs.
التنقل في الصفحة.
التعاريف والمفاهيم والتسميات.
سننظر في أنظمة المعادلات الجبرية الخطية مع n متغيرات غير معروفة (قد تكون p مساوية لـ n) من النموذج
متغيرات غير معروفة ، - معاملات (بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة) ، - الأعضاء الحرة (أيضًا أرقام حقيقية أو معقدة).
يسمى هذا الشكل من SLAE تنسيق.
في شكل المصفوفةنظام المعادلات هذا له الشكل ،
أين 
- المصفوفة الرئيسية للنظام ، - عمود المصفوفة للمتغيرات غير المعروفة ، - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار.
إذا أضفنا إلى المصفوفة A باعتباره العمود (n + 1) عمود المصفوفة للمصطلحات الحرة ، فإننا نحصل على ما يسمى مصفوفة موسعةأنظمة المعادلات الخطية. عادة ، يتم الإشارة إلى المصفوفة المعززة بالحرف T ، ويتم فصل عمود الأعضاء الأحرار بخط رأسي عن بقية الأعمدة ، أي ، 
بحل نظام المعادلات الجبرية الخطيةتسمى مجموعة من قيم المتغيرات غير المعروفة ، والتي تحول كل معادلات النظام إلى هويات. تتحول أيضًا معادلة المصفوفة للقيم المعطاة للمتغيرات غير المعروفة إلى هوية.
إذا كان نظام المعادلات يحتوي على حل واحد على الأقل ، فسيتم استدعاؤه مشترك.
إذا لم يكن لنظام المعادلات أي حلول ، فسيتم استدعاؤه غير متوافق.
إذا كان SLAE لديه حل فريد ، فسيتم استدعاؤه تأكيد؛ إذا كان هناك أكثر من حل ، إذن - غير مؤكد.
إذا كانت الشروط المجانية لجميع معادلات النظام تساوي صفرًا 
، ثم يسمى النظام متجانس، خلاف ذلك - غير متجانسة.
حل الأنظمة الأولية للمعادلات الجبرية الخطية.
إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة وكان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر ، فسنسمي هذه SLAEs ابتدائي. أنظمة المعادلات هذه لها حل فريد ، وفي حالة النظام المتجانس ، فإن جميع المتغيرات غير المعروفة تساوي الصفر.
بدأنا في دراسة SLAE في المدرسة الثانوية. عند حلها ، أخذنا معادلة واحدة ، وعبرنا عن متغير واحد غير معروف من حيث المتغيرات الأخرى واستبدلناها في المعادلات المتبقية ، ثم أخذنا المعادلة التالية ، وعبرنا عن المتغير المجهول التالي واستبدلناه في معادلات أخرى ، وهكذا. أو استخدموا طريقة الجمع ، أي أضافوا معادلتين أو أكثر للتخلص من بعض المتغيرات غير المعروفة. لن نتطرق إلى هذه الأساليب بالتفصيل ، لأنها تعديلات أساسية لطريقة غاوس.
الطرق الرئيسية لحل الأنظمة الأولية للمعادلات الخطية هي طريقة كرامر وطريقة المصفوفة وطريقة غاوس. دعونا نفرزها.
حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر.
دعونا نحل نظام المعادلات الجبرية الخطية 
حيث يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ويكون محدد المصفوفة الرئيسية للنظام مختلفًا عن الصفر ، أي.
اسمحوا أن يكون محددا للمصفوفة الرئيسية للنظام ، و 
هي محددات المصفوفات التي تم الحصول عليها من A عن طريق الاستبدال 1 ، 2 ، ... ، نالعمود على التوالي إلى عمود الأعضاء الأحرار: 
باستخدام هذا الترميز ، يتم حساب المتغيرات غير المعروفة بواسطة صيغ طريقة كرامر كـ 
. هذه هي الطريقة التي يتم بها إيجاد حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر.
مثال.
طريقة كرامر 
.
حل.
المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل 
. احسب محددها (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة): 
نظرًا لأن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد يمكن العثور عليه بواسطة طريقة كرامر.
يؤلف ويحسب المحددات الضرورية 
(يتم الحصول على المحدد عن طريق استبدال العمود الأول في المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ، المحدد - عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من الأعضاء الأحرار - عن طريق استبدال العمود الثالث من المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ): 
البحث عن متغيرات غير معروفة باستخدام الصيغ 
:
إجابة:
العيب الرئيسي لطريقة كرامر (إذا كان من الممكن تسميتها عيبًا) هو تعقيد حساب المحددات عندما يكون عدد معادلات النظام أكثر من ثلاثة.
حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة (باستخدام معكوس المصفوفة).
دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى في شكل مصفوفة ، حيث يكون للمصفوفة A بعد n × n ومحددها غير صفري.
بما أن المصفوفة A قابلة للعكس ، أي أن هناك مصفوفة معكوسة. إذا ضربنا كلا جزأي المساواة في جهة اليسار ، فسنحصل على صيغة لإيجاد مصفوفة العمود لمتغيرات غير معروفة. إذن ، حصلنا على حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة.
مثال.
حل نظام المعادلات الخطية طريقة المصفوفة.
حل.
نعيد كتابة نظام المعادلات في شكل مصفوفة: 
لأن
ثم يمكن حل SLAE بطريقة المصفوفة. باستخدام معكوس المصفوفة ، يمكن إيجاد حل هذا النظام بالصيغة 
.
لنقم ببناء مصفوفة معكوسة باستخدام مصفوفة مكملة جبرية لعناصر المصفوفة أ (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة): 
يبقى حساب - مصفوفة متغيرات غير معروفة بضرب معكوس المصفوفة 
في عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة): 
إجابة:
أو في طريقة أخرى x 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.
المشكلة الرئيسية في إيجاد حلول لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة هي تعقيد إيجاد المصفوفة العكسية ، خاصةً للمصفوفات المربعة ذات الترتيب الأعلى من الثالثة.
حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لنظام من المعادلات الخطية n ذات المتغيرات غير المعروفة n 
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.
جوهر طريقة غاوسيتكون من الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، يتم استبعاد x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية ، ثم يتم استبعاد x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثالث ، وهكذا ، حتى المتغير المجهول فقط تبقى x n في المعادلة الأخيرة. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام للحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التشغيل الأمامي لطريقة Gaussian ، يتم العثور على x n من المعادلة الأخيرة ، ويتم حساب x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة باستخدام هذه القيمة ، وهكذا ، تم العثور على x 1 من المعادلة الأولى. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.
دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.
سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. نستبعد المتغير المجهول x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من المتغير الثاني. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، وأضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، أضف أول مضروب في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل 
اين ا 
.
سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن x 1 من حيث المتغيرات الأخرى غير المعروفة في المعادلة الأولى للنظام واستبدلنا التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 1 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثانية.
بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل 
للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، وأضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل 
اين ا 
. وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من المتغير الثالث.
بعد ذلك ، ننتقل إلى إزالة المجهول x 3 ، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل 
لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل 
من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x n من المعادلة الأخيرة ، باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x n نجد x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة ، وهكذا ، نجد x 1 من الأولى معادلة.
مثال.
حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.
حل.
دعنا نستبعد المتغير المجهول x 1 من المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. للقيام بذلك ، إلى كلا الجزأين من المعادلتين الثانية والثالثة ، نضيف الأجزاء المقابلة من المعادلة الأولى ، مضروبة في وفي ، على التوالي: 
الآن نستبعد x 2 من المعادلة الثالثة بإضافة الجزأين الأيسر والأيمن من المعادلة الثانية ، مضروبًا في: 
في هذا ، اكتمل المسار الأمامي لطريقة غاوس ، نبدأ المسار العكسي.
من المعادلة الأخيرة لنظام المعادلات الناتج ، نجد x 3: 
من المعادلة الثانية نحصل عليها.
من المعادلة الأولى نجد المتغير المجهول المتبقي وهذا يكمل المسار العكسي لطريقة غاوس.
إجابة:
X 1 \ u003d 4 ، × 2 \ u003d 0 ، × 3 \ u003d -1.
حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.
في الحالة العامة ، لا يتطابق عدد معادلات النظام p مع عدد المتغيرات غير المعروفة n:
قد لا يكون لمثل هذه SLAE حلول ، أو لديها حل واحد ، أو لديها عدد لا نهائي من الحلول. ينطبق هذا البيان أيضًا على أنظمة المعادلات التي تكون مصفوفتها الرئيسية مربعة ومنحطة.
نظرية كرونيكر كابيلي.
قبل إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية ، من الضروري إثبات توافقه. الإجابة على السؤال عندما يكون SLAE متوافقًا ، وعندما يكون غير متوافق ، يعطي نظرية كرونيكر كابيلي:
لكي يكون نظام المعادلات p مع n مجهولة (يمكن أن تكون p مساوية لـ n) لتكون متوافقة ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، أي الرتبة ( أ) = الرتبة (T).
دعونا ننظر في تطبيق نظرية Kronecker-Cappelli لتحديد مدى توافق نظام المعادلات الخطية كمثال.
مثال.
اكتشف ما إذا كان نظام المعادلات الخطية يحتوي على 
حلول.
حل.
. دعونا نستخدم طريقة تجاور القاصرين. الصغرى من الدرجة الثانية 
يختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المحيطين به: 
نظرًا لأن كل الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان.
بدوره ، رتبة المصفوفة المعززة 
يساوي ثلاثة ، لأن القاصر من الدرجة الثالثة 
يختلف عن الصفر.
هكذا، لذلك ، وفقًا لـ Rang (A) ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأصلي للمعادلات الخطية غير متسق.
إجابة:
لا يوجد نظام حل.
لذلك ، تعلمنا إثبات عدم تناسق النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.
ولكن كيف تجد حل SLAE إذا تم إثبات توافقه؟
للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم الأساس الصغير للمصفوفة والنظرية في رتبة المصفوفة.
يسمى أعلى رتبة ثانوية في المصفوفة A ، بخلاف الصفر أساسي.
يترتب على تعريف الأساس الثانوي أن ترتيبها يساوي رتبة المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A ، يمكن أن يكون هناك العديد من القاصرين الأساسيين ؛ هناك دائمًا قاصر أساسي واحد.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة 
.
جميع العناصر الثانوية من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا ، نظرًا لأن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة هي مجموع العناصر المقابلة للصفين الأول والثاني.
القاصرون التاليون من الرتبة الثانية أساسيون ، لأنهم ليسوا صفريًا 
القصر 
ليست أساسية ، لأنها تساوي الصفر.
نظرية رتبة المصفوفة.
إذا كانت رتبة مصفوفة من الرتبة p في n هي r ، فإن جميع عناصر الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة التي لا تشكل الأساس المختار الثانوي يتم التعبير عنها خطيًا من حيث العناصر المقابلة للصفوف (والأعمدة ) التي تشكل أساس القاصر.
ماذا تعطينا نظرية رتبة المصفوفة؟
إذا قمنا ، من خلال نظرية Kronecker-Capelli ، بتأسيس توافق النظام ، فسنختار أي ثانوي أساسي من المصفوفة الرئيسية للنظام (ترتيبها يساوي r) ، واستبعد من النظام جميع المعادلات التي لا تفعل ذلك. تشكيل القاصر الأساسي المختار. ستكون SLAE التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة معادلة للمعادلة الأصلية ، نظرًا لأن المعادلات المهملة لا تزال زائدة عن الحاجة (وفقًا لنظرية رتبة المصفوفة ، فهي عبارة عن مجموعة خطية من المعادلات المتبقية).
نتيجة لذلك ، بعد التخلص من المعادلات المفرطة للنظام ، هناك حالتان ممكنتان.
إذا كان عدد المعادلات r في النظام الناتج مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ، فسيكون ذلك محددًا ويمكن إيجاد الحل الوحيد بطريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.
مثال.
.
حل.
رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام 
يساوي اثنين ، لأن القاصر من الدرجة الثانية 
يختلف عن الصفر. تمديد رتبة المصفوفة 
يساوي أيضًا اثنين ، لأن الصغرى الوحيدة من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا 
والصغرى من الدرجة الثانية المذكورة أعلاه تختلف عن الصفر. استنادًا إلى نظرية Kronecker-Capelli ، يمكن للمرء أن يؤكد توافق النظام الأصلي للمعادلات الخطية ، منذ الرتبة (A) = الرتبة (T) = 2.
كأساس ثانوي ، نأخذ . يتكون من معاملات المعادلتين الأولى والثانية: 
لا تشارك المعادلة الثالثة للنظام في تكوين الصغرى الأساسية ، لذلك نستبعدها من النظام بناءً على نظرية رتبة المصفوفة: 
وهكذا حصلنا على نظام أولي من المعادلات الجبرية الخطية. لنحلها بطريقة كرامر: 
إجابة:
× 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 2.
إذا كان عدد المعادلات r في SLAE الناتج أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة n ، فإننا نترك المصطلحات التي تشكل الأساسي الثانوي في الأجزاء اليسرى من المعادلات ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأجزاء اليمنى من المعادلات للنظام مع الإشارة المعاكسة.
المتغيرات غير المعروفة (هناك r منها) المتبقية على الجانب الأيسر من المعادلات تسمى رئيسي.
يتم استدعاء المتغيرات غير المعروفة (هناك n - r) التي انتهى بها الأمر على الجانب الأيمن حر.
الآن نفترض أن المتغيرات المجانية غير المعروفة يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية ، في حين سيتم التعبير عن المتغيرات غير المعروفة الرئيسية من حيث المتغيرات غير المعروفة بطريقة فريدة. يمكن العثور على تعبيرهم عن طريق حل SLAE الناتج عن طريق طريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.
لنأخذ مثالا.
مثال.
حل نظام المعادلات الجبرية الخطية 
.
حل.
ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام 
بطريقة القاصرين المجاورة. لنأخذ 1 1 = 1 على أنه قاصر غير صفري من الدرجة الأولى. لنبدأ البحث عن قاصر غير صفري من الدرجة الثانية يحيط بهذا القاصر: 
إذن وجدنا صغرى ليست صفرية من الرتبة الثانية. لنبدأ البحث عن قاصر حدودي غير صفري من الدرجة الثالثة: 
وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي ثلاثة. رتبة المصفوفة المعززة تساوي أيضًا ثلاثة ، أي أن النظام ثابت.
سيتم اعتبار الترتيب الصغرى غير الصفري من الترتيب الثالث على أنه الترتيب الأساسي.
من أجل الوضوح ، نعرض العناصر التي تشكل الأساس الثانوي: 
نترك المصطلحات المشاركة في الثانوية الأساسية على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل الباقي بإشارات معاكسة إلى الجانب الأيمن: 
نعطي المتغيرات غير المعروفة المجانية x 2 و x 5 قيمًا عشوائية ، أي أننا نأخذها 
، أين الأرقام التعسفية. في هذه الحالة ، يأخذ SLAE النموذج 
نحل النظام الأولي الذي تم الحصول عليه من المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر: 
لذلك، .
في الإجابة ، لا تنس الإشارة إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة.
إجابة:
أين الأرقام التعسفية.
لخص.
لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، نكتشف أولاً توافقها باستخدام نظرية Kronecker-Capelli. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لا تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نستنتج أن النظام غير متسق.
إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نختار الثانوية الأساسية ونتجاهل معادلات النظام التي لا تشارك في تشكيل القاصر الأساسي المختار.
إذا كان ترتيب الأساس الثانوي يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإن SLAE لديه حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة معروفة لنا.
إذا كان ترتيب الأساس الثانوي أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإننا نترك المصطلحات مع المتغيرات الرئيسية غير المعروفة على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأطراف اليمنى ونخصص قيمًا عشوائية إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة. من نظام المعادلات الخطية الناتج ، نجد المتغيرات الرئيسية غير المعروفة بواسطة طريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.
طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.
باستخدام طريقة Gauss ، يمكن للمرء حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من أي نوع دون التحقيق الأولي من أجل التوافق. تتيح عملية الإزالة المتتالية للمتغيرات غير المعروفة استخلاص استنتاج حول كل من توافق وتضارب SLAE ، وإذا كان هناك حل ، فإنه يجعل من الممكن العثور عليه.
من وجهة نظر العمل الحسابي ، يفضل الأسلوب Gaussian.
انظر وصفها التفصيلي والأمثلة التي تم تحليلها في المقالة طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.
تسجيل الحل العام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول.
في هذا القسم ، سوف نركز على أنظمة مشتركة متجانسة وغير متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية التي لديها عدد لا حصر له من الحلول.
دعونا نتعامل مع الأنظمة المتجانسة أولاً.
نظام القرار الأساسيالنظام المتجانس من المعادلات الجبرية الخطية مع n المتغيرات غير المعروفة عبارة عن مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n - r) لهذا النظام ، حيث r هو ترتيب الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام.
إذا قمنا بتعيين حلول مستقلة خطيًا لـ SLAE متجانسة مثل X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) (X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) هي أعمدة مصفوفات ذات أبعاد n بواسطة 1) ، ثم يتم تمثيل الحل العام لهذا النظام المتجانس كمجموعة خطية من ناقلات النظام الأساسي للحلول ذات المعاملات الثابتة التعسفية С 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) ، أي.
ماذا يعني مصطلح الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (oroslau)؟
المعنى بسيط: تحدد الصيغة جميع الحلول الممكنة لـ SLAE الأصلي ، بمعنى آخر ، أخذ أي مجموعة من قيم الثوابت التعسفية C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) ، وفقًا للصيغة نحن سوف تحصل على أحد حلول SLAE الأصلية المتجانسة.
وبالتالي ، إذا وجدنا نظامًا أساسيًا للحلول ، فيمكننا تعيين جميع حلول SLAE المتجانسة مثل.
دعونا نظهر عملية بناء نظام أساسي من الحلول لـ SLAE متجانس.
نختار الأساسي الثانوي للنظام الأصلي للمعادلات الخطية ، ونستبعد جميع المعادلات الأخرى من النظام ، وننقل إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام بعلامات معاكسة جميع المصطلحات التي تحتوي على متغيرات مجانية غير معروفة. دعونا نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم 1،0،0 ، ... ، 0 ونحسب المجهول الرئيسي عن طريق حل النظام الأولي الناتج من المعادلات الخطية بأي طريقة ، على سبيل المثال ، بطريقة كرامر. وبالتالي ، سيتم الحصول على X (1) - الحل الأول للنظام الأساسي. إذا أعطينا القيم المجهولة المجانية 0،1،0،0 ،… ، 0 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (2). وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أعطينا المتغيرات المجانية المجهولة القيم 0،0،…، 0،1 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (n-r). هذه هي الطريقة التي سيتم بها بناء النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس ويمكن كتابة الحل العام في النموذج.
بالنسبة للأنظمة غير المتجانسة من المعادلات الجبرية الخطية ، يتم تمثيل الحل العام كـ
لنلق نظرة على الأمثلة.
مثال.
أوجد النظام الأساسي للحلول والحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية 
.
حل.
إن رتبة المصفوفة الرئيسية للأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية تساوي دائمًا رتبة المصفوفة الممتدة. دعونا نجد رتبة المصفوفة الرئيسية بطريقة التهديب للقصر. كقاصر غير صفري من الدرجة الأولى ، نأخذ العنصر 1 1 = 9 من المصفوفة الرئيسية للنظام. أوجد الحد الصغير غير الصفري من الدرجة الثانية: 
تم العثور على ثانوية من الدرجة الثانية ، تختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة التي تحدها بحثًا عن واحد غير صفري: 
جميع القاصرات الحدودية من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية والممتدة هي اثنان. لنأخذ القاصر الأساسي. من أجل الوضوح ، نلاحظ عناصر النظام التي يتكون منها: 
لا تشارك المعادلة الثالثة لـ SLAE الأصلية في تكوين القاصر الأساسي ، لذلك يمكن استبعادها: 
نترك المصطلحات التي تحتوي على المجهول الرئيسي على الجانب الأيمن من المعادلات ، وننقل المصطلحات ذات المجهول الحر إلى الجانب الأيمن:
دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول للنظام المتجانس الأصلي للمعادلات الخطية. يتكون النظام الأساسي للحلول الخاصة بـ SLAE من حلين ، نظرًا لأن SLAE الأصلي يحتوي على أربعة متغيرات غير معروفة ، وترتيب ثانوي أساسي هو اثنين. للعثور على X (1) ، نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم x 2 \ u003d 1 ، x 4 \ u003d 0 ، ثم نجد المجهول الرئيسي من نظام المعادلات 
.
- الأنظمة مالمعادلات الخطية مع نمجهول.
حل نظام المعادلات الخطيةهذه مجموعة من الأرقام ( × 1 ، × 2 ، ... ، × ن) ، مع استبدال أي من معادلات النظام ، يتم الحصول على المساواة الصحيحة.
أين أ ij ، أنا = 1 ، ... ، م ؛ ي = 1 ، ... ، نهي معاملات النظام ؛
ب أنا ، أنا = 1 ، ... ، م- أعضاء أحرار ؛
س ي ، ي = 1 ، ... ، ن- مجهول.
يمكن كتابة النظام أعلاه في شكل مصفوفة: أ س = ب,
أين ( أ|ب) هي المصفوفة الرئيسية للنظام ؛
أ- مصفوفة النظام الممتدة ؛
X- عمود المجهول.
بهو عمود من الأعضاء الأحرار.
إذا كانت المصفوفة بليس مصفوفة فارغة ∅ ، ثم يسمى نظام المعادلات الخطية هذا غير متجانس.
إذا كانت المصفوفة ب= ∅ ، فإن نظام المعادلات الخطية هذا يسمى متجانسة. يحتوي النظام المتجانس دائمًا على حل صفري (تافه): x 1 \ u003d x 2 \ u003d ... ، x n \ u003d 0.
نظام مشترك للمعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية له حل.
نظام غير متناسق من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية ليس له حل.
نظام معين من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية له حل فريد.
نظام غير محدد من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول. - أنظمة المعادلات الخطية n مع n مجهولة
إذا كان عدد المجهول يساوي عدد المعادلات ، فإن المصفوفة تكون مربعة. يسمى محدد المصفوفة المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الخطية ويتم الإشارة إليه بالرمز Δ.
طريقة كرامرلحل الأنظمة نالمعادلات الخطية مع نمجهول.
حكم كرامر.
إذا كان المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الخطية لا يساوي الصفر ، فإن النظام يكون متسقًا ومحددًا ، ويتم حساب الحل الوحيد باستخدام معادلات كرامر:
حيث Δ i هي المحددات التي تم الحصول عليها من المحدد الرئيسي للنظام Δ عن طريق الاستبدال أناالعمود العاشر إلى عمود الأعضاء الأحرار. . - أنظمة المعادلات الخطية ذات العدد المجهول n
نظرية كرونيكر كابيلي.
لكي يكون نظام المعادلات الخطية هذا متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة للنظام ، رتبة (Α) = رتبة (Α | ب).
لو رن (Α) ≠ رن (Α | ب)، فمن الواضح أن النظام ليس لديه حلول.
لو رتبة (Α) = رتبة (Α | ب)، إذن حالتان ممكنتان:
1) رن (Α) = ن(لعدد المجهول) - الحل فريد ويمكن الحصول عليه بواسطة صيغ كرامر ؛
2) رتبة (Α)< n - هناك عدد لا حصر له من الحلول. - طريقة جاوسلحل أنظمة المعادلات الخطية
دعونا نؤلف المصفوفة المعززة ( أ|ب) لنظام معين من المعاملات في الأجزاء المجهولة واليمنى.
تتكون طريقة Gaussian أو طريقة التخلص من المجهول في تقليل المصفوفة المعززة ( أ|ب) بمساعدة التحولات الأولية على صفوفها إلى شكل قطري (إلى شكل مثلث علوي). بالعودة إلى نظام المعادلات ، يتم تحديد جميع المجهول.
تشمل التحولات الأولية على السلاسل ما يلي:
1) تبديل سطرين ؛
2) ضرب سلسلة في رقم غير 0 ؛
3) إضافة سلسلة أخرى إلى السلسلة مضروبة في رقم عشوائي ؛
4) تجاهل سلسلة فارغة.
تتوافق المصفوفة الممتدة التي يتم تقليلها إلى شكل قطري مع نظام خطي مكافئ للنظام المعطى ، والذي لا يسبب حله أية صعوبات. . - نظام المعادلات الخطية المتجانسة.
النظام المتجانس له الشكل:
إنه يتوافق مع معادلة المصفوفة أ س = 0.
1) النظام المتجانس ثابت دائمًا ، منذ ذلك الحين ص (أ) = ص (أ | ب)، هناك دائمًا حل صفري (0 ، 0 ، ... ، 0).
2) لكي يكون للنظام المتجانس حل غير صفري ، من الضروري والكافي ص = ص (أ)< n ، وهو ما يعادل Δ = 0.
3) إذا ص< n ، ثم Δ = 0 ، ثم هناك مجاهيل مجانية ج 1 ، ج 2 ، ... ، ج ن ص، فإن النظام لديه حلول غير بديهية ، وهناك الكثير منها بشكل لا نهائي.
4) حل عام Xفي ص< n يمكن كتابتها في شكل مصفوفة على النحو التالي:
X \ u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
اين الحلول X 1، X 2،…، X n-rتشكل نظام أساسي للحلول.
5) يمكن الحصول على النظام الأساسي للحلول من الحل العام للنظام المتجانس:
,
إذا افترضنا بالتسلسل أن قيم المعلمات هي (1 ، 0 ، ... ، 0) ، (0 ، 1 ، ... ، 0) ، ... ، (0 ، 0 ، ... ، 1).
تحليل الحل العام من حيث نظام الحلول الأساسيهو سجل للحل العام كمجموعة خطية من الحلول التي تنتمي إلى النظام الأساسي.
نظرية. لكي يكون لنظام المعادلات الخطية المتجانسة حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن Δ ≠ 0.
لذلك ، إذا كان المحدد هو Δ ≠ 0 ، فإن النظام لديه حل فريد.
إذا كانت Δ ≠ 0 ، فإن نظام المعادلات الخطية المتجانسة يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
نظرية. لكي يكون للنظام المتجانس حل غير صفري ، من الضروري والكافي ص (أ)< n .
دليل:
1) صلا يمكن أن يكون أكثر ن(رتبة المصفوفة لا تتجاوز عدد الأعمدة أو الصفوف) ؛
2) ص< n ، لأن لو ص = ن، ثم المحدد الرئيسي للنظام Δ ≠ 0 ، ووفقًا لصيغ كرامر ، هناك حل تافه فريد x 1 \ u003d x 2 \ u003d ... \ u003d x n \ u003d 0الذي يتعارض مع الشرط. وسائل، ص (أ)< n .
عاقبة. من أجل نظام متجانس نالمعادلات الخطية مع نالمجهول لها حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن Δ = 0.
نظم المعادلات الخطية. المحاضرة 6
نظم المعادلات الخطية.
مفاهيم أساسية.
عرض النظام
مُسَمًّى النظام - المعادلات الخطية ذات المجهول.
الأرقام تسمى معاملات النظام.
يتم استدعاء الأرقام الأعضاء الأحرار في النظام, – متغيرات النظام. مصفوفة
مُسَمًّى المصفوفة الرئيسية للنظاموالمصفوفة
– نظام المصفوفة الموسعة. المصفوفات - الأعمدة
وبالمقابل مصفوفات الأعضاء الأحرار والمجهولين للنظام. ثم ، في شكل مصفوفة ، يمكن كتابة نظام المعادلات كـ. حل النظامتسمى قيم المتغيرات ، عند استبدالها ، تتحول جميع معادلات النظام إلى معادلات عددية حقيقية. يمكن تمثيل أي حل للنظام في صورة عمود مصفوفة. ثم مصفوفة المساواة صحيحة.
نظام المعادلات يسمى مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل و غير متوافقإذا لم يكن لها حل.
إن حل نظام المعادلات الخطية يعني معرفة ما إذا كان متوافقًا ، وإذا كان متوافقًا ، لإيجاد حله العام.
النظام يسمى متجانسإذا كانت جميع شروطه المجانية تساوي صفرًا. دائمًا ما يكون النظام المتجانس متوافقًا لأنه يحتوي على حل
نظرية كرونيكر-كوبيلي.
تسمح لنا الإجابة على سؤال وجود حلول للأنظمة الخطية وتفردها بالحصول على النتيجة التالية ، والتي يمكن صياغتها على أنها العبارات التالية حول نظام المعادلات الخطية ذات المجهول
(1)
نظرية 2. يكون نظام المعادلات الخطية (1) متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الموسعة (.
نظرية 3. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام مشترك من المعادلات الخطية تساوي عدد المجهول ، فإن النظام لديه حل فريد.
نظرية 4. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام مشترك أقل من عدد المجهولين ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.
قواعد حل الأنظمة.
3. أوجد التعبير عن المتغيرات الرئيسية من حيث المتغيرات الحرة واحصل على الحل العام للنظام.
4. بإعطاء قيم عشوائية للمتغيرات الحرة ، يتم الحصول على جميع قيم المتغيرات الرئيسية.
طرق حل أنظمة المعادلات الخطية.
طريقة المصفوفة العكسية.
أي أن النظام لديه حل فريد. نكتب النظام في شكل مصفوفة
أين 
,
,
.
اضرب طرفي معادلة المصفوفة على اليسار بالمصفوفة
منذ ذلك الحين نحصل على المساواة في العثور على المجهول
المثال 27.باستخدام طريقة المصفوفة العكسية ، حل نظام المعادلات الخطية 
حل. تدل بالمصفوفة الرئيسية للنظام
.
دعنا إذن نجد الحل بالصيغة.
دعونا نحسب.
منذ ذلك الحين ، أصبح للنظام حل فريد. أوجد كل الإضافات الجبرية
,
,
,
,
,
,
,
,
هكذا
.
دعونا تحقق
.
تم العثور على معكوس المصفوفة بشكل صحيح. من هنا ، باستخدام الصيغة ، نجد مصفوفة المتغيرات.
.
بمقارنة قيم المصفوفات ، نحصل على الإجابة:.
طريقة كرامر.
دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية مع المجهول
أي أن النظام لديه حل فريد. نكتب حل النظام في صورة مصفوفة أو
دل
. . . . . . . . . . . . . . ,
وبالتالي ، نحصل على صيغ لإيجاد قيم المجهول ، والتي تسمى صيغ كرامر.
المثال 28.حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام طريقة كرامر 
.
حل. أوجد محدد المصفوفة الرئيسية للنظام
.
منذ ذلك الحين ، أصبح للنظام حل فريد.
أوجد المحددات المتبقية لصيغ كرامر
,
,
.
باستخدام معادلات كرامر ، نجد قيم المتغيرات
طريقة جاوس.
تتكون الطريقة في الاستبعاد المتسلسل للمتغيرات.
دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية مع المجهول.
تتكون عملية حل Gaussian من خطوتين:
في المرحلة الأولى ، يتم تقليل المصفوفة الممتدة للنظام إلى الشكل التدريجي بمساعدة التحولات الأولية
,
أين ، الذي يتوافق مع النظام
بعد ذلك المتغيرات 
تعتبر مجانية وفي كل معادلة يتم نقلها إلى الجانب الأيمن.
في المرحلة الثانية ، يتم التعبير عن المتغير من المعادلة الأخيرة ، ويتم استبدال القيمة الناتجة في المعادلة. من هذه المعادلة
يتم التعبير عن المتغير. تستمر هذه العملية حتى المعادلة الأولى. والنتيجة هي تعبير عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات الحرة 
.
المثال 29.حل النظام التالي باستخدام طريقة جاوس
حل. دعونا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ونختزلها إلى نموذج الخطوة
.
لأن 
أكبر من عدد المجهول ، فإن النظام متوافق ولديه عدد لا حصر له من الحلول. دعونا نكتب نظام مصفوفة الخطوة
محدد المصفوفة الممتدة لهذا النظام ، المكون من الأعمدة الثلاثة الأولى ، لا يساوي صفرًا ، لذلك نعتبره أساسيًا. المتغيرات
سيكون أساسيًا وسيكون المتغير مجانيًا. دعنا ننقلها في جميع المعادلات إلى الجانب الأيسر
من المعادلة الأخيرة نعبر عنها
بالتعويض عن هذه القيمة في المعادلة الثانية قبل الأخيرة ، نحصل على
أين 
. بالتعويض عن قيم المتغيرات وفي المعادلة الأولى ، نجد 
. نكتب الجواب بالشكل التالي
مع نغير معروف نظام الشكل:
أين aijو ب أنا (أنا = 1 ، ... ، م ، ب = 1 ، ... ، ن)هي بعض الأرقام المعروفة ، و x 1 ، ... ، x n- أرقام غير معروفة. في تدوين المعاملات aijفِهرِس أنايحدد رقم المعادلة ، والثاني يهو رقم المجهول الذي يقع عنده هذا المعامل.
نظام متجانس -عندما يكون جميع الأعضاء الأحرار في النظام مساوٍ للصفر ( ب 1 = ب 2 = ... = ب م = 0) ، الوضع المعاكس هو نظام غير متجانس.
نظام مربع -عندما يكون الرقم مالمعادلات تساوي الرقم نمجهول.
حل النظام- تعيين نأعداد ج 1 ، ج 2 ، ... ، ج ن ،مثل أن استبدال كل شيء ج طبدلاً من س طإلى نظام يحول كل معادلاته إلى متطابقات.
نظام مشترك -عندما يكون لدى النظام حل واحد على الأقل ، و نظام غير متوافقعندما لا يكون لدى النظام حلول.
يمكن أن يكون لنظام مشترك من هذا النوع (كما هو مذكور أعلاه ، فليكن (1)) حلًا واحدًا أو أكثر.
حلول ج 1 (1) ، ج 2 (1) ، ... ، ج ن (1)و ص 1 (2) ، ج 2 (2) ، ... ، ج ن (2)نظام مشترك من النوع (1) سوف متنوع، عندما لا يتم استيفاء حتى 1 من المساواة:
ص 1 (1) = ج 1 (2) ، ج 2 (1) = ج 2 (2) ، ... ، ج ن (1) = ج ن (2).
نظام مشترك من النوع (1) سوف تأكيدعندما يكون لديه حل واحد فقط ؛ عندما يحتوي النظام على حلين مختلفين على الأقل ، يصبح غير محدد. عندما يكون هناك معادلات أكثر من المجهول ، يكون النظام كذلك إعادة تعريف.
تتم كتابة معاملات المجهول كمصفوفة:
تسمى مصفوفة النظام.
الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات ، ب 1 ، ... ، ب منكون أعضاء أحرار.
إجمالي نأعداد ج 1 ، ... ، ج نهو حل لهذا النظام عندما تتحول جميع معادلات النظام إلى مساواة بعد استبدال الأرقام فيها ج 1 ، ... ، ج نبدلا من المجهول المقابل x 1 ، ... ، x n.
عند حل نظام المعادلات الخطية ، قد تظهر 3 خيارات:
1. النظام لديه حل واحد فقط.
2. يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول. على سبيل المثالو. سيكون حل هذا النظام هو جميع أزواج الأرقام التي تختلف في الإشارة.
3. النظام ليس له حلول. على سبيل المثالإذا كان الحل موجودًا × 1 + × 2يساوي 0 و 1 في نفس الوقت.
طرق حل أنظمة المعادلات الخطية.
الطرق المباشرةإعطاء خوارزمية يتم من خلالها إيجاد الحل الدقيق SLAU(أنظمة المعادلات الجبرية الخطية). ولو كانت الدقة مطلقة لوجدوها. يعمل الكمبيوتر الكهربائي الحقيقي ، بالطبع ، مع وجود خطأ ، لذلك سيكون الحل تقريبيًا.
يتم اختزال العديد من المشكلات العملية في حل أنظمة المعادلات الجبرية من الدرجة الأولى أو ، كما يطلق عليها عادةً ، أنظمة المعادلات الخطية. سوف نتعلم حل أي من هذه الأنظمة ، حتى دون الحاجة إلى أن يتطابق عدد المعادلات مع عدد المجهول.
بشكل عام ، يتم كتابة نظام المعادلات الخطية على النحو التالي:
ها هي الأرقام aij– احتمال أنظمة ب ط – أعضاء أحرار ،س ط- حرف او رمز مجهول . من المريح جدًا تقديم تدوين المصفوفة: - رئيسي مصفوفة النظام - عمود المصفوفة للمصطلحات الحرة - عمود المصفوفة المجهول. ثم يمكن كتابة النظام على النحو التالي: فأس=بأو بمزيد من التفصيل:
إذا ، على الجانب الأيسر من هذه المساواة ، قم بإجراء ضرب المصفوفة وفقًا للقواعد المعتادة ومساواة عناصر العمود الناتج بالعناصر في، ثم سنصل إلى تدوين النظام الأصلي.
المثال 14. نكتب نفس نظام المعادلات الخطية بطريقتين مختلفتين:
عادة ما يسمى نظام المعادلات الخطية مشترك ، إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، و غير متوافق، إذا لم تكن هناك حلول.
في مثالنا النظام متوافق والعمود هو الحل:
يمكن أيضًا كتابة هذا الحل بدون مصفوفات: x=2 ، ذ=1 . سوف نسمي نظام المعادلات غير مؤكد ، إذا كان يحتوي على أكثر من حل واحد ، و تأكيد إذا كان الحل فريدًا.
المثال 15. النظام غير محدد. على سبيل المثال ، هي حلولها. يمكن للقارئ أن يجد العديد من الحلول الأخرى لهذا النظام.
دعنا نتعلم كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية أولاً في حالة معينة. نظام المعادلات أوه=فيسنطالب كراميروفسكايا ، إذا كانت المصفوفة الرئيسية أهي مربعة وغير متدهورة. بمعنى آخر ، في نظام كراميري ، يتطابق عدد المجهول مع عدد المعادلات و.
نظرية 6. (قاعدة كرامر).يحتوي نظام كرامر للمعادلات الخطية على حل فريد من خلال الصيغ:
أين هو محدد المصفوفة الرئيسية ، هو المحدد الذي تم الحصول عليه من دإستبدال أنا-العمود مع عمود من الأعضاء الأحرار.
تعليق.يمكن أيضًا حل أنظمة كرامر بطريقة أخرى ، باستخدام معكوس المصفوفة. نكتب مثل هذا النظام في شكل مصفوفة: فأس=في. منذ ذلك الحين ، هناك مصفوفة معكوسة أ –1 . نضرب مساواة المصفوفة في أ –1 غادر: أ –1 أوه=أ –1 في. لأن أ –1 أوه=السابق=X، ثم تم العثور على حل النظام: X= أ –1 فيسوف نسمي هذه الطريقة في الحل مصفوفة . نؤكد مرة أخرى أنها مناسبة فقط لأنظمة Cramer - وفي حالات أخرى ، لا توجد المصفوفة العكسية. سيجد القارئ الأمثلة التي تم تحليلها لتطبيق طريقة المصفوفة وطريقة كرامر أدناه.
دعونا أخيرًا ندرس الحالة العامة ، النظام مالمعادلات الخطية مع نمجهول. لحلها ، تطبيق طريقة جاوس ، والتي سننظر فيها بالتفصيل لنظام تعسفي من المعادلات أوه=فياكتب ممتد مصفوفة. لذلك من المعتاد استدعاء المصفوفة ، والتي ستظهر إذا كانت المصفوفة الرئيسية أعلى اليمين ، أضف عمودًا من الأعضاء الأحرار في:
كما هو الحال في حساب الرتبة ، بمساعدة التحولات الأولية للصفوف وتباديل الأعمدة ، سنجلب المصفوفة الخاصة بنا إلى شكل شبه منحرف. في هذه الحالة ، بالطبع ، سيتغير نظام المعادلات المقابلة للمصفوفة ، لكنه سيتغير يعادل أصلي (ᴛ.ᴇ. سيكون لها نفس الحلول). في الواقع ، إعادة ترتيب المعادلات أو إضافتها لن يغير الحلول. إعادة ترتيب الأعمدة - أيضًا: المعادلات × 1+3 × 2+7 × 3=4 و × 1+7 × 3+3 × 2=4, هي ، بالطبع ، متكافئة. من الضروري فقط تدوين العمود غير المعروف الذي يتوافق معه. نحن لا نعيد ترتيب عمود الأعضاء الأحرار - فعادة ما يتم فصله عن الآخرين بخط منقط في المصفوفة. يمكن حذف الصفوف الصفرية التي تظهر في المصفوفة.
مثال 1. حل نظام المعادلات:
حل.نكتب المصفوفة الممتدة ونجعلها على شكل شبه منحرف. لافتة ~ الآن لن يعني فقط تزامن الرتب ، ولكن أيضًا معادلة أنظمة المعادلات المقابلة.
~. دعونا نشرح الخطوات المتخذة.
الإجراء 1. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثاني ، وضربه في (–2). أضافوا السطر الأول إلى السطر الثالث والرابع ، وضربوه في (–3). الغرض من هذه العمليات هو الحصول على الأصفار في العمود الأول ، أسفل القطر الرئيسي.
الإجراء 2.منذ في المكان المائل (2،2) يوجد 0 ، اضطررت إلى إعادة ترتيب العمودين الثاني والثالث. لتذكر هذا التغيير ، قمنا بكتابة رموز المجهول في الأعلى.
الإجراء 3.أضافوا السطر الثاني إلى السطر الثالث ، بضربه في (–2). تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الرابع. الهدف هو الحصول على الأصفار في العمود الثاني ، أسفل القطر الرئيسي.
الإجراء 4.يمكن إزالة الخطوط الصفرية.
لذلك ، يتم تقليل المصفوفة إلى شكل شبه منحرف. رتبتها ص=2 . مجهول × 1 ، × 3- أساسي؛ × 2 ، × 4- حر. دعونا نحدد قيمًا عشوائية للمجهول المجاني:
× 2= أ ، × 4= ب.
هنا أ ، بهي أية أرقام. الآن من المعادلة الأخيرة للنظام الجديد
× 3+x4= –3
يجد × 3: × 3= –3 –ب.الصعود ، من المعادلة الأولى
× 1+3x 3+2x 2+4x4= 5
يجد × 1: × 1=5 –3(–3 –ب)–2 أ–4 ب= 14 –2 أ–ب.
نكتب الحل العام:
× 1=14 –2 أ–ب ، × 2=أ ، x3=–3 –ب ، × 4=ب.
يمكنك كتابة الحل العام في شكل عمود مصفوفة:
لقيم محددة أو ب، يمكنك الحصول خاص حلول. على سبيل المثال ، متى أ=0 ، ب=1 نحصل عليه: هو أحد حلول النظام.
ملاحظات.في خوارزمية طريقة غاوس ، رأينا (حالة 1)، أن عدم تناسق نظام المعادلات مرتبط بعدم تطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. نقدم النظرية الهامة التالية بدون دليل.
النظرية 7 (Kronecker-Capelli). يكون نظام المعادلات الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة للنظام.
نظم المعادلات الخطية - المفهوم والأنواع. تصنيف ومميزات فئة "أنظمة المعادلات الخطية" 2017 ، 2018.
بحيث تكون صفوفه (أو أعمدته) تابعة خطيًا. دع نظامًا يحتوي على معادلات خطية مع عدد غير معروف: 5.1. دعونا نقدم الترميز التالي. 5.2. ، - مصفوفة النظام - المصفوفة الممتدة. - عمود أحرار. - عمود المجهول. لو... .
التحسين غير الخطي (NNO) والعكس صحيح. بيان مشكلة ZNO: أوجد (8.1) الحد الأدنى أو الأقصى في بعض المناطق D. كما نتذكر من الحصيرة. في التحليل ، يجب على المرء أن يساوي المشتقات الجزئية بصفر. وهكذا ، تم تقليل ZNO (8.1) إلى SLE (8.2) (8.2) من n من المعادلات غير الخطية. ....
المحاضرة 15: فكر في نظام غير متجانس (16) إذا كانت المعاملات المقابلة لنظام متجانس (7) تساوي المعاملات المقابلة لنظام غير متجانس (16) ، فإن النظام المتجانس (7) يسمى النظام غير المتجانس المقابل (16) . نظرية. إذا ... [اقرأ المزيد].
7.1 أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية. دع نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية يُعطى (*) افترض أن مجموعة من الأرقام هي نوع من الحلول لهذا النظام. ثم مجموعة الأرقام هي أيضًا حل. يتم التحقق من ذلك عن طريق الاستبدال المباشر في معادلات النظام .....
الجدول 3 مراحل التطور الحركي للطفل المرحلة العمر مؤشرات وقت التطور الحركي للولادة حتى 4 أشهر تشكيل السيطرة على موضع الرأس وإمكانية توجيهه الحر في الفضاء 4-6 أشهر إتقان الأولي ... .
التعريف 1. نظام المعادلات الخطية بالشكل (1) ، حيث يُطلق على الحقل نظام من المعادلات الخطية مع عدد غير معروف في الحقل ، وهي معاملات المجهول ، والأعضاء الأحرار في النظام ( 1). تعريف 2. أمر n-ka () حيث يسمى حل نظام خطي ....
